资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第十四讲
二次函数y=a(x-h)
2的图象和性质
【学习目标】
1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.
2.掌握二次函数y=a(x-h)2的性质.
3.比较函数y=ax2
与
y=a(x-h)2的联系.
【新课讲解】
知识点1：二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
【问题1】在如图所示的坐标系中，画出二次函数
与
的图象．
先列表：
描点、连线，画出这两个函数的图象
根据所画图象，填写下表：
【问题2】画出二次函数
的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
根据所画图象，填写下表：
归纳总结：由【问题1】【问题2】总结二次函数
y=a(x-h)2(a
≠
0)的性质：
知识点2：二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系
左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变.
【例题1】抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．
【答案】见解析
【解析】根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．
二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，
a=1/4
∴平移后二次函数关系式为
【例题2】将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是(　　)
A．向上平移1个单位　　B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位　　D．向右平移1个单位
【答案】C
【解析】抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象．故选C.
二次函数y=a(x-h)
2的图象和性质过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每个小题4分，共32分）
1.在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（　　）
A
B
C
D
【答案】D．
【解析】根据二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，即可解答．
二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，
2．下列二次函数中，对称轴为直线x=1的是（
）
A．y=-x2+1
B．y=
(x–1)
2
C．y=
(x+1)
2
D．y
=-x2-1
【答案】B
【解析】本题考查了二次函数的对称轴，形如y=a（x-h）2+k的顶点为（h，k），对称轴是直线x=h；也可以把抛物线解析式化为一般形式，再根据对称轴公式x=﹣求出对称轴．
根据二次函数的性质求出各个函数的对称轴，选出正确的选项．
A．y=-x2+1的对称轴为x=0，所以选项A错误；
B.y=
(x–1)
2的对称轴为x=1，所以选项B正确；
C.y=
(x+1)
2的对称轴为x=﹣1，所以选项C错误；
D.y
=-x2-1对称轴为x=0，所以选项D错误.
3．已知二次函数的图象经过点，且当时，随的增大而减小，则点的坐标可以是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先根据二次函数的增减性判断出的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．
∵二次函数，当时，随的增大而减小，，
∴，
A．当时，，解得：，此选项不符合题意；
B．当时，，解得：，此选项符合题意；
C．当时，，解得：，此选项不符合题意；
D．当时，，解得，此选项不符合题意，
4．抛物线的顶点坐标为（
）
A．（3，0）
B．（-3,0）
C．（0,3）
D．（0，－3）
【答案】A
【解析】将二次函数解析式写成顶点式为：y=a（x－h）2+k，顶点坐标为（h，k）.
由二次函数解析式得顶点坐标为（3，0）.
5．抛物线的对称轴是（
）
A．直线
B．直线
C．直线
D．直线
【答案】B
【解析】由抛物线的顶点式可直接看出对称轴是x=h.
∵抛物线的顶点式是
∴对称轴是x=1.
6．下列二次函数中，顶点坐标为（－5,0），且开口方向、形状与y＝－x2的图象相同的是（
）
A．y＝（x－5）2
B．y＝x2－5
C．y＝－（x＋5）2
D．y＝（x＋5）2
【答案】C
【解析】根据二次函数的顶点式：y=a(x-m)2+k，即可得到答案．
顶点坐标为（－5,0），且开口方向、形状与y＝－x2的图象相同的二次函数解析式为：y＝－（x＋5）2，
7．二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】首先求出二次函数对称轴，，开口向上，再分段讨论函数的增减性即可解答.
