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12.1　复数的概念
学
习
任
务
核
心
素
养
1．理解复数的基本概念、复数的代数表示．(重点)2．利用复数的代数形式进行分类和复数相等的充要条件的应用．(重点、难点)3．理解实部、虚部的概念．(易混点)
通过对复数的学习，培养数学抽象素养．
数的扩充过程，也可以从方程是否有解的角度来理解：
因为类似x＋4＝3的方程在自然数范围内无解，所以人们引入了负数并将自然数扩充成整数，使得类似x＋4＝3的方程在整数范围内有解；
因为类似2x＝5的方程在整数范围内无解，所以人们引入了分数并将整数扩充成有理数，使得类似2x＝5的方程在有理数范围内有解；
因为类似x2＝7的方程在有理数范围内无解，所以人们引入了无理数并将有理数扩充成实数，使得类似x2＝7的方程在实数范围内有解．
我们已经知道，类似x2＝－1的方程在实数范围内无解．那么，能否像前面一样，引入一种新的数，使得这个方程有解并将实数进行扩充呢？
知识点1　复数的相关概念
(1)虚数单位
为了使实数的开方运算总可以实施，我们引入一个新数i，叫作虚数单位，并规定：
①i2＝－1；
②实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．
(2)复数、复数集
①形如a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，全体复数所组成的集合叫作复数集，记作C．
②复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫作复数z的实部与虚部．
1．复数i－2的虚部是(　　)
A．i
B．－2
C．1
D．2
C　[i－2＝－2＋i，因此虚部是1．]
知识点2　复数的分类与复数相等
(1)复数的分类
复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，z是实数a；当b≠0时，z叫作虚数；当a＝0且b≠0时，z＝bi叫作纯虚数．
(2)复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d．
两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等．
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？
[提示]　
2．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．
(　　)
(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数．
(　　)
(3)bi是纯虚数．
(　　)
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为(　　)
A．x＝1，y＝－1
B．x＝0，y＝－1
C．x＝1，y＝0
D．x＝0，y＝0
A　[∵(x＋y)i＝x－1，
∴∴x＝1，y＝－1．]
类型1　复数的相关概念
【例1】　下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；
③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2；
④实数集是复数集的真子集．
其中正确的是(　　)
A．①
B．②
C．③
D．④
D　[对于复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，为纯虚数．对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，即①错误．两个虚数不能比较大小，则②错误．对于③，若x＝－2，则x2－4＝0，x2＋3x＋2＝0，此时(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i＝0，不是纯虚数，则③错误．显然，④正确．]
复数相关概念的辨析
(1)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．
(2)化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．
[跟进训练]
1．下列命题中是假命题的是________．(填序号)
①自然数集是非负整数集；
②实数集与复数集的交集为实数集；
③实数集与虚数集的交集是{0}；
④纯虚数集与实数集的交集为空集．
③　[复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，③是假命题．]
类型2　复数的分类及应用
【例2】　(1)复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是________．
(2)(对接教材P112例2)已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时：
①z为实数；②z为虚数；③z为纯虚数．
(1)a>0且a＝±b　[要使复数z为纯虚数，则
∴a>0，a＝±b．]
(2)[解]　①要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3．
②要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3．
③要使z为纯虚数，需满足解得m＝0或m＝－2．
利用复数的分类求参数时，要先确定构成实部、虚部的式子有意义的条件，再结合实部与虚部的取值求解.要特别注意复数z＝a＋bi?a，b∈R?为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.
[跟进训练]
2．(1)复数z＝(m2－3m＋2)＋(m2＋m－2)i，当实数m为何值时：
①z为实数；②z为虚数；③z为纯虚数．
(2)当实数m为何值时，复数z＝＋(m2－2m)i为：①实数；②虚数；③纯虚数．
[解]　(1)①当m2＋m－2＝0，即m＝－2或m＝1时，z为实数．
②当m2＋m－2≠0，即m≠－2且m≠1时，z为虚数．
③当即m＝2时，z为纯虚数．
(2)①即m＝2，
∴当m＝2时，复数z是实数．
②当m2－2m≠0，且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．
③由解得m＝－3，
∴当m＝－3时，复数z是纯虚数．
类型3　复数相等的充要条件
【例3】　(1)
若复数z＝(m＋1)＋(m2
－9)i<0，则实数m的值等于________．
(2)已知关于x的方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0有实数根，求实数m的值．
?1?若两个复数能比较大小，那么这两个复数是什么数？
?2?复系数方程有实数根，该方程满足判别式Δ≥0吗？
(1)－3　[∵z<0，
∴
∴m＝－3．]
(2)[解]　设a是原方程的实根，
则a2＋(1－2i)a＋(3m－i)＝0，
即(a2＋a＋3m)－(2a＋1)i＝0＋0i，
所以a2＋a＋3m＝0且2a＋1＝0，
所以a＝－且－＋3m＝0，
所以m＝．
1．(变条件)本例(2)中若x＝1是方程x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝0的实数根，求复数m的值．
[解]　由题意可知，1＋1－2i＋3m－i＝0，即m＝－＋i．
2．(变条件)本例(2)中若x2＋(1－2i)x＋(3m－i)>0，求实数m的取值范围．
[解]　由题意可知，x2＋(1－2i)x＋(3m－i)＝
x2＋x＋3m－(2x＋1)i>0，
故
解得
所以实数m的取值范围为．
复数相等问题的解题技巧
(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．
(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现．
提醒：若两个复数能比较大小，则这两个复数必为实数．
1．(多选题)对于复数a＋bi(a，b∈R)，下列说法不正确的是(　　)
A．若a＝0，则a＋bi为纯虚数
B．若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－2
C．若b＝0，则a＋bi为实数
D．i的平方等于1
ABD　[对于A，当a＝0时，a＋bi也可能为实数；
对于B，若a＋(b－1)i＝3－2i，则a＝3，b＝－1；
对于D，i的平方为－1．所以ABD均错误．]
