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第10章
三角恒等变换
类型1　求值问题
三角函数求值主要有三种类型
(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式．
(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角，要注意角的范围．
(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围．
【例1】　已知cos
α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈．求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．
[解]　(1)因为α，β∈，
所以α－β∈，
又sin(α－β)＝＞0，
所以0＜α－β＜，
所以sin
α＝＝，
cos(α－β)＝＝，
cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]
＝cos
αcos(α－β)－sin
αsin(α－β)
＝×－×
＝．
(2)cos
β＝cos[α－(α－β)]
＝cos
αcos(α－β)＋sin
αsin(α－β)
＝×＋×＝，
又因为β∈，所以β＝．
[跟进训练]
1．已知sinsin＝，α∈，求的值．
[解]　∵sinsin＝，
∴sincos＝，
sin＝，即cos
2α＝．
又α∈，∴2α∈(π，2π)，
∴sin
2α＝－
＝－＝－．
∴＝
＝＝－．
类型2　化简与证明
三角函数式的化简与证明要遵循“三看”原则
(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．
【例2】　求证：＝．
[证明]　证明原不等式成立，即证明
1＋sin
4θ－cos
4θ＝tan
2θ(1＋sin
4θ＋cos
4θ)成立．
∵tan
2θ(1＋sin
4θ＋cos
4θ)
＝(2cos22θ＋2sin
2θcos
2θ)
＝2sin
2θcos
2θ＋2sin22θ
＝sin
4θ＋1－cos
4θ．
∴＝．
[跟进训练]
2．化简：．
[解]　原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝2．
类型3　三角恒等变换与三角函数的综合问题
三角恒等变换与三角函数的综合问题，常以三角恒等变换为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂时，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．
【例3】　已知函数f(x)＝cos
xsin－cos2x＋，x∈R．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值．
[解]　(1)f(x)＝cos
x·－cos2x＋
＝sin
x·cos
x－cos2x＋
＝sin
2x－(1＋cos
2x)＋
＝sin
2x－cos
2x
＝sin．
∴f(x)的最小正周期T＝＝π．
(2)∵－≤x≤，
∴－≤2x－≤，
∴－1≤sin≤，
∴－≤f(x)≤，
∴函数f(x)在闭区间上的最大值为，最小值为－．
[跟进训练]
3．设向量a＝(sin
x，sin
x)，b＝(cos
x，sin
x)，x∈．
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
[解]　(1)由|a|2＝(sin
x)2＋sin2
x＝4sin2x，
|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1．
又x∈，
从而sin
x＝，所以x＝．
(2)f(x)＝a·b＝sin
xcos
x＋sin2x
＝sin
2x－cos
2x＋＝sin＋，
当x＝∈时，sin取最大值1．
所以f(x)的最大值为．
类型4　转化化归思想在三角恒等变换中的应用
在三角函数的化简、求值中，常常对条件和结论进行合理的变换，通过转化沟通已知与未知的关系，角的转化、函数名称的转化、常数代换、幂的升降变换、结构变化等技巧在解题中经常用到，应熟练掌握．
【例4】　已知tan
α＝，tan
β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
[解]　∵tan
α＝＞0，
∴α∈，2α∈(0，π)，
∴tan
2α＝＝＝＞0，
∴2α∈，
又∵tan
β＝－＜0，β∈(0，π)，
∴β∈，
∴tan(2α－β)＝
＝＝1，
又∵2α∈，β∈，
∴2α－β∈(－π，0)，
∴2α－β＝－π．
[跟进训练]
4．已知＜α＜，0＜β＜，cos＝，sin＝，求sin(α＋β)的值．
[解]　∵＜α＜，0＜β＜，
∴－＜－α＜0，＜＋β＜π，
∴sin＝－
＝－＝－，
cos＝－＝－，
∴sin(α＋β)＝－cos
＝－cos
＝－
＝－＝．
1．(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0，π)，且3cos
2α－8cos
α＝5，则sin
α＝(　　)
A．
B．
C．
D．
A　[∵3cos
2α－8
cos
α＝5，∴3(2
cos2α－1)－8cos
α＝5，∴6cos2
α－8cos
α－8＝0，∴3cos2α－4cos
α－4＝0，解得cos
α＝2(舍去)或cos
α＝－．∵α∈(0，π)，∴sin
α＝＝．故选A．]
2．(2020·全国卷Ⅲ)已知2tan
θ－tan
＝7，则tan
θ＝(　　)
A．－2
B．－1
C．1
D．2
D　[由已知得2tan
θ－＝7，得tan
θ＝2．]
3．(2020·全国卷Ⅲ)已知sin
θ＋sin＝1，则sin＝(　　)
A．
B．
C．
D．
B　[∵sin
θ＋sin＝sin
θ＋cos
θ＝sin＝1，∴sin＝，故选B．]
4．(2020·江苏高考)已知sin2＝，则sin
2α的值是________．
　[∵sin2＝＝＝，
∴sin
