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3．法拉第电磁感应定律
[学习目标]　1.理解感应电动势的概念．　2.理解法拉第电磁感应定律，并能够运用法拉第电磁感应定律定量计算感应电动势的大小．(重点)　3.能够运用E＝BLv或E＝BLvsin θ计算导体切割磁感线时的感应电动势．(重点)　4.掌握磁通量、磁通量的变化量、磁通量的变化率的区别．(难点)
一、感应电动势、法拉第电磁感应定律
1．感应电动势
(1)定义：由电磁感应产生的电动势．产生感应电动势的那部分导体相当于电源．
(2)在电磁感应现象中，如果闭合电路中有感应电流，电路就一定有感应电动势；如果电路断开，这时虽然没有感应电流，但感应电动势依然存在．
2．法拉第电磁感应定律
(1)内容：电路中感应电动势的大小，跟穿过这个电路的磁通量的变化率成正比．
(2)公式：E＝.
对于磁通量变化率相同的n匝线圈，则E＝n.
二、导线切割磁感线产生的感应电动势
1．当导体棒的速度v与磁感应强度B垂直时，E＝BLv.
2．当导体棒的速度v与磁感应强度B成夹角α时，E＝BLvsin_α.
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)闭合电路中的磁通量变化量越大，感应电动势越大． ()
(2)穿过闭合电路的磁通量变化越快，闭合电路中产生的感应电动势就越大． ()
(3)穿过闭合回路的磁通量最大时，其感应电动势一定最大．
()
(4)E＝BLv只能求瞬时感应电动势，不能求平均感应电动势．
()
(5)在匀强磁场中，只要导体棒的运动方向与磁场方向垂直，其电动势即可用E＝BLv求解． ()
2.单匝矩形线圈在匀强磁场中匀速转动，转轴垂直于磁场，若穿过线圈所围面积的磁通量随时间变化的规律如图所示，则(　　)
A．线圈中0时刻的感应电动势为零
B．线圈中0.05 s时的感应电动势为零
C．线圈中0至0.05 s时间内平均感应电动势为0.5 V
D．线圈中0.05 s至0.1 s时间内感应电动势逐渐减小
3．下列选项中所示的导体棒的长度为L，处于磁感应强度为B的匀强磁场中，棒运动的速度均为v，则产生的电动势为BLv的是(　　)
法拉第电磁感应定律的理解及应用
1.对Φ、ΔΦ和的理解
(1)三者的比较
磁通量Φ 磁通量的变化量ΔΦ 磁通量的变化率
物理意义 某时刻穿过磁场中某个面的磁感线条数 在某一过程中穿过某个面的磁通量的变化量 穿过某个面的磁通量变化的快慢
大小计算 Φ＝BS⊥ ΔΦ＝ ＝
相互关系 (1)Φ、ΔΦ、均与线圈匝数无关，但感应电动势与匝数成正比
(2)Φ很大，不一定大；ΔΦ大，也不一定大
(2)在Φ?t图像中，磁通量的变化率是图线上某点切线的斜率．例如穿过某闭合线圈的磁通量Φ随时间t按如图所示的正弦规律变化，则在t1时刻Φ最大但＝0，在t2时刻Φ＝0但最大．
2．对法拉第电磁感应定律的理解
(1)由E＝n可知，感应电动势E大小正比于磁通量的变化率，而与磁通量Φ、磁通量变化量ΔΦ及电路的电阻大小无关．
(2)由E＝n可求得平均感应电动势，通过闭合电路欧姆定律可求得电路中的平均电流＝＝，而电路中通过某一截面的电量Q＝Δt＝Δt＝，由此可得电量与时间无关，而与磁通量变化量ΔΦ和电路电阻R有关．
