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第十讲
一元二次方程单元总结与达标
【单元知识梳理】
一、一元二次方程的基本概念
1.定义：
只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为
ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
2.一般形式：
ax2
＋bx＋c＝0
(a，b，c为常数，a≠0)
3.项数和系数：
ax2
＋bx＋c＝0
(a，b，c为常数，a≠0)
一次项：
ax2
一次项系数：a
二次项：
bx
二次项系数：b
常数项：c
4.注意事项：
(1)含有一个未知数；
(2)未知数的最高次数为2；
(3)二次项系数不为0；
(4)整式方程．
二、解一元二次方程的方法
三、一元二次方程在生活中的应用
列方程解应用题的一般步骤：
（1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系．
（2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法．
（3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题．
（4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性．
（5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
【考点类型总结】
考点一：一元二次方程的定义
考点二：一元二次方程的根的应用
考点三：一元二次方程的解法
考点四
：一元二次方程的根的判别式的应用
考点五
：一元二次方程的根与系数的关系
考点六
：一元二次方程的应用
1.市场销售问题
2.平均变化率问题
3.其他问题
【例题解析】
【例题1】若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（
）
A.
m≠1
B.
m=1
C.
m≥1
D.
m≠0
【例题2】若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则m=
.
【例题3】已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（
）
A.
B.
m<2
C.
m
≥0
D.
m<0
【例题4】已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝
．
【例题5】某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件.
(1)若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？
（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？
一元二次方程单元总结与达标过关检测
本套试卷满分100分，答题时间60分钟
一、选择题（每小题4分，共40分）
1.下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x23＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
2.将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（　　）
A．﹣4，2
B．4x，﹣2
C．﹣4x，2
D．3x2，2
3.若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为（　　）
A．2020
B．﹣2020
C．2019
D．﹣2019
4.将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（　　）
A．﹣4，2
B．4x，﹣2
C．﹣4x，2
D．3x2，2
5．一元二次方程x2＝2x的根为（　　）
A．x＝0
B．x＝2
C．x＝0或x＝2
D．x＝0或x＝﹣2
6．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　）
A．﹣4，21
B．﹣4，11
C．4，21
D．﹣8，69
7．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜2
B．m≤2
C．m＜2且m≠1
D．m≤2且m≠1
8．已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　）
A．k＝4
B．k＝﹣4
C．k＝±4
D．k＝±2
9．已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（　　）
A．7
B．7或6
C．6或﹣7
D．6
10．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（　　）
A．5
B．10
C．11
D．13
二、填空题（每空4分，共20分）
11．方程（x+1）2＝9的根是　
　．
12．如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是　
　．
13．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，则该三角形的周长为　　．
14．若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为　
　．
15.已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3＝0，则代数式x2﹣x+2020的值为　
　．
三、解答题（40分）
16.（8分）用指定的方法解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣36＝0（直接开平方法）
（2）2x2﹣5x+1＝0
（配方法）
（3）（x+1）（x﹣2）＝4（公式法）
（4）2（x+1）﹣x（x+1）＝0（因式分解法）
17.（10分）已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根．
（1）填空：x1+x2＝　
　，x1?x2＝　
　，　
　，　
　；
（2）求x1﹣x2的值．
18．（12分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
19.（10）如图，有一块宽为16m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40m2，试求该矩形荒地的长．
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第十讲
一元二次方程单元总结与达标
【单元知识梳理】
一、一元二次方程的基本概念
1.定义：
只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为
ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．
2.一般形式：
ax2
＋bx＋c＝0
(a，b，c为常数，a≠0)
3.项数和系数：
ax2
＋bx＋c＝0
(a，b，c为常数，a≠0)
一次项：
ax2
一次项系数：a
二次项：
bx
二次项系数：b
常数项：c
4.注意事项：
(1)含有一个未知数；
(2)未知数的最高次数为2；
(3)二次项系数不为0；
(4)整式方程．
二、解一元二次方程的方法
三、一元二次方程在生活中的应用
列方程解应用题的一般步骤：
（1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系．
（2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法．
（3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重要，决定着能否顺利解决实际问题．
（4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性．
（5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
【考点类型总结】
考点一：一元二次方程的定义
考点二：一元二次方程的根的应用
考点三：一元二次方程的解法
考点四
：一元二次方程的根的判别式的应用
考点五
：一元二次方程的根与系数的关系
考点六
：一元二次方程的应用
1.市场销售问题
2.平均变化率问题
3.其他问题
【例题解析】
【例题1】若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（
）
A.
m≠1
B.
m=1
C.
m≥1
D.
m≠0
【答案】A
【解析】本题考查了一元二次方程的定义，即方程中必须保证有二次项（二次项系数不为0），因此它的系数m-1≠0,即m≠1,故选A。
【例题2】若关于x的一元二次方程（m-1)x2+x+m2-1=0有一个根为0,则m=
.
