资源简介 15.1 随机事件和样本空间学习任务核心素养1．结合具体实例，理解确定性现象和随机现象．2．结合一次试验，理解样本点、样本空间、随机事件和基本事件的概念．(重点)3．初步学会用集合语言来刻画事件之间的关系．(重点、难点)1．通过对确定性现象和随机现象的研究，结合随机事件、必然事件、不可能事件概念的学习，培养数学抽象素养．2．通过写出试验的样本空间，立足集合观念研究随机事件之间的相互关系，培养数学建模素养．某种福利彩票的中奖率为20%，某人购买彩票100张，就一定有20张彩票中奖吗？带着这样的问题，我们共同学习第15章《概率》．概率论的主要任务是研究随机现象的统计规律，如何用数学语言来刻画随机事件？用怎样的数学模型来量化随机事件的发生的可能性？知识点1 确定性现象、随机现象(1)在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象．(2)在一定条件下，某种结果可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象．1．有下列现象：①连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面向上；②异性电荷互相吸引；③在标准大气压下，水在0℃结冰；④南通某天下雨．其中是随机现象的是( )A．①③B．②③C．①④D．③④C [随机现象的典型特征是不能事先预料哪一种结果会出现，据此逐个分析，所以①④正确．]知识点2 样本空间、随机事件等概念(1)试验对某随机现象进行的实验、观察称为随机试验，简称试验．(2)样本点、样本空间、随机事件、基本事件的概念把随机试验的每一个可能结果称为样本点，用ω表示；所有样本点组成的集合称为样本空间，记为Ω；样本空间的子集称为随机事件，也简称事件．事件一般用A，B，C等大写英文字母表示．当一个事件仅包含单一样本点时，称该事件为基本事件．Ω(全集)是必然事件，?(空集)是不可能事件．2．在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件．给出下列事件：①3件都是红色；②3件都是白色；③至少有1件红色；④至少有1件白色．其中是必然事件的序号为________．③ [因白色商品共2件，而要抽出3件商品，故抽出的3件中至少有1件为红色的，故选③．]知识点3 事件的构成、事件的并与交一个事件的完整表述分为两个部分，前一部分为试验的条件，后一部分为试验的结果．事件A、B的并(和)：对于事件A、B、C之间的关系为C＝A∪B，因此“事件A与B至少有一个发生即为事件C发生”．我们称C是A与B的并，也称C是A与B的和，记作C＝A＋B．事件A、B的交(积)：对于事件A、B、C之间的关系为C＝A∩B，因此“事件A与B同时发生即为事件C发生”．我们称C是A与B的交，也称C是A与B的积，记作C＝AB．3．抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A＝“出现的点数是1或2”，事件B＝“出现的点数是2或3或4”，则事件“出现的点数是2”可以记为( )A．A∪BB．A∩BC．A?BD．A＝BB [A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝{2}，故选B．]类型1 事件的有关概念【例1】 判断下列事件哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？(1)抛一石块，下落；(2)在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化；(3)某人射击一次，中靶；(4)如果a>b，那么a－b>0；(5)掷一枚硬币，出现正面；(6)导体通电后，发热；(7)从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签；(8)某电话机在1分钟内收到2次呼叫；(9)没有水分，种子能发芽；(10)在常温下，焊锡熔化．[解] (1)是必然事件，该现象是大自然的客观规律所致．(2)是不可能事件，在标准大气压下，只有温度高于0℃时，冰才融化．(3)是随机事件，射击一次可能中靶，也可能不中靶．(4)是必然事件，由不等式性质可得．(5)是随机事件，因为将一枚硬币抛掷一次，可能出现正面向上，也可能出现反面向上．(6)是必然事件，导体通电发热是物理现象．(7)是随机事件，从5张标签中任取一张，每张都有被取到的可能．(8)是随机事件，因为结果有不可预知性．(9)是不可能事件，因为种子只有在有水分的条件下，才能发芽．(10)是不可能事件，因为金属锡只有在高温下才能熔化．要判定某事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的.其次再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生.一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件.[跟进训练]1．有下列事件：①足球运动员罚点球命中；②在自然数集合中任取一个数为偶数；③在标准大气压下，水在100℃时沸腾；④已知A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则B?A；⑤光线在均匀介质中发生折射现象；⑥任意两个奇数之和为奇数．上述事件中为随机事件的有________，为必然事件的有________，为不可能事件的有________．(填序号)①② ③ ④⑤⑥ [①足球运动员罚点球可能命中，也可能不命中；②在自然数集合中任取一个数可能为奇数，也可能为偶数；③在标准大气压下，水在100℃时一定沸腾；④已知A＝{1，2，3}，B＝{3，4}，则B?A是不可能的；⑤光线在均匀介质中是沿直线传播的，不可能发生折射现象；⑥任意两个奇数之和为偶数．]2．分析下面给出的五个事件哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？(1)某地2月3日下雪；(2)函数y＝ax(a>0且a≠1)在定义域上是增函数；(3)实数的绝对值不小于0；(4)在标准大气压下，水在1℃结冰；(5)a，b∈R，则ab＝ba．[解] (1)随机事件，某地在2月3日可能下雪，也可能不下雪．(2)随机事件，函数y＝ax(a>0且a≠1)，当a>1时在定义域上是增函数，当0(3)必然事件，实数的绝对值非负．(4)不可能事件，在标准大气压下，水在0℃以下结冰．(5)必然事件，若a，b∈R，则ab＝ba恒成立．类型2 确定一次试验的样本空间、随机事件的样本点【例2】 (1)指出下列试验的样本空间：①从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球；②从1，3，6，10四个数中任取两个数(不重复)作差．(2)“抛掷一颗骰子，结果向上的点数为奇数”记为事件A，“抛掷一颗骰子，结果向上的点数不小于3”记为事件B，“抛掷一颗骰子，结果向上的点数为奇数或不小于3”记为事件C，“抛掷一颗骰子，结果向上的点数为不小于3的奇数”记为事件D，写出事件A、B、C、D所包含的样本点，并用集合语言分析A、B、C、D之间的关系．[解] (1)①样本空间Ω＝{(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，黑球)}．②由题意可知：1－3＝－2，3－1＝2，1－6＝－5，6－1＝5，1－10＝－9，10－1＝9，3－6＝－3，6－3＝3，3－10＝－7，10－3＝7，6－10＝－4，10－6＝4．即试验的样本空间Ω＝{－2，2，－5，5，－9，9，－3，3，－7，7，－4，4}．(2)记“抛掷一颗骰子，结果向上的点数为k”记为ωk(k＝1，2，3，4，5，6)，则Ω＝{ω1，ω2，ω3，ω4，ω5，ω6}，A＝{ω1，ω3，ω5}，B＝{ω3，ω4，ω5，ω6}，C＝{ω1，ω3，ω4，ω5，ω6}，D＝{ω3，ω5}．不难发现C＝A∪B，D＝A∩B，所以事件C是A与B的并(和)，即C＝A＋B，事件D是A与B的交(积)，即D＝AB．1．求本例(1)②中试验的样本点的总数．[解] 样本点的总数为12．2．在本例(1)②满足中“两个数的差大于0”的样本点有哪些？[解] 满足“两个数的差大于0”的样本点有：2，5，9，3，7，4，共6个．3．在本例(1)①中，从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取1个小球，记下颜色后放回，连续取两次，指出试验的样本空间．[解] 样本空间Ω＝{(红球，红球)，(红球，白球)，(红球，黑球)，(白球，白球)，(白球，红球)，(白球，黑球)，(黑球，黑球)，(黑球，白球)，(黑球，红球)}．4．在本例(1)②中，从1，3，6，10四个数中任取两个数(不重复)分别作为平面内点的纵横坐标，指出试验的样本空间．[解] 由题意可知：样本空间Ω＝{(1，3)，(1，6)，(1，10)，(3，1)，(3，6)，(3，10)，(6，1)，(6，3)，(6，10)，(10，1)，(10，3)，(10，6)}．确定样本空间的方法(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．[跟进训练]3．从a，b，c，d中任取两个字母，写出该试验的样本空间及其包含的样本点数．[解] 该试验的结果中，含a的有ab，ac，ad；不含a，含b的有bc，bd；不含a，b，含c的有cd，∴Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}，即该试验的样本点数为6．1．