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第十一讲
二次函数
【学习目标】
1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.
2.会利用二次函数的概念解决问题.
3.会列二次函数表达式解决实际问题.
【新课讲解】
知识点1：二次函数的定义
1.定义：形如y=ax?+bx+c(a,b,c是常数,a≠
0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.
2.一般形式：y=ax2+bx+c(a
≠0，a,b,c是常数）
说明：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
（2）a,b,c为常数，且a≠
0;
（3）等式的右边最高次数为
2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
3.方法技巧：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx,
y=ax2+c等.
知识点2：二次函数定义的应用
【例题1】函数
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2）
m取什么值时，此函数是二次函数？
【例题2】某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．
(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求y关于x的函数关系式；
(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．
知识点3：二次函数的值
此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值.
【例题3】若函数
是二次函数，求：
（1）求a的值.
(2)
求函数关系式.
（3）当x=-2时，y的值是多少？
二次函数过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每个小题4分，共32分）
1．下列函数中，属于二次函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
2．若函数是关于x二次函数，则a的值为（
）
A．
B．1
C．
D．1或0
3．如果函数是二次函数，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．＝﹣2
D．为全体实数
4.已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
5.下列各式中，一定是二次函数的有（　　）
①y2＝2x2﹣4x+3；②y＝4﹣3x+7x2；③y3x+5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax2+bx+c；⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2x2+4x﹣3．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．二次函数y=2x2-6x-9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．6，2，9
B．2，-6，9
C．2，6，9
D．2，-6，-9
7．当x＝1或﹣3时，代数式ax2+bx+c与mx+n的值相等，则函数y＝ax2+（b﹣m）x+c﹣n与x轴的交点
为（　　）
A．（1，0）和（﹣3，0）
B．（﹣1，0）
C．（3，0）
D．（﹣1，0）和（3，0）
8．如图是王阿姨晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（　　）
A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m
B．线段CD的函数解析式为s＝32t+400（25≤t≤50）
C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）
二、填空题（每空4分，共24分）
9．二次函数有最低点，则m=__________
10.若y＝（m2+m）xm2﹣2m﹣1﹣x+3是关于x的二次函数，则m＝　
　．
11．若函数（是常数）是二次函数，则的值是_________．
12．若是关于的二次函数，则的值为__________．
13．已知长方形的周长为
16cm，其中一边长为
xcm，面积为
y，则这个长方形的面积
y
与
x
之间的关系可表示为
______
14．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内，若以每件x元（20≤x≤40，且x为整数）出售，可卖出（40﹣x）件，若要使利润最大，则每件商品的售价应为　　元．
三、解答题（共44分）
15．（6分）当m为何值时，函数是二次函数．
16．（8分）已知函数．
（1）当为何值时，这个函数是关于的一次函数；
（2）当为何值时，这个函数是关于的二次函数．
17．（8分）一个二次函数y=（k﹣1）x+2x﹣1．
（1）求k值．
（2）求当x=0.5时y的值？
18．（10分）广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上的水珠高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是：，请求出当水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是多少？最大高度是多少？
19．（12分）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．
（1）当x＝5时，求种植总成本y；
（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．
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第十一讲
二次函数
【学习目标】
1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.
2.会利用二次函数的概念解决问题.
3.会列二次函数表达式解决实际问题.
【新课讲解】
知识点1：二次函数的定义
1.定义：形如y=ax?+bx+c(a,b,c是常数,a≠
0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项.
2.一般形式：y=ax2+bx+c(a
≠0，a,b,c是常数）
说明：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式；
（2）a,b,c为常数，且a≠
0;
（3）等式的右边最高次数为
2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
3.方法技巧：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx,
y=ax2+c等.
知识点2：二次函数定义的应用
【例题1】函数
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？
（2）
m取什么值时，此函数是二次函数？
【答案】见解析。
【解析】（1）由题可知
（2）由题可知
【例题2】某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．
(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求y关于x的函数关系式；
(2)若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．
【答案】见解析。
【解析】（1）∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，
∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元．
∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，
即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10)；
（2）由题意可得
－10x2＋180x＋400＝1120，
整理得
x2－18x＋72＝0，
解得
x1＝6，x2＝12(舍去)．
所以，该产品的质量档次为第6档．
知识点3：二次函数的值
此类型题考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为0及自变量指数为2这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数解析式，再用代入法将x的值代入其中，求出y的值.