【答案】-1
【解析】根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2-1=0，解得m=±1的值.这里应填-1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”.
注意：求出m值有两个1和-1,由于原方程是一元二次方程，所以1不符合，应引起注意.
【例题3】已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（
）
A.
B.
m<2
C.
m
≥0
D.
m<0
【答案】A
【解析】根据方程根的情况可知，此方程的根的判别式
Δ>0,即42-4×1×（-3m)=16+12m>0,解得
,故选A.
【例题4】已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝
．
【答案】25
【解析】根据根与系数的关系可知，m+n=4,mn=-3.
m2－mn＋n2＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3
×(-3)=25.
故填25.
【例题5】某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件.
(1)若公司每天的销售价为x元，则每天的销售量为多少？
（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？
【答案】见解析。
【解析】本题为销售中的利润问题，其基本本数量关系用表析分如下：设公司每天的销售价为x元.
其等量关系是：总利润=单件利润×销售量.
（1）32-(x-24)
×2=80-2x;
（2）由题意可得(x-20)(80-2x)=150.
解得
x1=25,
x2=35.
由题意x≤28,
∴x=25,即售价应当为25元.
一元二次方程单元总结与达标过关检测
本套试卷满分100分，答题时间60分钟
一、选择题（每小题4分，共40分）
1.下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x23＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】A
【解析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
一元二次方程只有④，共1个，
2.将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（　　）
A．﹣4，2
B．4x，﹣2
C．﹣4x，2
D．3x2，2
【答案】C
【解析】首先把﹣4x移到等号左边，把右边化为0，然后再确定答案．
∵﹣3x2﹣2＝﹣4x，
∴﹣3x2+4x﹣2＝0，
则3x2﹣4x+2＝0
则一次项是﹣4x，常数项是2.
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
3.若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为（　　）
A．2020
B．﹣2020
C．2019
D．﹣2019
【答案】C
【解析】先把a代入对已知进行变形，再利用整体代入法求解．
∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣1＝a，﹣a2+a＝﹣1，
∴﹣a3+2a+2020＝﹣a（a2﹣1）+a+2020＝﹣a2+a+2020＝2019．
4.将一元二次方程﹣3x2﹣2＝﹣4x化成一般形式ax2+bx+c＝0（a＞0）后，一次项和常数项分别是（　　）
A．﹣4，2
B．4x，﹣2
C．﹣4x，2
D．3x2，2
【答案】C
【解析】首先把﹣4x移到等号左边，把右边化为0，然后再确定答案．
∵﹣3x2﹣2＝﹣4x，
∴﹣3x2+4x﹣2＝0，
则3x2﹣4x+2＝0
则一次项是﹣4x，常数项是2.
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
5．一元二次方程x2＝2x的根为（　　）
A．x＝0
B．x＝2
C．x＝0或x＝2
D．x＝0或x＝﹣2
【答案】C
【分析】移项后利用因式分解法求解可得．
【解析】∵x2＝2x，
∴x2﹣2x＝0，
则x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
6．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　）
A．﹣4，21
B．﹣4，11
C．4，21
D．﹣8，69
【答案】A
【解析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
∵x2﹣8x﹣5＝0，
∴x2﹣8x＝5，
则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，
∴a＝﹣4，b＝21，
7．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m＜2
B．m≤2
C．m＜2且m≠1
D．m≤2且m≠1
【答案】D
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【解析】∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有实数根，
∴，
解得：m≤2且m≠1．
8．已知一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为（　　）
A．k＝4
B．k＝﹣4
C．k＝±4
D．k＝±2
【答案】C
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△＝0，即可得出关于k的方程，解之即可得出k值．
【解析】∵一元二次方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，
∴△＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0，
解得：k＝±4．
9．已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（　　）
A．7
B．7或6
C．6或﹣7
D．6
【答案】B
【分析】当m＝4或n＝4时，即x＝4，代入方程即可得到结论，当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，解方程即可得到结论．
【解析】∵m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，
∴当m＝4或n＝4时，即x＝4，
∴方程为42﹣6×4+k+2＝0，
解得：k＝6，
当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，
解得：k＝7，
综上所述，k的值等于6或7.