下列事件不是随机事件的是( )A．东边日出西边雨B．下雪不冷化雪冷C．清明时节雨纷纷D．梅子黄时日日晴B [B是必然事件，其余都是随机事件．]2．下列试验：①当x是实数时，x－|x|＝2；②某班一次数学测试，及格率低于75%；③从分别标有0，1，2，3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数；④体育彩票某期的特等奖号码．其中的随机事件是( )A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④C [由随机事件的定义知②③④是随机事件．]3．试验E：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为( )A．{10，11，…，99}B．{1，2，…，18}C．{0，1，…，18}D．{1，2，…，10}B [由题意可知，试验考察的是个位数字与十位数字的和的情况，因此样本空间中的样本点为和的结果，个位数字取值从0到9，十位数字取值从1到9，所以该试验的样本空间为{1，2，…，18}．]4．某电路如图所示．用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝________．(用B，C，D间的运算关系式表示)(BC)∪(BD)(或B∩(C∪D)) [根据电路图，要想使电灯变亮，开关Ⅰ一定闭合，同时开关Ⅱ或开关Ⅲ闭合，故A＝B∩(C∪D)＝(BC)∪(BD)．]5．从2，3，8，12中任取两个不同的数字，分别记为a，b，用(a，b)表示该试验的样本点，则事件“为有理数”可表示为________．{(2，8)，(3，12)，(8，2)，(12，3)} [由题意，样本空间为{(2，3)，(2，8)，(2，12)，(3，8)，(3，12)，(8，12)，(3，2)，(8，2)，(12，2)，(8，3)，(12，3)，(12，8)}．根据有理数的定义，ab的算术平方根为整数，所以事件“为有理数”可表示为{(2，8)，(3，12)，(8，2)，(12，3)}．]回顾本节知识，自我完成以下问题：1．如何确定试验的样本空间？[提示] 确定试验的样本空间就是写出试验的所有可能的结果，并写成Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}的形式．2．写试验的样本空间要注意些什么？[提示] 要考虑周全，应想到试验的所有可能的结果，避免发生遗漏和出现多余的结果．3．事件“A＋B”、事件“AB”的含义分别是什么？[提示] 事件A＋B表示事件A或事件B至少有一个发生；事件AB表示事件A和事件B同时发生．PAGE-1-15.2 随机事件的概率学习任务核心素养1．了解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及概率与频率的区别．(难点)2．理解概率的统计定义，知道根据概率的统计定义计算概率的方法．(重点)3．理解等可能事件的意义，会把事件分解成等可能基本事件．(难点)4．理解古典概型的特点，掌握等可能事件的概率计算方法．(重点)1．通过频率估计概率，培养数据分析、数学运算核心素养．2．利用古典概型的知识来解决实际问题，培养数学建模核心素养．科学家的科学研究离不开具体大量的试验，奥地利遗传学家孟德尔通过大量的豌豆杂交试验，终于发现了生物遗传学规律：分离定律和自由组合定律．统计学中可以用样本估计总体的分布和特征数，大量的同一条件下的试验可以发现，某些随机事件发生的频率总在某个常数附近摆动，能否以随机事件的频率去估计随机事件的概率？盒子中有四张彩票，只有一张能中奖，甲从中摸出一张，中奖的可能性为，你能给出合理的解释吗？知识点1 随机事件的概率(1)频数与频率在一定条件下，重复进行了n次试验，如果某一随机事件A出现了m次，则事件A出现的频数是m，称事件A出现的次数与试验总次数的比为随机事件A出现的频率．(2)概率的统计定义一般地，对于给定的随机事件A，在相同的条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们把这个常数作为随机事件A发生的概率，记作P(A)．(3)必然事件和不可能事件的概率把必然事件Ω和不可能事件?当成随机事件的两种特殊情况来考虑，则P(Ω)＝1，P(?)＝0．所以对任何一个事件A，都有0≤P(A)≤1．频率与概率之间有什么关系？[提示] (1)频率是随机的，是一个变量，在试验前不能确定，且可能会随着试验次数的改变而改变，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，反映了随机事件出现的可能性的大小，近似反映了概率的大小．比如全班同学都做了10次掷硬币的试验，但得到正面向上的频率可以是不同的．(2)概率是一个确定的常数，是客观存在的，它是频率的科学抽象，与每次试验无关，不随试验结果的改变而改变，从数量上反映随机事件发生的可能性大小．例如，如果一个硬币质地均匀，则掷该枚硬币出现正面向上的概率是0.5，与做多少次试验无关．(3)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近于概率．在实际问题中，随机事件的概率未知，常用大量重复试验中事件发生的频率作为它的估计值．1．下列说法：①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②百分率是频率，不是概率；③频率是不能脱离具体的n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是________．①③④ [由频率与概率的定义及两者之间的关系知①③④正确，②不正确．]知识点2 古典概型(1)在样本空间为Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn}的一次试验中，每个基本事件{ωk}(k＝1，2，3，…，n)发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．(2)具有以下两个特点：①样本空间Ω只含有有限个样本点；②每个基本事件的发生都是等可能的．将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型．(3)在古典概型中，如果样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}(其中，n为样本点的个数)，那么每一个基本事件{ωk}(k＝1，2，…，n)发生的概率都是．如果事件A由其中m个等可能基本事件组合而成，即A中包含m个样本点，那么事件A发生的概率为P(A)＝．(4)一般地，对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在随机事件A发生的概率P(A)的附近摆动并趋于稳定．我们将频率的这个性质称为频率的稳定性．因此，若随机事件A在n次试验中发生了m次，则当试验次数n很大时，可以用事件A发生的频率来估计事件A的概率，即P(A)≈．2．(多选题)下列对古典概型的说法正确的是( )A．试验中所有可能出现的基本事件含有有限个B．每个事件出现的可能性相等C．每个基本事件出现的可能性相等D．基本事件总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝ACD [正确理解古典概型的特点，即基本事件的有限性与等可能性．]类型1 对概率意义的理解【例1】 (对接教材P268练习T3)某种病的治愈概率是0.3，那么前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3?[解] 如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈的概率是0.3，指随着试验次数的增加，即治疗的病人数的增加，大约有30%的人能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个病人没治愈是可能的，而对后3个病人来说，其结果仍然是随机的，即有可能治愈，也有可能没治愈．治愈的概率是0.3，是指如果患病的有1000人，那么我们根据治愈的频率应在治愈概率附近摆动这一前提，就可以认为这1000人中，大约有300人能治愈，这个事先估计对于医药卫生部门是很有参考价值的．这也进一步说明了随机事件的概率只是反映了大量重复试验条件下，随机试验A发生的频率的稳定性．随机事件的发生具有随机性，概率值仅说明事件发生的可能性的大小，因此，在解释随机事件的概率时，凡是出现“必定”“肯定”之类的确定性字眼，一般都是错误的．[跟进训练]1．试解释下列情况中概率的意义．(1)某商场为促进销售，实行有奖销售活动，凡购买其商品的顾客中奖的概率为0.20；(2)一生产厂家称：我们厂生产的产品合格的概率是0.98．[解] (1)指购买其商品的顾客中奖的可能性为20%．(2)指其厂生产的产品合格的可能性是98%．类型2 频率与概率的关系及求法【例2】 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：分组[500，900)[900，1100)[1100，1300)[1300，1500)[1500，1700)[1700，1900)[1900，＋∞)频数4812120822319316542频率(1)将各组的频率填入表中；(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1500小时的概率．[解] (1)频率依次是：0.048，0.121，0.208，0.223，0.193，0.165，0.042．