【例题3】若函数
是二次函数，求：
（1）求a的值.
(2)
求函数关系式.
（3）当x=-2时，y的值是多少？
【答案】见解析。
【解析】（1）由题意，得
解得a=-1
（2）当a=-1时，函数关系式为
（3）将x=-2代入函数关系式中，有
二次函数过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每个小题4分，共32分）
1．下列函数中，属于二次函数的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】本题主要考查了二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义条件：
二次函数
的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2．
根据一次函数、反比例函数、二次函数的定义判断各选项即可得出答案．
A.是一次函数，故本题选项错误；
B.，是一次函数，故本题选项错误；
C.
，是二次函数，故本题选项正确；
D.是反比例函数，故本题选项错误．
2．若函数是关于x二次函数，则a的值为（
）
A．
B．1
C．
D．1或0
【答案】B
【解析】判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
∵函数是关于x二次函数，
∴且，
解得：，
3．如果函数是二次函数，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．＝﹣2
D．为全体实数
【答案】C
【解析】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
根据二次函数定义可得m-2≠0，，再解即可．
由题意得：m-2≠0，，
解得：m=-2
4.已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y＝2x2﹣x﹣1；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】根据二次函数定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行分析即可．②④是二次函数，共2个，
5.下列各式中，一定是二次函数的有（　　）
①y2＝2x2﹣4x+3；②y＝4﹣3x+7x2；③y3x+5；④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）；⑤y＝ax2+bx+c；⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3；⑦y＝m2x2+4x﹣3．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【解析】①y2＝2x2﹣4x+3，不符合二次函数的定义，不是二次函数；
②y＝4﹣3x+7x2，是二次函数；
③y3x+5，分母中含有自变量，不是二次函数；
④y＝（2x﹣3）（3x﹣2）＝6x2﹣13x+6，是二次函数；
⑤y＝ax2+bx+c，含有四个自变量，不是二次函数；
⑥y＝（n2+1）x2﹣2x﹣3，含有两个自变量，不是二次函数；
⑦y＝m2x2+4x﹣3，含有两个自变量，不一定是二次函数．
∴只有②④一定是二次函数．
6．二次函数y=2x2-6x-9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．6，2，9
B．2，-6，9
C．2，6，9
D．2，-6，-9
【答案】D
【解析】本题考查了二次函数的一般形式，属于基础题，熟知二次函数的一般形式是解题的关键．
根据二次函数的标准形式即可得到答案．
二次函数y=2x2-6x-9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，-6，-9．
7．当x＝1或﹣3时，代数式ax2+bx+c与mx+n的值相等，则函数y＝ax2+（b﹣m）x+c﹣n与x轴的交点
为（　　）
A．（1，0）和（﹣3，0）
B．（﹣1，0）
C．（3，0）
D．（﹣1，0）和（3，0）
【答案】A
【解析】代数式ax2+bx+c与mx+n的值相等，即ax2+bx+c＝mx+n，则ax2+（b﹣m）x+c﹣n＝0，
则y＝ax2+（b﹣m）x+c﹣n与x轴的交点为（1，0）和（﹣3，0）。
8．如图是王阿姨晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（　　）
A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800m
B．线段CD的函数解析式为s＝32t+400（25≤t≤50）
C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快
D．曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）
【答案】C
【解析】根据函数图象中的信息，利用数形结合及求相关线段的解析式解答即可．
A．25min～50min，王阿姨步行的路程为2000﹣1200＝800m，故A没错；
B．设线段CD的函数解析式为s＝kt+b，
把（25，1200），（50，2000）代入得，
解得：，
∴线段CD的函数解析式为s＝32t+400（25≤t≤50），故B没错；
C．在A点的速度为105m/min，在B点的速度为45m/min，故C错误；
