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第十二讲
二次函数y=ax2的图象和性质
【学习目标】
1.正确理解抛物线的有关概念.
2.会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，概括出图象的特点.
3.掌握形如y=ax2的二次函数图象的性质，并会应用.
【新课讲解】
知识点1：二次函数y=ax2的图象及其性质
【问题1】画出二次函数y=x2的图象.
1.
列表：在y
=
x2
中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
2.
描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.
连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y
=
x2
的图象．
二次函数y=x2的图象的性质：
1.y＝x2是一条抛物线；
2.图象开口向上；
3.图象关于y轴对称；
4.顶点（
0
，0
）；
5.图象有最低点．
【问题2】画出函数y=-x2的图象.
1.
列表：在y
=
-x2
中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
2.
描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.
连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y
=
-x2
的图象．
二次函数y=-x2的图象的性质：
1.y＝-x2是一条抛物线；
2.图象开口向下；
3.图象关于y轴对称；
4.顶点（
0
，0
）；
5.图象有最高点。
归纳总结：二次函数y=ax2
的图象性质
1.
顶点都在原点;
2.
图像关于y轴对称;
3.当a>0时，开口向上，a越大，开口越小.
当a<0时，开口向下，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.
4.对于抛物线
y
=
ax
2
（a＞0）
当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
5.对于抛物线
y
=
ax
2
（a＜0）
当x＞0时，y随x取值的增大而减小；
当x<0时，y随x取值的增大而增大.
知识点2：二次函数y=ax2的图象及其性质的应用
二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．
【例题1】已知二次函数y=x2．
（1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？
（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D
的坐标；
（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=－x2的图象上吗？
【例题2】已知
是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式
【例题3】已知二次函数y＝2x2.
(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则
y1_____
y2；(填“>”“＝”或“<”)；
(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的
图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．
二次函数y=ax2的图象和性质过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每个小题4分，共32分）
1．抛物线的共同性质是（
）
A．开口向上
B．都有最大值
C．对称轴都是x轴
D．顶点都是原点
2．若二次函数的开口向下，则m的值是（
）
A．2
B．-1
C．2或-1
D．以上答案都不对
3．已知抛物线y＝ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（　　）
A．y1＞0＞y2
B．y2＞0＞y1
C．y1＞y2＞0
D．y2＞y1＞0
4．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为（　　）
A．y＝（x+3）2+5
B．y＝（x﹣3）2+5
C．y＝（x+5）2+3
D．y＝（x﹣5）2+3
5．将二次函数的图象向左平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
6．抛物线的顶点坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
7．抛物线y=-2x2的对称轴是（　　）
A．直线x=
B．直线x=-
C．直线x=0
D．直线y=0
8．二次函数y＝x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（　　）
A．向左平移2个单位，向下平移2个单位
B．向左平移1个单位，向上平移2个单位
C．向右平移1个单位，向下平移1个单位
D．向右平移2个单位，向上平移1个单位
二、填空题（每空4分，共28分）
9．抛物线y＝2x2的顶点坐标是__________．
10．已知函数的图象是抛物线，且当时，y随x的增大而增大，则m=___．
11．抛物线开口向上，则的取值范围是____________．
12．抛物线的开口向______，顶点坐标______．
13．直线y＝﹣2与抛物线y＝﹣x2的交点有　　个．
14．直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为　
　．
三、解答题（共40分）
15．（10分）画函数的图象．
16．（10分）已知是二次函数，
（1）若其图像开口向下，求k的值；
（2）若当时，y随x的增大而减小，求函数关系式．
17．（10分）已知y＝（m+1）x是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小．
（1）求m的值；
（2）当自变量的值为多少时，函数有最值？最值是多少？
18．（10分）已知，直线与抛物线相交于、两点，且的坐标是
（1）求，的值；
（2）抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标．
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（共
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第十二讲
二次函数y=ax2的图象和性质
【学习目标】
1.正确理解抛物线的有关概念.
2.会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，概括出图象的特点.
3.掌握形如y=ax2的二次函数图象的性质，并会应用.
【新课讲解】
知识点1：二次函数y=ax2的图象及其性质
【问题1】画出二次函数y=x2的图象.
1.
列表：在y
=
x2
中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
2.
描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.
连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y
=
x2
的图象．
二次函数y=x2的图象的性质：
1.y＝x2是一条抛物线；
2.图象开口向上；
3.图象关于y轴对称；
4.顶点（
0
，0
）；
5.图象有最低点．
【问题2】画出函数y=-x2的图象.
1.
列表：在y
=
-x2
中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：
2.
描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3.
连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y
=
-x2
的图象．
二次函数y=-x2的图象的性质：
1.y＝-x2是一条抛物线；
2.图象开口向下；
3.图象关于y轴对称；
4.顶点（
0
，0
）；
5.图象有最高点。
归纳总结：二次函数y=ax2
的图象性质
1.
顶点都在原点;
2.
图像关于y轴对称;
3.当a>0时，开口向上，a越大，开口越小.