二次函数，对称轴为，，开口向上
当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大
y随x的增大而增大
8.在平面直角坐标系中，若点M在抛物线y＝（x﹣3）2﹣4的对称轴上，则点M的坐标可能是（　　）
A．（1，0）
B．（3，5）
C．（﹣3，﹣4）
D．（0，﹣4）
【答案】B
【解析】由抛物线解析式可求得其对称轴，则可求得M点的横坐标，可求得答案．
∵y＝（x﹣3）2﹣4，
∴抛物线对称轴为x＝3，
∵点M在抛物线对称轴上，
∴点M的横坐标为3
二、填空题（每空4分，共28分）
9．已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为O（0，0）将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为　　．
【答案】y（x﹣4）2．
【解析】设原来的抛物线解析式为：y＝ax2．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解析式，将点P的坐标代入即可．
设原来的抛物线解析式为：y＝ax2（a≠0）．
把P（2，2）代入，得2＝4a，
解得a．
故原来的抛物线解析式是：yx2．
设平移后的抛物线解析式为：y（x﹣b）2．
把P（2，2）代入，得2（2﹣b）2．
解得b＝0（舍去）或b＝4．
所以平移后抛物线的解析式是：y（x﹣4）2．
10．抛物线的顶点坐标是_____________．
【答案】（2，0）
．
【解析】直接利用顶点式可知顶点坐标．顶点坐标是（2，0）
11．点A（﹣1，﹣2）在抛物线y＝﹣（x﹣1）2上，点A、B关于该抛物线的对称轴对称，则B点坐标
为_____．
【答案】（3，﹣2）．
【解析】先确定抛物线的对称轴方程，根据A、B关于抛物线的对称轴对称，即可得到点B的坐标．
抛物线的解析式是y＝﹣（x﹣1）2，
∴对称轴为直线x＝1，
∵点B和点A（﹣1，﹣2）关于直线x＝1对称，
∴B（3，﹣2）
12．抛物线y=
(x+3)2的顶点坐标是______.对称轴是_____．
【答案】
【解析】试题分析：对于二次函数，它的顶点坐标为(-m，0)，对称轴为直线x=-m，则本题中二次函数的顶点坐标为(-3,0)，对称轴为直线x=-3．
13．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为二次函数图象上的两点，若，则y1_____y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】
【解析】先通过的取值确定开口方向，再利用对称轴确定其增减性，即可得解．
∵二次函数的解析式为
∴
∴抛物线开口向上
∵图象的对称轴为直线
∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大
∵
∴．
14．已知抛物线的对称轴是直线x=4，则m=_____．
【答案】4
【解析】抛物线对称轴是直线x=m，
∵抛物线的对称轴是直线x=4，
∴m=4．
三、解答题（共40分）
15．（10分）对于二次函数．
它的图象与二次函数的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？
当取哪些值时，的值随的增大而增大？当取哪些值时，的值随的增大而减小？
【答案】(1)见解析；（2）见解析.
【分析】（1）由于二次函数y=-3（x+2）2与y=-3x2的二次项系数相同，所以将y=-3x2的图象向左平移2个单位可以得到y=-3（x+2）2的图象，由二次函数的性质可知它是轴对称图形，二次项系数小于0，开口向下，再根据顶点式的坐标特点，写出顶点坐标及对称轴；
（2）由对称轴及开口方向即可确定抛物线的增减性．
【详解】将的图象向左平移个单位可以得到的图象，
∵，
∴抛物线开口向下，
它是轴对称图形，对称轴为，顶点坐标是；
∵，抛物线开口向下，
∴当时，的值随的增大而增大；当时，的值随的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．
16．（10分）在同一坐标系中，画出函数y1＝2x2，y2＝2(x－2)2与y3＝2(x＋2)2的图象，并说明y2，y3的图象与y1＝2x2的图象的关系．
【答案】图略，y2，y3的图象是把y1的图象分别向右和向左平移2个单位得到的
【解析】试题分析：根据描点法，可得函数图象，根据图象间的关系，可得答案．
试题解析：解：如图，y2的图象由y1=2x2的图象向右平移2个单位得到；
y3的图象由y1=2x2的图象向左平移2个单位得到．
17．（10分）已知抛物线y=a(x-h)2,当x=2时，有最大值，此抛物线过点(1，-3)，求抛物线的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小.
【答案】当x＞2时，y随x的增大而减小
【解析】由于已知抛物线当x=2时，函数有最大值，得出h=2，可设抛物线为y=a（x-2）2，然后把（1，-3）代入求出a，然后根据二次函数的性质求解．
解：当x=2时，有最大值，
∴h=2.
