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2021暑期课程人教版七年级下册数学讲义初一升初二-
第9讲：角平分线的性质
知识讲解
1、角平分线的画法
（1）已知∠AOB，求作∠AOB的角平分线：
①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。
②分别以M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，在∠AOB的内部两弧交于点C。
③过O、C两点作射线OC，射线OC就是所求角的角平分线。
2、角平分线的性质与判定
角平分线的性质及判定:
（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
（2）角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上。
三角形中角平分线的性质:
（1）三角形的三个内角角平分线交于一点，这点到三边的距离相等。
（2）三角形两个外角的角平分线也交于一点，这点到三边所在的直线的距离相等。
（3）三角形外角平分线交点共有三个，所以到三角形三边所在直线距离相等的点有4个。
3、角平分线常见辅助线
角平分线是一种对称模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：
1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线；
2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；
3．截取OA=OB，这种对称的图形应用得也较为普遍。
例题精析
例1
【题干】八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角。设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线。
（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线。
（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由。
（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB。此方案是否可行？请说明理由。
例2
【题干】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，若AC=3cm，则AD+DE为（　　）
A．
3cm
B．
4cm
C．
2cm
D．
无法确定
例3
【题干】如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD+BC的大小关系是（　　）
A．
AB＞AD+BE
B．
AB＜AD+BC
C.AB=AD+BC
D．无法确定
例4
【题干】如图，在△ABC中，AC=CB，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，∠E=90°，那么AD与BE的长度关系为。
课堂运用
基础
1．为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（　　）
A．仅有一处
B．有四处
C．有七处
D．
有无数处
2．如图，MP⊥NP，MQ为△MNP的角平分线，MT＝MP，连接TQ，则下列结论中不正确的是（　　）
A、TQ＝PQ
B、∠MQT＝∠MQ
C、∠QTN＝90°
D、∠NQT＝∠MQT
3．如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（　　）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．5cm
4．如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则对于下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上．其中正确的是（　　）
A．①
B．②
C．①和②
D．①②③
5．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD．求证：AD平分∠BAC.
巩固
1．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.
2．如图13—3—2所示，已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD＝CD．
求证：BE＝CF．
3．如图13—3—3所示，已知BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB．求证：D在∠BAC的平分线上．
4．如图，已知BF是∠DBC的平分线，CF是∠ECB的平分线，求蒸：点F在∠BAC的平分线上。
5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF是线段AD的垂直平分线，求证：∠CAF＝∠ABD
拔高
1．图，已知△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，求证：AC＋CD＝AB
2．图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，BD＝DF，求证：CF＝EB
3．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．
4．如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180°．
5．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．
（1）求证：BE=CF；
（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．
求证：①ME⊥BC；②DE=DN．
课后作业
基础
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，则BC=_____cm.
2．如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF______FG，CE________CF.
3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，则△DEB的周长为（　　）
A、4㎝　
　B、6㎝　
　C、10㎝　
　D、不能确定
4．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为_____________．
5．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（　　）
A、PD＝PE
B、OD＝OE
C、∠DPO＝∠EPO
D、PD＝OD
巩固
1．如图所示AD⊥DC，BC⊥DC，E是DC上一点，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，求证：ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＣ。
2．如图，在△ABC中，∠C=90?，∠BAC=2∠B，DE⊥AB于E，DE=DC．求证：AD=BD．
3．如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C．
求证：点C在∠AOB的平分线上．
4．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE=CF的理由；
（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．
拔高
1．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．
2．如图已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：
（1）∠ECD=∠EDC；
（2）OE是CD的垂直平分线．