(2)样本中寿命不足1500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中灯管使用寿命不足1500小时的频率是＝0.6，所以灯管使用寿命不足1500小时的概率约为0.6．1．频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近左右摆动，这个稳定值就是概率．2．解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．[跟进训练]2．某种菜籽在相同的条件下发芽试验结果如下表：菜籽粒数251070130310700150020003000发芽粒数24960116282639133918062715发芽频率(1)填写表中的菜籽发芽的频率；(2)求该种菜籽发芽的概率．[解] (1)根据表格计算不同情况下种子发芽的频率分别是：1，0.8，0.9，0.857，0.892，0.910，0.913，0.893，0.903，0.905．(2)随着菜籽粒数的增加，菜籽发芽的频率越来越接近于0.9，且在它的附近摆动．故该种菜籽发芽的概率约为0.9．类型3 样本点的计数问题【例3】 连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验的样本点的总数；(3)“恰有2枚正面朝上”这一事件包含哪些样本点？[解] (1)这个试验样本空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}．(2)这个试验的样本点的总数是8．(3)“恰有2枚正面朝上”包含以下3个样本点：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．求基本事件的个数常用列举法、列表法、画树形图法，解题时要注意以下几个方面：(1)列举法适用于基本事件个数不多的概率问题，用列举法时要注意不重不漏；(2)列表法适用于基本事件个数不是太多的情况，通常把问题归结为“有序实数对”，用列表法时要注意顺序问题；(3)画树形图法适合基本事件个数较多的情况，若是有顺序的问题，可以只画一个树形图，然后乘元素的个数即可．[跟进训练]3．一只口袋内装有大小相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出两个球．(1)共有多少个样本点？(2)“两个都是白球”记为事件A，则A包含几个样本点？[解] 法一：(采用列举法)(1)分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，记(1，2)表示摸到1号，2号球．则Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}，共有10个样本点．(2)A＝{(1，2)，(1，3)，(2，3)}，包括3个样本点．法二：(采用列表法)(1)设5个球的编号为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：abcdea(a，b)(a，c)(a，d)(a，e)b(b，a)(b，c)(b，d)(b，e)c(c，a)(c，b)(c，d)(c，e)d(d，a)(d，b)(d，c)(d，e)e(e，a)(e，b)(e，c)(e，d)由于每次取两个球，每次所取两个球不相同，而摸(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有10个基本等可能事件．即样本点的个数为10．(2)A＝{(a，b)，(b，c)，(c，a)}，包括3个样本点．类型4 利用古典概型公式求解概率【例4】 先后掷两枚质地均匀的骰子．(1)一共有多少种不同的结果？(2)向上的点数之和是5的结果有多少种？(3)出现两个4点的概率是多少？该试验是否具备古典概型的条件，如何借助概率公式求解？[解] (1)用一个“有序实数对”表示先后掷两枚骰子得到的结果，如用(1，3)表示掷第一枚骰子得到的点数是1，掷第二枚骰子得到的点数是3，则下表列出了所有可能的结果．掷第二枚得到的点数掷第一 枚得到的点数 1234561(1，1)(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(1，6)2(2，1)(2，2)(2，3)(2，4)(2，5)(2，6)3(3，1)(3，2)(3，3)(3，4)(3，5)(3，6)4(4，1)(4，2)(4，3)(4，4)(4，5)(4，6)5(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)(5，5)(5，6)6(6，1)(6，2)(6，3)(6，4)(6，5)(6，6)从表中可以看出，先后掷两枚骰子的所有可能结果共有36种．即样本空间有36个样本点，即36种结果的出现是等可能的，该试验的概率模型为古典概型．(2)在所有的结果中，向上的点数之和为5的结果有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种．(3)记“出现两个4点”为事件B．因为事件B出现的可能结果只有1种，所以事件B发生的概率P(B)＝．古典概型的解题步骤(1)阅读题目，搜集信息；(2)判断是否是古典概型；(3)求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m；(4)用公式P(A)＝求出概率并下结论．[跟进训练]4．甲、乙两人参加法律知识竞答，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙两人依次各抽一道题．甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？[解] 甲、乙两人从10道题中不放回地各抽一道题，先抽的有10种抽法，后抽的有9种抽法，故所有可能的抽法是10×9＝90(种)，即基本事件总数是90．记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，下面求事件A包含的基本事件数：甲抽到选择题有6种抽法，乙抽到判断题有4种抽法，所以事件A的基本事件数为6×4＝24．P(A)＝＝．1．下列说法正确的是( )A．任何事件的概率总是在区间(0，1)内B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D．概率是随机的，在试验前不能确定C [不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故A错；频率与试验次数有关，故B错；概率是频率的稳定值，故C正确；概率是客观存在的，与试验次数无关，故D错．故选C．]2．已知某彩票中奖的概率为，则下列关于彩票中奖的说法正确的是( )A．买1张彩票一定不会中奖B．买1000张彩票肯定有1张中奖C．买2000张彩票肯定能中奖D．买10000张彩票不一定会中奖D [对随机事件发生可能性大小的度量为事件的概率，所以彩票中奖概率表示买彩票中奖这一随机事件发生的可能性为，所以对于每一张彩票，它中奖的概率均是，与买的张数无关，故D正确．]3．下列试验中，是古典概型的是( )A．种下一粒种子观察它是否发芽B．从规格直径为250mm±0.6mm的一批合格产品中任意抽取一件，测得直径C．抛掷一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面D．某人射击中靶或不中靶C [A中，一粒种子发芽和不发芽的可能性不相等，所以A不是；B中，每一件的直径不相同，即可能性不相等，所以B不是；D中，中靶和不中靶的可能性不相等，所以D不是；C中，出现正面和反面的可能性相等，且结果仅有两个，故选C．]4．书架上有3本数学书，2本物理书，从中任意取出2本，则取出的两本书都是数学书的概率为________． [利用列举法求出基本事件总数为10个．求出取出的两本书都是数学书包含的基本事件个数3个，故所求概率P＝．]5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________． [分别以1，2，3，4表示1只白球，1只红球，2只黄球，则随机摸出2只球的所有基本事件为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6个基本事件，2只球颜色不同的基本事件有5个，故所求的概率P＝．]回顾本节知识，自我完成以下问题：1．频率与概率的区别与联系有哪些？[提示] 频率与概率的区别与联系如下表所示：名称区别联系频率本身是随机的，在试验之前无法确定，随着试验次数的改变而改变，即使做同样次数的重复试验，得到的频率也可能会不同频率是概率的近似值，在多次重复试验中，同一事件发生的频率在某一个常数附近摆动，频率会越来越接近概率，在大量重复试验的前提下，可将频率近似地作为这个事件的概率，在实际问题中，通常事件的概率是未知的，常用频率估计概率概率是[0，1]中的一个常数，不随试验结果的改变而改变，它是频率的科学抽象2．古典概型有何特点？[提示] (1)样本点具有有限性；(2)每个基本事件的发生具有等可能性．“黄金72小时”中的概率当地震等地质灾害发生后，在媒体上经常可以看到“黄金72小时”这几个字．你知道它表示的是什么意思吗？医学研究和统计表明，在没有食物尤其是没有水的条件下，生命的存续期一般不会超过3天．国际救援界认为，在地震等地质灾害发生后的72小时内，被救出人员的存活率随时间的消逝呈递减趋势：第一天(即24小时内)，存活率约为90%；第二天，存活率为50%—60%；第三天，存活率为20%—30%．再往后的话，存活率将进一步减少．