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第十五讲
二次函数y=a(x-h)
2
+k的图象和性质
【学习目标】
1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k
(a
≠0)的图象.
2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k
(a
≠0)的图象的性质并会应用.
3.理解二次函数y=a(x-h)2+k
(a
≠0)与y=ax2
(a
≠0)之间的联系.
【新课讲解】
知识点1：二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
【问题1】画出函数
的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴.
先列表
再描点、连线.
由函数
图像观察其特点是：
开口方向向下；
对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-1)
.
【问题2】画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.
通过列表、描点、连线得到如下图像
图像特点是:
开口方向向上；
对称轴是直线x=-1；顶点坐标是(-1,-2)。
由【问题1】【问题2】概括二次函数
y=a(x-h)2+k（a
≠
0）的性质是：
【例题1】已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　　)
【答案】A
【解析】根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.
【例题2】例2.
已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．
(1)求a的值；
(2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y
2时，求m、n之间的数量关系．
【答案】见解析。
【解析】已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式．
(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4，
得0＝4a－4，解得a＝1；
(2)方法一：根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，
∵y1＝y2，
∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.
∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2；
方法二：∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点(1，－4)，且平行于y轴的直线，
∴m＋n－1＝1－m，化简，得
2m＋n＝2.
知识点2：二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
可以看作互相平移得到的.
二次函数y=a(x-h)
2
+k的图象和性质过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每个小题4分，共32分）
1.抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）
A．
（﹣1，2）
B．
（﹣1，﹣2）
C．
（1，﹣2）
D．
（1，2）
【答案】D．
【解析】主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴的方法．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．
直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标．
∵顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（1，2）．
2．关于抛物线y＝（x+1）2﹣2，下列结论中正确的是（　　）
A．对称轴为直线x＝1
B．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小
C．与x轴没有交点
D．与y轴交于点（0，﹣2）
【答案】B
【解析】直接利用二次函数的性质分别分析得出答案．
抛物线y＝（x+1）2﹣2，对称轴为直线x＝﹣1，故此选项A错误；
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故选项B正确；
∵抛物线y＝（x+1）2﹣2，开口向上，顶点坐标为：（﹣1，﹣2），
∴与x轴有2个交点，故选项C错误；
当x＝0时，y＝﹣1，故图象与y轴交于点（0，﹣1），故选项D错误．
3.如图，将函数y（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】∵函数y（x﹣2）2+1的图象过点A（1，m），B（4，n），
∴m（1﹣2）2+1＝1，n（4﹣2）2+1＝3，
∴A（1，1），B（4，3），
过A作AC∥x轴，交B′B的延长线于点C，则C（4，1），
∴AC＝4﹣1＝3，
∵曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），
∴AC?AA′＝3AA′＝9，
∴AA′＝3，
即将函数y（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一条新函数的图象，
∴新图象的函数表达式是y（x﹣2）2+4．
故选：D．
4.若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（　　）
A．y=（x﹣2）2+3
B．y=（x﹣2）2+5
C．y=x2﹣1
D．y=x2+4
【答案】C．
【解析】思想判定出抛物线的平移规律，根据左加右减，上加下减的规律即可解决问题．
将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，这个相当于把抛物线向左平移有关单位，再向下平移3个单位，
∵y=（x﹣1）2+2，
∴原抛物线图象的解析式应变为y=（x﹣1+1）2+2﹣3=x2﹣1
5．把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的的数解析式为（　　）
A．y＝x2+2
B．y＝（x﹣1）2+1
C．y＝（x﹣2）2+2
D．y＝（x﹣1）2﹣3
【答案】C
【分析】先求出y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解析】二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），
∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），
∴所得的图象解析式为y＝（x﹣2）2+2．
6．抛物线的顶点坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】抛物线为顶点式，直接根据二次函数的性质得到顶点坐标．
【详解】∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为（1，3）．
7．二次函数的图像大致为（
）
A．
B．C．
D．
【答案】D
【解析】试题分析：a=1＞0，抛物线开口向上，由解析式可知对称轴为x=﹣2，顶点坐标为（﹣2，﹣1）．故选D．
考点：二次函数的图象．
8．二次函数y＝﹣（x－2）2＋1的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是（
）
A．x＜2
B．x＞2
C．x＜﹣2
D．x＞﹣2
【答案】B
【解析】根据二次函数的性质，即可得到y随x的增大而减小时x的取值范围．
【详解】解：二次函数y＝﹣（x－2）2＋1，
对称轴为直线x=2，开口向下，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，当x＜2时，y随x的增大而增大，
∴若y随x的增大而减小，则x的取值范围是x＞2。
二、填空题（每空4分，共24分）
9．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为　
　．
【答案】（1，8）．
【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
【解析】∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式，
∴顶点坐标是（1，8）．
10．如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是　
　．
【答案】y＝x2+3．
【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解．
【解析】抛物线y＝x2向上平移3个单位得到y＝x2+3．
11．若二次函数y＝a（x﹣4）2+4的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的上方，在6＜x＜7这一段位于x轴的下方，则a值为　　．
【答案】-1
【解析】先根据抛物线的解析式可求得抛物线的对称轴为x＝4，由二次函数的对称性可知当5＜x＜6时，函数图象位于x轴的上方，结合题意可知当x＝6时，y＝0，从而可求得a的值．
∵y＝a（x﹣4）2+4（a≠0），
∴抛物线的对称轴为x＝4．
又∵当2＜x＜3时，函数图象位于x轴的上方，
∴当5＜x＜6时，函数图象位于x轴的上方．
又∵当6＜x＜7时，函数图象位于x轴的下方，
∴当x＝6时，y＝0．
∴4a+4＝0．
∴a＝﹣1．
12．抛物线y＝x2＋2x＋3关于y轴对称的解析式y=___________．
【答案】
【分析】利用关于y轴对称后的解析式a值不变，b变为原来的相反数解答即可．
【详解】，
关于y轴对称的解析式是，
故答案为：(x?1)2+2
【点睛】本题主要考查的是二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．将二次函数y＝x2﹣4x+7化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为y＝_____．
【答案】（x﹣2）2+3．
【解析】根据二次函数顶点式的表示方法表示即可.
