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第十三讲
二次函数y=ax2+k的图象和性质
【学习目标】
1.会画二次函数y=ax2+k的图象.
2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.
3.理解y=ax?与
y=ax?+k之间的联系.
【新课讲解】
知识点1：二次函数y=ax2+k（a
≠
0）的性质
二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0)
二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)
【问题1】在同一直角坐标系中，画出二次函数
与
的图象．
先列表：
描点、连线，画出这两个函数的图象
【例题1】已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值
为________.
知识点2：二次函数y=ax2+k的图象及平移
二次函数y=ax2
与y=ax2+k（a
≠
0）的图象的关系
二次函数y=ax2+k的图象可以由
y=ax2
的图象平移得到：
当k
>
0
时,向上平移k个单位长度得到.
当k
<
0
时,向下平移-k个单位长度得到.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
【例题2】二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(　　)
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
【例题3】如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的
坐标．
二次函数y=ax2+k的图象和性质
过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每个小题4分，共32分）
1．二次函数y＝x2-4图像的对称轴是（
）
A．直线x=0
B．直线x=2
C．直线x=4
D．直线x=
?4
2．抛物线y＝-3x2＋4的开口方向和顶点坐标分别是（
）．
A．向下，（0，-4）
B．向下，（0，4）
C．向上，（0，4）
D．向上，（0，-4）
3．二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（
）
A．开口向上
B．对称轴是
C．当时，函数的最大值是
D．抛物线与轴有两个交点
4．抛物线的对称轴是（
）
A．直线
B．轴
C．直线
D．直线
5．若二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2+1＝0的实数根为（　　）
A．x1＝0，x2＝4
B．x1＝﹣2，x2＝6
C．x1，x2
D．x1＝﹣4，x2＝0
6.将抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为（　　）
A．4
B．6
C．8
D．10
7.在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（　　）
A
B
C
D
8.已知二次函数y＝（x+2）2﹣1向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数y＝（x+3）2﹣4，则h和k的值分别为（　　）
A．1，3
B．3，﹣4
C．1，﹣3
D．3，﹣3
二、填空题（每空4分，共24分）
9．将二次函数y＝x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是　
　．
10．如果点和点是抛物线上的两点，那么______．（填“＞”、“=”、“＜”）．
11．在直角坐标平面内，抛物线在轴__________侧图像上升(填“左”或“右”)
．
12．二次函数y＝x2+2的图象的顶点坐标是_____．
13．抛物线的对称轴是_______________．
14．写出顶点坐标为（0，-3），开口方向与抛物线的方向相反，形状相同的抛物线解析式_________．
三、解答题（共44分）
15．（10分）求符合下列条件的抛物线的表达式.
（1）与的开口大小相同，方向相反；
（2）经过点（-3,2）.
16．（10分）在同一直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
17．（12分）已知二次函数y＝ax2+b的图象与直线y＝x+2相交于点A（1，m），点B（n，0）．
（1）求二次函数的解析式，并写出该拋物线的对称轴和顶点坐标；
（2）选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
x
……
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
……
y
……
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
……
（3）画出这两个函数的图象，并结合图象直接写出ax2+b＞x+2时x的取值范围．
18．（12分）已知抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且P（1，﹣3），B（4，0）
（1）点A的坐标是　
　；
（2）求该抛物线的解析式；
（3）直接写出该抛物线的顶点C的坐标．
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（共
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第十三讲
二次函数y=ax2+k的图象和性质
【学习目标】
1.会画二次函数y=ax2+k的图象.
2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.
3.理解y=ax?与
y=ax?+k之间的联系.
【新课讲解】
知识点1：二次函数y=ax2+k（a
≠
0）的性质
二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0)
二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)
【问题1】在同一直角坐标系中，画出二次函数
与
的图象．
先列表：
描点、连线，画出这两个函数的图象
【例题1】已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值
为________.
【答案】c
【解析】二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．
由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.
知识点2：二次函数y=ax2+k的图象及平移
二次函数y=ax2
与y=ax2+k（a
≠
0）的图象的关系
二次函数y=ax2+k的图象可以由
y=ax2
的图象平移得到：
当k
>
0
时,向上平移k个单位长度得到.
当k
<
0
时,向下平移-k个单位长度得到.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
【例题2】二次函数y＝－3x2＋1的图象是将(　　)
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
【答案】D
【解析】二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的．故选D.
注意：1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？
第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k
︱单位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线
2.抛物线y=ax2+k
中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.
【例题3】如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的
坐标．
【答案】见解析。
【解析】抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，
即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，
∴AB＝4.
∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b，
∴
×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2.
当b＝2时，x2－4＝2，解得
此时P点坐标为
当b＝－2时，x2－4＝－2，解得
此时P点坐标为
二次函数y=ax2+k的图象和性质
过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每个小题4分，共32分）
1．二次函数y＝x2-4图像的对称轴是（
）
A．直线x=0
B．直线x=2
C．直线x=4
D．直线x=
?4
【答案】A
【解析】根据二次函数的图象和性质得出对称轴的结论．
根据函数解析式，得出对称轴为：直线．
2．抛物线y＝-3x2＋4的开口方向和顶点坐标分别是（
）．
A．向下，（0，-4）
B．向下，（0，4）
C．向上，（0，4）
D．向上，（0，-4）
【答案】B
【解析】抛物线y＝-3x2＋4
∵
∴抛物线y＝-3x2＋4开口向下
当时，y＝-3x2＋4取最大值，即y＝4
∴顶点坐标为
3．二次函数的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（
）
A．开口向上
B．对称轴是
C．当时，函数的最大值是
D．抛物线与轴有两个交点
【答案】C
【解析】
所以图像的开口向下，故A错误，
抛物线的对称轴是轴，故B错误，
当时，函数的最大值是，故C正确，
由图像可知：抛物线与轴没有交点，故D错误。
4．抛物线的对称轴是（
）
A．直线
B．轴
C．直线
D．直线
【答案】B
【解析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标及对称轴．
∵抛物线的顶点坐标为（0，1），
∴对称轴是直线x＝0，即：y轴。
5．若二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），则关于x的方程a（x﹣2）2+1＝0的实数根为（　　）
A．x1＝0，x2＝4
B．x1＝﹣2，x2＝6
C．x1，x2
D．x1＝﹣4，x2＝0
【答案】A
【解析】二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），得到4a+1＝0，求得a，代入方程a（x﹣2）2+1＝0即可得到结论．
∵二次函数y＝ax2+1的图象经过点（﹣2，0），
∴4a+1＝0，
∴a，
∴方程a（x﹣2）2+1＝0为：方程（x﹣2）2+1＝0，
解得：x1＝0，x2＝4，
6.将抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为（　　）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】B
【解析】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后的到的新的二次函数的解析式为y=x2﹣9，令x2﹣9=0求其解即可知道抛物线与x轴的交点的横坐标，两点之间的距离随即可求．
将抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度，
其解析式变换为：y=x2﹣9
而抛物线y=x2﹣9与x轴的交点的纵坐标为0，
所以有：x2﹣9=0
解得：x1=﹣3，x2=3，
则抛物线y=x2﹣9与x轴的交点为（﹣3，0）、（3，0），
所以，抛物线y=x2﹣1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为6
7.在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是（　　）
A
B
C
D
【答案】C
【解析】此题主要考查了二次函数及一次函数的图象的性质，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标．根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与y轴的交点为（0，2），二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象．
当a＜0时，二次函数顶点在y轴负半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当a＞0时，二次函数顶点在y轴正半轴，一次函数经过一、二、三象限．
8.已知二次函数y＝（x+2）2﹣1向左平移h个单位，再向下平移k个单位，得到二次函数y＝（x+3）2﹣4，则h和k的值分别为（　　）
A．1，3
B．3，﹣4
C．1，﹣3
D．3，﹣3
【答案】A
【解析】根据“左加右减，上加下减”的规律进行解答即可．
∵抛物线y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（﹣2，﹣1），则向左平移h个单位，再向下平移k个单位后的坐标为：（﹣2﹣h，﹣1﹣k），
∴平移后抛物线的解析式为y＝（x+2+h）2﹣k﹣1．
又∵平移后抛物线的解析式为y＝（x+3）2﹣4．
∴2+h＝3，﹣k﹣1＝﹣4，
∴h＝1，k＝3
二、填空题（每空4分，共24分）
9．将二次函数y＝x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是　
　．
【答案】y＝x2+2．
【解析】
二次函数y＝x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为y＝x2+2．
10．如果点和点是抛物线上的两点，那么______．（填“＞”、“=”、“＜”）．
【答案】＜
【解析】根据二次函数的图象和性质得出抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向下，当x＜0时，y随x的增大而增大，再比较即可．
∵，
∴抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向下，当x＜0时，y随x的增大而增大，
∵?3＜?2＜0，∴y1＜y2，故答案为：＜．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质等知识点，能熟记二次函数的图象和性质的内容是解此题的关键．
11．在直角坐标平面内，抛物线在轴__________侧图像上升(填“左”或“右”)
．
【答案】左
【解析】先确定抛物线开口方向，再确定对称轴，利用抛物线的性质确定即可．
抛物线的对称轴为y轴，a=-1<0，抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大．
12．二次函数y＝x2+2的图象的顶点坐标是_____．
【答案】（0，2）
【解析】根据
的顶点为（0，h）便可求解
二次函数y＝x2+2的图象的顶点坐标是（0，2）．
13．抛物线的对称轴是_______________．
【答案】y轴（或）
【解析】直接利用顶点式得出抛物线的对称轴．
抛物线的对称轴是y轴；
故答案为：y轴（或）．
14．写出顶点坐标为（0，-3），开口方向与抛物线的方向相反，形状相同的抛物线解析式_________．
【答案】
【解析】∵抛物线与的方向相反，形状相同，且顶点坐标（0，-3）
∴设抛物线解析式为：，
代入顶点坐标（0，-3）得：
∴解析式为
三、解答题（共44分）
15．（10分）求符合下列条件的抛物线的表达式.