2．若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为(　　)
A．－2
B．3
C．－3
D．±3
B　[由题知解得m＝3．故选B．]
3．已知z1＝m2－3m＋mi，z2＝4＋(5m＋4)i，其中m∈R，i为虚数单位，若z1＝z2，则m的值为________．
－1　[由题意得m2－3m＋mi＝4＋(5m＋4)i，从而解得m＝－1．]
4．①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；
③两个虚数不能比较大小．
其中正确命题的序号是________．(填序号)
③　[当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错．]
5．分别求满足下列条件的实数x，y的值．
(1)2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i；
(2)＋(x2－2x－3)i＝0．
[解]　(1)∵x，y∈R，∴由复数相等的定义，得解得
(2)∵x∈R，
∴由复数相等的定义，得
即∴x＝3．
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．复数是如何分类的？
[提示]　对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)而言，当b＝0时，z是实数；当b≠0时，z是虚数；当a＝0且b≠0时，z是纯虚数．
2．两个复数相等的条件是什么？
[提示]　若z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，则z1＝z2?a＝c且b＝d．
3．两个复数可以比较大小吗？
[提示]　当两个复数均为实数时，可以比较大小，否则不能比较大小．
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-12.2　复数的运算
第1课时　复数的加减与乘法运算
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1．掌握复数代数形式的加减运算．(重点)2．理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法运算．(重点、难点)3．掌握共轭复数的概念及应用．(易错点)
通过复数的加减、乘法运算，提升数学运算、逻辑推理素养．
已知：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d均为实数)．
(1)类比实数的加减法和乘法运算及其关系，尝试计算z1＋z2
，z1－z2
，z1·z2
．
(2)
类比实数的加减法和乘法运算，思考相应的运算律是否仍然成立？
知识点1　复数的加减法
(1)复数的加法、减法法则
①条件：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d均为实数)．
②加法法则：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
减法法则：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i．
(2)运算律
①交换律：z1＋z2＝z2＋z1．
②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝
(　　)
A．8i
B．6
C．6＋8i
D．6－8i
B　[z1＋z2＝3＋4i＋3－4i＝(3＋3)＋(4－4)i＝6．]
知识点2　复数的乘法与共轭复数
(1)复数的乘法
①复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．
②乘法运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律
z1z2＝z2z1
结合律
(z1z2)z3＝z1(z2z3)
分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
(2)共轭复数
①定义：实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫作互为共轭复数．复数z＝a＋bi的共轭复数记作，即＝a－bi．
②当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，z＝，也就是说实数的共轭复数是它本身．
复数的乘法与多项式的乘法有何不同？
[提示]　复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．
2．复数(3＋2i)i等于(　　)
A．－2－3i　
B．－2＋3i
C．2－3i　
D．2＋3i
B　[(3＋2i)i＝3i＋2i·i＝－2＋3i，选B．]
3．若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为________．
0　[z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z2＋2的虚部为0．]
类型1　复数的加、减法运算
【例1】　(1)＋(2－i)－＝________．
(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z．
(3)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求z．
(1)1＋i　[＋(2－i)－＝＋i
＝1＋i．]
(2)[解]　法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，
因为z＋1－3i＝5－2i，
所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，
即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，
所以z＝4＋i．
法二：因为z＋1－3i＝5－2i，所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i．
(3)[解]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝，
又|z|＋z＝1＋3i，所以＋x＋yi＝1＋3i，由复数相等得解得所以z＝－4＋3i．
1．复数加、减运算法则的记忆
(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．
(2)把i看作一个字母，类比多项式加、减中的合并同类项．
2．当一个等式中同时含有|z|与z时，一般要用待定系数法，设z＝a＋bi(a，b∈R)．
[跟进训练]
1．复数z满足z－(1－i)＝2i，则z＝________．
1＋i　[∵z－(1－i)＝2i，
∴z＝1－i＋2i＝1＋i．]
类型2　复数的乘法运算
【例2】　(1)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝________．
(2)复数(4＋3i)i＝________．
(1)3－4i　(2)－3＋4i　[(1)∵a＋i＝2－bi，
∴a＝2，b＝－1，
∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝22－2×2×i＋i2＝3－4i．
(2)(4＋3i)i＝4i＋3i2＝－3＋4i．]
1．两个复数代数形式乘法的一般方法
首先按多项式的乘法展开；再将i2换成－1；然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．
2．常用公式
(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)；
(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
(3)(1±i)2＝±2i．
[跟进训练]
2．若z1＝4＋bi(b∈R)，z2＝3＋4i，且z1·z2是纯虚数，则z1＝________．
4＋3i　[∵z1＝4＋bi，b∈R，z2＝3＋4i，
∴z1·z2＝(4＋bi)(3＋4i)＝12－4b＋(16＋3b)i．
由题意可知
，
∴b＝3．
∴z1＝4＋3i．]
类型3　共轭复数的应用
【例3】　已知z∈C，为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z．
设z＝a＋bi?a，b∈R?，代入等式，利用复数的相等求得复数z.