这里的存活率可以用概率来理解：被救出的人员，如果是在24小时内被发现的，那么该人员生还的概率为90%；如果是在第24—48小时内被发现的，那么生还的概率为50%—60%；如果是第48—72小时内发现的，那么生还的概率为20%—30%．这就意味着，当地震等地质灾害发生后，应该“与时间赛跑”，利用各种手段和机会尽可能早地发现被困人员．需要注意的是，概率描述的只是事件发生的可能性大小，发生的可能性小(即概率小)并不代表不会发生．统计数据表明，地震六天后，被埋人员生还的概率几乎为零．但是这样的事例并不是没有：2005年巴基斯坦7.6级地震中，一名青年被埋27天后获救生还；2008年我国汶川地震中，一位60岁的老人被困11天后获救生还；等等．因此，几乎所有的救援工作，在“黄金72小时”之外都会继续，以便发现更多生命的奇迹．PAGE-10-15.3 互斥事件和独立事件第1课时 互斥事件学习任务核心素养1．了解互斥事件及对立事件的概念，能判断两个事件是否是互斥事件，进而判断它们是否是对立事件．(重点、难点)2．了解两个互斥事件概率的加法公式，知道对立事件概率之和为1的结论．会用相关公式进行简单概率计算．(重点)1．通过求事件发生的概率，培养数据分析、数学运算核心素养．2．借助于互斥事件概率之间的关系，培养逻辑推理核心素养．甲、乙两人下棋，甲不输的概率是0.6，两人下成平局的概率是0.3．问题：甲获胜的概率是多少？知识点1 互斥事件与对立事件的定义(1)一次试验中，样本空间Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn}，随机事件A，B?Ω，满足AB＝?，即事件A与B不可能同时发生，称A，B为互斥事件，如果事件A和事件B互斥，是指事件A和事件B在一次试验中不能同时发生，也就是说，事件A和事件B同时发生的交(和)概率为0，即P(AB)＝0．(2)一次试验中，样本空间Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn}，随机事件A，C?Ω，满足AC＝?且A＋C＝Ω，即互斥事件A，C中必有一个发生，称A，C为对立事件，记作C＝或A＝．互斥事件与对立事件有什么区别和联系？[提示] 对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．1．抽查10件产品，设A＝{至少有两件次品}，则为________．至多有一件次品 [“至少有两件次品”的对立事件是“至多有一件次品”．]知识点2 概率加法公式(1)如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．这是概率满足的第三个基本性质(亦称概率的加法公式)．(2)一般地，如果事件A1，A2，…，An中任何两个事件都是互斥事件，那么称事件A1，A2，…，An两两互斥．那么P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)，即彼此互斥事件和的概率等于每个事件概率的和．2．若事件A，B互斥，且有P(A)＝0.1，P(B)＝0.3，那么P(A＋B)＝( )A．0.6B．0.4C．0.2D．0.03B [∵A，B互斥，且P(A)＝0.1，P(B)＝0.3，∴P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.3＝0.4．]知识点3 对立事件的一个重要公式对立事件A与必有一个发生，故A＋是必然事件，从而P(A)＋P()＝P(A＋)＝1．由此，我们可以得到一个重要公式：P()＝1－P(A)．3．某射手射中10环的概率为0.22，那么在一次射击训练中，该射手射击一次不够10环的概率为________．0.78 [令A＝“射手一次射击射中10环”，则P(A)＝0.22，∴P()＝1－P(A)＝1－0.22＝0.78．]类型1 互斥事件与对立事件的判断【例1】 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛．判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．[解] (1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件．当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．(2)因为“至少有1名男生”与“全是男生”能同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件．由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．(4)当选出的是1名男生、1名女生时，“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．1．要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．2．考虑事件的结果间是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．[跟进训练]1．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．[解] (1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．类型2 概率的加法公式【例2】 某一时期内，一条河流某处的年最高水位在各个范围内的概率如下：年最高水位/m[8，10)[10，12)[12，14)[14，16)[16，18]概率0.10.280.380.160.08计算在同一时期内，河流此处的年最高水位在下列范围内的概率：(1)[10，18]；(2)[8，14)．[解] 记此处河流的年最高水位在[8，10)，[10，12)，[12，14)，[14，16)，[16，18]范围内分别为事件A，B，C，D，E，则这5个事件是彼此互斥的，由互斥事件的概率加法公式可得：(1)此处河流的年最高水位在[10，18]的概率是P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.90．(2)此处河流的年最高水位在[8，14)的概率是P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.76．1．将一个事件拆分为若干个互斥事件，分别求出各事件的概率，然后用加法公式计算结果．2．在运用互斥事件的概率加法公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要会把一个事件拆分成几个互斥事件，做到不重不漏．3．常用步骤：(1)确定诸事件彼此互斥；(2)诸事件中有一个发生；(3)先求诸事件分别发生的概率，再求和．[跟进训练]2．盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球．设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”．已知P(A)＝，P(B)＝，求“3个球中既有红球又有白球”的概率．[解] 本题应先判断事件“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件A(“3个球中有1个红球，2个白球”)和事件B(“3个球中有2个红球，1个白球”)，而且事件A与事件B是互斥的，所以P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝．3．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第1声时被接的概率为0.1，响第2声时被接的概率为0.3，响第3声时被接的概率为0.4，响第4声时被接的概率为0.1，那么电话在响前4声内被接的概率是多少？[解] 记“响第1声时被接”为事件A，“响第2声时被接”为事件B，“响第3声时被接”为事件C，“响第4声时被接”为事件D，“响前4声内被接”为事件E，则易知A，B，C，D互斥，且E＝A＋B＋C＋D，所以由互斥事件的概率加法公式，得P(E)＝P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9．类型3 求对立事件的概率【例3】 一个袋中装有4个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4．(1)从袋中随机抽取2个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取1个球，该球的编号为m，将球放回袋中，再从袋中随机取1个球，该球的编号为n，求n?1?利用列举法求出基本事件的总数，进而求出概率；?2?是有放回抽样，所取的编号有先后次序之分，基本事件的总数为16，利用“正难则反”思想求解.[解] (1)从袋子中随机取2个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个．从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件有1和2，1和3，共2个．因此所求事件的概率为＝．(2)先从袋中随机取1个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取1个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个．满足条件n≥m＋2的结果为(1，3)，(1，4)，(2，4)，共3个．所以满足条件n≥m＋2的事件的概率P＝，故满足条件n1．