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第3讲_集合及其性质
知识图谱
集合及其性质
知识精讲
集合的概念与性质
1.
概念
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.
集合常用大写字母．．．表示；元素常用小写字母．．．表示．
2.
元素与集合的关系
关系
记作
读作
是集合的元素
属于
不是集合的元素
不属于
3.
空集
一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作.
例如把方程的解构成一个集合，则这个集合是空集.
4.
集合的性质
（1）确定性：集合的元素，必须是确定的．对于任意一个元素，都能明确判断出它是或不是某个集合的元素.
（2）互异性：集合中任意两个元素都是不相同的，也就是同一个元素在集合中不能重复出现．
（3）无序性：集合中的元素没有先后顺序．如集合与表示同一集合．
5.
集合的相等
一般地，如果集合的每一个元素都是集合的元素，同时集合的每一个元素都是集合的元素，那么我们就说集合等于集合，记做
6.
常用数集
为了书写和应用的方便，规定常见的数集用特定的字母表示，下面是几种常见的数集
（1）非负整数集（自然数集）记作.
（2）正整数集记作（或）.
（3）整数集记作.
（4）有理数集记作.
（5）实数集记作.
7.
集合的分类
8.
集合的表示方法
1.
列举法：将集合中元素一一列举出来，例如；
2.
描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合，例如；
3.
维恩（Venn）图法：画一条封闭的曲线，用它的内部表示一个集合，如
表示集合.
4．区间的概念及表示
设R，且.则可以作为端点表示一个区间，区间的长度为.
如图所示，其中符号读作“正无穷大”，符号读作“负无穷大”,用作为区间的一端或两端的区间成为无穷区间.
含义
名称
符号
图形表示
闭区间
开区间
左闭右开区间
左开右闭区间
左闭右开区间
开区间
左开右闭区间
开区间
开区间
数轴上所有点
二、集合间的关系
1.
子集
（1）对于两个集合与，如果集合中的任意一个元素都是集合的元素，那么集合叫做集合的子集，记作
或
，
读作“包含于”或“包含”.
即若对任意的，都有，则称是的子集.
（2）如果集合中存在着不属于集合的元素，那么集合不包含于，或不包含.
记作
P
?
Q或Q?
P
.
规定：空集是任意集合的子集.
2.
真子集
若，且，则称集合是集合的真子集，记作
或
，
读作“真包含于”，或“真包含”.
3.
子集个数
若集合含有个元素，则：
（1）的子集有个；
（2）的真子集有个；
（3）的非空子集有个；
（4）的非空真子集有个．
4.
维恩图表示子集
如图表示，.
集合的运算
1.交集定义：
一般地，对于两个给定的集合A，B，由属于集合又属于集合的所有元素构成的集合，叫做，的交集，记作（读作“交”），即
例如：.
用维恩图表示，图中阴影部分即为，的交集.
2.
交集的性质
（1）；
（2）；
（3）；
（4）如果，则.
（5）
，.
3.
并集定义：
一般地，对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做集合与的并集，记作（读作“并”），即例如：
用维恩图表示，图中阴影部分即为，的并集.
4.
并集的性质
（1）；
（2）；
（3）；
（4）如果，则.
5．全集
在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用表示.
例如，我们在研究数集时，常常把实数集作为全集.
如果我们讨论的数仅限为自然数，我们可取自然数集为全集.
6.
补集定义
如果给定的集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作，读作“在U中的补集”.
即
全集通常用矩形区域表示.
全集与它的任意一个真子集之间的关系，可用维恩图表示，如下图：
7.
补集的性质
（1）；
（2）；
（3）.
三点剖析
一.注意事项：
1.
与不相同，前者是元素，后者是集合，它们的关系是.
2.
用描述法时，要会区分数集与点集，例如集合，其中元素是方程的解
；集合表示直线上所有的点构成的集合.
3.
、、、的关系.
数不是集合；是含一个元素的集合；是不含任何元素的集合；是以为元素的集合.
4.
集合也可以作为元素，例如；
5.
元素属于集合用“”；
集合包含于集合用“”.