[解]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)，
由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i，
即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，
则有解得或
所以z＝－1或z＝－1＋3i．
共轭复数的处理技巧
当已知条件出现共轭复数等式时，常设出复数的代数形式，利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解．
[跟进训练]
3．已知复数z＝1＋i，复数z的共轭复数＝1－i，求实数a，b使az＋2b＝(a＋2z)2．
[解]　因为z＝1＋i，＝1－i，
所以az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i，
(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i．
由a，b∈R，及复数相等的充要条件，得
解得或
1．计算(3＋i)－(2－i)的结果为(　　)
A．5
B．5＋2i
C．1
D．1＋2i
D　[原式＝(3＋i)－2＋i＝1＋2i，故选D．]
2．a，b为实数，设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为(　　)
A．1＋i
B．2＋i
C．3
D．－2－i
D　[∵z1＝2＋bi，z2＝a＋i，∴z1＋z2＝2＋bi＋(a＋i)＝0，所以a＝－2，b＝－1，即a＋bi＝－2－i．]
3．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________．
4＋2i　[∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝2－i，设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，∵z1·z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i．]
4．已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．
2　[
(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，∵实部是0，∴a－2＝0，a＝2．
]
5．复数z＝(3－2i)i的共轭复数＝________．
2－3i　[∵z＝(3－2i)i＝3i＋2，
∴＝2－3i．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．若z1＝a＋bi，(a，b∈R)，z2＝c＋di，(c，d∈R)，则z1±z2及z1·z2分别是多少？
[提示]　z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i，
z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．
2．复数z＝a＋bi，a，b∈R的共轭复数如何表示？
[提示]　＝a－bi(a，b∈R)．
3．两个共轭复数的和一定是实数吗？两个共轭复数的差一定是纯虚数吗？
[提示]　若z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，则z＋＝2a∈R．因此，和一定是实数；而z－＝2bi．当b＝0时，两共轭复数的差是实数，而当b≠0时，两共轭复数的差是纯虚数．
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-第2课时　复数的乘方与除法
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1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立．(重点)2．理解复数商的定义，能够进行复数除法运算．(重点、难点)3．了解i幂的周期性．(易错点)
通过复数的乘方与除法运算，提升数学运算素养.
在实数的运算中有哪些幂的运算性质？能推广到复数集吗？
(1)类比实数的除法运算，计算
(a，b，c
,
d∈R，c2
＋d2≠0)；
(2)类比二次根式的分母有理化，利用分数的基本性质，将的分母化为实数，需要分数的分子、分母同时乘以怎样的复数？
知识点1　复数的乘方与in(n∈N
)的周期性
(1)复数范围内正整数指数幂的运算性质
设对任何z，z1，z2∈C及m，n∈N
，则zmzn＝zm＋n，(zm)n＝znm，(z1z2)n＝zz.
(2)虚数单位in(n∈N
)的周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.
1.i2
021＝________.
i　[i2
021＝i4×505＋1＝i.]
知识点2　复数的除法
把满足(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的复数x＋yi(x，y∈R)叫作复数a＋bi除以c＋di所得的商，且x＋yi＝＝＋i(c＋di≠0)．
2.(2－i)÷i＝________.
－1－2i　[(2－i)÷i＝＝＝－1－2i.]
类型1　i的运算特征
【例1】　计算下列各式的值．
(1)1＋i＋i2＋…＋i2
018＋i2
019；
(2)＋(1－i)2
022；
(3)i2
022＋(＋i)8－.
[解]　(1)1＋i＋i2＋…＋i2
018＋i2
019＝1＋(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)＋…＋(i2
013＋i2
014＋i2
015＋i2
016)＋i2
017＋i2
018＋i2
019＝1＋i－1－i＝0.
(2)∵1－＝1＋＝1＋i，且(1±i)2＝±2i.
∴＋(1－i)2
022
＝[(1＋i)2]1
011＋[(1－i)2]1
011
＝(2i)1
011＋(－2i)1
011＝0.
(3)i2
022＋(＋i)8－
＝i4×505＋2＋[2(1＋i)2]4－
＝i2＋(4i)4－i25
＝－1＋256－i＝255－i.
1．虚数单位i的性质
(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N
)．
(2)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N
)．
2．复数的乘方运算，要充分运用(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－i及乘方运算律简化运算．
[跟进训练]
1．计算：(1)···…·.
(2)1＋2i＋3i2＋…＋2
021i2
020.
[解]　(1)∵＝i，
∴原式＝i·i2·i3·…·i10＝i1＋2＋3＋…＋10＝i55＝i3＝－i.
(2)设S＝1＋2i＋3i2＋…＋2
021i2
020，
∴iS＝i＋2i2＋3i3＋…＋2
021i2
021，
∴(1－i)S＝1＋i＋i2＋…＋i2020－2
021i2
021
＝1－2
021i，
∴S＝＝
＝1
011－1
010i.
类型2　复数的除法
【例2】　(1)＝________；
(2)已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝________；
(3)i为虚数单位，＝________.