2α＝．]
5．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan
α＝，cos(α＋β)＝－．
(1)求cos
2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
[解]　(1)因为tan
α＝，tan
α＝，
所以sin
α＝cos
α．
因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，
所以cos
2α＝2cos2α－1＝－．
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝－2．
因为tan
α＝，
所以tan
2α＝＝－．
因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－．
PAGE
-
8
-10.3　几个三角恒等式
学
习
任
务
核
心
素
养
1．能运用所学知识，推导积化和差与和差化积公式、万能代换公式．(重点)
2．能利用所学公式进行三角恒等变换．(重点、难点)
1．
通过学习积化和差与和差化积公式，半角公式，降幂公式，培养逻辑推理素养．2．通过利用公式求值、化简和证明，培养数学运算素养．
前面，我们学习了两角和与差的正余弦公式：
sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β，(S(α＋β))；①
sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β，(S(α－β))；②
cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β，(C(α＋β))；③
cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β，(C(α－β))．④
由①②能得出sin
αcos
β及cos
αsin
β吗？
由③④能得出cos
αcos
β及sin
αsin
β吗？
知识点1　积化和差与和差化积公式
(1)积化和差公式
sin
αcos
β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，
cos
αsin
β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]，
cos
αcos
β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，
sin
αsin
β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．
(2)和差化积公式
sin
α＋sin
β＝2sin
cos
，
sin
α－sin
β＝2cos
sin
，
cos
α＋cos
β＝2cos
cos
，
cos
α－cos
β＝－2sin
sin
．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sin
Acos
B．
(　　)
(2)cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sin
Acos
B．
(　　)
(3)cos(α＋β)cos(α－β)＝cos2
α－cos2
β．
(　　)
[提示]　(1)正确．
(2)cos(A＋B)－cos(A－B)＝－2sin
Asin
B．
(3)cos(α＋β)cos(α－β)＝(cos
2α＋cos
2β)．
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×
知识点2　半角公式与降幂公式
半角公式
降幂公式
sin
＝±，cos
＝±，tan
＝±，tan
＝＝
sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝
拓展：万能公式：
设tan
＝t，则sin
α＝，cos
α＝，tan
α＝．
2．若cos
α＝－，且π＜α＜，则cos
＝________．
－　[∵π＜α＜，
∴＜＜，
∴cos＝－＝－．]
3．若tan
＝3，则cos
α＝________．
－　[∵tan2＝＝9，∴cos
α＝－．]
类型1　应用和差化积或积化和差求值
【例1】　求sin220°＋cos250°＋sin
20°·cos
50°
的值．
[解]　原式＝＋＋(sin
70°－sin
30°)
＝1＋(cos
100°－cos
40°)＋sin
70°－
＝＋(－2sin
70°sin
30°)＋sin
70°
＝－sin
70°＋sin
70°
＝．
套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.
[跟进训练]
1．(1)
sin
20°＋sin
40°＋sin
60°－sin
80°＝(　　)
A．
B．
C．
D．1
(2)已知cos
α－cos
β＝，sin
α－sin
β＝－，求sin(α＋β)的值．
(1)C　[原式＝sin
20°－sin
80°＋sin
40°＋sin
60°＝2cos
50°sin(－30°)＋cos
50°＋sin
60°＝sin
60°＝．]
(2)[解]　∵cos
α－cos
β＝，
∴－2sinsin＝．
①
又∵sin
α－sin
β＝－，
∴2cossin＝－．
②
∵sin≠0，
∴由①②，得－tan＝－，
即tan＝．
∴sin(α＋β)＝＝＝＝．
类型2　万能代换公式的应用
【例2】　设tan
＝t，求证：＝(t＋1)．
利用万能代换公式，分别用t表示sin
θ，cos
θ，代入待证等式的左端即可证明.
[证明]　由sin
θ＝及cos
θ＝，得1＋sin
θ＝＝，
1＋sin
θ＋cos
θ＝＝，
故＝(t＋1)．
在万能代换公式中不论α的哪种三角函数?包括sin
α与cos
α?都可以表示成tan＝t的“有理式”，将其代入式子中，就可将代数式表示成t的函数，从而就可以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值.