（1）与的开口大小相同，方向相反；
（2）经过点（-3,2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据两抛物线开口大小相同，方向相反时，二次项系数化为相反数解答即可；
（2）把x=-3，y=2代入解析式求出a的值即可；
解：（1）∴函数与的开口大小相同，方向相反，
∴，
∴；
（2）将点（-3，2）代入，得
，解得，
∴所求抛物线的表达式为.
【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，正确代入计算、理解函数性质是解题的关键．
16．（10分）在同一直角坐标系中画出二次函数与二次函数的图形．
（1）从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点；
（2）说出两个函数图象的性质的相同点与不同点．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）根据二次函数的图象解答即可；
（2）从开口大小和增减性两个方面作答即可.
【详解】（1）解：如图：
，
与图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y轴，
与图象的不同点是：开口向上，顶点坐标是（0，1），开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；
（2）解：两个函数图象的性质的相同点：开口程度相同，即开口大小一样；
不同点：，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的图象与性质是解答的关键.
17．（12分）已知二次函数y＝ax2+b的图象与直线y＝x+2相交于点A（1，m），点B（n，0）．
（1）求二次函数的解析式，并写出该拋物线的对称轴和顶点坐标；
（2）选取适当的数据填入下表，并在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
x
……
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
……
y
……
　
　
　
　
　
　
　
　
　
　
……
（3）画出这两个函数的图象，并结合图象直接写出ax2+b＞x+2时x的取值范围．
【答案】（1）对称轴为x＝0，顶点为（0，4）；（2）见解析；（3）见解析，﹣2＜x＜1．
【分析】（1）求出A、B的坐标，利用待定系数法联立方程组即可求二次函数的解析式；
（2）利用描点法画出函数解析式；
（3）将二次函数与一次函数同时画在一个坐标系内，由图象即可求解．
【详解】（1）求出A、B的坐标，利用待定系数法联立方程组即可求二次函数的解析式；
将点A（1，m）、点B（n，0）代入直线y=x+2，∴m=3，n=﹣2，∴点A（1，3），点B（﹣2，0），将点A、B分别代入二次函数y=ax2+b，得到，∴，∴y=﹣x2+4，∴对称轴为x=0，顶点为（0，4）；
（2）利用描点法画出函数解析式；
画图见解析：
（3）将二次函数与一次函数同时画在一个坐标系内，由图象即可求解．
如图，由图象可得ax2+b＞x+2时，﹣2＜x＜1．
【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求二次函数解析式的方法，画出正确的函数图象，数形结合解题是关键．
18．（12分）已知抛物线y=ax2+c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且P（1，﹣3），B（4，0）
（1）点A的坐标是　
　；
（2）求该抛物线的解析式；
（3）直接写出该抛物线的顶点C的坐标．
【答案】（1）（﹣4，0）；（2）y=
x2﹣
；（3）顶点C的坐标是（0，﹣）．
【分析】(1)由题意可知该抛物线的对称轴是轴，点与点关于轴对称，即可求出点坐标；(2)将，代入抛物线解析式中，利用待定系数法即可求解抛物线的解析式；(3)根据(2)中抛物线的解析式，可得顶点坐标.
【详解】解：(1)∵该抛物线的对称轴是轴，
∴点与点关于轴对称，
∵，
∴；
(2)把点，代入，
得：，
解得，
∴该抛物线的解析式为2；
(3)由(2)知，该抛物线的解析式为2，则顶点C的坐标是．
故答案为(1)；(2)2；(3)顶点的坐标是．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式，图像和性质.解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质，利用待定系数法求二次函数的解析式.
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