(1)－1＋2i　(2)3＋4i　(3)－1　[(1)＝＝＝－1＋2i.
(2)由(3－4i)z＝25，得z＝＝＝＝3＋4i.
(3)∵＝＝＝－i，
∴＝(－i)2＝－1.]
两个复数代数形式的除法运算步骤
(1)把除式写为分式．
(2)分子、分母同时乘以分母的共轭复数．
(3)对分子、分母分别进行乘法运算．
(4)把运算结果化为复数的代数形式．
[跟进训练]
2．(1)i为虚数单位，复数＝________；
(2)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则＋z2＝________.
(1)1＋i　(2)1＋i　[(1)＝＝1＋i.
(2)＋z2＝＋(1＋i)2＝＋2i＝1＋i.]
类型3　复数四则运算的综合应用
【例3】　计算：(1)＋(5＋i)2－；
(2).
以复数四则运算的法则为切入点，类比数的运算，对相应算式逐一求解.
[解]　(1)＋(5＋i)2－
＝＋(25＋10i－1)－
＝i＋24＋10i－i＝24＋10i.
(2)原式＝
＝
＝
＝·(2i)2·i＝－4i.
1．进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减．
2．复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用
(1)＝＝＝i.利用此法可将一些特殊类型的计算过程简化．
(2)记住一些简单结论，如＝－i，＝i，＝－i，(1±i)2＝±2i等．
[跟进训练]
3．(1)设i是虚数单位，复数i3＋＝________.
(2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝________.
(1)1　(2)2＋3i　[(1)i3＋＝－i＋＝－i＋i－i2＝1.
(2)∵(z－2i)(2－i)＝5，∴z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝2＋i＋2i＝2＋3i.]
1．已知i是虚数单位，则i＋i2＋i3＝(　　)
A．－1
B．1
C．2
D．－2
A　[原式＝i－1－i＝－1，故选A.]
2．若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)
A．－1－i
B．－1＋i
C．1－i
D．1＋i
D　[由题意可知z＝＝＝1＋i，故选D.]
3．设i是虚数单位，复数的虚部为________．
1　[＝＝3＋i.]
4．如果z1＝－2－3i，z2＝，则＝________.
4－3i　[∵z1＝－2－3i，z2＝，
∴＝
＝
＝－i(2＋i)2＝－(3＋4i)i＝4－3i.]
5．计算eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((1＋2i)·i100＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))))eq
\s\up12(2)－＝________.
1＋2i　[eq
\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((1＋2i)·i100＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))))eq
\s\up12(2)－
＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i10
＝(1＋i)2－i10
＝1＋2i.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．复数的四则运算顺序与实数的四则运算顺序相同吗？顺序是什么？
[提示]　相同，先乘除，后加减．
2．如何理解复数的除法运算法则？
[提示]　复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．
PAGE
-
6
-12.3　复数的几何意义
学
习
任
务
核
心
素
养
1.了解复数的几何意义，并能简单应用．(重点)2．理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系．(易错点)3．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．(重点、难点)
通过对复数的几何意义及复数加、减运算的几何意义的学习，培养直观想象素养.
我们知道，实数与数轴上的点一一对应，也就是说，数轴可以看成实数的一个几何模型．那么，能否为复数找一个几何模型呢？怎样建立起复数与几何模型中点的一一对应关系？
知识点1　复数的几何意义
(1)复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴．
(2)复数的几何意义
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．
(　　)
(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．
(　　)
[答案]　(1)√　(2)×
2.已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
B　[z＝z2－z1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．]
知识点2　复数的模
(1)定义
向量的模叫作复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，记作|z|或|a＋bi|.
(2)公式
|z|＝|a＋bi|＝.
(3)几何意义
复数z对应点Z到原点O的距离．
3.若z＝1＋2i，则||＝________.
　[∵z＝1＋2i，
∴|z|＝||＝.]
知识点3　复数加减法的几何意义
(1)如图所示，设向量，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，且，不共线，以，为两条邻边画?OZ1ZZ2.则向量与复数z1＋z2相对应，向量与复数z1－z2相对应．
(2)|z1－z2|＝，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．
类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？
[提示]　|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．
4.复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是________．
－6－8i　[因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝(4，3)，＝(－2，－5)，又＝－＝(－2，－5)－(4，3)＝(－6，－8)，所以向量表示的复数是－6－8i.]
类型1　复数的几何意义
【例1】　(1)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的第________象限．
(2)设复数z＝(m∈R)在复平面内对应的点为Z.
①若点Z在虚轴上，求m的值；
②若点Z位于第一象限，求m的取值范围．
(1)二　[实部为－2，虚部为1的复数在复平面内对应的点为(－2，1)，位于第二象限．]
(2)[解]　z＝＝＝＋i.
①∵点Z在虚轴上，∴＝0，则m＝－2.
②点Z位于第一象限，则m＋2>0且1－2m>0，
解得－2故实数m的取值范围是.
复数可由复平面内的点或向量进行表示
(1)复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标，利用这一点，可把复数问题转化为平面内点的坐标问题．
(2)复数与复平面内向量的对应：复数实、虚部是对应向量的坐标，利用这一点，可把复数问题转化为向量问题．
[跟进训练]
1．实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z.