当直接计算符合条件的事件个数较多时，可先计算其对立事件的概率，再由公式P(A)＝1－P()间接地求出符合条件的事件的概率．2．应用公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏，该公式常用于“至多”“至少”型问题的求解．[跟进训练]4．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为________． [每位同学有2种选法，基本事件的总数为24＝16，其中周六、周日中有一天无人参加的基本事件有2个，根据对立事件的概率公式知，周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1－＝．]5．玻璃球盒中装有各色球12只，其中5红、4黑、2白、1绿，从中任取1球，求：(1)得到红球或黑球的概率；(2)得到红球或黑球或白球的概率．[解] 记事件A1：从12只球中任取1球得红球；A2：从12只球中任取1球得黑球；A3：从12只球中任取1球得白球；A4：从12只球中任取1球得绿球，则P(A1)＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，P(A4)＝．(1)取出红球或黑球的概率为：P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝．(2)A1＋A2＋A3的对立事件为A4．P(A1＋A2＋A3)＝1－P(A4)＝1－＝．类型4 互斥事件、对立事件概率公式的综合应用【例4】 抛掷一个质地均匀的正方体玩具(各个面上分别有1，2，3，4，5，6这6个数字)，求：(1)落地时向上的数是偶数的概率；(2)落地时向上的数是奇数的概率；(3)落地时向上的数不小于5的概率；(4)落地时向上的数大于1的概率；(5)落地时向上的数最大或最小的概率．[解] 列表如下：向上的数x123456概率(1)P(x是偶数)＝P(x＝2)＋P(x＝4)＋P(x＝6)＝＋＋＝．(2)P(x是奇数)＝P(x＝1)＋P(x＝3)＋P(x＝5)＝＋＋＝(或P(x是奇数)＝1－P(x是偶数)＝1－＝)．(3)P(x≥5)＝P(x＝5)＋P(x＝6)＝＋＝．(4)P(x>1)＝P(x＝2)＋P(x＝3)＋P(x＝4)＋P(x＝5)＋P(x＝6)＝×5＝，或P(x>1)＝1－P(x≤1)＝1－P(x＝1)＝1－＝．(5)P(x最大或最小)＝P(x＝6)＋P(x＝1)＝＋＝．“互斥”和“对立”都是针对两个事件而言.“互斥”是指两个事件不能同时发生；“对立”是指两个互斥事件有且仅有一个发生.,对于求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；二是先求出所求事件的对立事件的概率，进而再求所求事件的概率.[跟进训练]6．掷一枚骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A＋发生的概率为________． [事件A发生的概率为P(A)＝＝，事件B发生的概率为P(B)＝＝，所以事件发生的概率为P()＝1－P(B)＝1－＝，易知事件A与事件互斥，故P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝．]7．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，求：(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．[解] (1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件，所以“甲获胜”的概率P＝1－－＝．即甲获胜的概率是．(2)法一：设事件A为“甲不输”，可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝＋＝．法二：设事件A为“甲不输”，可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(A)＝1－＝．即甲不输的概率是．1．从1，2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，为对立事件的是( )A．①B．②④C．③D．①③C [从1，2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、两奇、两偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立事件．]2．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是( )A．至少有1名男生与全是女生B．至少有1名男生与全是男生C．至少有1名男生与至少有1名女生D．恰有1名男生与恰有2名女生D [A是对立事件，B、C均不是互斥事件．]3．同时抛掷两枚骰子，没有5点或6点的概率是，则至少有一个5点或6点的概率是________． [由对立事件的概率公式，得所求的概率为1－＝．]4．抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件A为“出现1点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)＝P(B)＝，则出现1点或出现2点的概率为________． [设事件C为“出现1点或出现2点”，∵事件A，B是互斥事件，由C＝A＋B可得P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝．]5．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为________．50% [甲不输棋包含甲获胜或甲、乙两人下成和棋，则甲、乙两人下成和棋的概率为90%－40%＝50%．]回顾本节知识，自我完成以下问题：1．怎样判断互斥事件与对立事件？[提示] (1)利用基本概念：①两个互斥事件不可能同时发生；②对立事件首先是互斥事件，且必须有一个发生．(2)利用集合的观点来判断：设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B，I为全集．①事件A与B互斥，即集合A∩B＝?；②事件A与B对立，即集合A∩B＝?，且A∪B＝I，也即A＝?IB或B＝?IA；③互斥事件A与B的和A＋B，可理解为集合A∪B．2．若事件A，B互斥，则P(A＋B)如何计算？若事件A，B对立呢？[提示] 若A，B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；若A，B对立，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1．PAGE-9-第2课时 独立事件学习任务核心素养1．了解两个事件相互独立的概念，会判断两个事件是否为相互独立事件．(难点)2．掌握相互独立事件同时发生的概率的计算公式，并能利用该公式计算相关问题的概率．(重点)3．了解互斥事件与相互独立事件的联系与区别，综合利用事件的互斥性与独立性求解综合问题．(易错点)1．借助两个事件相互独立的概念，提升数学抽象的核心素养．2．通过具体的实际问题的研究，培养数学建模的核心素养．五一劳动节学校放假三天，甲、乙两名同学都打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天．记事件A：甲选的是第一天，B：乙选的是第一天．(1)直觉上，你觉得A事件是否发生会影响B事件发生的概率吗？(2)求出P(A)，P(B)，P(AB)的值，观察这三个值之间的关系．知识点1 相互独立事件的概念一般地，如果事件A是否发生不影响事件B发生的概率，那么称A，B为相互独立事件．1．一个口袋中装有2个白球和3个黑球，下列各选项中的两个事件，属于相互独立事件的是( )A．第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球B．摸出后放回，第一次摸出的是白球与第二次摸出的是黑球C．摸出后不放回，第一次摸出的是白球与第二次摸出的是黑球D．一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球B [选项A，第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球，属于对立事件；选项B，摸出后放回，第一次摸出的是白球与第二次摸出的是黑球，两者不受彼此影响，属于相互独立事件；选项C，摸出后不放回，第一次摸出的是白球与第二次摸出的是黑球，第二次受第一次的影响，不属于相互独立事件；选项D，一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球，属于对立事件．故选B．]知识点2 相互独立事件的概率计算(1)两个事件A，B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)．(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．2．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝，P(B)＝，则P(AB)＝________． [由题意可知P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝．]知识点3 相互独立事件的性质如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立．