【例1】　(2019·全国卷Ⅰ)空间存在一方向与纸面垂直、大小随时间变化的匀强磁场，其边界如图(a)中虚线MN所示．一硬质细导线的电阻率为ρ、横截面积为S，将该导线做成半径为r的圆环固定在纸面内，圆心O在MN上．t＝0时磁感应强度的方向如图(a)所示；磁感应强度B随时间t的变化关系如图(b)所示．则在t＝0到t＝t1的时间间隔内(　　)
A．圆环所受安培力的方向始终不变
B．圆环中的感应电流始终沿顺时针方向
C．圆环中的感应电流大小为
D．圆环中的感应电动势大小为
(1)计算电动势大小时，ΔΦ取绝对值不涉及正、负．
(2)＝·S，为Φ?t图像的斜率，为B?t图像的斜率．
[跟进训练]
训练角度1：法拉第电磁感应定律的理解
1.如图所示，一正方形线圈的匝数为n，边长为a，线圈平面与匀强磁场垂直，且一半处在磁场中．在Δt时间内，磁感应强度的方向不变，大小由B均匀地增大到2B.在此过程中，线圈中产生的感应电动势为(　　)
A.　　　　　　 B．
C. D．
训练角度2：对、ΔΦ、Φ的理解
2．如图甲所示的螺线管，匝数n＝1 500匝，横截面积S＝20 cm2，方向向右穿过螺线管的匀强磁场的磁感应强度按图乙所示规律变化．
甲　　　　　　乙
(1)2 s内穿过线圈的磁通量的变化量是多少？
(2)磁通量的变化率多大？
(3)线圈中感应电动势的大小为多少？

导体切割磁感线产生的感应电动势
1.对公式E＝BLvsin α的理解
(1)该公式是法拉第电磁感应定律的一种特殊情况，通常v为瞬时速度，E为瞬时电动势，若v变化，E也相应变化；若v为平均速度，则E为平均感应电动势．
(2)当B、L、v三个量方向互相垂直时，α＝90°，感应电动势最大；当有任意两个量的方向互相平行时，α＝0°，感应电动势为零．
(3)式中的L应理解为导线切割磁感线时的有效长度，如果导线不和磁场方向垂直，L应是导线在磁场垂直方向投影的长度，如果切割磁感线的导线是弯曲的，如图所示，则应取与B和v垂直的等效直线长度，即线段ab的长度．
2．公式E＝n与E＝BLvsin α的区别与联系
E＝n E＝BLvsin α
区别 研究对象 某个回路 回路中做切割磁感线运动的那部分导体
研究内容 (1)求的是Δt时间内的平均感应电动势，E与某段时间或某个过程对应
(2)当Δt→0时，E为瞬时感应电动势 (1)若v为瞬时速度，求的是瞬时感应电动势
(2)若v为平均速度，求的是平均感应电动势
(3)当B、L、v三者均不变时，平均感应电动势与瞬时感应电动势相等
适用范围 对任何电路普遍适用 只适用于导体切割磁感线运动的情况
联系 (1)E＝BLvsin α是由E＝n在一定条件下推导出来的
(2)整个回路的感应电动势为零时，回路中某段导体的感应电动势不一定为零
【例2】　如图所示，有一半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度为B，一条足够长的直导线以速度v进入磁场，则从直导线进入磁场至离开磁场区域的过程中，求：
(1)感应电动势的最大值为多少？
(2)在这一过程中感应电动势随时间变化的规律如何？
(3)从开始运动至经过圆心的过程中直导线中的平均感应电动势为多少？
(1)求解导线切割产生的感应电动势时，首先要弄清B与L是否垂直，即是选用E＝BLv还是选用E＝BLvsin α.