(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x－y－3＝0上．
[解]　因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．
(1)当实数x满足即－3＜x＜2时，点Z位于第三象限．
(2)当实数x满足
即2＜x＜5时，点Z位于第四象限，
(3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即3x＋6＝0，x＝－2时，点Z位于直线x－y－3＝0上．
类型2　复数加减法的几何意义
【例2】　(1)向量对应的复数为1＋4i，向量对应的复数为－3＋6i，则向量＋对应的复数为________．
(2)若，对应的复数分别是7＋i，3－2i，则||＝________.
(1)－2＋10i　(2)5　[(1)(1＋4i)＋(－3＋6i)＝－2＋10i.即向量＋对应的复数为－2＋10i.
(2)对应复数为(3－2i)－(7＋i)＝－4－3i，
∴||＝|－4－3i|＝＝5.]
1．根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算，同样满足三角形和平行四边形法则．
2．复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能．
[跟进训练]
2．在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长．
[解]　由复数加减法几何意义：
对应复数z3－z1，对应复数z2－z1，
对应复数z4－z1，
根据向量的平行四边形法则，得＝＋，
∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，
∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i，
∴AD的长为||＝|z4－z1|
＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2.
类型3　复数的模及其几何意义
【例3】　(1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　)
A．1
B．
C．2
D．
(2)若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．
结合|z|的几何意义，思考分别满足|z＋i|＋|z－i|＝2及|z＋＋i|≤1的复数z所对应点的轨迹，进而数形结合求得相应结果.
(1)A　[设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，
|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|＝1，
所以|z＋i＋1|min＝1.]
(2)[解]　如图所示，
||＝＝2.
所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.
|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.
[跟进训练]
3．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为(　　)
A．0
B．1
C．
D．
C　[由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1，0)和(0，1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离，即为.]
1．已知i为虚数单位，若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2在复平面内所对应的点在实轴上，则a的值为(　　)
A．3
B．2
C．1
D．－1
D　[因为z1＋z2＝5＋(a＋1)i，由题意可知a＋1＝0，∴a＝－1，故选D.]
2．已知复数z在复平面内对应的点为Z(2，－1)，则(　　)
A．z＝－1＋2i
B．|z|＝5
C．z是纯虚数
D．z＝2－i
D　[因为复数z在复平面内对应的点为Z(2，－1)，则z＝2－i，所以|z|＝＝，z不是纯虚数，所以A、B、C不正确，D正确．故选D.]
3．设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
C　　[法一：∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.
法二：∵|z－i|＝1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0，1)的距离为1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.]
4．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．
(3，＋∞)　[∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，
∴解得x＞3.]
5．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝________.
－15＋8i　[设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则|z|＝，
代入方程得，a＋bi＋＝2＋8i，
∴解得∴z＝－15＋8i.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)，复平面内的点Z(a，b)及平面向量之间存在怎样的关系？
[提示]　
2．复数|z1－z2|的几何意义是什么？
[提示]　复数|z1－z2|表示复数z1，z2对应两点Z1与Z2间的距离．
3．|z1z2|与|z1||z2|存在怎样的关系？
[提示]　|z1z2|＝|z1||z2|.
利用复数产生分形图
以前我们学过的函数，定义域都是实数集的子集．但函数概念还可以推广：定义域是复数集的子集的函数称为复变函数．类似地，我们还可以得到多项式复变函数的概念．例如，f(z)＝z2就是一个多项式复变函数，此时
f(i)＝i2＝－1，f(1＋i)＝(1＋i)2＝2i.
给定多项式复变函数f(z)之后，对任意一个复数z0，通过计算公式zn＋1＝f(zn)，n∈N可以得到一列值
z0，z1，z2，…，zn，….
如果存在一个正数M，使得|zn|例如，当f(z)＝z2时，如果z0＝i，则得到的一列值是
i，－1，1，1，…，1，…；
如果z0＝1＋i，则算出的一列值是
1＋i，2i，－4，…，2，….
显然，对于f(z)＝z2来说，i为收敛点，1＋i为发散点．事实上，利用|z2|＝|z|2可以证明，f(z)＝z2的充满茹利亚集是一个单位圆盘(即由满足|z|≤1的所有z组成的集合)．
让人惊讶的是，当f(z)＝z2＋c时，对于某些复数c来说，f(z)的充满茹利亚集是非常复杂的．如果利用计算机对不同形态的收敛点和发散点进行不同的着色，就可以得到分形图．而且，如果按照一定的规则对c进行分类，并进行着色，可以得到如图所示的芒德布罗分形图．
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8
-12.4　复数的三角形式
学
习
任
务
核
心
素
养
1.了解复数的三角形式与代数形式，能将复数的代数形式化为三角形式．理解辐角、辐角主值等概念．(重点)2．掌握复数三角形式的乘、除法运算法则及几何意义．(重点、难点)
通过对复数的三角形式的乘除法法则的应用，培养运算求解能力，结合乘除法几何意义的学习，培养直观想象素养.
设复数z＝1＋i在复平面内对应的点为Z.
记r为向量的模，θ是以x轴正半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，求r的值，并写出θ的任意一个值，探讨r，θ与z＝1＋i的实部、虚部之间的关系．
知识点1　复数的辐角、与辐角主值
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)在复平面内一一对应的向量为，以x轴的非负半轴为始边，向量所在的射线(起点是原点O)为终边的角θ叫作复数z＝a＋bi(a，b∈R)的辐角．
(2)任一非零的复数z＝a＋bi(a，b∈R)
的辐角有无限个值，这些值相差2π的整数倍，我们把其中适合于0≤θ＜2π的辐角θ的值叫作复数z＝a＋bi(a，b∈R)的辐角主值．记为arg
z.