当a<0时，开口向下，a越小（即a的绝对值越大），开口越小.
4.对于抛物线
y
=
ax
2
（a＞0）
当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
5.对于抛物线
y
=
ax
2
（a＜0）
当x＞0时，y随x取值的增大而减小；
当x<0时，y随x取值的增大而增大.
知识点2：二次函数y=ax2的图象及其性质的应用
二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．
【例题1】已知二次函数y=x2．
（1）判断点A（2，4）在二次函数图象上吗？
（2）请分别写出点A关于x轴的对称点B的坐标，关于y轴的对称点C的坐标，关于原点O的对称点D
的坐标；
（3）点B、C、D在二次函数y=x2的图象上吗？在二次函数y=－x2的图象上吗？
【答案】见解析。
【解析】（1）当x=2时，y=x2=4，
所以A（2，4）在二次函数图象上；
（2）点A关于x轴的对称点B的坐标为（2，-4），点A关于y轴的对称点C的坐标为（-2，4），点A关于原点O的对称点D的坐标为（-2，-4）；
（3）当x=－2时，y=x2=4，
所以C点在二次函数y=x2的图象上；
当x=2时，y=－x2=－4，
所以B点在二次函数y=－x2的图象上；
当x=－2时，y=－x2=－4，
所以D点在二次函数y=－x2的图象上．
【例题2】已知
是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解析式
【答案】
m=1
y=2x2.
【解析】依题意有:
解②得:m1=－2,
m2=1
由①得:m>－1
∴
m=1
此时,二次函数为:
y=2x2.
【例题3】已知二次函数y＝2x2.
(1)若点(－2，y1)与(3，y2)在此二次函数的图象上，则
y1_____
y2；(填“>”“＝”或“<”)；
(2)如图，此二次函数的图象经过点(0，0)，长方形ABCD的顶点A、B在x轴上，C、D恰好在二次函数的
图象上，B点的横坐标为2，求图中阴影部分的面积之和．
【答案】见解析
【解析】（1）<
(2)∵二次函数y＝2x2的图象经过点B，
∴当x＝2时，y＝2×22＝8.
∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它们的对称轴，
∴OA＝OB，
∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积，
∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
二次函数y=ax2的图象和性质过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每个小题4分，共32分）
1．抛物线的共同性质是（
）
A．开口向上
B．都有最大值
C．对称轴都是x轴
D．顶点都是原点
【答案】D
【解析】抛物线的开口向上，有最小值，对称轴为y轴，顶点为原点；
抛物线的开口向下，有最大值，对称轴为y轴，顶点为原点；
抛物线的开口向上，有最小值，对称轴为y轴，顶点为原点；
故可知，抛物线的共同性质是顶点是原点．
2．若二次函数的开口向下，则m的值是（
）
A．2
B．-1
C．2或-1
D．以上答案都不对
【答案】B
【解析】由二次函数可得，由开口向下可得m-1＜0，问题可解．
∵是二次函数
∴
得m=-1或m=2；
又∵的开口向下
∴m-1＜0
∴m=-1
3．已知抛物线y＝ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（　　）
A．y1＞0＞y2
B．y2＞0＞y1
C．y1＞y2＞0
D．y2＞y1＞0
【答案】C
【解析】依据抛物线的对称性可知：（2，y1）在抛物线上，然后依据二次函数的性质解答即可．
∵抛物线y＝ax2（a＞0），
∴A（﹣2，y1）关于y轴对称点的坐标为（2，y1）．
又∵a＞0，0＜1＜2，
∴y2＜y1．
4．将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为（　　）
A．y＝（x+3）2+5
B．y＝（x﹣3）2+5
C．y＝（x+5）2+3
D．y＝（x﹣5）2+3
【答案】D
【解析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2+3；
由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣5）2+3。
5．将二次函数的图象向左平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】先得到抛物线的顶点坐标为(0，0)，再利用点平移的规律得到点(0，0)平移后对应点的坐标为(﹣1，0)，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
抛物线的顶点坐标为(0，0)，
把(0，0)向左平移1个单位所得对应点的坐标为(﹣1，0)，
所以平移后的抛物线解析式为．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．
6．抛物线的顶点坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据抛物线的顶点式即可得到答案．
二次函数y＝x2的图象的顶点坐标为（0，0）．
7．抛物线y=-2x2的对称轴是（　　）
A．直线x=
B．直线x=-
C．直线x=0
D．直线y=0
【答案】C
【解析】抛物线y=-2x2的对称轴是y轴，即直线x=0．
对称轴为y轴，
即直线x=0．
8．二次函数y＝x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（　　）
A．向左平移2个单位，向下平移2个单位
B．向左平移1个单位，向上平移2个单位
C．向右平移1个单位，向下平移1个单位
D．向右平移2个单位，向上平移1个单位
【答案】C