(2)要注意对切割磁感线的有效长度L的理解．
[跟进训练]
训练角度1：对E＝BLv的理解
3.如图所示，空间有一匀强磁场，一直金属棒与磁感应强度方向垂直，当它以速度v沿与棒和磁感应强度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小为E，将此棒弯成两段长度相等且相互垂直的折线，置于与磁感应强度相互垂直的平面内，当它沿两段折线夹角平分线的方向以速度v运动时，棒两端的感应电动势大小为E′.则等于(　　)
A.　　 B．　　　 C．1　　 D．
训练角度2：E＝BLv的应用
4.如图所示，PQRS为一正方形导线框，它以恒定速度向右进入以MN为边界的匀强磁场中，磁场方向垂直线框平面，MN与线框的边成45°角，E、F分别为PS和PQ的中点．关于线框中的感应电流 (　　)
A．当E点经过边界MN时，感应电流最大
B．当P点经过边界MN时，感应电流最大
C．当F点经过边界MN时，感应电流最大
D．当Q点经过边界MN时，感应电流最大
1．1个概念——感应电动势
2．2个公式——E＝n和E＝BLvsin θ
3．2个应用——会用E＝n和E＝BLvsin θ解决实际问题
1．穿过一个单匝闭合线圈的磁通量始终为每秒均匀增加2 Wb，则 (　　)
A．线圈中感应电动势每秒增加2 V
B．线圈中感应电动势每秒减少2 V
C．线圈中感应电动势始终为2 V
D．线圈中感应电动势始终为一个确定值，但由于线圈有电阻，电动势小于2 V
2.如图所示，一金属弯杆处在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，已知ab＝bc＝L，当它以速度v向右平动时，a、c两点间的电势差为(　　)
A．BLv　　　　　 B．BLvsin θ
C．BLvcos θ D．BLv(L＋sin θ)
3．如图所示，平行金属导轨的间距为d，一端跨接一阻值为R的电阻，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于导轨所在平面向里，一根长直金属棒与导轨成60°角放置，且接触良好，则当金属棒以垂直于棒的恒定速度v沿金属导轨滑行时，其他电阻不计，电阻R中的电流为(　　)
A. B．
C. D．
4．如图所示，半径为r的n匝线圈套在边长为L的正方形abcd之外，匀强磁场局限在正方形区域内且垂直穿过正方形平面，当磁感应强度以的变化率均匀变化时，线圈中产生的感应电动势的大小为(　　)
A．πr2 B．L2
C．nπr2 D．nL2
5.有一匝数为100匝的线圈，单匝线圈的面积为100 cm2.线圈的总电阻为0.1 Ω，线圈中磁场均匀变化，其变化规律如图所示，且磁场方向垂直于线圈平面向里，线圈中产生的感应电动势多大？
3．法拉第电磁感应定律
[学习目标]　1.理解感应电动势的概念．　2.理解法拉第电磁感应定律，并能够运用法拉第电磁感应定律定量计算感应电动势的大小．(重点)　3.能够运用E＝BLv或E＝BLvsin θ计算导体切割磁感线时的感应电动势．(重点)　4.掌握磁通量、磁通量的变化量、磁通量的变化率的区别．(难点)
一、感应电动势、法拉第电磁感应定律
1．感应电动势
(1)定义：由电磁感应产生的电动势．产生感应电动势的那部分导体相当于电源．
(2)在电磁感应现象中，如果闭合电路中有感应电流，电路就一定有感应电动势；如果电路断开，这时虽然没有感应电流，但感应电动势依然存在．
2．法拉第电磁感应定律
(1)内容：电路中感应电动势的大小，跟穿过这个电路的磁通量的变化率成正比．
(2)公式：E＝.
对于磁通量变化率相同的n匝线圈，则E＝n.
二、导线切割磁感线产生的感应电动势
1．当导体棒的速度v与磁感应强度B垂直时，E＝BLv.
2．当导体棒的速度v与磁感应强度B成夹角α时，E＝BLvsin_α.