1.对于任意一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)是否都有唯一的模和辐角主值？复数的模与辐角主值可以唯一确定这个复数吗？
[提示]　每一个非零复数z＝a＋bi(a，b∈R)都有唯一的模和辐角主值；复数的模与辐角主值可以唯一确定这个复数．
(3)两个非零复数相等的充要条件
两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等．
(4)
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模与辐角主值
①设复数z＝a＋bi(a，b∈R，z≠0)的辐角为θ，则cos
θ＝，sin
θ＝，其中r＝.
②复数z＝0，复数的模为0，辐角是任意的．
1.若复数z＝－1－i(i为虚数单位)，则arg
z为(　　)
A．－120°
B．120°
C．240°
D．210°
C　[由z＝－1－i，得复数z对应的点在第三象限，且cos
θ＝－，所以arg
z＝240°.故选C.]
知识点2　复数的三角形式
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模为r，辐角为θ，则z＝r(cos
θ＋isin
θ)，其中r＝，cos
θ＝，sin
θ＝.
则r(cos
θ＋isin
θ)称为复数z的三角形式，而a＋bi(a，b∈R)称为复数z的代数形式．
2.复数z＝1－i(i为虚数单位)的三角形式为(　　)
A．z＝(sin
45°－icos
45°)
B．z＝(cos
45°－isin
45°)
C．z＝[cos(－45°)－isin(－45°)]
D．z＝[cos(－45°)＋isin(－45°)]
D　[依题意得r＝＝，复数z＝1－i对应的点在第四象限，且cos
θ＝，因此，arg
z＝315°，结合选项知D正确，故选D.]
知识点3　复数的三角形式的乘、除法法则及几何意义
(1)
复数的三角形式的乘法法则
①若复数z1＝r1(cos
θ1＋isin
θ1)，z2＝r2(cos
θ2＋isin
θ2)，则z1z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，
即两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和．
②复数乘法的几何意义
在复平面内，复数z1、z2对应的向量分别为、，复数z1、z2的辐角主值分别为θ1、θ2，复数z1、z2的模分别为r1、r2，将向量按逆时针方向旋转θ2得到向量(模仍然为r1)，再把向量的模r1变为原来的r2倍，从而得到一个新向量，向量所对应的复数为r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，即为z1z2，这就是复数乘法的几何意义．
(2)复数的三角形式的除法法则
若复数z1＝r1(cos
θ1＋isin
θ1)，z2＝r2(cos
θ2＋isin
θ2)，当z2≠0，则＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]，即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
2.类比复数乘法的几何意义，解释复数除法的几何意义．
[提示]　在复平面内，复数z1、z2对应的向量分别为、，复数z1、z2的辐角主值分别为θ1、θ2，复数z1、z2的模分别为r1、r2，将向量按顺时针方向旋转θ2得到向量(模仍然为r1)，再把向量的模r1变为原来的倍，从而得到一个新向量，向量所对应的复数为[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]
，即为，这就是复数除法的几何意义．
3.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的幅角等于各复数的幅角的积．
(　　)
(2)一个复数与i相乘，几何意义是把这个复数对应的向量绕原点沿逆时针方向旋转．
(　　)
(3)
[r(cos
θ＋isin
θ)]2＝r2[cos2θ＋isin2θ]．
(　　)
(4)任意一个复数的模和辐角主值都是确定的．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)
×
4.设复数z1＝，z2＝6，则z1z2为(　　)
A．3i
B．3
C．－3i
D．3
A　[z1z2＝×6＝3＝3i.
故选A.]
类型1　复数的三角形式与辐角、辐角主值
【例1】　将下列复数表示成三角形式，并求出其模和辐角主值．
(1)1＋i；(2)－3.
[解]　(1)因为|1＋i
|＝＝2，cos
θ＝，sin
θ＝
，
所以1＋i＝2，
所以该复数的模为2，arg
z＝.
(2)法一：因为－3＝－＋i，所以该复数的模r＝＝3，cos
θ＝－，sin
θ＝，
又arg
z∈[0，2π)，
所以arg
z＝，
所以－3＝3.
法二：因为－3＝3＝3＝3，
所以该复数的模为3，arg
z＝.
(1)复数的三角形式、辐角、辐角主值
复数的三角形式的特点：r(cos
θ＋isin
θ)
，其中r为复数的模，θ为辐角；
对于任意一个非零复数可以有多个辐角，它们相差2π的整数倍；所有辐角中在[0，2π)上的辐角称为辐角主值．
(2)将非零复数化为三角形式的方法：
法一：先化为三角形式r(cos
θ＋isin
θ)，再根据r＝，cos
θ＝，sin
θ＝，求出模和辐角．
法二：先提取复数的模r，再结合诱导公式化为三角形式．
[跟进训练]
1．写出下列复数的三角形式和辐角主值．
(1)
z＝－i；(2)z＝－2.
[解]　(1)法一：因为|z|＝|－i|＝＝2，cos
θ＝，sin
θ＝－，
所以可取θ＝arg
z＝，从而z＝－i的三角形式为z＝2.
