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[提升层·能力强化]
求变力做功的几种方法
1．用转换对象法求变力做功
W＝Flcos θ是恒力做功的计算公式，有些问题需要求解变力做的功，我们可以利用转换对象法巧妙地将变力做功转化为恒力做功，从而使问题迎刃而解。
2．用微元法求变力做功
当力的大小不变、方向变化且位移的方向也同步变化时，可用微元法求解，此时力做的功等于力和路程的乘积。由于变力F保持与速度在同一直线上，也可把往复运动或曲线运动的路线拉直考虑。
3．用动能定理法求变力做功
有些题目不能直接应用功的定义式来计算，我们可以借助动能定理来分析变力做的功。
4．用图像法求变力做功
在F?x图像中，图线和横轴所围成的面积表示力做的功。有些看似复杂的变力做功问题，用常规方法无从下手时，可以尝试通过图像变换解题。
5．用公式W＝Pt求变力做功
如果变力的功率恒定、时间已知，可以用W＝Pt求解出变力做的功。
6．求平均力将变力转化为恒力
如果力是随位移均匀变化的，可用求平均力的方法将变力转化为恒力。
7．根据功能关系求功
根据以上功能关系，若能求出某种能量的变化，就可以求出相应的功。
【例1】　如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑环，用轻绳系着滑环绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑环从A点起由静止开始上升。若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1和W2，图中AB＝BC，则(　　)
A．W1＞W2
B．W1＜W2
C．W1＝W2
D．无法确定W1和W2的大小关系
A　[由于用轻绳系着滑环绕过光滑的定滑轮，所以轻绳对滑环的拉力做的功与拉力F做的功相等。从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中，根据几何关系可知轻绳对滑环的拉力与光滑竖直杆的夹角α越来越大。已知AB＝BC，即滑环从A点上升至B点的位移等于从B点上升至C点的位移。轻绳拉着滑环的拉力是恒力，夹角α越来越大，则cos α越来越小，因为F大小恒定，故F在竖直方向上的分量Fcos α随α的增大而减小，显然滑环从A点上升至B点过程中轻绳对滑环做的功大于从B点上升至C点的过程中轻绳对滑环做的功，所以W1＞W2，故A正确。]
[一语通关]　求变力做功时，若力的大小不变、只有方向变化，可以通过等效转换的方法将变力做功问题转化成恒力做功问题，然后通过W＝Flcos α求解。
动力学方法和能量观点的综合运用
涉及动力学方法和能量观点的综合题，应根据题目要求灵活选用公式和规律。
(1)涉及力和运动的瞬时性分析或恒力作用下物体做匀变速直线运动的问题时，可用牛顿运动定律。
(2)用动能定理求解物体受恒力作用下的问题比用牛顿运动定律求解过程要简单，变力作用下的问题只能用能量观点。
(3)涉及动能与势能的相互转化，单个物体或系统机械能守恒问题时，通常选用机械能守恒定律。
【例2】　如图所示，遥控电动赛车(可视为质点)从A点由静止出发，经过时间t后关闭电动机，赛车继续前进至B点后进入固定在竖直平面内的圆形光滑轨道，通过轨道最高点P后又进入水平轨道CD上。已知赛车在水平轨道AB部分和CD部分运动时受到的阻力恒为车重的0.5倍，即k＝＝0.5，赛车的质量m＝0.4 kg，通电后赛车的电动机以额定功率P＝2 W工作，轨道AB的长度L＝2 m，圆形轨道的半径R＝0.5 m，空气阻力可以忽略，取重力加速度g＝10 m/s2。某次比赛，要求赛车在运动过程中既不能脱离轨道，又要在CD轨道上运动的路程最短。在此条件下。求：
(1)赛车在CD轨道上运动的最短路程；
(2)赛车电动机工作的时间。
[解析]　(1)要求赛车在运动过程中既不能脱离轨道，又要在CD轨道上运动的路程最短，则赛车经过圆轨道P点时速度最小，此时赛车对轨道的压力为零，重力提供向心力mg＝m
赛车在C点的速度为vC，由机械能守恒定律可得：
mg·2R＋mv＝mv
由上述两式联立，代入数据可得