D．当t＝20时，由图象可得s＝1200m，将t＝20代入s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）得s＝1200。
二、填空题（每空4分，共24分）
9．二次函数有最低点，则m=__________
【答案】2
【解析】根据函数为二次函数求出m，再根据函数有最低点，确定m取值范围，进而求出m即可．
∵函数是二次函数，
∴，∴，
∵二次函数有最低点，∴m＞0，∴．
10.若y＝（m2+m）xm2﹣2m﹣1﹣x+3是关于x的二次函数，则m＝　
　．
【答案】3
【解析】根据二次函数的定义求解即可．
由题意，得
m2﹣2m﹣1＝2，且m2+m≠0，
解得m＝3
11．若函数（是常数）是二次函数，则的值是_________．
【答案】－2
【解析】根据二次函数的定义解答．
由题意知，且，
解得：
12．若是关于的二次函数，则的值为__________．
【答案】2
【解析】根据二次函数的定义解答．
是关于的二次函数，
∴，
解得：
13．已知长方形的周长为
16cm，其中一边长为
xcm，面积为
y，则这个长方形的面积
y
与
x
之间的关系可表示为
______
【答案】
【解析】∵矩形周长为
∴两邻边之和为
∴若一边长为，则另一边长为；面积为
∴即．
14．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内，若以每件x元（20≤x≤40，且x为整数）出售，可卖出（40﹣x）件，若要使利润最大，则每件商品的售价应为　
　元．
【答案】30
【解析】设商品所获利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣20）（40﹣x）
＝﹣x2+60x﹣800
＝﹣（x﹣30）2+100，
∵二次项系数﹣1＜0，20≤x≤40，且x为整数，
∴当x＝30时，w取得最大值，最大值为100元．
∴每件商品的售价应为30元．
三、解答题（共44分）
15．（6分）当m为何值时，函数是二次函数．
【答案】m=3
【解析】∵函数是二次函数
∴
解得：m=3
即当m=3时，函数是二次函数．
16．（8分）已知函数．
（1）当为何值时，这个函数是关于的一次函数；
（2）当为何值时，这个函数是关于的二次函数．
【答案】（1）；（2）且．
【解析】本题考查一次函数和二次函数的定义，掌握一次函数的一次项系数不能为0成为解题的关键．
（1）∵函数是一次函数，
∴，解得：．
即当时，这个函数是关于的一次函数．
（2）函数是二次函数，
∴，解得：且．
即当且时，这个函数是关于的二次函数．
17．（8分）一个二次函数y=（k﹣1）x+2x﹣1．
（1）求k值．
（2）求当x=0.5时y的值？
【答案】（1）k=2；（2）y=
【解析】（1）根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数可得k2-3k+4=2，且k-1≠0，再解即可；
（2）根据（1）中k的值，可得函数解析式，再利用代入法把x=0.5代入可得y的值．
解：（1）由题意得：k2﹣3k+4=2，且k﹣1≠0，
解得：k=2；
（2）把k=2代入y=（k﹣1）+2x﹣1得：y=x2+2x﹣1，
当x=0.5时，y=．
【点睛】此题主要考查了二次函数以及求函数值，关键是掌握判断函数是否是二次函数，要抓住二次项系数不为0和自变量指数为2这个关键条件．
18．（10分）广场上喷水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上的水珠高度（米）关于水珠与喷头的水平距离（米）的函数解析式是：，请求出当水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是多少？最大高度是多少？
【答案】2米；6米．
【解析】根据题目所给的函数解析式，用配方法求出当x等于何值时函数有最大值以及最大值是多少．
由题意得，，
又因为，所以当时，，
答：当水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2米，最大高度是6米．
19．（12分）有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．
（1）当x＝5时，求种植总成本y；
（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．
【答案】见解析。
【解析】（1）当x＝5时，EF＝20﹣2x＝10，EH＝30﹣2x＝20，
y＝2（EH+AD）×20x+2（GH+CD）×x×60+EF?EH×40＝（20+30）×5×20+（10+20）×5×60+20×10×40＝22000；
（2）EF＝20﹣2x，EH＝30﹣2x，
参考（1），由题意得：y＝（30×30﹣2x）?x?20+（20+20﹣2x）?x?60+（30﹣2x）（20﹣2x）?40＝﹣400x+24000（0＜x＜10）；
（3）S甲＝2（EH+AD）×2x＝（30﹣2x+30）x＝﹣2x2+60x，
同理S乙＝﹣2x2+40x，
∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，
∴﹣2x2+60x﹣（﹣2x2+40x）≤120，
解得：x≤6，
故0＜x≤6，
而y＝﹣400x+24000随x的增大而减小，故当x＝6时，y的最小值为21600，
即三种花卉的最低种植总成本为21600元．
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