[跟进训练]
2．已知cos
θ＝－，且180°＜θ＜270°，求tan．
[解]　∵180°＜θ＜270°，
∴90°＜＜135°，
∴tan＜0．
由cos
θ＝，得＝－，
解得tan2＝4．
又tan＜0，
∴tan＝－2．
类型3　f(x)＝asin2ωx＋bsin
ωxcos
ωx＋ccos2ωx的性质
【例3】　求函数f(x)＝5cos2x＋sin2x－4sin
xcos
x，x∈的最小值，并求其单调减区间．
[解]　f(x)＝5×＋×－2sin
2x＝3＋2cos
2x－2sin
2x
＝3＋4
＝3＋4
＝3＋4sin＝3－4sin，
∵≤x≤，
∴≤2x－≤．
∴sin∈．
∴当2x－＝，即x＝时，
f(x)取最小值为3－2．
∵y＝sin在上单调递增，
∴f(x)在上单调递减．
1．(变结论)本例中，试求函数f(x)(x∈R)的对称轴方程．
[解]　f(x)＝3－4sin，
令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z．
所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z．
2．(变条件)本例中，函数解析式变为f(x)＝sin＋2sin2(x∈R)，求f(x)的单调减区间．
[解]　∵f(x)＝sin
2＋1－cos
2
＝2＋1
＝2sin＋1，
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，
∴f(x)的单调减区间为，k∈Z．
1．应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
(1)运用和、差、倍角公式和重要恒等式化简．
(2)统一化成f(x)＝asin
ωx＋bcos
ωx＋k的形式．
(3)利用辅助角公式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，研究其性质．
2．对三角函数式化简的常用方法
(1)降幂化倍角；
(2)升幂角减半；
(3)利用f(x)＝asin
x＋bcos
x＝sin(x＋φ)，化为“一个角”的函数．
[跟进训练]
3．已知函数f(x)＝2cos2＋cos．
(1)求函数的最小正周期以及对称轴方程；
(2)求函数y＝f(－x)的单调减区间．
[解]　f(x)＝2cos2＋cos
＝cos＋1＋cos
＝sin＋cos＋1
＝sin＋1
＝sin＋1．
(1)函数的最小正周期T＝＝π．
令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，
解得x＝＋(k∈Z)，
故对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)y＝f(－x)＝sin＋1
＝－sin＋1，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)，故函数的单调减区间是(k∈Z)．
1．已知tan
α＝－，则sin
2α＝(　　)
A．
B．－
C．
D．－
D　[sin
2α＝＝＝＝－．]
2．若3πA．cos
B．－cos
C．sin
D．－sin
C　[因为3π所以<<2π，sin
<0，cos
>0．
于是＋＝＋
＝cos
－sin
＝
＝sin．]
3．已知等腰三角形的顶角的余弦值等于，则它的底角的余弦值为(　　)
A．
B．
C．
D．
B　[设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cos
α＝．
又β＝－，
即cos
β＝cos＝sin
＝
＝＝．]
4．化简：＝________．
tan
20°　[原式＝
＝
＝tan
20°．]
5．若cos
α＝－，α是第三象限角，则＝________．
－　[∵α是第三象限角，
∴为第二、四象限角，
∴tan＜0，
∴tan＝－＝－＝－3，
∴原式＝＝－．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．如何用cos
α表示sin2，cos2？
[提示]　sin2＝；cos2＝．
2．如何用tan
α表示sin
2α，cos
2α？
[提示]　sin
2α＝，cos
2α＝．
3．如何确定半角公式根号前的符号？
[提示]　(1)当给出的角是某一象限的角时，可根据下表确定半角的函数值的符号．
α
sin
cos
tan
第一象限
第一、三象限
＋，－
＋，－
＋
第二象限
第一、三象限
＋，－
＋，－
＋
第三象限
第二、四象限
＋，－
－，＋
－
第四象限
第二、四象限
＋，－
－，＋
－
(2)当给出角α的范围时，可先求的范围，再根据的范围来确定各三角函数值的符号．
(3)若没有给出确定符号的条件，则在根号前保留正、负两个符号．
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10
-10.2　二倍角的三角函数
学
习
任
务
核
心
素
养
1．会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．(重点)
2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．(难点)
1．通过对二倍角公式的推导，培养逻辑推理素养．2．
通过利用二倍角公式求值、化简和证明，培养数学运算素养．
(1)在公式S(α＋β)，C(α＋β)，T(α＋β)中，若令α＝β，你会发现什么？
(2)在C2α公式中，还有其他表示形式吗？
知识点　倍角公式
(1)sin
2α＝2sin
αcos
α；
(2)cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan
2α＝．
(1)T2α对任意角α都成立吗？
(2)倍角公式中的“倍角”只能是2α吗？
[提示]　(1)不是．所含各角要使正切函数有意义．
(2)倍角公式中的“倍角”具有相对性，对于两个角的比值等于2的情况都成立，如6α是3α的2倍，3α是的2倍．这就是说，“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间的关系的．
1．已知sin
α＝，cos
α＝，则sin
2α等于(　　)
A．
B．
C．
D．
D　[∵sin
2α＝2sin
αcos
α＝2××＝，故选D．]
2．计算1－2sin222.5°等于(　　)
A．
B．
C．
D．
B　[1－2sin222.5°＝cos
45°＝，故选B．]
3．若tan
α＝3，则tan
2α＝________．
－　[∵tan
α＝3，
∴tan
2α＝＝＝－．]
类型1　直接应用二倍角公式求值
【例1】　(对接教材P63例1)已知sin
2α＝，＜α＜，求sin
4α，cos
4α，tan
4α的值．
[解]　由＜α＜，得＜2α＜π．
又因为sin
2α＝，
所以cos
2α＝－
＝－＝－．
于是sin
4α＝2sin
2αcos
2α
＝2××＝－；
cos
4α＝1－2sin22α＝1－2×＝；
tan
4α＝＝＝－．
