资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第七章
复数
考点测评
1.[2018全国卷Ⅰ]设z=+2i,则|z|=
(　　)
A.0
B.
C.1
D.
2.[2020四川五校联考]已知a∈R,若(1
-
ai)(3+2i)为纯虚数,则a的值为
(　　)
A.
-
B.
C.
-
D.
3.[2020湖北高三模拟]x,y互为共轭复数,且(x+y)2
-
3xyi=4
-
6i,则|x|+|y|=
(　　)
A.2
B.2
C.1
D.4
4.[2017全国卷Ⅱ]=
(　　)
5.[2020大同高三调研]设x,y∈R,i为虚数单位,且=1+2i,则z=x+yi的共轭复数在复平面内对应的点在
(　　)
A.第一象限
B.第二象限　
C.第三象限
D.第四象限
6.[2020江西抚州高三第一次联考]若复数z满足|z+3
-
4i|=2,则z·的最大值为
(　　)
A.9
B.
81
C.
7
D.
49
7.[多选题]在复平面内,下列说法正确的是
(　　)
A.实轴上的点表示的数均为实数
B.虚轴上的点表示的数均为纯虚数
C.共轭复数的实部相等,虚部互为相反数
D.若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应
8.[2017
浙江高考]已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=　　　　,ab=　　　　.?
知识回顾　　　　
考法1
复数的概念
1、(1)[2019全国卷Ⅱ]设z=i(2+i),则=
A.1+2i
B.
-
1+2i
C.1
-
2i
D.
-
1
-
2i
(2)[2017天津高考]已知a∈R,i为虚数单位,若为实数,则a的值为　　　　.?
【解题思路】(1)利用复数的四则运算及共轭复数的定义即可得出结果.(2)根据复数的除法法则,先把化简成x+yi(x,y∈R)的形式,然后令y=0即可求解.也可以引进参数,利用复数相等的定义列方程组求解.
【解析】(1)依题意得z=i2+2i=
-
1+2i,=
-
1
-
2i,故选D.
(2)解法一　因为i为实数,所以=0,解得a=
-
2.
解法二　令=t
(t∈R),则a
-
i=t(2+i)=2t+ti,
所以解得a=
-
2.
2、若i(x+yi)=3+4i(x,y∈R),则复数x+yi的模是
A.2
B.3
C.4
D.5
【解题思路】根据复数的运算法则和模的计算公式求解.
【解析】解法一　因为i(x+yi)=3+4i,所以x+yi==4
-
3i,故|x+yi|=|4
-
3i|==5.
解法二　因为i(x+yi)=3+4i,所以|i(x+yi)|=|3+4i|,所以|i|·|x+yi|=5,所以|x+yi|=5.
解法三　因为i(x+yi)=3+4i,所以
-
y+xi=3+4i,
所以x=4,y=
-
3,故|x+yi|=|4
-
3i|==5.
【答案】D
变式练习
1.(1)[2019全国卷Ⅰ]设z=,则|z|=
(　　)
A.2
B.
C.
D.1
(2)[2019江苏高考]已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是　　　　.?
考法2
复数的运算
3、(1)[2018全国卷Ⅱ]=
A.
-
i
B.
-
C.
-
i
D.
-
i
(2)已知复数z=1+,则1+z+z2+…+z2
020=
A.1+i　　　B.1
-
i　　　C.1　　　D.0
【解题思路】(1)利用复数的除法法则求解;(2)先对复数z进行化简,再根据等比数列的求和公式或借助in(n∈N)的周期性求解.
【解析】(1)由题意得=
-
i.
(2)解法一　(根据等比数列的前n项和公式求解)因为z=1+=1+=i,所以1+z+z2+…+z2
020==1.
解法二　(利用周期性求解)因为z=1+=1+=i,所以1+z+z2+…+z2
020=1+i+i2+…+i2
020=505×(1+i
-
1
-
i)+1=1.