法二：z＝－i＝2＝2，
所以z＝－i的三角形式为z＝2，arg
z＝.
(2)
z＝－2＝2＝2.
所以arg
z＝.
类型2　复数三角形式的乘、除法法则的运算
【例2】　计算：(1)5×2；
(2)
.
[解]　(1)5×2
＝10
＝10
＝＋i.
(2)＝
＝
＝
＝＋i.
1．复数三角形式的乘法法则：z1的模乘以z2的模等于z1·z2的模，z1的辐角加上z2的辐角是z1·z2的辐角．
2．复数三角形式的除法法则：z1的模除以z2的模等于的模，z1的辐角减去z2的辐角是的辐角．
[跟进训练]
2．设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，已知z1·z的对应点在虚轴的负半轴上，且arg
z2∈(0，π)，求z2的代数形式．
[解]　因为z1＝2，
设z2＝2(cos
α＋isin
α)，α∈(0，π)，
所以z1·z＝8.
由题设知2α＋＝2kπ＋
(k∈Z)，
所以α＝kπ
＋
(k∈Z)，
又α∈(0，π)，
所以α＝，所以z2＝2＝－1＋i.
类型3　复数三角形式的乘、除法法则的几何意义
【例3】　把复数z1与z2对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知z2＝－1－i，求复数z1的代数式和它的辐角主值．
[解]　由复数乘法的几何意义得
z1＝z2，
又z2＝－1－i＝2，
∴z1＝
＝2＝－＋i，
z1的辐角主值为.
设z1，z2对应的向量分别为，，z1，z2的模分别为r1、r2，辐角分别为θ1、θ2.
?1?复数乘法的几何意义：绕原点O逆时针方向旋转θ2，得到，再将的模变为原来的r2倍，如果所得向量为，则对应的复数为z1·z2.
?2?复数除法的几何意义：绕原点O顺时针方向旋转θ2，得到，再将的模变为原来的倍，如果所得向量为，则对应的复数为.
[跟进训练]
3．如图，复平面内的是等边三角形△OBC，
B的坐标为(1，1)，求点C的坐标．
[解]　因为B的坐标为(1，1)，所以|OB|＝，
∴＝1＋i＝＝，
将绕点O顺时针方向旋转得
＝·
＝
＝
＝×＝＋i，
所以点C坐标为.
1．复数z＝1－i，则arg
z＝(　　)
A．
B．－
C．
D．不唯一
C　[∵z＝1－i，∴复数z对应的点在第四象限，且cos
θ＝，
∴arg
z＝，故选C.]
2．复数＋i化成三角形式，正确的是(　　)
A．cos＋isin
B．cos＋isin
C．cos＋isin
D．cos＋isin
B　[复数＋i的模r＝1，cos
θ＝，sin
θ＝，
所以可取θ＝arg＝.
即＋i＝cos＋isin.故选B.]
3．已知i为虚数单位，z1＝(cos
60°＋isin
60°)，z2＝2(sin
30°－icos
30°)，则z1·z2＝(　　)
A．4(cos
90°＋isin
90°)
B．4(cos
30°＋isin
30°)
C．4(cos
30°－isin
30°)
D．4(cos
0°＋isin
0°)
D　[∵z2＝2(sin
30°－icos
30°)＝2(cos
300°＋isin
300°)，
∴z1·z2＝(cos
60°＋isin
60°)×2(cos
300°＋isin
300°)＝4(cos
360°＋isin
360°)，结合选项知选D.]
4．复数z1＝1＋i，z2＝－i在复平面内对应的点分别为A、B，则∠AOB＝______.
　[z1＝1＋i＝，
z2＝－i＝2，
所以∠AOB＝＋＝.]
5．已知等腰直角三角形OAB中，∠A＝，若点A对应的复数为2＋3i，则点B对应的复数为______．
－1＋5i或5＋i　[(2＋3i)＝
(2＋3i)(1＋
i)＝－1＋5i，
(2＋3i)＝5＋i，即B点对应的复数为－1＋5i或5＋i.]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．将复数z＝a＋bi(a，b∈R)化为三角形式z＝r(cos
θ＋isin
θ)时，要注意哪些问题？
[提示]　(1)r＝；
(2)cos
θ＝，sin
θ＝，其中θ终边所在象限与点(a，b)所在象限相同．或tan
θ＝(a≠0)，θ终边所在象限与点(a，b)所在象限一致．当a＝0，b>0时，arg
z＝.
2．复数三角形式的乘除法是如何运算的？
[提示]　设z1＝r1(cos
θ1＋isin
θ1)，z2＝r2(cos
θ2＋isin
θ2)，则z1·z2＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]，＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
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-第12章
复数
类型1　复数的概念及其分类
形如z＝a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中a与b分别叫作复数的实部和虚部．若b≠0，则z叫作虚数；若a＝0且b≠0，则z叫作纯虚数；若b＝0，则z是实数．
【例1】　复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时：
(1)z∈R；(2)z为虚数．
[解]　(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，
所以
由②得x＝4，经验证满足①③式．
所以当x＝4时，z∈R.
(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，
所以
由①得x>或x<.
由②得x≠4，由③得x>3.
所以当x>且x≠4时，z为虚数．
[跟进训练]
1．(1)复数z＝|(－i)i|＋i5(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为________．
(2)设z＝＋i，则|z|＝________.