对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式
对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α是2α的二倍角；3α是α的二倍角；是的二倍角；是的二倍角；…，又如α＝2·，＝2·，…．
[跟进训练]
1．求下列各式的值．
(1)sinsin；(2)cos215°－cos275°；
(3)2cos2－1；(4)．
[解]　(1)∵sin＝sin＝cos，
∴sinsin＝sincos
＝×2sincos＝sin＝．
(2)∵cos275°＝cos2(90°－15°)＝sin215°，
∴cos215°－cos275°＝cos215°－sin215°＝cos
30°＝．
(3)2cos2－1＝cos＝－．
(4)＝×
＝tan
60°＝．
类型2　逆用二倍角公式化简求值
【例2】　化简：．
[解]　原式＝
＝
＝＝＝1．
1．三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．
2．解决此类非特殊角的求值问题，其关键是利用公式转化为特殊角求值，要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系，能否用二倍角公式求值，是否是互余关系，能否进行正弦与余弦的互化；要充分根据已知式的结构形式，选择公式进行变形并求值．
[跟进训练]
2．求下列各式的值：
(1)2sincos；
(2)1－2sin2750°；
(3)；
(4)coscos．
[解]　(1)原式＝sin＝sin＝．
(2)原式＝cos(2×750°)＝cos
1
500°
＝cos(60°＋4×360°)＝cos
60°＝．
(3)原式＝tan(2×150°)
＝tan
300°
＝tan(360°－60°)
＝－tan
60°＝－．
(4)原式＝coscos
＝cossin
＝
＝sin＝×
＝．
类型3　活用“倍角”关系巧解题
【例3】　已知sin＝，0＜x＜，求的值．
本题中角“－x”与角“＋x”有什么关系？如何借助诱导公式实现cos
2x与sin的转换？
[解]　∵＋＝，
∴sin＝cos＝，
又0＜x＜，
∴＜x＋＜，
∴sin＝．
∴＝
＝
＝2sin＝．
1．(变结论)本例条件不变，求cos
2x．
[解]　∵0∴0<－x<，由sin＝，
得cos＝，
cos
2x＝sin＝sin
2
＝2sincos＝2××＝．
2．(变结论)本例条件不变，求的值．
[解]　∵＋＝，
∴cos＝sin＝．
∵＝
＝＝2sin
xcos
x＝sin
2x，
又sin
2x＝－cos＝1－2cos2＝1－2×＝．∴＝．
当遇到±x这样的角时可利用角的互余关系和诱导公式，将条件与结论沟通.cos
2x＝sin＝2sincos.
类似这样的变换还有：
?1?cos
2x＝sin＝2sincos；
?2?sin
2x＝cos＝2cos2－1；
?3?sin
2x＝－cos＝1－2cos2等.
提醒：在使用二倍角公式时要特别注意公式中的系数，防止出错.
[跟进训练]
3．已知sin＝，则sin
2α的值为(　　)
A．－
B．
C．－
D．
C　[sin
2α＝－cos＝2sin2－1
＝2×－1＝－．故选C．]
1．若tan
α＝2，则2cos2α＋sin
2α＝(　　)
A．
B．
C．
D．
D　[∵tan
α＝2，∴2cos2α＋sin
2α＝＝＝＝．故选D．]
2．cos2－sin2＝________．
　[原式＝cos＝cos
＝．]
3．＝________．
　[原式＝×＝×tan
15°＝×tan(60°－45°)＝×
＝×＝×＝．]
4．若sin
2α＝－sin
α，且sin
α≠0，则cos
α＝________．
－　[∵sin
2α＝2sin
αcos
α，
∴2sin
αcos
α＝－sin
α，又sin
α≠0，∴cos
α＝－．]
5．求值：＝________．
　[∵sin
50°(1＋tan
10°)
＝sin
50°·＝sin
50°·＝1，
cos
80°＝sin
10°＝sin210°，
∴＝＝．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．你能用框图表示C(α＋β)，S(α＋β)，T(α＋β)，C2α，S2α及T2α之间的内在联系吗？
[提示]　
2．C2α的常见变形有哪些？
[提示]　cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．
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-
8
-10.1.3　两角和与差的正切
学
习
任
务
核
心
素
养
1．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点)
2．能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点)3．熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)
　通过对两角和与差的正切公式的推导和应用，提升逻辑推理和数学运算素养．
根据同角三角函数的商数关系tan
θ＝，怎样由sin(α＋β)以及cos(α＋β)的公式将tan(α＋β)用tan
α，tan
β来表示？如何将tan(α－β)用tan
α，tan
β来表示？
知识点　两角和与差的正切公式
T(α＋β)：tan(α＋β)＝．
T(α－β)：tan(α－β)＝．
公式T(α±β)有何结构特征和符号规律？
[提示]　(1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan
α与tan
β的和或差，分母为1与tan
αtan
β的差或和．
(2)符号规律：分子同，分母反．
1．tan
15°＝________；tan
75°＝________．
2－　2＋　[tan
15°＝tan(45°－30°)
＝
＝＝＝2－．
tan
75°＝
＝
＝2＋．]
2．设α，β为锐角，且tan
α，tan
β是方程6x2－5x＋1＝0的根，则tan(α＋β)＝________．
1　[tan
α＋tan
β＝，tan
α·tan
β＝．
tan(α＋β)＝＝1．]
类型1　条件求值问题
【例1】　已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan
2α，tan
2β，tan．
2α＝?α＋β?＋?α－β?，2β＝?α＋β?－?α－β?，tan可以用tan
2α表示出来.
[解]　tan
2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝＝＝－，
tan
2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]
＝
＝＝，
tan＝＝＝．
求解此类问题的关键是明确已知角和待求角的关系；求解时要充分借助诱导公式、角的变换技巧等实现求值.倘若盲目套用公式，可能带来繁杂的运算.