【答案】(1)D　(2)C
【点评】(1)要学会区分(a+bi)2=a2+2abi
-
b2(a,b∈R)与(a+b)2=a2+2ab+b2(a,b∈R);
(2)要学会区分(a+bi)(a
-
bi)=a2+b2(a,b∈R)与(a+b)(a
-
b)=a2
-
b2(a,b∈R).
变式练习
2.(1)[2019全国卷Ⅲ]若z(1+i)=2i,则z=
(　　)
A.
-
1
-
i
B.
-
1+
i
C.1
-
i
D.1+i
(2)[2019北京高考]已知复数z=2+i,则z·=
(　　)
A.
B.
C.3
D.5
考法3
复数的几何意义
4、(1)[2019全国卷Ⅰ]设复数z满足|z
-
i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则
A.(x+1)2+y2=1
B.(x
-
1)2+y2=1
C.x2+(y
-
1)2=1
D.x2+(y+1)2=1
(2)[2016全国卷Ⅱ]已知z=(m+3)+(m
-
1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是
A.(
-
3,1)　
B.(
-
1,3)　
C.(1,+∞)　
D.(
-
∞,
-
3)
【解析】(1)解法一　∵
z在复平面内对应的点为(x,y),∴z=x+yi(x,y∈R).∵
|z
-
i|=1,∴|x+(y
-
1)i|=1,∴x2+(y
-
1)2=1.
解法二　∵
|z
-
i|=1表示复数z在复平面内对应的点(x,y)到点(0,1)的距离为1,∴x2+(y
-
1)2=1.
解法三　在复平面内,点(1,1)所对应的复数z=1+i满足|z
-
i|=1,但点(1,1)不在选项A,D的圆上,∴排除A,D;在复平面内,点(0,2)所对应的复数z=2i满足|z
-
i|=1,但点(0,2)不在选项B的圆上,∴排除B.选C.
(2)由已知可得复数z在复平面内对应的点的坐标为(m+3,m
-
1),因为点在第四象限,所以解得
-
3【答案】(1)C　(2)A
变式练习
3.
(1)[2019全国卷Ⅱ]设z=
-
3+2i,则在复平面内对应的点位于
(　　)
A.第一象限　
B.第二象限　
C.第三象限　
D.第四象限
(2)已知复数z1=
-
1+2i,z2=1
-
i,z3=3
-
4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值是　　　.
第七章　《复　数》测试
基础篇
1.[2020合肥市调研检测]已知i是虚数单位，则复数z=在复平面内对应的点位于
(　　)
A.第一象限　
B.第二象限　
C.第三象限　
D.第四象限
2.[多选题]设复数z满足=i，则下列说法错误的是
(　　)
A.z为纯虚数
B.z的虚部为
-
i
C.在复平面内，z对应的点位于第二象限
D.|z|=
3.[2019长春市高三第一次质检]
(
-
1+3i)(3
-
i)=
(　　)
A.10　　　　B.
-
10　　　　C.10i　　　　D.
-
10i
4.[2019福建五校第二次联考]设i是虚数单位，若复数z=，则复数z的共轭复数=
(　　)
A.i　　
B.1+i　　C.1
-
i　　
D.i
5.[2019蓉城名校高三第一次联考]设复数z=x+yi(x，y∈R)满足z=3+2i2+i5，则的值为
(　　)
A.
B.
C.1
D.
6.[2019四省八校联考]已知(2+i)y=x+yi，x，y∈R，则|+i|=
(　　)
A.　
B.　
C.2
D.
7.[2019河北省保定市模拟]若(a
-
2i)i=b+i(a，b∈R)，则=
(　　)
A.2
B.
C.1
D.
-
1
8.[2020江苏省高三百校大联考]已知复数z=+2i，i为虚数单位，则z的虚部为　　　　.?
提升篇
9.[2020南昌市重点中学模拟]已知复数1+i是关于x的方程x2+mx+2=0的一个根，则实数m的值为
(　　)
A.
-
2
B.2
C.