又∵此抛物线过(1，-3)，
∴-3=a(1-2)2.
解得a=-3.
∴此抛物线的解析式为：y=-3(x-2)2.
当x＞2时，y随x的增大而减小.
18．（10分）如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC;
【答案】
【解析】过B作BP⊥x轴交于点P，连接AC，BC，
由抛物线y=得C（2，0），
∴对称轴为直线x=2，
设B（m，n），
∴CP=m-2，
∵AB∥x轴，
∴AB=2m-4，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=2m-4，∠BCP=∠ABC=60°，
∴PB=PC=（m-2），
∵PB=n=，
∴（m-2）=，
解得m=，m=2（不合题意，舍去），
∴AB=，BP=，
∴S△ABC=．
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第十四讲
二次函数y=a(x-h)
2的图象和性质
【学习目标】
1.会画二次函数y=a(x-h)2的图象.
2.掌握二次函数y=a(x-h)2的性质.
3.比较函数y=ax2
与
y=a(x-h)2的联系.
【新课讲解】
知识点1：二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
【问题1】在如图所示的坐标系中，画出二次函数
与
的图象．
先列表：
描点、连线，画出这两个函数的图象
根据所画图象，填写下表：
【问题2】画出二次函数
的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
根据所画图象，填写下表：
归纳总结：由【问题1】【问题2】总结二次函数
y=a(x-h)2(a
≠
0)的性质：
知识点2：二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系
左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变.
【例题1】抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．
【例题2】将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是(　　)
A．向上平移1个单位　　B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位　　D．向右平移1个单位
二次函数y=a(x-h)
2的图象和性质过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每个小题4分，共32分）
1.在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（　　）
A
B
C
D
2．下列二次函数中，对称轴为直线x=1的是（
）
A．y=-x2+1
B．y=
(x–1)
2
C．y=
(x+1)
2
D．y
=-x2-1
3．已知二次函数的图象经过点，且当时，随的增大而减小，则点的坐标可以是（
）
A．
B．
C．
D．
4．抛物线的顶点坐标为（
）
A．（3，0）
B．（-3,0）
C．（0,3）
D．（0，－3）
5．抛物线的对称轴是（
）
A．直线
B．直线
C．直线
D．直线
6．下列二次函数中，顶点坐标为（－5,0），且开口方向、形状与y＝－x2的图象相同的是（
）
A．y＝（x－5）2
B．y＝x2－5
C．y＝－（x＋5）2
D．y＝（x＋5）2
7．二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系是（
）
A．
B．
C．
D．
8.在平面直角坐标系中，若点M在抛物线y＝（x﹣3）2﹣4的对称轴上，则点M的坐标可能是（　　）
A．（1，0）
B．（3，5）
C．（﹣3，﹣4）
D．（0，﹣4）
二、填空题（每空4分，共28分）
9．已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为O（0，0）将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为　　．
10．抛物线的顶点坐标是_____________．
11．点A（﹣1，﹣2）在抛物线y＝﹣（x﹣1）2上，点A、B关于该抛物线的对称轴对称，则B点坐标
为_____．
12．抛物线y=
(x+3)2的顶点坐标是______.对称轴是_____．
13．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为二次函数图象上的两点，若，则y1_____y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）
14．已知抛物线的对称轴是直线x=4，则m=_____．
三、解答题（共40分）
15．（10分）对于二次函数．
它的图象与二次函数的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向，对称轴和顶点坐标分别是什么？
当取哪些值时，的值随的增大而增大？当取哪些值时，的值随的增大而减小？
16．（10分）在同一坐标系中，画出函数y1＝2x2，y2＝2(x－2)2与y3＝2(x＋2)2的图象，并说明y2，y3的图象与y1＝2x2的图象的关系．
17．（10分）已知抛物线y=a(x-h)2,当x=2时，有最大值，此抛物线过点(1，-3)，求抛物线的解析式，并指出当x为何值时，y随x的增大而减小.
18．（10分）如图，抛物线y=2（x-2）2与平行于x轴的直线交于点A，B，抛物线顶点为C，△ABC为等边三角形，求S△ABC;
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