(1)2－i　(2)　[(1)∵(－i)i＝i＋1，
∴|(－i)i|＝|i＋1|＝2，
∴z＝2＋i5＝2＋i，
∴复数z的共轭复数为2－i.
(2)z＝＋i＝＋i＝＋i，则|z|＝＝.]
类型2　复数的四则运算
复数的四则运算主要包括复数的加法、减法、乘法、除法以及乘方运算．
(1)复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似．
(2)复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数，最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式.
(3)复数的乘方运算中，注意in的周期性，以及若ω＝－＋i，则①ω3＝1；②1＋ω＋ω2＝0等性质的灵活应用．
(4)利用复数相等，可实现复数问题的实数化．
【例2】　(1)若i(x＋yi)＝3＋4i(x，y∈R)，则复数x＋yi的模是________．
(2)已知(1＋2i)＝4＋3i，则的值为________．
(3)设z＝－i，则z2－z＋1＝________.
(1)5　(2)＋i　(3)0　[(1)法一：因为i(x＋yi)＝3＋4i，所以x＋yi＝＝＝4－3i，
故|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5.
法二：因为i(x＋yi)＝3＋4i，所以－y＋xi＝3＋4i，所以x＝4，y＝－3，故|x＋yi|＝|4－3i|＝＝5.
(2)因为(1＋2i)＝4＋3i，所以＝＝＝2－i，所以z＝2＋i，所以＝＝＝＋i.
(3)∵z＝－i，则z2＝＝－－i＝－－i，
∴z2－z＋1＝－－i－＋1＝0.]
[跟进训练]
2．(1)复数＝________.(2)2
020＝________.
(1)－2i　(2)1　[(1)＝＝(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i.
(2)原式＝＝(－1)1
010＝1.]
类型3　复数的几何意义
复数的几何意义要把握以下三点：
(1)复数z、复平面内点Z、复平面内的向量，三者之间是一一对应的关系．
(2)两个复数差的模的几何意义是这两个复数在复平面内对应的两点之间的距离．
(3)复数的三角形式的运算的几何意义，也为数形结合提供一个平台．
【例3】　已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.
(1)求复数z；
(2)设z，()2，z－z2在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积；
(3)若复数z在复平面内所对应的点位于第一象限，且复数m满足|m－z|＝1，求|m|的最值．
[解]　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝(a2－b2)＋2abi，
∴∴或
∴z＝1＋i或z＝－1－i.
(2)当z＝1＋i时，()2＝－2i，z－z2＝1－i，
则A(1，1)，B(0，－2)，C(1，－1)．
∴S△ABC＝×2×1＝1.
当z＝－1－i时，()2＝－2i，z－z2＝－1－3i，
则A(－1，－1)，B(0，－2)，C(－1，－3)，
∴S△ABC＝×2×1＝1.
∴△ABC的面积为1.
(3)由题知，z＝1＋i，对应点(1，1)在第一象限，|z|＝，又|m－z|＝|m－(1＋i)|＝1，
则复数m在复平面内所对应的点M的轨迹为以(1，1)为圆心，1为半径的圆，
所以|m|最小值＝－1，|m|最大值＝＋1.
[跟进训练]
3．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应点的坐标是________．
(－1，3)　[z＝＝(1＋2i)(1＋i)＝－1＋3i，所以z在复平面内对应点的坐标是(－1，3)．]
类型4　转化与化归思想
一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．
【例4】　设z∈C，满足z＋∈R，z－是纯虚数，求z.
[解]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
z＋＝x＋yi＋
＝＋i，
∵z＋∈R，
∴y－＝0，解得y＝0或x2＋y2＝1.
又∵z－＝x＋yi－＝＋yi是纯虚数，
∴
∴x＝，代入x2＋y2＝1中，求出y＝±，
∴复数z＝±i.
[跟进训练]
4．满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．
[解]　设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，
则z＋＝x＋yi＋＝x＋＋i，z＋3＝x＋3＋yi.
由已知，得因为y≠0，
所以
解得或
所以存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足题设条件．
1．(2020·新高考全国卷Ⅱ)(1＋2i)(2＋i)＝(　　)
A．－5i
B．5i
C．－5
D．5
B　[(1＋2i)(2＋i)＝2＋i＋4i＋2i2＝2＋5i－2＝5i，故选B.]
2．(2020·全国卷Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝(　　)
A．0
B．1
C．
D．2
D　[法一：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|2i－2i－2|＝|－2|＝2.故选D.
法二：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|z||z－2|＝×|－1＋i|＝×＝2.故选D.]
3．(2020·江苏高考)已知i是虚数单位，则复数z＝(1＋i)(2－i)的实部是________．
3　[z＝(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i＋1＝3＋i，∴z的实部为3.]
4．(2020·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________.
2　[法一：设z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则由|z1|＝|z2|＝2，得x＋y＝x＋y＝4.
因为z1＋z2＝x1＋x2＋(y1＋y2)i＝＋i，所以|z1＋z2|2＝(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝x＋y＋x＋y＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2＝()2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以|z1－z2|＝|x1－x2＋(y1－y2)i|＝＝＝＝2.
法二：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，
则z2＝－a＋(1－b)i，
则
即
所以|z1－z2|2＝(2a－)2＋(2b－1)2＝4(a2＋b2)－4(a＋b)＋4＝4×4－4×2＋4＝12，所以|z1－z2|＝2.
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