-
4
D.4
10.[2020河北衡水中学全国高三第一次联考]已知i为虚数单位，z=，设
是z的共轭复数，则在复平面内
对应的点位于
(　　)
A.第一象限　
B.第二象限　
C.第三象限　
D.第四象限
11.[2020广东七校联考]已知复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1=1
-
2i，则=
(　　)
A.i
B.
-
i
C.
-
i
D.i
12.[2019江西名校高三第一次质检]若在复平面内，复数z=(m∈R)所对应的点落在直线y=x上，则m=(　　)
A.
B.
C.
-
D.
-
13.[2019河北六校联考]已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为(2，
-
1)，(0，
-
1)，则+|z2|=
(　　)
A.2+2i　　　B.2-2i　　　C.-2+i　　　D.-2-i
14.[多选题]已知不相等的复数z1，z2，则下列说法正确的是
(　　)
A.若z1+z2是实数，则z1与不一定相等
B.若|z1|=|z2|，则
C.若z1=，则z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称
D.若0，则
15.[交汇题]若复数z=cos
x
-
1+(sin
x+2)i为纯虚数(x∈R，i是虚数单位)，则|z|等于
(　　)
A.2
B.3
C.4
D.与x的取值有关
16.[2020江西红色七校第一次联考][交汇题]设复数z=(i为虚数单位)，f
(x)=x2
-
x+1，则f
(z)=
(　　)
A.i
B.-i
C.-1+i
D.1+i
17.[2020湖南师大附中高三摸底考试]
[新角度题]在复平面内，满足条件|z+4i|=2|z+i|的复数z对应的点的轨迹是
(　　)
A.直线
B.圆
C.椭圆
D.双曲线
18.[双空题]已知复数z满足(z
-
2)i=7
-
i，其中i为虚数单位，则|z|=　　　　，复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于第
　　　　象限.?
参考答案与解析
第七章
复　数
考点测评
1.C　z=+2i=+2i=i，所以|z|=1.故选C.
2.A　(1
-
ai)(3+2i)=(3+2a)+(2
-
3a)i，由于(1
-
ai)(3+2i)为纯虚数，故解得a=
-
，故选A.
3.B　设x=a+bi(a，b∈R)，则y=a
-
bi，代入已知等式得(2a)2
-
3(a2+b2)i=4
-
6i，所以(2a)2=4，3(a2+b2)=6，解得|a|=1，|b|=1，所以|x|+|y|=2.故选B.
4.D　=2
-
i，故选D.
【技巧点拨】　复数的除法运算本质是分母实数化，即分子、分母同时乘以分母的共轭复数.
5.A　由已知可得z=i，则i，所以在复平面内对应的点为(，)，在第一象限，故选A.
6.D　由题意可知，复数对应的点的轨迹是以点A(
-
3，4)为圆心，半径为2的圆，z·表示圆上的点到原点的距离的平方，因为|OA|==5，所以z·的最大值为(5+2)2=49，故选D.
7.AC　在复平面内，实轴上的点表示的数均为实数，A正确；坐标原点在虚轴上，但该点表示实数0，B不正确；共轭复数的实部相等，虚部互为相反数，C正确；当a=0时，0·i=0，不是纯虚数，D不正确.故选AC.
8.5　2　∵(a+bi)2=a2
-
b2+2abi=3+4i，∴解得或∴a2+b2=5，ab=2.
【易错警示】　利用复数相等列方程(组)时，应满足实部与实部相等，虚部与虚部相等.
【技巧点拨】　两个复数相等的充要条件是这两个复数的实部和虚部分别相等；一个复数等于零的充要条件是实部和虚部同时为零.
变式练习
1.(1)C　解法一　，故|z|=||=.故选C.
解法二　|z|=||=.
(2)2　(a+2i)(1+i)=a
-
2+(a+2)i，∵实部是0，∴a
-
2=0，∴a=2.
【技巧点拨】　确定复数的实部和虚部，首先要利用复数的运算法则将复数化为z=a+bi(a，b∈R)的形成，其中a是实部，b是虚部.
2.(1)D　z==1+i.