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)闭合电路中的磁通量变化量越大，感应电动势越大． (×)
(2)穿过闭合电路的磁通量变化越快，闭合电路中产生的感应电动势就越大． (√)
(3)穿过闭合回路的磁通量最大时，其感应电动势一定最大．
(×)
(4)E＝BLv只能求瞬时感应电动势，不能求平均感应电动势．
(×)
(5)在匀强磁场中，只要导体棒的运动方向与磁场方向垂直，其电动势即可用E＝BLv求解． (×)
2.单匝矩形线圈在匀强磁场中匀速转动，转轴垂直于磁场，若穿过线圈所围面积的磁通量随时间变化的规律如图所示，则(　　)
A．线圈中0时刻的感应电动势为零
B．线圈中0.05 s时的感应电动势为零
C．线圈中0至0.05 s时间内平均感应电动势为0.5 V
D．线圈中0.05 s至0.1 s时间内感应电动势逐渐减小
B　[单匝线圈产生的感应电动势取决于磁通量的变化率，而磁通量的变化率在Φ?t图像中等于图线上各点切线的斜率，0时刻图线的切线斜率大小不为零，感应电动势不为零，0.05 s时图线的切线斜率大小为零，因此0.05 s时的感应电动势为零．从0到0.05 s磁通量改变了2×10－2 Wb，则磁通量的变化率为0.4 Wb/s，因此感应电动势为0.4 V．从0.05 s到0.1 s时刻，图线切线的斜率大小逐渐增大，所以感应电动势也逐渐增大．故正确选项为B.]
3．下列选项中所示的导体棒的长度为L，处于磁感应强度为B的匀强磁场中，棒运动的速度均为v，则产生的电动势为BLv的是(　　)
D　[当B、L、v三个量方向相互垂直时，E＝BLv；A选项中B与v不垂直；B选项中B与L平行，E＝0；C选项中B与L不垂直；只有D选项中三者互相垂直，D正确．]
法拉第电磁感应定律的理解及应用
1.对Φ、ΔΦ和的理解
(1)三者的比较
磁通量Φ 磁通量的变化量ΔΦ 磁通量的变化率
物理意义 某时刻穿过磁场中某个面的磁感线条数 在某一过程中穿过某个面的磁通量的变化量 穿过某个面的磁通量变化的快慢
大小计算 Φ＝BS⊥ ΔΦ＝ ＝
相互关系 (1)Φ、ΔΦ、均与线圈匝数无关，但感应电动势与匝数成正比
(2)Φ很大，不一定大；ΔΦ大，也不一定大
(2)在Φ?t图像中，磁通量的变化率是图线上某点切线的斜率．例如穿过某闭合线圈的磁通量Φ随时间t按如图所示的正弦规律变化，则在t1时刻Φ最大但＝0，在t2时刻Φ＝0但最大．
2．对法拉第电磁感应定律的理解
(1)由E＝n可知，感应电动势E大小正比于磁通量的变化率，而与磁通量Φ、磁通量变化量ΔΦ及电路的电阻大小无关．
(2)由E＝n可求得平均感应电动势，通过闭合电路欧姆定律可求得电路中的平均电流＝＝，而电路中通过某一截面的电量Q＝Δt＝Δt＝，由此可得电量与时间无关，而与磁通量变化量ΔΦ和电路电阻R有关．
【例1】　(2019·全国卷Ⅰ)空间存在一方向与纸面垂直、大小随时间变化的匀强磁场，其边界如图(a)中虚线MN所示．一硬质细导线的电阻率为ρ、横截面积为S，将该导线做成半径为r的圆环固定在纸面内，圆心O在MN上．t＝0时磁感应强度的方向如图(a)所示；磁感应强度B随时间t的变化关系如图(b)所示．则在t＝0到t＝t1的时间间隔内(　　)
A．圆环所受安培力的方向始终不变
B．圆环中的感应电流始终沿顺时针方向
C．圆环中的感应电流大小为
D．圆环中的感应电动势大小为
[答案]　BC
(1)计算电动势大小时，ΔΦ取绝对值不涉及正、负．
(2)＝·S，为Φ?t图像的斜率，为B?t图像的斜率．
[跟进训练]
训练角度1：法拉第电磁感应定律的理解
1.如图所示，一正方形线圈的匝数为n，边长为a，线圈平面与匀强磁场垂直，且一半处在磁场中．在Δt时间内，磁感应强度的方向不变，大小由B均匀地增大到2B.在此过程中，线圈中产生的感应电动势为(　　)
A.　　　　　　 B．
C. D．
B　[磁感应强度的变化率＝＝，法拉第电磁感应定律公式可写成E＝n＝nS，其中磁场中的有效面积S＝a2，代入得E＝n，选项B正确，A、C、D错误．]
训练角度2：对、ΔΦ、Φ的理解
2．如图甲所示的螺线管，匝数n＝1 500匝，横截面积S＝20 cm2，方向向右穿过螺线管的匀强磁场的磁感应强度按图乙所示规律变化．
甲　　　　　　乙
(1)2 s内穿过线圈的磁通量的变化量是多少？
(2)磁通量的变化率多大？
(3)线圈中感应电动势的大小为多少？
解析：(1)磁通量的变化量是由磁感应强度的变化引起的，则Φ1＝B1S
Φ2＝B2S，ΔΦ＝Φ2－Φ1
所以ΔΦ＝ΔBS＝(6－2)×20×10－4 Wb＝8×10－3 Wb.