(1)不可能事件与任何一个事件相互独立吗？(2)必然事件与任何一个事件相互独立吗？[提示] (1)相互独立．不可能事件的发生与任何一个事件的发生没有影响．(2)相互独立．必然事件的发生与任何一个事件的发生没有影响．3．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)对事件A和B，若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与B相互独立．( )(2)若事件A，B相互独立，则P()＝P()·P()．( )(3)如果事件A与B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)．( )(4)若事件A与B相互独立，则B与相互独立．( )[提示] 若P(AB)＝P(A)P(B)，则P(A∩B)＝P(A)·P(B)，故A，B相互独立，所以(1)正确；若事件A，B相互独立，则，也相互独立，故(2)正确；若事件A，B相互独立，则A发生与否不影响B的发生，故(3)正确；(4)B与相互对立，不是相互独立，故(4)错误．[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×类型1 相互独立事件的判断【例1】 判断下列各对事件是否是相互独立事件．(1)甲组3名男生，2名女生，乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．[解] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则Ω＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}，∴P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝．∴P(AB)＝P(A)·P(B)，∴事件A与B相互独立．判断事件是否相互独立的方法(1)定义法：事件A，B相互独立?P(AB)＝P(A)P(B)．(2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．[跟进训练]1．同时掷两颗质地均匀的骰子，令A＝{第一颗骰子出现奇数点}，令B＝{第二颗骰子出现偶数点}，判断事件A与B是否相互独立．[解] 样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，A＝{第一颗骰子出现1，3，5点}＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)}，B＝{第二颗骰子出现2，4，6点}＝{(1，2)，(1，4)，(1，6)，(2，2)，(2，4)，(2，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，(6，2)，(6，4)，(6，6)}．AB＝{(1，2)，(1，4)，(1，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)}，∴P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，∴P(AB)＝P(A)P(B)，∴事件A，B相互独立．类型2 相互独立事件发生的概率【例2】 面对某种病毒，各国医疗科研机构都在研究疫苗，现有A，B，C三个独立的研究机构在一定的时期内能研制出疫苗的概率分别是，，．求：(1)他们都研制出疫苗的概率；(2)他们都失败的概率；(3)他们能够研制出疫苗的概率．[解] 令事件A，B，C分别表示A，B，C三个独立的研究机构在一定时期内成功研制出该疫苗，依题意可知，事件A，B，C相互独立，且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．(1)他们都研制出疫苗，即事件ABC同时发生，故P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝．(2)他们都失败即事件同时发生．故P()＝P()P()P()＝(1－P(A))(1－P(B))(1－P(C))＝＝××＝．(3)“他们能研制出疫苗”的对立事件为“他们都失败”，结合对立事件间的概率关系可得所求事件的概率P＝1－P()＝1－＝．1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求积．2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们能同时发生．[跟进训练]2．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；(2)第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．[解] 记“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件．记3个白球分别为白1，白2，白3，2个红球为红1，红2，从5个球中一次取2个球的取法有(白1，白2)，(白1，白3)，(白1，红1)，(白1，红2)，(白2，白3)，(白2，红1)，(白2，红2)，(白3，红1)，(白3，红2)，(红1，红2)共10种．其中2个球都是白球有3种，2个球都是红球有1种，1个白球，1个红球有6种．(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝．故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是．(2)P(CA)＝P(C)P(A)＝×＝．故第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是．类型3 事件的相互独立性与互斥性【例3】 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6，0.5，0.5．假设各盘比赛结果相互独立．求：(1)红队中有且只有一名队员获胜的概率；(2)求红队至少两名队员获胜的概率．弄清事件“红队有且只有一名队员获胜”与事件“红队至少两名队员获胜”是由哪些基本事件组成的，及这些事件间的关系，然后选择相应概率公式求值.[解] 设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则，，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式知P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5．(1)红队有且只有一名队员获胜的事件有D，E，F，以上三个事件彼此互斥且独立．所以红队有且只有一名队员获胜的概率为P1＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＝0.35．(2)法一：红队至少两人获胜的事件有：DE，DF，EF，DEF．由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55．法二：“红队至少两人获胜”与“红队最多一人获胜”为对立事件，而红队都不获胜为事件，且P()＝0.4×0.5×0.5＝0.1．∴红队至少两人获胜的概率为P2＝1－P1－P()＝1－0.35－0.1＝0.55．求复杂事件的概率一般可分三步进行(1)列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；(2)理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；(3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．[跟进训练]3．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13s内(称为合格)的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，则求：(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大．[解] 记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝．设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0，1，2，3)．(1)三人都合格的概率：P3＝(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝．(2)三人都不合格的概率：P0＝()＝P()·P()·P()＝××＝．(3)恰有两人合格的概率：P2＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝．恰有一人合格的概率：P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝．综合(1)(2)可知P1最大．所以出现恰有一人合格的概率最大．1．抛掷3枚质地均匀的硬币，A＝{既有正面向上又有反面向上}，B＝{至多有一个反面向上}，则A与B的关系是( )A．互斥事件B．对立事件C．相互独立事件D．不相互独立事件C [由于事件A的发生与否对于事件B的发生不产生影响，则事件A与事件B相互独立，故选C．]2．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是( )A．