3．如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE=DF．请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半．
4．△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线交AB、AC于E、F．且BE=EO．
（1）说明OF与CF的大小关系；
（2）若BC=12cm，点O到AB的距离为4cm，求△OBC的面积．2021暑期课程人教版七年级下册数学讲义初一升初二-
第9讲：角平分线的性质
知识讲解
1、角平分线的画法
（1）已知∠AOB，求作∠AOB的角平分线：
①以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于M，交OB于N。
②分别以M，N为圆心，以大于MN长为半径作弧，在∠AOB的内部两弧交于点C。
③过O、C两点作射线OC，射线OC就是所求角的角平分线。
2、角平分线的性质与判定
角平分线的性质及判定:
（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
（2）角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上。
三角形中角平分线的性质:
（1）三角形的三个内角角平分线交于一点，这点到三边的距离相等。
（2）三角形两个外角的角平分线也交于一点，这点到三边所在的直线的距离相等。
（3）三角形外角平分线交点共有三个，所以到三角形三边所在直线距离相等的点有4个。
3、角平分线常见辅助线
角平分线是一种对称模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：
1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线；
2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；
3．截取OA=OB，这种对称的图形应用得也较为普遍。
例题精析
【教学建议】
此处内容主要用于教师课堂的精讲，每个题目结合试题本身、答案和解析部分，教师有的放矢的进行讲授或与学生互动练习。
例1
【题干】八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角。设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线。
（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线。
（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由。
（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB。此方案是否可行？请说明理由。
【答案】（1）方案（Ⅰ）不可行。缺少证明三角形全等的条件。
（2）方案（Ⅱ）可行。
证明：在△OPM和△OPN中，，∴△OPM≌△OPN(SSS)，∴∠AOP=∠BOP
（3）当∠AOB是直角时，此方案可行。∵四边形内角和为360°，又若PM⊥OA，PN⊥OB，∠OMP=∠ONP=90°，∠MPN=90°，∴∠AOB=90°，∵若PM⊥OA，PN⊥OB，且PM=PN，∴OP为∠AOB的平分线。当∠AOB不为直角时，此方案不可行。
【解析】该题考察了作角平分线的依据：三角形全等的条件“SSS”，为学生能力的培养提供合适的问题，完成从书本知识到实际运用的转变。
例2
【题干】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，若AC=3cm，则AD+DE为（　　）
A．
3cm
B．
4cm
C．
2cm
D．无法确定
【答案】A．
【解析】∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=DC，∴AD+DE=AD+DC=AC，∵AC=3cm，∴AD+DE=3cm．
例3
【题干】如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连接BE，且BE恰好平分∠ABC，则AB的长与AD+BC的大小关系是（　　）
A．
AB＞AD+BC
B．
AB＜AD+BC
C．
AB=AD+BC
D．无法确定
【答案】C．
【解析】解法1：在AB上截取AF=AD，连接EF，易证AE⊥BE，△ADE≌△AFE（SAS），所以∠1=∠2，又∠2+∠4=90°，∠1+∠3=90°，所以∠3=∠4，所以可证△BCE≌△BFE，
所以BC=BF，所以AB=AF+BF=AD+BC；
解法2：如图，延长AE交BC延长线于F，∵AD∥CB，∴∠CBA+∠BAD=180°，
∵BE平分∠CBA，AE平分∠BAD，∴∠EBA+∠BAE=90°，∴∠BEA=180°﹣90°=90°，
∴BE⊥AF，由△ABE≌△FBE（ASA），可得BA=BF，AE=FE，
于是可证△ADE≌△FCE（ASA），所以AD=CF，所以AB=BC+CF=BC+AD．
例4
【题干】图，在△ABC中，∠C=90°，AC=14，BD平分∠ABC，交AC于D，AD=10，则点D到AB的距离为（　　）
A．
10
B．
4
C．
7
D．
6
【答案】B．
【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AC=14，AD=10，∴CD=AC﹣AD=14﹣10=4，
∵BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB∴DE=CD=4．
例5
【题干】如图，在△ABC中，AC=CB，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，∠E=90°，那么AD与BE的长度关系为。
【答案】AD=2BE
【解析】理由是：延长AC，BE交于O，∵∠C=∠AEB=90°，∠CDA=∠EDB，∴由三角形内角和定理得：∠1=∠3，∵∠ACD=∠BCO=90°，
在△ACD和△BCO中，，∴△ACD≌△BCO（ASA），∴AD=BO，
∵AD平分∠CAB，∴∠1=∠2，∵∠AEB=∠AEO=90°，
在△AEO和△AEB中，，∴△AEO≌△AEB（ASA），∴OE=BE，∴BO=2BE，∴AD=2BE。
课堂运用
【教学建议】
在对课堂知识讲解完，把握了重点突破了难点以及练习精讲了之后，再用练习进行课堂检测，根据学生情况建议分3个难度层次：易，中，难。
基础
1．为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（　　）
A．有一处
B．有四处
C．有七处
D有无数处
2．如图，MP⊥NP，MQ为△MNP的角平分线，MT＝MP，连接TQ，则下列结论中不正确的是（　　）
A、TQ＝PQ
B、∠MQT＝∠MQP
C、∠QTN＝90°
D、∠NQT＝∠MQT
3．如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3cm，那么AE+DE等于（　　）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．5cm
4．如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则对于下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上．其中正确的是（　　）
A．①
B．②
C．①和②
D．①②③
5．如图，在△ABC中，∠BAC=60°，AD平分∠BAC，若AD=6，DE⊥AB，则DE的长为（　　）．
答案与解析
1．【答案】A．
【解析】利用角平分线性质定理：角的平分线上的点，到这个角的两边的距离相等．又要求砂石场建在三条公路围成的一块平地上，所以是三个内角平分线的交点一个，外角的平分线的交点三个．满足条件的点有一个，三角形内部：三个内角平分线交点一个．三角形外部，外角的角平分线三个（不合题意）．
2．【答案】D
3．【答案】3cm
4．【答案】D
5．【答案】
解：∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠BAC=30°．
在Rt△ADE中，DE⊥AB，∠DAE=30°，
∴DE=AD=3．
故答案为：3．
巩固
1．如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB.