【解析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可．
A．平移后的解析式为y＝（x+2）2﹣2，当x＝2时，y＝14，本选项不符合题意．
B．平移后的解析式为y＝（x+1）2+2，当x＝2时，y＝11，本选项不符合题意．
C．平移后的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1，当x＝2时，y＝0，函数图象经过（2，0），本选项符合题意．
D．平移后的解析式为y＝（x﹣2）2+1，当x＝2时，y＝1，本选项不符合题意．
二、填空题（每空4分，共28分）
9．抛物线y＝2x2的顶点坐标是__________．
【答案】（0,0）．
【解析】由抛物线的顶点式的性质直接求解．
抛物线y＝2x2的顶点坐标是（0,0）。
10．已知函数的图象是抛物线，且当时，y随x的增大而增大，则m=___．
【答案】
【解析】根据二次函数的定义可得m2?1＝2，且m≠0，计算出m的值，再根据二次函数的性质进一步确定m的值．
由题意得：m2?1＝2，且m≠0，
解得：m＝±，
∵当x＞0时，y随x的增大而增大，
∴m＝。
【点睛】此题主要考查了二次函数的定义和性质，关键是掌握二次函数关系式中二次项系数不为0和自变量指数为2这两个条件，并结合二次函数的增减性进行求值．
11．抛物线开口向上，则的取值范围是____________．
【答案】m＞1
【解析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
由
题意可知：m-1＞0，
∴m＞1。
12．抛物线的开口向______，顶点坐标______．
【答案】下
(0，0)
【解析】∵，
∴抛物线的开口向下，
∵抛物线的顶点是原点，
∴顶点坐标为：(0，0)．
13．直线y＝﹣2与抛物线y＝﹣x2的交点有　　个．
【答案】2
【解析】先确定抛物线的开口方向及顶点，则可判断其与直线y＝﹣2的交点个数．
∵抛物线y＝﹣x2的二次项系数a＝﹣1＜0，
∴该抛物线开口向下．
又∵该抛物线的顶点在原点，
∴直线y＝﹣2与抛物线y＝﹣x2的交点有2个．
14．直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，当OA⊥OB时，直线AB恒过一个定点，该定点坐标为　
　．
【答案】（0，4）
【解析】二次函数的性质；一次函数的性质．根据直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，可以联立在一起，得到关于x的一元二次方程，从而可以得到两个之和与两根之积，再根据OA⊥OB，可以求得b的值，从而可以得到直线AB恒过的定点的坐标．
∵直线y=kx+b与抛物线y=x2交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，
∴kx+b=，
化简，得
x2﹣4kx﹣4b=0，
∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4b，
又∵OA⊥OB，
∴=，
解得，b=4，
即直线y=kx+4，故直线恒过顶点（0，4）　
三、解答题（共40分）
15．（10分）画函数的图象．
【答案】答案见详解．
【解析】本题考查了图象的作法，比较简单，属于基础题，熟练掌握二次函数的性质以及函数图象的作法是解题的关键．利用列表、描点、连线的方法作出函数的图象即可．
列表：
描点、连线如下图所示：
16．（10分）已知是二次函数，
（1）若其图像开口向下，求k的值；
（2）若当时，y随x的增大而减小，求函数关系式．
【答案】（1）k=-3；（2）．
【解析】（1）∵是二次函数，
∴，整理得，，解得，，
∵函数图象开口向下，
∴，即，
∴；
（2）∵当时，y随着x的增大而减小，
∴图象开口向上，
∴，则，
将代入原式，得到，即．
17．（10分）已知y＝（m+1）x是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小．
（1）求m的值；
（2）当自变量的值为多少时，函数有最值？最值是多少？
【答案】（1）m＝﹣2；（2）当x＝0时，y最大＝0．
【解析】根据二次函数定义，m2+m＝2，以及
性质解答即可．
（1）∵y＝（m+1）x是关于x的二次函数，∴m2+m＝2，解得m＝1或﹣2，
∵当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴开口向下,a=m+1＜0，即m＜﹣1．所以m＝﹣2，m＝1（不符合题意，舍）；
（2）开心向下，顶点（0,0）
当x＝0时，y最大＝0．
18．（10分）已知，直线与抛物线相交于、两点，且的坐标是
（1）求，的值；
（2）抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）m=9,a=1；（2）抛物线的表达式为y=x2，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）．
【分析】（1）先A（-3，m）代入y=-2x+3可求出m，从而确定A点坐标，再把A点坐标代入线y=ax2可计算出m；
（2）由（1）易得抛物线的表达式为y=x2，然后根据二次函数的性质确定对称轴和顶点坐标．
【详解】解：（1）把A的坐标（-3，m）代入y=-2x+3得m=-2×（-3）+3=9，
所以A点坐标为（-3，9），
把A（-3，9）代入线y=ax2得9a=9，解得a=1．
综上所述，m=9,a=1．
（2）抛物线的表达式为y=x2，根据抛物线特点可得：对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0）．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，以及二次函数的图形的特点，熟练掌握待定系数法和函数特点是解答此题的关键．
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