(2)D　∵z=2+i，∴=2
-
i，∴z·=(2+i)(2-i)=5.故选D.
3.(1)C　由题意，得=
-
3
-
2i，其在复平面内对应的点的坐标为(
-
3，
-
2)，位于第三象限，故选C.
(2)1　由题意得=(3，
-
4)，=(
-
1，2)，=(1，
-
1)，由=λ+μ，得(3，
-
4)=λ(
-
1，2)+μ(1，
-
1)=(
-
λ+μ，2λ
-
μ)，所以解得所以λ+μ=1.
基础篇
1.D　因为z=i，所以z在复平面内对应的点为(，
-
)，位于第四象限，故选D.
2.ABC　解法一　设z=a+bi(a，b∈R)，则由题意，得a+bi+1=i(a+bi)，即a+1+bi=
-
b+ai，所以解得所以z=
-
i.故z不是纯虚数，z的虚部为
-
，故AB错误；在复平面内，z对应的点为(
-
，
-
)，位于第三象限，故C错误；|z|=.故D正确.
解法二　由=i，得z==
-
i，则z不是纯虚数，z的虚部为
-
，在复平面内，z对应的点为(
-
，
-
)，位于第三象限，|z|=.故选ABC.
3.C　
(
-
1+3i)(3
-
i)=
-
3+i+9i
-
3i2=10i.故选C.
4.A　因为z=i，所以i.故选A.
5.A　z=3+2i2+i5=1+i=x+yi，所以x=1，y=1，所以.故选A.
6.D　由(2+i)y=x+yi，得2y+yi=x+yi，则可得所以=2，所以|+i|=|2+i|=.故选D.
7.A　∵(a
-
2i)i=b+i，∴2+ai=b+i，
∴=2.故选A.
8.1　因为z=+2i=+2i=+2i=1+i，所以z的虚部为1.
提升篇
9.A　依题意得(1+i)2+m(1+i)+2=0，即(m+2)+(m+2)i=0，因此m+2=0，解得m=
-
2，选A.
10.D　依题意得z=，所以i，故在复平面内
对应的点的坐标是(，
-
)，点(，
-
)位于第四象限，选D.
11.D　由题意可知z1=1
-
2i，z2=
-
1
-
2i，则i.故选D.
12.A　依题意，z=i，则18
-
m=3+6m，解得m=，故选A.
13.A　由题意知z1=2
-
i，z2=
-
i，则=1+2i，|z2|=1，故+|z2|=2+2i，选A.
14.AC　当z1=2，z2=3时，z1+z2=5∈R，但=3，z1≠，故A正确；当z1=1+i，z2=1
-
i时，|z1|=，|z2|=，|z1|=|z2|，但=2i，=
-
2i，≠，故B错误；设z2=a+bi(a，b∈R)，则z1==a
-
bi，z1在复平面内对应的点的坐标为(a，
-
b)，z2在复平面内对应的点的坐标为(a，b)，点(a，
-
b)与点(a，b)关于实轴对称，故C正确；设=2+2i，=1
-
2i，>0，但由于，不能比较大小，故D错误.故选AC.
15.A　依题意得cos
x
-
1=0，则cos
x=1，∵sin2x+cos2x=1，∴sin
x=0，则z=2i，则|z|=2，故选A.
16.A　z==
-
i，则f
(z)=
-
1+i+1=i.
17.B　设复数z=x+yi(x∈R，y∈R)，则|z+4i|=|x+(y+4)i|=，
|z+i|=|x+(y+1)i|=，
结合题意有x2+(y+4)2=4x2+4(y+1)2，整理可得x2+y2=4.
故复数z对应的点的轨迹是圆.故选B.
18.5　一　设z=a+bi(a，b∈R)，则(z
-
2)i=(a
-
2+bi)i=(a
-
2)i
-
b=7
-
i，因此解得所以z=1
-
7i，故|z|=5，=1+7i，在复平面内对应的点位于第一象限.
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网（www.21cnjy.com）

展开更多......

收起↑