[跟进训练]
1．(1)已知α∈，sin
α＝，求tan的值；
(2)如图所示，三个相同的正方形相接，试计算tan(α＋β)的大小．
[解]　(1)因为sin
α＝，且α∈，所以cos
α＝－，所以tan
α＝＝＝－，
故tan＝＝＝．
(2)由题图可知tan
α＝，tan
β＝，且α，β均为锐角，所以tan(α＋β)＝＝＝1．
类型2　给值求角
【例2】　已知tan
α，tan
β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，求α＋β．
利用根与系数的关系求tan
α＋tan
β及tan
αtan
β的值，进而求出tan?α＋β?的值，然后由α＋β的取值范围确定α＋β的值.
[解]　因为tan
α，tan
β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，所以tan
α＋tan
β＝－3＜0，tan
αtan
β＝4＞0，
所以tan
α＜0，tan
β＜0．又因为α，β∈，
所以α，β∈，所以－π＜α＋β＜0．
又因为tan(α＋β)＝＝＝，
所以α＋β＝－．
1．给值求角的一般步骤
(1)求角的某一三角函数值；
(2)确定角的范围；
(3)根据角的范围写出所求的角．
2．选取函数时，应遵照以下原则
(1)已知正切函数值，选正切函数；
(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
[跟进训练]
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，．
求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小．
[解]　由已知得cos
α＝，cos
β＝，又α，β是锐角，
则sin
α＝＝，sin
β＝＝．
所以tan
α＝＝7，tan
β＝＝．
(1)tan(α＋β)＝＝＝－3．
(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝＝－1，
又α，β是锐角，则0＜α＋2β＜，所以α＋2β＝．
类型3　T(α±β)公式的变形及应用
【例3】　已知△ABC中，tan
B＋tan
C＋tan
Btan
C＝，且tan
A＋tan
B＝tan
Atan
B－1，试判断△ABC的形状．
当一个代数式中同时出现“tan
α＋tan
β”及“tan
α
tan
β”两个团体时，我们可以联想哪些公式解题？
[解]　∵tan
A＋
tan
B＝tan
Atan
B－1，
∴(tan
A＋tan
B)＝tan
Atan
B－1，
∴＝－，∴tan(A＋B)＝－．
又∵0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，∴C＝．
∵tan
B＋tan
C＋tan
Btan
C＝，tan
C＝，
∴tan
B＋＋tan
B＝，tan
B＝，
∴B＝，∴A＝，∴△ABC为等腰三角形．
1．公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tan
α·tan
β，tan
α＋tan
β(或tan
α－tan
β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．
2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．
提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．
[跟进训练]
3．(1)化简：tan
23°＋tan
37°＋tan
23°tan
37°；
(2)若锐角α，β满足(1＋tan
α)(1＋tan
β)＝4，求α＋β的值．
[解]　(1)tan
23°＋tan
37°＋tan
23°tan
37°＝tan(23°＋37°)(1－tan
23°tan
37°)＋tan
23°tan
37°＝tan
60°(1－tan
23°tan
37°)＋tan
23°tan
37°＝．
(2)∵(1＋tan
α)(1＋tan
β)
＝1＋(tan
α＋tan
β)＋3tan
αtan
β＝4，
∴tan
α＋tan
β＝(1－tan
αtan
β)，
∴tan(α＋β)＝＝．
又∵α，β均为锐角，
∴0°<α＋β<180°，∴α＋β＝60°．
1．若tan
β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan
α等于(　　)
A．
B．－
C．1
D．－1
A　[∵tan(α－β)＝＝－2，tan
β＝3，
∴＝－2，∴tan
α＝，故选A．]
2．＝(　　)
A．tan
57°
B．－tan
57°
C．1
D．－1
C　[原式＝tan(51°－6°)＝tan
45°＝1．]
3．若tan＝2，则＝(　　)
A．
B．
C．
D．1
C　[由tan＝＝2，得tan
α＝，
∴＝＝＝．]
4．求值：tan
15°＋tan
30°＋tan
15°tan
30°＝________．
1　[tan
15°＋tan
30°＋tan
15°tan
30°＝tan(15°＋30°)·(1－tan
15°tan
30°)＋tan
15°tan
30°＝tan
45°(1－tan
15°tan
30°)＋tan
15°tan
30°＝1－tan
15°tan
30°＋tan
15°tan
30°＝1．]
5．已知α，β∈(0，π)，且tan
α＝2，cos
β＝－，则tan(α＋β)的值为________；2α－β的值为________．
　－　[∵cos
β＝－，β∈(0，π)，
∴sin
β＝＝＝，
∴tan
β＝＝＝－．
∴tan(α＋β)＝＝＝．
∴tan
2α＝＝＝－．
∴tan(2α－β)＝
＝＝－1．
∵tan
α＝2，α∈(0，π)，∴α∈，∵tan
β＝－＜0，且β∈(0，π)，
∴β∈，∴2α－β∈，
∵tan(2α－β)＝－1，∴2α－β＝－．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．试写出T(α±β)的公式，你能结合T(α±β)的公式完成下列空格．
(1)T(α＋β)的变形：
tan
α＋tan
β＝____________________．
tan
α＋tan
β＋tan
αtan
βtan(α＋β)＝________．
tan
αtan
β＝______________．
(2)T(α－β)的变形：
tan
α－tan
β＝______________．
tan
α－tan
β－tan
αtan
βtan(α－β)＝________．
tan
αtan
β＝______________．