(2)磁通量的变化率为
＝ Wb/s＝4×10－3 Wb/s.
(3)根据法拉第电磁感应定律得感应电动势的大小
E＝n＝1 500×4×10－3 V＝6 V.
答案：(1)8×10－3 Wb　(2)4×10－3 Wb/s　(3)6 V
导体切割磁感线产生的感应电动势
1.对公式E＝BLvsin α的理解
(1)该公式是法拉第电磁感应定律的一种特殊情况，通常v为瞬时速度，E为瞬时电动势，若v变化，E也相应变化；若v为平均速度，则E为平均感应电动势．
(2)当B、L、v三个量方向互相垂直时，α＝90°，感应电动势最大；当有任意两个量的方向互相平行时，α＝0°，感应电动势为零．
(3)式中的L应理解为导线切割磁感线时的有效长度，如果导线不和磁场方向垂直，L应是导线在磁场垂直方向投影的长度，如果切割磁感线的导线是弯曲的，如图所示，则应取与B和v垂直的等效直线长度，即线段ab的长度．
2．公式E＝n与E＝BLvsin α的区别与联系
E＝n E＝BLvsin α
区别 研究对象 某个回路 回路中做切割磁感线运动的那部分导体
研究内容 (1)求的是Δt时间内的平均感应电动势，E与某段时间或某个过程对应
(2)当Δt→0时，E为瞬时感应电动势 (1)若v为瞬时速度，求的是瞬时感应电动势
(2)若v为平均速度，求的是平均感应电动势
(3)当B、L、v三者均不变时，平均感应电动势与瞬时感应电动势相等
适用范围 对任何电路普遍适用 只适用于导体切割磁感线运动的情况
联系 (1)E＝BLvsin α是由E＝n在一定条件下推导出来的
(2)整个回路的感应电动势为零时，回路中某段导体的感应电动势不一定为零
【例2】　如图所示，有一半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度为B，一条足够长的直导线以速度v进入磁场，则从直导线进入磁场至离开磁场区域的过程中，求：
(1)感应电动势的最大值为多少？
(2)在这一过程中感应电动势随时间变化的规律如何？
(3)从开始运动至经过圆心的过程中直导线中的平均感应电动势为多少？
思路点拨：①磁感应强度B不变，导线速度v不变，引起感应电动势变化的是切割磁感线的有效长度L.②根据几何知识找出有效长度L随时间的变化规律即可．③如果有效长度L不变，利用平均速度可求平均感应电动势＝BL，本小题显然不适用，应该用法拉第电磁感应定律E＝来求．
解析：(1)由E＝BLv可知，当直导线切割磁感线的有效长度L最大时，E最大，L最大为2R，所以感应电动势的最大值E＝2BRv.
(2)对于E随t变化的规律应求的是瞬时感应电动势，由几何关系可求出直导线切割磁感线的有效长度L随时间t变化的情况为L＝2，所以E＝2Bv.
(3)从开始运动至经过圆心的过程中直导线的平均感应电动势＝＝＝πBRv.
答案：(1)2BRv　(2)2Bv　(3)πBRv
(1)求解导线切割产生的感应电动势时，首先要弄清B与L是否垂直，即是选用E＝BLv还是选用E＝BLvsin α.