6.
任意集合都是它本身的子集，即.
二.
方法点拨
1.
一般地，设，.
若能推出（记作），则；反之，若，则.
例如集合，.
可判断出“”“”（若，必有），则是的子集，即.
2.
数轴在集合运算中的应用
为了使集合的交、并、补关系直观形象地显示而利于运算，常利于数轴解决有关问题.例如已知全集U=R，
，
，求集合
.可先把
在数轴上表示出来，然后观察出其补集范围.
3.
Venn图的运用
进行较为复杂的交并补运算时，可用Venn图讨论集合的关系，具有化抽象为具体的功能.
4.
补集思想
当“正面”解决比较困难时，可以考虑问题的“反面”，最后去“补集”即可.
例如已知集合
，
，若，求实数m的取值范围.
此题可先求出当
时m的范围，然后再取补集.
集合的概念与性质
例题1、
下列表示正确的是（
）
A.0∈N
B.
C.－3?N
D.π∈Q
【答案】
A
【解析】
0∈N，，－3∈Z，π?Q。
例题2、
判断下列各组对象能否构成一个集合，如果能表示一个集合，判断它是有限集，还
是无限集．
①申办2012年奥运会的所有城市；
②参加2013年全运会的所有省份；
③2010年上海世博会的所有展馆；
④大于0且小于1的所有的实数．
【答案】
①能构成集合，且为有限集；
②能组成集合，且为有限集；
③能组成集合，且为有限集；
④能构成集合，是无限集．
【解析】
①申办2012年奥运会的是几个确定的不同的城市，能构成集合，且为有限集；
②参加2012年全运会的所有省份是确定的，能组成集合，且为有限集；
③2010年上海世博会上的展馆是确定的，能组成集合，且为有限集；
④能构成集合，是无限集．
例题3、
已知集合，则集合中元素的个数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】
D
【解析】
集合B中元素有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），共4个．
例题4、
给出下列关系：
①；②；③；④，其中正确的个数是（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】
A
【解析】
暂无解析
例题5、
下列表示①{0}＝?，②，③{2}∈{x|x2－3x＋2＝0}，④0∈{0}中，正确的是（
）
A.①②
B.①③
C.②④
D.②③
【答案】
C
【解析】
在①中，?中没有元素，{0}中有一个元素0，故{0}≠?，故①错误；
在②中，{2}是{2，4，6}的子集，故②正确；
在③中，{2}是{x|x2－3x＋2＝0}的子集，故③错误；
在④中，0是{0}中的元素，即0∈{0}，故④正确．
例题6、
下列四个选项表示的集合中，有一个集合不同于另三个集合，这个集合是（
）
A.{x|x=0}
B.{a|a2=0}
C.{a=0}
D.{0}
【答案】
C
【解析】
解：通过观察得到：A，B，D中的集合元素都是实数，而C中集合的元素不是实数，是等式a=0；
∴C中的集合不同于另外3个集合．
例题7、
已知集合A＝{，}，若3∈A，则m的值为________．
【答案】
【解析】
因为3∈A，所以m＋2＝3或＝3．
当m＋2＝3，即m＝1时，＝3，此时集合A中有重复元素3，所以m＝1不符合题意，舍去；
当时，解得m＝或m＝1（舍去），此时m＋2＝≠3符合题意．所以m＝．
例题8、
已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是________．
【答案】
a＝0或
【解析】
由题意，方程ax2－3x＋2＝0，a∈R的解至多有1个
①a＝0时，方程－3x＋2＝0，只有一个解；
②a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0，a∈R的解至多有1个
则△＝9－8a≤0，∴
综上所述，a的取值范围是a＝0或
例题9、
集合A由元素－1和2构成，集合B是方程x2＋ax＋b＝0的解，若A＝B，则a＋b＝________．
【答案】
－3
【解析】
A＝{－1，2}，集合B是方程x2＋ax＋b＝0的解，
由A＝B，
则－1，2是方程x2＋ax＋b＝0的两个不同实数根，
∴－1＋2＝－a，－1×2＝b．
∴a＝－1，b＝－2．
a＋b＝－3．
随练1、
下列表示①{0}=?；②?{0}；③??{0}；④0?中，正确的个数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】
A
【解析】
∵?是不含有任何元素的集合，∴①×；
∵集合与集合之间不是关系，∴②×；
∵?是任何非空集合的真子集，∴③√；
∵?中不含任何元素，∴④×；
随练2、
已知4∈{1－a2，2a－2，－3}，则a＝________．
【答案】
3
【解析】
∵1－a2≤1，4∈{1－a2，2a－2，－3}，
∴2a－2＝4，
解得：a＝3．
随练3、
集合A＝{x|ax2＋x＋1＝0}中只有一个元素，则满足条件的实数a构成的集合为________．
【答案】
【解析】
若集合A＝{x|ax2＋x＋1＝0}中只有一个元素，
则方程ax2＋x＋1＝0只有一解，
即a＝0，或，
解得：
随练4、
集合A＝{1，x，y}，B＝{1，x2，2y}，若A＝B，则实数x的取值集合为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【解析】
集合A＝{1，x，y}，
B＝{1，x2，2y}，
若A＝B，则，解得；x＝1或0，y＝0，显然不成立，
或，解得：，
故实数x的取值集合为，