[提示]　(1)tan
α＋tan
β＝tan(α＋β)(1－tan
αtan
β)，
tan
α＋tan
β＋tan
αtan
βtan(α＋β)＝tan(α＋β)，
tan
αtan
β＝1－；
(2)tan
α－tan
β＝tan(α－β)(1＋tan
αtan
β)，
tan
α－tan
β－tan
αtan
βtan(α－β)＝tan(α－β)，
tan
αtan
β＝－1．
2．当α＋β＝kπ＋，k∈Z时，(1＋tan
α)(1＋tan
β)是定值吗？
[提示]　当α＋β＝＋kπ，k∈Z时，tan(α＋β)＝＝1，∴tan
α＋tan
β＝1－tan
αtan
β，
∴tan
α＋tan
β＋tan
αtan
β＝1，
即(1＋tan
α)(1＋tan
β)＝2．
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7
-10.1.2　两角和与差的正弦
学
习
任
务
核
心
素
养
1．能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．(难点)
2．能利用公式解决简单的化简、求值问题．(重点)
1．通过对两角和与差的正弦公式的推导，培养逻辑推理素养．2．通过应用两角和与差的正弦公式进行求值、化简和证明，培养数学运算和逻辑推理素养．
(1)sin
30°与cos
60°间存在怎样的数量关系？
(2)你能借助诱导公式及cos(α±β)的公式推导出sin(α±β)的公式吗？
知识点　两角和与差的正弦公式
(1)两角和的正弦公式：
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β．
(2)两角差的正弦公式：
S(α－β)：sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β．
(3)辅助角公式
asin
x＋bcos
x＝，
令cos
φ＝，sin
φ＝，则有asin
x＋bcos
x＝(cos
φsin
x＋sin
φcos
x)＝sin(x＋φ)，其中tan
φ＝，φ为辅助角．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)sin
150°＝sin
120°＋sin
30°．
(　　)
(2)sin
60°cos
30°＋cos
60°sin
30°＝．
(　　)
(3)α，β∈R时，sin(α－β)＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β．
(　　)
(4)sin
54°
cos
24°－sin
36°sin
24°＝sin
30°．
(　　)
[提示]　(1)公式错误．
(2)原式＝sin(60°＋30°)＝sin
90°＝1．
(3)sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β．
(4)原式＝sin
54°cos
24°－cos
54°sin
24°
＝sin(54°－24°)＝sin
30°．
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．sin
＝________．
　[原式＝sin＝sin
cos
＋cos
sin
＝×＋×＝．]
3．sin
15°＋cos
15°＝________．
　[原式＝cos
30°sin
15°＋sin
30°cos
15°＝sin(30°＋15°)＝sin
45°＝．]
类型1　两角和与差的正弦公式的简单应用
【例1】　求下列各式的值：
(1)sin
163°sin
223°＋sin
253°sin
313°；
(2)．
?1?从角和“形”入手，转化成两角和?差?的正弦求值.
?2?注意角的差异与变换：55°＝60°－5°，85°＝90°－5°.
[解]　(1)原式＝sin
163°sin(90°＋133°)＋sin(90°＋163°)·sin(180°＋133°)
＝sin
163°cos
133°－cos
163°sin
133°
＝sin(163°－133°)＝sin
30°＝．
(2)原式＝
＝＝＝1．
1．对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：
(1)化为特殊角的三角函数值；
(2)化为正负相消的项，消去求值；
(3)化为分子、分母形式，进行约分再求值．
2．在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．
提醒：在逆用两角和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．
[跟进训练]
1．求下列各式的值：
(1)sin
165°；(2)sin
14°cos
16°＋sin
76°cos
74°；
(3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)．
[解]　(1)sin
165°＝sin(180°－15°)＝sin
15°
＝sin(45°－30°)＝sin
45°cos
30°－cos
45°sin
30°＝．
(2)sin
14°cos
16°＋sin
76°cos
74°＝sin
14°cos
16°＋cos
14°sin
16°＝sin(14°＋16°)＝sin
30°＝．
(3)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°)cos
60°＋cos(θ＋15°)sin
60°＋cos(θ＋15°)cos
30°－sin(θ＋15°)sin
30°－cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)－sin(θ＋15°)－cos(θ＋15°)＝0．
类型2　给值求值
【例2】　已知0＜β＜，＜α＜，cos＝，sin＝，求cos(α＋β)的值．
注意－＝＋?α＋β?，可通过求出＋β和－α的正、余弦值来求cos?α＋β?.
[解]　由0＜β＜，＜α＜得
－＜－α＜0，＜＋β＜π．
∴cos＝－，sin＝－，
cos(α＋β)＝sin
＝sin
＝sincos－cossin
＝×－×＝－．
解此类问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示出来
?1?当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
?2?当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
?3?角的拆分方法不唯一，可根据题目合理选择拆分方式.