y＝x2﹣4x+7＝x2﹣4x+4+3＝（x﹣2）2+3
14．已知A（m，n）、B（m+8，n）是抛物线y=﹣（x﹣h）2+2018上两点，则n=_____．
【答案】2002
【解析】∵A（m，n）、B（m+8，n）是抛物线y=-（x-h）2+2018上两点，
根据抛物线的解析式可知抛物线的对称轴为x=h，而A、B两点的纵坐标相等，
则A、B两点关于x=h对称轴对称，则m+m+8=2h，即m=h-4，
则A、B坐标也可表示为（h-4，n）、B（h+4，n），
将B点坐标代入解析式得：n=-（h+4-h）2+2018=2002.
【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（共44分）
15．（6分）请把二次函数化为顶点式的形式．并写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标.
【答案】，开口方向：向上，顶点坐标：，对称轴：直线．
【分析】利用配方法将二次函数表达式化成顶点式，从而得出相关量.
【详解】解：
，
∴抛物线开口方向：向上，
顶点坐标：，
对称轴：直线.
【点睛】本题考查了配方法和二次函数的性质，属于基础知识，比较简单.
16．（10分）已知二次函数y＝(x－m)2－1.
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式；
（2）如下图，当m＝2时，该抛物线与轴交于点C，顶点为D，求C、D
两点的坐标；
【答案】（1）y＝x2＋2x或y＝x2－2x；（2）C(0，3)，D(2，－1)
【分析】（1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可得二次函数的解析式；
（2）根据m=2，代入求出二次函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可．
【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)，
∴代入二次函数y＝(x－m)2－1得m2－1＝0，得m＝±1，
所以二次函数的解析式为y＝x2＋2x或y＝x2－2x；
（2）当m＝2时，y＝(x－2)2－1，
∴D(2，－1)，
又当x＝0时，y＝3，
∴C(0，3)
【点睛】本题考查二次函数的综合应用以及二次函数顶点坐标以等知识，根据数形结合得出是解题关键．
17．（12分）已知二次函数经过点，且当时，函数有最大值4．
（1）求二次函数的解析式；
（2）直接写出一个与该函数图象开口方向相反，形状相同，且经过点的二次函数解析式．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）设顶点式为y＝a（x?1）2＋4，然后把（0，3）代入求出a即可；
（2）利用二次函数的性质，抛物线解析式为可设为y＝（x?1）2＋h，然后把（0，3）代入求出h可得到满足条件的一个抛物线解析式．
【详解】（1）设抛物线解析式为y＝a（x?1）2＋4，
把（0，3）代入得a（0?1）2＋4＝3，
解得a＝?1，
所以抛物线解析式为y＝?（x?1）2＋4；
（2）设抛物线解析式为y＝（x?1）2＋h，
把（0，3）代入得1＋h＝3，解得h＝2，
所以满足条件的一个抛物线解析式为y＝（x?1）2＋2．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上的坐标特征．
18．（16分）已知抛物线，是常数，，轴交于点，，与轴交于点，点为抛物线顶点．
（1）若点，，求抛物线的解析式；
（2）若点，且是直角三角形，求抛物线的解析式；
（3）若抛物线与直线相交于、两点
①用含的式子表示点的坐标；
②当轴时，求抛物线的解析式．
【答案】（1）
（2）或
（3）①，
②
【分析】
（1）利用对称性得到抛物线的对称轴为直线，然后把A点坐标代入解析式求得a的值即可求解抛物线解析式；
（2）易得△ABM是等腰直角三角形，，根据直角三角形斜边上的高等于斜边的一半得AB＝4，进而可得点B坐标，再将点A、B坐标代入可得方程组，解方程组求得a、h的值即可；
（3）①利用一次函数解析式求得点M的坐标，解方程组即可求得点D坐标；
②先表示出点C坐标，再利用CD∥x轴，得到关于C和D点的纵坐标相等得到关于a的方程，进而解方程求出a即可求解．
【详解】
解：（1）抛物线过点，
抛物线的对称轴为直线，
把代入得，
解得，
抛物线解析式为；
（2）点与点为对称点，
是等腰直角三角形，
而，
，
点坐标为或，
把，代入得，
解得，，此时抛物线解析式为；
把，代入得，
解得，，此时抛物线解析式为；
（3）①把代入得，解得，
解方程组，
得或，
点坐标为，；
②当时，，则，
轴，
，解得，
当时，、两点重合，舍去，
抛物线解析式为．
【点睛】
本题考查二次函数的综合问题，涉及到待定系数法求解析式、抛物线的对称性、抛物线与一次函数图象交点问题、等腰直角三角形的性质、解题的关键是综合运用所学知识，并利用数形结合的数学思想．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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第十五讲
二次函数y=a(x-h)
2
+k的图象和性质
【学习目标】
1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k
(a
≠0)的图象.