集合间的关系
例题1、
集合的真子集的个数是（
）
A.16
B.8
C.7
D.4
【答案】
C
【解析】
集合A用列举法可表示为，其含有3个元素，故A的真子集的个数是
例题2、
已知集合，，则满足条件的集合的个数为（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】
B
【解析】
集合
集合，
由，
可知集合一定函数：1，2这两个元素，可能有3或者4，
集合的个数为2个
例题3、
已知，求的取值范围
【答案】
【解析】
①当时，②时，．
所以
例题4、
已知，或，若，求的取值范围．
【答案】
【解析】
(1)若，有，此时．
(2)若，由，得如下图：
综上所述，的取值范围是
例题5、
已知集合，，且，则实数a的取值范围是________．
【答案】
（－∞，－2]
【解析】
暂无解析
例题6、
已知集合A＝{x|x2＋2x－3≤0}，B＝{x|（x－2a）[x－（a2＋1）]≤0}，且A?B，则实数a的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【解析】
∵集合A＝{x|x2＋2x－3≤0}＝{x|－3≤x≤1}，
a2＋1≥2a，
∴当a2＋1＝2a时，B＝{x|（x－2a）[x－（a2＋1）]≤0}＝{x|2a≤x≤a2＋1}，且A?B，
∴，解得．
当a2＋1＝2a，即a＝1时，B＝{2}，不满足A?B．
∴实数a的取值范围是．
例题7、
设，
(1)若，试判定集合与的关系；
(2)若求实数组成的集合．
【答案】
（1）（2）
【解析】
由得或，
．
(1)当时，由得．
．
；
(2)且
∴若，则方程无解，有
若，则方程中，得．
，即．
．
随练1、
设集合，.集合对任意实数恒成立，则下列关系中成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【解析】
对任意实数恒成立，对分类：
①时，恒成立；②时，需，解得；
综合①②知，∴
随练2、
已知集合，，若，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】
当时，有，得，当时，有，解得
随练3、
已知集合若，则的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【解析】
由得．
由得又，．
随练4、
若集合，则实数的值的集合是（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【解析】
由题意知时，满足条件．
时，由得，所以
随练5、
已知A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|m≤x＜1＋3m}．
（1）当m＝1时，求A∪B；
（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．
【答案】
（1）A∪B＝{x|－1＜x＜4}
（2）
【解析】
（1）当m＝1时，A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|1≤x＜4}．
∴A∪B＝{x|－1＜x＜4}．
（2）∵A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|m≤x＜1＋3m}，A∩B＝B，
∴B?A，
当B＝?时，m＞1＋3m，解得，成立，
当B≠?时，，解得．
综上，实数m的取值范围是．
随练6、
设集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}
（1）当m＝1时，求A∩B；
（2）若B?A，求实数m的取值范围．
【答案】
（1）A∩B＝{x|1＜x＜2}
（2）[－1，＋∞）
【解析】
（1）当m＝1时，集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|1＜x＜2}，
∴A∩B＝{x|1＜x＜2}．
（2）集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1＜x＜m＋1}
B?A，
当B＝?时，2m－1≥m＋1，解得m≥2，成立；
当B≠?时，，解得－1≤m＜2．
综上，实数m的取值范围是[－1，＋∞）．
集合的运算
例题1、
设全集则图中阴影部分表示的集合为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【解析】
暂无解析
例题2、
集合，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【解析】
化简集合得，化简集合得，．
例题3、
设全集，集合，，则（　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【解析】
全集，
集合，
；
，
；
．
例题4、
设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若
A∩B＝{1}，则B＝________．（用列举法表示）
【答案】
【解析】
∵A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，且A∩B＝{1}，
∴x＝1为x2－4x＋m＝0的解，即1－4＋m＝0，
解得：m＝3，即方程为x2－4x＋3＝0，
解得：x＝1或x＝3，
则B＝{1，3}，
例题5、
若集合，，且，则的值为（
）
A.