(2)要注意对切割磁感线的有效长度L的理解．
[跟进训练]
训练角度1：对E＝BLv的理解
3.如图所示，空间有一匀强磁场，一直金属棒与磁感应强度方向垂直，当它以速度v沿与棒和磁感应强度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小为E，将此棒弯成两段长度相等且相互垂直的折线，置于与磁感应强度相互垂直的平面内，当它沿两段折线夹角平分线的方向以速度v运动时，棒两端的感应电动势大小为E′.则等于(　　)
A.　　 B．　　　 C．1　　 D．
B　[设折弯前金属棒切割磁感线的长度为L，E＝BLv；折弯后，金属棒切割磁感线的有效长度为l＝＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2))) )＝L，故产生的感应电动势为E′＝Blv＝B·Lv＝E，所以＝，B正确．]
训练角度2：E＝BLv的应用
4.如图所示，PQRS为一正方形导线框，它以恒定速度向右进入以MN为边界的匀强磁场中，磁场方向垂直线框平面，MN与线框的边成45°角，E、F分别为PS和PQ的中点．关于线框中的感应电流 (　　)
A．当E点经过边界MN时，感应电流最大
B．当P点经过边界MN时，感应电流最大
C．当F点经过边界MN时，感应电流最大
D．当Q点经过边界MN时，感应电流最大
B　[当P点经过边界MN时，有效切割长度最长，感应电动势最大，所以感应电流最大．]
1．1个概念——感应电动势
2．2个公式——E＝n和E＝BLvsin θ
3．2个应用——会用E＝n和E＝BLvsin θ解决实际问题
1．穿过一个单匝闭合线圈的磁通量始终为每秒均匀增加2 Wb，则 (　　)
A．线圈中感应电动势每秒增加2 V
B．线圈中感应电动势每秒减少2 V
C．线圈中感应电动势始终为2 V
D．线圈中感应电动势始终为一个确定值，但由于线圈有电阻，电动势小于2 V
C　[由E＝n知＝2 V恒定，n＝1，所以E＝2 V．]
2.如图所示，一金属弯杆处在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，已知ab＝bc＝L，当它以速度v向右平动时，a、c两点间的电势差为(　　)
A．BLv　　　　　 B．BLvsin θ
C．BLvcos θ D．BLv(L＋sin θ)
B　[公式E＝BLv中的L应指导体切割磁感线的有效长度，也就是与磁感应强度B和速度v垂直的长度，因此该金属弯杆的有效切割长度为Lsin θ，故感应电动势大小为BLvsin θ，故选项B正确．]
3．如图所示，平行金属导轨的间距为d，一端跨接一阻值为R的电阻，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于导轨所在平面向里，一根长直金属棒与导轨成60°角放置，且接触良好，则当金属棒以垂直于棒的恒定速度v沿金属导轨滑行时，其他电阻不计，电阻R中的电流为(　　)
A. B．
C. D．
A　[金属棒切割磁感线的有效长度是L＝，感应电动势E＝BLv，R中的电流为I＝.联立解得I＝.]
4．如图所示，半径为r的n匝线圈套在边长为L的正方形abcd之外，匀强磁场局限在正方形区域内且垂直穿过正方形平面，当磁感应强度以的变化率均匀变化时，线圈中产生的感应电动势的大小为(　　)
A．πr2 B．L2
C．nπr2 D．nL2
D　[根据法拉第电磁感应定律，线圈中产生的感应电动势的大小为E＝n＝nL2.]
5.有一匝数为100匝的线圈，单匝线圈的面积为100 cm2.线圈的总电阻为0.1 Ω，线圈中磁场均匀变化，其变化规律如图所示，且磁场方向垂直于线圈平面向里，线圈中产生的感应电动势多大？
解析：取线圈为研究对象，在1～2 s内，其磁通量的变化量为ΔΦ＝Φ2－Φ1＝(B2－B1)S，磁通量的变化率为＝，由公式E＝n得E＝100× V＝0.1 V.
答案：0.1 V

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