[跟进训练]
2．已知α，β是锐角，且sin
α＝，cos(α＋β)＝－，求sin
β的值．
[解]　∵α是锐角，且sin
α＝，
∴cos
α＝＝＝．
又∵cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，
∴sin(α＋β)＝＝．
∴sin
β＝sin(α＋β－α)＝sin(α＋β)cos
α－cos(α＋β)sin
α
＝×－×＝．
类型3　形如asin
x＋bcos
x的函数的化简及应用
【例3】　(对接教材P54探究)已知函数f(x)＝2sin－2cos
x，x∈，求函数f(x)的值域．
等式asin
x＋bcos
x＝Asin?x＋φ?中A和φ一定存在吗？它们与a，b有什么关系？
[解]　f(x)＝2sin－2cos
x
＝sin
x－cos
x＝2sin，
∵≤x≤π，
∴≤x－≤．
∴≤sin≤1．
∴函数f(x)的值域为[1，2]．
1．(变结论)本例条件不变，将函数f(x)用余弦函数表示．
[解]　f(x)＝sin
x－cos
x＝2
＝2
＝－2
＝－2cos．
2．(变结论)本例条件不变，求函数f(x)的单调区间．
[解]　f(x)＝2sin，
由2kπ－≤x－≤2kπ＋，得2kπ－≤x≤2kπ＋，与≤x≤π取交集得≤x≤，
∴函数f(x)的单调递增区间为；
由2kπ＋≤x－≤2kπ＋，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋，与≤x≤π取交集得≤x≤π，
∴函数f(x)的单调递减区间为．
此类问题的求解思路如下：
首先将函数f?x?化简为f?x?＝asin
x＋bcos
x的形式；,然后借助辅助角公式化f?x?为f?x?＝sin?x＋φ?的形式；
最后，类比y＝sin
x的性质，树立“x＋φ”的团体意识研究y＝f?x?的性质.
[跟进训练]
3．求函数y＝cos
x＋cos的最大值和最小值．
[解]　y＝cos
x＋cos
＝cos
x＋cos
xcos
－sin
xsin
＝cos
x＋cos
x－sin
x
＝cos
x－sin
x
＝＝cos，
当x＋＝2kπ，k∈Z时，ymax＝×1＝；
当x＋＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝×(－1)＝－．
1．sin
20°cos
10°－cos
160°sin
10°＝(　　)
A．
B．－
C．
D．－
A　[原式＝sin
20°cos
10°＋cos
20°sin
10°
＝sin(20°＋10°)＝sin
30°＝．]
2．sin
－cos
＝________．
－　[原式＝2
＝2
＝2sin
＝－2sin
＝－．]
3．＝________．
　[原式＝
＝＝sin
30°＝．]
4．已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则sin＝________．
－　[由题意知，α＋β∈，sin(α＋β)＝－<0，所以cos(α＋β)＝，
因为β－∈，
所以cos＝－，
sin＝sin
＝sin(α＋β)cos－cos(α＋β)sin
＝－．]
5．若函数f(x)＝sin＋cos，则f(x)的最小正周期为________；f(x)的值域为________．
π　[－1，1]　[因为f(x)＝sin＋cos＝sin
2xcos＋cos
2xsin＋cos
2xcos
－sin
2xsin
＝sin
2x＋cos
2x＋cos
2x－sin
2x
＝cos
2x．
所以T＝＝π．
又因为cos
2x∈[－1，1]，
所以f(x)∈[－1，1]．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．本堂课主要学习了哪几个公式？
[提示]　(1)sin(α±β)＝sin
αcos
β±cos
αsin
β；
(2)asin
α＋bcos
α＝sin(α＋φ)，其中tan
φ＝．
2．应用上述公式可以解决三角函数式的哪些问题？
[提示]　可以利用上述公式解决三角函数式的化简求值以及研究函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质等问题．
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8
-10.1　两角和与差的三角函数
10.1.1　两角和与差的余弦
学
习
任
务
核
心
素
养
1．能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．(难点)
2．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．(重点)3．能用两角和与差的余弦公式化简、求值．(重点)
1．通过对两角和与差的余弦公式的推导，培养逻辑推理素养．2．通过应用两角和与差的余弦公式进行求值、化简和证明，培养数学运算和逻辑推理素养．
我们已经知道了30°，45°的正弦、余弦值，那么，能否根据这些值求出cos
15°的值呢？一般地，怎样根据α与β的三角函数值求出cos(α－β)的值？
知识点　两角和与差的余弦公式
(1)两角差的余弦公式
C(α－β)：cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β．
(2)两角和的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β．
cos(90°－30°)＝cos
90°－cos
30°成立吗？
[提示]　不成立．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)α，β∈R时，cos(α－β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β．
(　　)
(2)cos
105°＝cos
45°
cos
60°－sin
45°sin
60°．
(　　)
(3)cos
30°cos
120°＋sin
30°sin
120°＝0．
(　　)
(4)coscos＋sinsin＝cos
2α．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2．cos
75°＝________；cos
15°＝________．
　　[cos
75°＝cos(30°＋45°)
＝cos
30°cos
45°－sin
30°sin
45°＝；
cos
15°＝cos(45°－30°)＝cos
45°cos
30°＋sin
30°sin
45°＝．]
类型1　两角和与差的余弦公式的简单应用
【例1】　求下列各式的值：
(1)cos
40°cos
70°＋cos
20°cos
50°；
(2)；
(3)cos
15°＋sin
15°．
[解]　(1)原式＝cos
40°cos
70°＋sin
70°sin
40°＝cos(70°－40°)＝cos
30°＝．
(2)原式＝＝＝cos
15°＝cos(60°－45°)＝cos
60°cos
45°＋sin
60°sin
45°＝．
(3)∵cos
60°＝，sin
60°＝，
∴cos
15°＋sin
15°＝cos
60°cos
15°＋sin
60°sin
15°＝cos(60°－15°)＝cos
45°＝．
1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．
2．在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值．
提醒：要重视诱导公式在角和函数名称的差异中的转化作用．
[跟进训练]
1．求下列各式的值．
(1)cos
75°cos
15°－sin
75°sin
195°；
(2)cos
24°cos
36°－sin
24°cos
54°；
(3)．
[解]　(1)cos
75°cos
15°－sin
75°sin
195°
＝cos
75°cos
15°＋sin
75°sin
15°
＝cos(75°－15°)＝cos
60°＝．
(2)原式＝cos
24°cos
36°－sin
24°sin
36°
＝cos(24°＋36°)＝cos
60°＝．
(3)原式＝
＝
＝
＝
＝．
类型2　已知三角函数值求角
【例2】　已知锐角α，β满足sin
α＝，cos
β＝，求α＋β的值．
以同角三角函数的基本关系为切入点，求得cos
α，sin
β的值，在此基础上，借助cos?α＋β?的公式及α＋β的范围，求得α＋β的值.