B.
C.或
D.或或
【答案】
D
【解析】
例题6、
已知集合A={x∈R||x﹣1|＞2}，集合B={x∈R|x2﹣（a+1）x+a＜0}，若A∩B=（3，5）则实数a=　　．
【答案】
5
【解析】
集合A={x∈R||x﹣1|＞2}={x|x＞3，或
x＜﹣1}，
集合B={x∈R|x2﹣（a+1）x+a＜0}={x|（x﹣1）（x﹣a）＜0}，
当a=1时，B=?，不满足条件．
当a＞1时，B=（1，a），由A∩B=（3，5）可得a=5．
当a＜1时，B=（a，1
），不满足A∩B=（3，5）．
综上可得，只有a=5，
故答案为
5．
例题7、
在2012年春季召开的校运会上，某班共有28名运动员参加比赛，有15人参加径
赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛．同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径
赛和球类比赛的有3人，没有同时参加三项比赛的运动员．则同时参加田赛和球类比赛的有
多少人？只参加径赛的运动员有多少人？
【答案】
同时参加田赛和球类比赛的有3人，只参加径赛的有9人．
【解析】
设参加径赛的运动员组成集合A，参加田赛的运动员组成集合B，参加球类比赛的
运动员组成集合C．根据题意画出Venn图，如图所示．设同时参加田赛和球类比赛的人数
为x．由题意，得
，解得．
所以，同时参加田赛和球类比赛的有3人，只参加径赛的有9人．
随练1、
已知集合M＝{（x，y）|x＋y＝2}，N＝{（x，y）|x－y＝4}，则M∩N等于________．
【答案】
{（3，－1）}
【解析】
联立两方程解得
∴M∩N＝{（3，－1）}．
随练2、
设集合A＝{x|x2－10x＋21≤0}．B＝{m|关于x的方程x2－mx＋3m－5＝0无解}．则A∪B＝________．
【答案】
（2，10）
【解析】
集合A＝{x|x2－10x＋21≤0}＝{x|3≤x≤7}＝[3，7]，
B＝{m|关于x的方程x2－mx＋3m－5＝0无解}
＝{m|m2－4（3m－5）＜0}
＝{m|2＜m＜10}
＝（2，10）；
则A∪B＝（2，10）．
随练3、
已知集合，，满足,求实数的取值范围．
【答案】
或或
【解析】
，当时，，满足题意；当时，，∵，，即；当时，,∴，所以，综上所示，的取值范围为或或．
随练4、
集合，，A∩B的元素只有1个，则a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
联立即，
∵A∩B是单元素集，∴分两种情况考虑：
a≠0，方程有两个相等的实数根，即△＝0，可得，解得，
a＝0，方程－2x－2＝0只有一个根，符合题意，综上，a的范围为．
随练5、
已知集合P＝{y|y2－y－2＞0}，Q＝{x|x2＋ax＋b≤0}．若P∪Q＝R，且P∩Q＝（2，3]，则a＋b＝（
）
A.－5
B.5
C.－1
D.1
【答案】
A
【解析】
P＝{y|y2－y－2＞0}＝{y|y＞2或y＜－1}．由P∪Q＝R及P∩Q＝（2，3]，得Q＝[－1，3]，所以－a＝－1＋3，b＝－1×3，即a＝－2，b＝－3，则a＋b＝－5．
随练6、
有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是（　　）
A.7
B.6
C.5
D.4
【答案】
A
【解析】
由题意作出文氏图，如下：
其中m+n+p=7．
∴只持有B股票的股民人数是7人．
拓展
1、
下列关系正确的有____．
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧
【答案】
②③⑤⑥⑦⑧
【解析】
0不属于正整数集，属于自然数集，也属于整数集，故①④错误；
⑦正确；
是分数，属于有理数集，故②正确；
是无理数，不属于有理数集，故③正确；
是无理数，属于实数集，故⑤正确；
是负数，属于整数集，故⑥正确；
是小数，属于实数集，故⑧正确．
2、
已知集合，则必有（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【解析】
，，
，即，故选D．
3、