2．如图13—3—2所示，已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD＝CD．
求证：BE＝CF．
3．如图13—3—3所示，已知BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB．求证：D在∠BAC的平分线上．
4．如图，已知BF是∠DBC的平分线，CF是∠ECB的平分线，求蒸：点F在∠BAC的平分线上。
5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EF是线段AD的垂直平分线，求证：∠CAF＝∠ABD
答案与解析
1．【答案】略
2．【答案】略
3．【答案】略
4．【答案】略
5．【答案】略
拔高
1．图，已知△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，求证：AC＋CD＝AB
2．图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，BD＝DF，求证：CF＝EB
3．如图，四边形ABCD中，∠B=90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：
（1）AM⊥DM；
（2）M为BC的中点．
4．如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．求证：∠PCB+∠BAP=180°．
5．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．
（1）求证：BE=CF；
（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．
求证：①ME⊥BC；②DE=DN．
答案与解析
1．【答案】略
2．【答案】略
3．【答案】略
4．【答案】略
5．【答案】略
课后作业
【教学建议】
教师根据学生掌握情况有针对性的进行课后作业的布置，掌握好的同学可以适当的布置难度大一些的作业，成绩一般的同学可以以基础题和巩固题目为主，但是一定要控制作业的数量，给学生布置的作业一般不要超过5题，这样学生才能保证做题的质量。
基础
1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3cm，BD=5cm，则BC=_____cm.
2．如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF______FG，CE________CF.
3．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，则△DEB的周长为（　　）
A、4㎝
B、6㎝
C、10㎝
D、不能确定
4．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为_____________．
5．如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（　　）
A、PD＝PE
B、OD＝OE
C、∠DPO＝∠EPO
D、PD＝OD
答案与解析
1．【答案】略
2．【答案】略
3．【答案】略
4．【答案】略
5．【答案】略
巩固
1．如图所示AD⊥DC，BC⊥DC，E是DC上一点，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，求证：ＡＢ＝ＡＤ＋ＢＣ。
2．如图，在△ABC中，∠C=90?，∠BAC=2∠B，DE⊥AB于E，DE=DC．求证：AD=BD．
3．如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C．
求证：点C在∠AOB的平分线上．
4．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE=CF的理由；
（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．
答案与解析
1．【答案】略
2．【答案】略
3．【答案】略
4．【答案】略
5．【答案】略
拔高
1．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD、BE=CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．
2．如图已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D．求证：
（1）∠ECD=∠EDC；
（2）OE是CD的垂直平分线．
3．如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分别在AB、AD上，且AE=DF．请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半．
4．△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作一直线交AB、AC于E、F．且BE=EO．
（1）说明OF与CF的大小关系；
（2）若BC=12cm，点O到AB的距离为4cm，求△OBC的面积．
答案与解析
1．【答案】
（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E=∠DFC=90°，
∴△BDE与△CDE均为直角三角形，
∵
∴△BDE≌△CDF，
∴DE=DF，即AD平分∠BAC；
（2）AB+AC=2AE．
证明：∵BE=CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵∠E=∠AFD=90°，
∴∠ADE=∠ADF，
在△AED与△AFD中，
∵，
∴△AED≌△AFD，
∴AE=AF，
∴AB+AC=AE﹣BE+AF+CF=AE+AE=2AE．
2．【答案】
证明：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴EC=DE，
∴∠ECD=∠EDC；
（2）在Rt△OCE和Rt△ODE中，，
∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），
∴OC=OD，
又∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线．
3．【答案】
解：分别作CG⊥AB与G，CH⊥AD与H，
∵AC为∠BAD的角平分线，
∴CG=CH，
∵AB=AD，
∴△ABC面积=△ACD面积，
又∵AE=DF，
∴△AEC面积=△CDF面积，
∴△BCE面积=△ABC面积﹣△AEC面积，
△BCE面积=△ACD面积﹣△CDF面积，
∴△BCE面积=△ACF面积，
∵四边形AECF面积=△AEC面积+△ACF面积，
四边形AECF面积=△AEC面积+△BCE面积，
∴四边形AECF面积=△ABC面积，
又∵四边形ABCD面积=△ABC面积+△ACD面积，
又∵四边形ABCD面积=2△ABC面积，
∴四边形AECF面积为四边形ABCD面积的一半．
4．【答案】
解：（1）OF=CF．
理由：∵BE=EO，
∴∠EBO=∠EOB，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，
∴∠EBO=∠OBC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴EF∥BC，
∴∠FOC=∠OCB=∠OCF，
∴OF=CF；
（2）过点O作OM⊥BC于M，作ON⊥AB于N，
∵△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，点O到AB的距离为4cm，
∴ON=OM=4cm，
∴S△OBC=BC?OM=×12×4=24（cm2）．

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