[解]　因为α，β为锐角，且sin
α＝，cos
β＝，
所以cos
α＝＝＝，sin
β＝＝＝，
故cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β＝×－×＝．
由0<α<，0<β<，得0<α＋β<π．
因为cos(α＋β)>0，所以α＋β为锐角，
所以α＋β＝．
已知三角函数值求角，一般分三步：
第一步：求角的某一三角函数值?该函数在所求角的取值区间上最好是单调函数?；
第二步：确定角的范围，由题意进一步缩小角的范围；
第三步：根据角的范围写出所求的角.
[跟进训练]
2．已知cos
α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．
[解]　由cos
α＝，0<α<，
得sin
α＝＝＝．
由0<β<α<，得0<α－β<．
又∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝＝＝．
由β＝α－(α－β)，得cos
β＝cos[α－(α－β)]＝cos
αcos(α－β)＋sin
αsin(α－β)＝×＋×＝，
∴β＝．
类型3　给值求值问题
【例3】　(对接教材P51例3)已知sin
α＝－，sin
β＝，且π<α<，<β<π，求cos(α－β)．
[解]　∵sin
α＝－，π<α<，
∴cos
α＝－＝－．
又∵sin
β＝，<β<π，
∴cos
β＝－＝－，
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝×＋×＝．
1．(变条件)若将本题改为已知sin
α＝－，sin
β＝，且π<α<2π，0<β<，求cos(α－β)．
[解]　∵sin
β＝，0<β<，
∴cos
β＝＝．
又sin
α＝－，且π<α<2π，
①当π<α<时，cos
α＝－＝－，
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝×＋×＝－；
②当<α<2π时，cos
α＝＝，
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
＝×＋×＝．
综上所述，cos(α－β)＝－或．
2．(变条件)若将本例改为已知sin
α＝－，π<α<，cos(α－β)＝，<β<π．求sin
β．
[解]　∵sin
α＝－，且π<α<，
∴cos
α＝－＝－．
又∵<β<π，
∴－π<－β<－，
∴0<α－β<π．
又cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝
＝＝，
∴cos
β＝cos[α－(α－β)]＝cos
α·cos(α－β)＋sin
α·sin(α－β)
＝×＋×＝－，
∴sin
β＝＝．
1．利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．
2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．
提醒：注意角的范围对三角函数值符号的限制．
[跟进训练]
3．已知α，β均为锐角，且cos
α＝，cos
β＝，求α－β的值．
[解]　∵α，β均为锐角，
∴sin
α＝，sin
β＝．
∴cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
＝×＋×＝．
又sin
αβ，∴0<α<β<，
∴－<α－β<0．故α－β＝－．
1．cos
20°等于(　　)
A．cos
30°cos
10°－sin
30°sin
10°
B．cos
30°cos
10°＋sin
30°sin
10°
C．sin
30°cos
10°－sin
10°cos
30°
D．sin
30°cos
10°＋sin
10°cos
30°
[答案]　B
2．cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)的值为(　　)
A．－
B．
C．－
D．
B　[原式＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]
＝cos(－60°)＝cos
60°＝．]
3．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝－，则cos
αcos
β的值为(　　)
A．0
B．
C．
D．
A　[cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β＝，
cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝－，
∴2cos
αcos
β＝0．
∴cos
αcos
β＝0．]
4．cos
105°＋sin
195°＝________．
　[cos
105°＋sin
195°＝cos
105°＋sin(105°＋90°)
＝cos
105°＋cos
105°
＝2cos(135°－30°)
＝2(cos
135°cos
30°＋sin
135°sin
30°)
＝2＝．]
5．若sin
α＝，α∈，则cos
的值为________．
－　[∵α∈，sin
α＝，
∴cos
α＝－．
∴cos＝coscos
α＋sinsin
α
＝×＋×
＝－．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．两角和与差的余弦公式各有什么结构特征？
[提示]　(1)
简记为：“余余正正，符号相反”．
(2)
简记为：“余余正正，符号相反”．
2．已知cos(α＋β)和sin
β的值，如何求cos
α的值？
[提示]　由α＝(α＋β)－β可知，cos
α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos
β＋sin(α＋β)sin
β，故可先求出sin(α＋β)及cos
β的值，代入上式求得cos
α的值．
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