10．已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（　　）
A．5
B．10
C．11
D．13
【答案】D
【解析】根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13．
二、填空题（每空4分，共20分）
11．方程（x+1）2＝9的根是　
　．
【答案】x1＝2，x2＝﹣4．
【解析】（x+1）2＝9，
x+1＝±3，
x1＝2，x2＝﹣4．
12．如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是　
　．
【答案】4
【解析】依题意，
∵方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4，
13．一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，则该三角形的周长为　　．
【答案】13
【解析】∵x2﹣8x+12＝0，
∴（x﹣2）（x﹣6）＝0，
∴x1＝2，x2＝6，
∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2﹣8x+12＝0的根，2+2＜5，2+5＞6，
∴三角形的第三边长是6，
∴该三角形的周长为：2+5+6＝13．
14．若关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为　
　．
【答案】-2
【解析】∵a＝1，b＝﹣k，c＝﹣2，
∴x1?x22．
∵关于x的一元二次方程x2﹣kx﹣2＝0的一个根为x＝1，
∴另一个根为﹣2÷1＝﹣2．
15.已知实数x满足（x2﹣x）2﹣2（x2﹣x）﹣3＝0，则代数式x2﹣x+2020的值为　
　．
【答案】2023．
【解析】令x2﹣x＝t，代入原方程后根据一元二次方程的解法即可求出答案．
令x2﹣x＝t，
∴t＝x2﹣x＝（x）2，
∴t2﹣2t﹣3＝0，
解得：t＝3或t＝﹣1（舍去），
∴t＝3，
即x2﹣x＝3，
∴原式＝3+2020＝2023
三、解答题（40分）
16.（8分）用指定的方法解下列方程：
（1）4（x﹣1）2﹣36＝0（直接开平方法）
（2）2x2﹣5x+1＝0
（配方法）
（3）（x+1）（x﹣2）＝4（公式法）
（4）2（x+1）﹣x（x+1）＝0（因式分解法）
【答案】见解析。
【解析】（1）方程变形后，利用平方根的定义开方即可求出解；
（2）方程常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解；
（3）方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，当根的判别式大于等于0时，代入求根公式即可求出解；
（4）方程左边提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
解：（1）方程变形得：（x﹣1）2＝9，
开方得：x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，
解得：x1＝4，x2＝﹣2；
（2）方程变形得：x2x，
配方得：x2x（x）2，
开方得：x±，
则x1，x2；
（3）方程整理得：x2﹣x﹣6＝0，
这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣6，
∵△＝1+24＝25，
∴x，
则x1＝3，x2＝﹣2；
（4）分解因式得：（x+1）（2﹣x）＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝2．
17.（10分）已知x1，x2是方程x2﹣4x+2＝0的两根．
（1）填空：x1+x2＝　
　，x1?x2＝　
　，　
　，　
　；
（2）求x1﹣x2的值．
【分析】（1）利用根与系数的关系得到x1+x2和x1?x2的值，利用通分得，利用因式分解得到x1x2（x1+x2），然后利用整体代入的方法计算；
（2）利用完全平方公式得到x1﹣x2＝±，然后利用整体代入的方法计算．
【答案】解：（1）x1+x2＝4，x1?x2＝2，
2；
x1x2（x1+x2）＝2×4＝8；
故答案为4，2，2，8；
（2）x1﹣x2＝±±±2．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．
18．（12分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．
（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；
（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．
【答案】见解析。
【分析】（1）根据该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额＝前六天的总营业额+第七天的营业额，即可求出结论；
（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，根据该商店去年7月份及9月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解析】（1）450+450×12%＝504（万元）．
答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．
（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，
依题意，得：350（1+x）2＝504，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．
19.（10）如图，有一块宽为16m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40m2，试求该矩形荒地的长．
【分析】设B地块的边长为xm，根据“C地块的面积比B地块的面积少40m2”列出方程求解即可．
【答案】解：设B地块的边长为xm，
根据题意得：x2﹣x（16﹣x）＝40，
解得：x1＝10，x2＝﹣2（不符题意，舍去），
∴10+16＝26m，
答：矩形荒地的长为26m．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系，难度不大．
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