vC＝5 m/s
设赛车在CD轨道上运动的最短路程为x，
由动能定理可得－kmgx＝0－mv
代入数据可得x＝2.5 m
(2)由于竖直圆轨道光滑，由机械能守恒定律可知：
vB＝vC＝5 m/s，从A点到B点的运动过程中，由能量守恒定律可得
Pt＝kmgL＋mv
代入数据可得t＝4.5 s。
[答案]　(1)2.5 m　(2)4.5 s
[一语通关]　两种分析思路
1动力学分析法：在某一个点对物体受力分析，用牛顿第二定律列方程。
2功能关系分析法：对物体运动的某一过程应用动能定理或机械能守恒定律列方程，应用动能定理解题只需考虑外力做功和初、末两个状态的动能，并且可以把不同的运动过程合并为一个全过程来处理。机械能守恒定律中守恒条件是只有重力做功或系统内弹簧弹力做功。
[培养层·素养升华]
2020年3月9日19时55分，我国使用“长征三号乙”运载火箭在西昌卫星发射中心成功发射北斗系统第54颗导航卫星，卫星顺利进入预定轨道。众所周知，火箭飞行的距离越远需要的燃料就越多，因为飞行得越远，做功就越多，消耗的能量就越多。
功和能是紧密联系在一起的，功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能量转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。
[设问探究]
1．重力做功、弹簧弹力做功、合外力做功分别对应什么能量变化？
2．滑动摩擦力做功有什么特点？
提示：1．重力做功对应重力势能的变化；弹簧弹力做功对应弹性势能的变化；合外力做功对应动能的变化。
2．滑动摩擦力做功有三个特点：
(1)滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以对物体做负功，还可以不做功。
(2)一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两种情况：一是相互摩擦的物体之间机械能的转移；二是机械能转化为内能，即摩擦生热。
(3)相互摩擦的系统内，一对滑动摩擦力所做的总功总是负值，其绝对值恰等于系统损失的机械能。其意义是系统损失的这些机械能转化成了系统的内能。
如下图情景，A用绳子拴在墙上，用力F把B拉出来。该过程A受滑动摩擦力，但因为没有位移所以滑动摩擦力对A不做功。
如下图所示，质量为M的木板放在光滑的水平面上，一个质量为m的滑块以某一初速度沿木板表面从A点滑至B点，在木板上前进了L，而木板前进了l。
木板与滑块之间的滑动摩擦力f对滑块做负功W块＝f(l＋L)，使滑块的机械能减少f(l＋L)，摩擦力f对木板做正功W板＝fl，使木板的机械能增加fl，滑块与木板间因摩擦产生的内能Q＝fL，这部分内能是由于滑块减小的一部分机械能转化而来的。
[深度思考]
如图所示，在光滑水平地面上放置质量M＝2 kg的长木板，木板上表面与固定的光滑弧面相切。一质量m＝1 kg的小滑块自弧面上距木板高h处由静止自由滑下，在木板上滑行t＝1 s后，滑块和木板以共同速度v＝1 m/s匀速运动，g取10 m/s2。求：
(1)滑块与木板间的摩擦力大小Ff；
(2)滑块下滑的高度h；
(3)滑块与木板相对滑动过程中产生的热量Q。
[解析]　(1)滑块滑上木板后，对木板受力分析得，Ff＝Ma1
由运动学公式有，v＝a1t
解得Ff＝2 N。
(2)对滑块受力分析得，－Ff＝ma2
设滑块滑上木板时的速度是v0，
则v－v0＝a2t
解得v0＝3 m/s
由机械能守恒定律有mgh＝mv
则h＝＝m＝0.45 m。
(3)由能量守恒定律得，Q＝mv－(M＋m)v2＝×1×32J－×(1＋2)×12J＝3 J。
[答案]　(1)2 N　(2)0.45 m　(3)3 J
[素养点评]　本题借助“板—块”模型考查了牛顿运动定律、机械能守恒和能量守恒定律。特别注意能量守恒是无条件的，利用它解题一定要明确在物体运动过程的始、末状态间有几种形式的能在相互转化，哪些形式的能在减少，哪些形式的能在增加，表达式为：ΔE减＝ΔE增。

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