事件A与B互斥B．事件A与B互为对立C．事件A与B相互独立D．事件A与B互斥又独立C [因为P(A)＝1－P()＝1－＝，所以P(AB)＝P(A)·P(B)＝≠0，所以事件A与B相互独立，不是互斥、对立事件．故选C．]3．甲、乙、丙三人独立地去译一个密码，译出的概率分别是，，，则此密码能被译出的概率是( )A．B．C．D．C [用事件A，B，C分别表示甲、乙、丙能译出密码，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，所以P()＝P()·P()·P()＝××＝，所以此密码能被译出的概率为1－＝．故选C．]4．甲、乙两人投球命中率分别为，，则甲、乙两人各投一次，恰好命中一次的概率为________． [事件“甲投球一次命中”记为A，“乙投球一次命中”记为B，“甲、乙两人各投一次恰好命中一次”记为事件C，则C＝A∪B且A与B互斥，P(C)＝P(A∪B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝＝．]5．甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人都达标的概率是________，三人中至少有一人达标的概率是________．0.24 0.96 [三人都达标的概率为0.8×0.6×0.5＝0.24．三人都不达标的概率为(1－0.8)×(1－0.6)×(1－0.5)＝0.2×0.4×0.5＝0.04．三人中至少有一人达标的概率为1－0.04＝0.96．]回顾本节知识，自我完成以下问题：1．你能归纳出相互独立事件与互斥事件的区别吗？[提示] 相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件互斥事件条件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号相互独立事件A，B同时发生，记作：AB互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)计算公式P(AB)＝P(A)·P(B)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)2．你能归纳一下求复杂事件概率的步骤吗？[提示] (1)列出题中涉及的各种事件，并用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥、对立，还是相互独立)，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．PAGE-7-第15章概率类型1 频率与概率频率是概率的近似值，而概率是一个理论值．当做大量的重复试验时，试验次数越多，频率的值越接近概率值，故可用频率来估计概率．【例1】 对一批U盘进行抽检，结果如下表：抽出件数a50100200300400500次品件数b345589次品概率(1)计算表中次品的频率；(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换，要销售2000个U盘，至少需进货多少个U盘？[解] (1)表中次品频率从左到右依次为0.06，0.04，0.025，0.017，0.02，0.018．(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02．(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2000，因为x是正整数，所以x≥2041，即至少需进货2041个U盘．[跟进训练]1．某射手在相同条件下进行射击，结果如下：射击次数n102050100200500击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率0.80.950.880.920.890.91(1)问该射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？(2)假设该射手射击了300次，期望击中靶心的次数是多少？(3)假如该射手射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？(4)假如该射手射击了10次，前9次已击中8次，那么第10次一定击中靶心吗？[解] (1)由题意，得击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9．(2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270(次)．(3)由概率的意义可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化．后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定都击不中靶心．(4)不一定．2．某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10道智力题，每题10分，然后做了统计，下表是统计结果：贫困地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数162752104256402得60分以上的频率发达地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数172956111276440得60分以上的频率(1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率(结果保留到小数点后三位)；(2)估计两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．[解] (1)贫困地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数162752104256402得60分以上的频率0.5330.5400.5200.5200.5120.503发达地区参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数172956111276440得60分以上的频率0.5670.5800.5600.5550.5520.550(2)估计贫困地区和发达地区参加测试的儿童得60分以上的概率分别为0.503和0.550．类型2 古典概型古典概型是一种最基本的概率模型，其具有两大特征：一是样本点的有限性，二是每个基本事件发生的等可能性，在应用公式P(A)＝时，应正确求出样本空间的样本点，总数和事件A中所包含的样本点数，常用枚举法或树状图法求解样本点个数．【例2】 某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x，y，z)(1，1，2)(2，1，1)(2，2，2)(1，1，1)(1，2，1)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x，y，z)(1，2，2)(2，1，1)(2，2，1)(1，1，1)(2，1，2)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，①用产品编号列出所有可能的结果；②设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4”，求事件B发生的概率．[解] (1)计算10件产品的综合指标S，如下表，产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6．(2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15种．②在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6种．所以P(B)＝＝．[跟进训练]3．甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪刀、布)．求：(1)平局的概率；(2)甲赢的概率；(3)乙赢的概率．[解] 甲有3种不同的出拳方法，每一种出法是等可能的，乙同样有等可能的3种不同出法．一次出拳游戏共有3×3＝9种不同的结果，可以认为这9种结果是等可能的，所以一次游戏(试验)是古典概型，它的基本事件总数为9．平局的含义是两人出法相同．例如都出了锤子．甲赢的含义是甲出锤子且乙出剪刀，甲出剪刀且乙出布，甲出布且乙出锤子这3种情况．乙赢的含义是乙出锤子且甲出剪刀，乙出剪刀且甲出布，乙出布且甲出锤子这3种情况．设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C．由图容易得到：(1)平局含3个基本事件(图中的△)；(2)甲赢含3个基本事件(图中的○)；(3)乙赢含3个基本事件(图中的※)．由古典概型的概率计算公式，可得P(A)＝＝；P(B)＝＝；P(C)＝＝．4．先后随机投掷2枚均匀的正方体骰子，其中x表示第1枚骰子出现的点数，y表示第2枚骰子出现的点数．(1)求点P(x，y)在直线y＝x－1上的概率；(2)求点P(x，y)满足y2<4x的概率．[解] (1)投掷每枚骰子出现的点数都有6种情况，所以基本事件总数为6×6＝36．记“点P(x，y)在直线y＝x－1上”为事件A，A有5个基本事件：A＝{(2，1)，(3，2)，(4，3)，(5，4)，(6，5)}．∴P(A)＝．