已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，如果5∈M，那么m的取值集合为________．
【答案】
{1，3}
【解析】
∵集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，5∈M，
∴m＋2＝5或m2＋4＝5，
解得m＝3或m＝1或m＝－1，
当m＝3时，M＝{1，5，13}，成立；
当m＝1时，M＝{1，3，5}，成立；
当m＝－1时，M＝{1，1，5}，不成立，
∴m的取值集合为{1，3}．
4、
已知集合A含有三个元素2,4,6，且当，有，那么为（
）
A.2
B.2或4
C.4
D.0
【答案】
B
【解析】
若，则；若，则；若，则．
5、
设，若，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
根据集合的包含关系得出结论．
6、
已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【解析】
选项A错，应当是．选项B对，正方形一定是矩形，
但矩形不一定是正方形．选项C错，
正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形．选项D错，应当是．
7、
已知，，若，则实数的值为（
）
A.1或0
B.－1或0
C.1或－1
D.0或1或－1
【答案】
D
【解析】
当时，
，符合；
当时，，
由题意得，
，解得
8、
已知，，,求的取值范围
【答案】
【解析】
当，即时，满足，即；
当，即时，满足，即；
当，即时，由，得即；
∴
9、
已知集合，集合B＝{（x，y）|y＝3x＋7}，则A∩B＝（
）
A.{（－2，1）}
B.{－2，1}
C.（－2，1）
D.R
【答案】
A
【解析】
∵集合，
集合B＝{（x，y）|y＝3x＋7}，
∴．
10、
已知集合，则（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
A
【解析】
暂无解析
11、
已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，B＝{x|x＞2}．
（1）分别求A∩B，A∪（?UB）；
（2）已知集合C＝{x|1＜x＜a}，若C?A，求实数a的取值范围．
【答案】
（1）A∩B＝（2，3）；A∪（?UB）＝（－∞，3）
（2）（－∞，3]
【解析】
（1）集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}＝{x|1＜x＜3}＝（1，3），
集合B＝{x|x＞2}＝（2，＋∞）；
∴A∩B＝（2，3），
?UB＝（－∞，2]，
A∪（?UB）＝（－∞，3）；
（2）集合C＝{x|1＜x＜a}，C?A，
当C＝?时，a≤1，符合题意；
当C≠?时，a＞1，因为C?A，
所以a≤3，
所以1＜a≤3；
综上所述，实数a的取值范围是（－∞，3]．
12、
某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出20种商品，第二天售出14种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有5种，后两天都售出的商品有4种，则该网店．
①第一天售出但第二天未售出的商品有________种；
②这三天售出的商品最少有________种．
【答案】
①15；②29
【解析】
①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，
如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有20－5＝15种；
②由①知，前两天售出的商品种类为20＋14－5＝29种，第三天售出但第二天未售出的商品有18－4＝14种，
当这14种商品第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，
这三天售出的商品种类最少为29种．

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