2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k
(a
≠0)的图象的性质并会应用.
3.理解二次函数y=a(x-h)2+k
(a
≠0)与y=ax2
(a
≠0)之间的联系.
【新课讲解】
知识点1：二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
【问题1】画出函数
的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴.
先列表
再描点、连线.
由函数
图像观察其特点是：
开口方向向下；
对称轴是直线x=-1;顶点坐标是(-1,-1)
.
【问题2】画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.
通过列表、描点、连线得到如下图像
图像特点是:
开口方向向上；
对称轴是直线x=-1；顶点坐标是(-1,-2)。
由【问题1】【问题2】概括二次函数
y=a(x-h)2+k（a
≠
0）的性质是：
【例题1】已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　　)
【例题2】例2.
已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．
(1)求a的值；
(2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y
2时，求m、n之间的数量关系．
知识点2：二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
可以看作互相平移得到的.
二次函数y=a(x-h)
2
+k的图象和性质过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每个小题4分，共32分）
1.抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）
A．
（﹣1，2）
B．
（﹣1，﹣2）
C．
（1，﹣2）
D．
（1，2）
2．关于抛物线y＝（x+1）2﹣2，下列结论中正确的是（　　）
A．对称轴为直线x＝1
B．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小
C．与x轴没有交点
D．与y轴交于点（0，﹣2）
3.如图，将函数y（x﹣2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（　　）
A．
B．
C．
D．
4.若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（　　）
A．y=（x﹣2）2+3
B．y=（x﹣2）2+5
C．y=x2﹣1
D．y=x2+4
5．把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的的数解析式为（　　）
A．y＝x2+2
B．y＝（x﹣1）2+1
C．y＝（x﹣2）2+2
D．y＝（x﹣1）2﹣3
6．抛物线的顶点坐标是（
）
A．
B．
C．
D．
7．二次函数的图像大致为（
）
A．
B．C．
D．
8．二次函数y＝﹣（x－2）2＋1的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是（
）
A．x＜2
B．x＞2
C．x＜﹣2
D．x＞﹣2
二、填空题（每空4分，共24分）
9．抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为　
　．
10．如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是　
　．
11．若二次函数y＝a（x﹣4）2+4的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的上方，在6＜x＜7这一段位于x轴的下方，则a值为　　．
12．抛物线y＝x2＋2x＋3关于y轴对称的解析式y=___________．
13．将二次函数y＝x2﹣4x+7化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为y＝_____．
14．已知A（m，n）、B（m+8，n）是抛物线y=﹣（x﹣h）2+2018上两点，则n=_____．
三、解答题（共44分）
15．（6分）请把二次函数化为顶点式的形式．并写出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标.
16．（10分）已知二次函数y＝(x－m)2－1.
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的解析式；
（2）如下图，当m＝2时，该抛物线与轴交于点C，顶点为D，求C、D
两点的坐标；
17．（12分）已知二次函数经过点，且当时，函数有最大值4．
（1）求二次函数的解析式；
（2）直接写出一个与该函数图象开口方向相反，形状相同，且经过点的二次函数解析式．
18．（16分）已知抛物线，是常数，，轴交于点，，与轴交于点，点为抛物线顶点．
（1）若点，，求抛物线的解析式；
（2）若点，且是直角三角形，求抛物线的解析式；
（3）若抛物线与直线相交于、两点
①用含的式子表示点的坐标；
②当轴时，求抛物线的解析式．
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