(2)记“点P(x，y)满足y2<4x”为事件B，当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝1，2；当x＝3时，y＝1，2，3；当x＝4时，y＝1，2，3；当x＝5时，y＝1，2，3，4；当x＝6时，y＝1，2，3，4．则事件B有17个基本事件．∴P(B)＝．类型3 互斥事件和对立事件的概率(1)互斥事件的概率的加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．(2)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和．(3)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．【例3】 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同的题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？[解] 把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为p1，p2．“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种．(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率是P1＝＝，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率是P2＝＝．故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为P＝P1＋P2＝＋＝．(2)甲、乙两人都抽到判断题的概率是＝，故甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是1－＝．[跟进训练]5．甲、乙两人举行比赛，比赛结果有胜、负、平三种情况，甲胜的概率是30%，甲、乙平的概率是50%，那么(1)甲负的概率是多少？(2)甲不输的概率是多少？[解] 记“甲胜”为事件A，“甲、乙平”为事件B，“甲负”为事件C，则A，B，C两两互斥，且P(A)＋P(B)＋P(C)＝1．(1)P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－30%－50%＝20%．故甲负的概率是20%．(2)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝30%＋50%＝80%．故甲不输的概率是80%．6．由经验得，在某超市的付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数012345个人及以上概率0.20.140.40.10.10.06求：(1)“至多有2个人排队”的概率；(2)“至少有2个人排队”的概率．[解] (1)设“没有人排队”为事件A，“有1个人排队”为事件B，“有2个人排队”为事件C，则P(A)＝0.2，P(B)＝0.14，P(C)＝0.4．由题意知，A，B，C彼此互斥，所以“至多有2个人排队”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.2＋0.14＋0.4＝0.74，即“至多有2个人排队”的概率是0.74．(2)设“至少有2个人排队”为事件D，则为“至多有1个人排队”，即＝A＋B，因此P(D)＝1－P()＝1－P(A＋B)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.2－0.14＝0.66，即“至少有2个人排队”的概率是0.66．类型4 相互独立事件的概率(1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．(3)公式“P(A＋B)＝1－P()”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．【例4】 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用设备相互独立．求同一工作日至少3人需使用设备的概率．[解] 设“甲需使用设备”为事件A，“乙需使用设备”为事件B，“丙需使用设备”为事件C，“丁需使用设备”为事件D，“同一工作日至少3人需使用设备”为事件E，由题意知，P(A)＝0.6，P(B)＝P(C)＝0.5，P(D)＝0.4．同一工作日至少3人需使用设备表示恰有3人或4人需使用设备，又事件A，B，C，D相互独立，且ABCD，ABC，ABD，ACD，BCD互斥，故P(E)＝P(ABCD)＋P(ABC)＋P(ABD)＋P(ACD)＋P(BCD)＝0.31．[跟进训练]7．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设元件1，2，3的使用寿命超过1000小时的概率都是，且各个元件能否正常工作相互独立，求该部件的使用寿命超过1000小时的概率．[解] 设元件1，2，3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A，B，C，显然P(A)＝P(B)＝P(C)＝，∴该部件的使用寿命超过1000小时的事件为(A＋B＋AB)C，∴该部件的使用寿命超过1000小时的概率P＝×＝．1．(2020·全国卷Ⅱ)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( )A．10名B．18名C．24名D．32名B [由题意知超市第二天能完成1200份订单的配货，如果没有志愿者帮忙，则超市第二天共会积压超过500＋(1600－1200)＝900份订单的概率为0.05，因此要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，至少需要志愿者＝18(名)，故选B．]2．(2020·天津高考)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为________． [依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为×＝，甲、乙两球都不落入盒子的概率为×＝，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为1－＝．]3．(2020·江苏高考)将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是________． [一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，可得基本事件的总数为6×6＝36种，而点数和为5的事件为(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，共4种，则点数和为5的概率为P＝＝．]4．(2020·全国卷Ⅰ)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级．加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元．该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务．甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件．厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数40202020乙分厂产品等级的频数分布表等级ABCD频数28173421(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务？[解] (1)由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为＝0.4；乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为＝0.28．(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润6525－5－75频数40202020因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为＝15．由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为利润70300－70频数28173421因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为＝10．比较甲、乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务．PAGE-2- 展开更多...... 收起↑ 资源列表 2021_2022学年新教材高中数学第15章概率15.1随机事件和样本空间学案含解析苏教版必修第二册.doc 2021_2022学年新教材高中数学第15章概率15.2随机事件的概率学案含解析苏教版必修第二册.doc 2021_2022学年新教材高中数学第15章概率15.3互斥事件和独立事件第1课时互斥事件学案含解析苏教版必修第二册.doc 2021_2022学年新教材高中数学第15章概率15.3互斥事件和独立事件第2课时独立事件学案含解析苏教版必修第二册.doc 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