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第十六讲
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
【学习目标】
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.
【新课讲解】
知识点1：二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
【问题1】画出函数
的图象，并说明这个函数具有哪些性质.
函数
通过配方可得：
，
先列表：
然后描点、连线，得到图象如下图.
由图象可知，这个函数具有如下性质：
当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；
当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；
当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.
知识点2：将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k
我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？
归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质：
一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即
因此，抛物线y=ax2+bx+c
的顶点坐标是：
对称轴是：直线
如果a>0,当
时，y随x的增大而减小；
当时，y随x的增大而增大.
如果a<0,当
时，y随x的增大而增大；
当时，y随x的增大而减小.
【例题1】求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
【例题2】已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（
）
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
知识点3：二次函数字母系数与图象的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
【例题3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.
其中正确的个数是
(　　)
A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4
课堂总结
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每个小题4分，共32分）
1.二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为（　　）
A．
x=4
B．x=﹣4
C．
x=2
D．
x=﹣2
2．二次函数y=x2-3x+2的顶点坐标是（　　）
A．（，-）
B．（-，）
C．（，）
D．（-，-）
3．对于二次函数，下列说法正确的是(　　　)
A．当，随的增大而增大
B．当时，有最大值
C．图象的顶点坐标为
D．图象与轴有一个交点
4.如图所示，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（　　）
A
B
C
D
5.如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：
①a＞0
②2a+b=0
③a+b+c＞0
④当﹣1＜x＜3时，y＞0
其中正确的个数为（　　）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
7．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1．给出下列结论：
①ac＜0；②b2﹣4ac＞0；③2a﹣b＝0；④a﹣b+c＝0．
其中，正确的结论有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（　　）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）
D．y的最小值为﹣9
二、填空题（每空3分，共24分）
9．抛物线的顶点坐标是______．
10．如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是_________．
11.二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是　
　．
12．已知抛物线y=ax2﹣3x+c（a≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c﹣1=　
　．
13．已知二次函数y＝x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是　
　．
14．抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是　
　．
15．已知抛物线的对称轴为x=1，则m=______．
16．若二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
10
0
6
8
6
…
则它的图象与x轴的两个交点横坐标的和为　
　．
三、解答题（共44分）
17．（10分）已知：二次函数
（1）求出该函数图象的顶点坐标；
（2）在所提供的网格中画出该函数的草图．
18．（10分）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
求这个二次函数的表达式，并利用配方法求出此抛物线的对称轴、顶点坐标
19．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．
20．（14分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
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精品试卷·第
2
页
（共
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第十六讲
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
【学习目标】
1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k.
2.会熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.
【新课讲解】
知识点1：二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
【问题1】画出函数
的图象，并说明这个函数具有哪些性质.
函数
通过配方可得：
，
先列表：
然后描点、连线，得到图象如下图.
由图象可知，这个函数具有如下性质：
当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；
当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；
当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.
知识点2：将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k
我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？
归纳总结二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质：
一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即
因此，抛物线y=ax2+bx+c
的顶点坐标是：
对称轴是：直线
如果a>0,当
时，y随x的增大而减小；
当时，y随x的增大而增大.
如果a<0,当
时，y随x的增大而增大；
当时，y随x的增大而减小.
【例题1】求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
【答案】对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1).
【解析】
因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1).
【例题2】已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（
）
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
【答案】D
【解析】∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴
即b≤1，故选择D
.
知识点3：二次函数字母系数与图象的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
【例题3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.
其中正确的个数是
(　　)
A．1　　　B．2　　　　C．3　　　D．4
【答案】D
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得
c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
由图象上横坐标为
x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出
a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
课堂总结
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每个小题4分，共32分）
1.二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为（　　）
A．
x=4
B．x=﹣4
C．
x=2
D．
x=﹣2
【答案】D．
【解析】直接利用抛物线的对称轴公式代入求出即可．
二次函数y=x2+4x﹣5的图象的对称轴为：x=﹣=﹣=﹣2．
2．二次函数y=x2-3x+2的顶点坐标是（　　）
A．（，-）
B．（-，）
C．（，）
D．（-，-）
【答案】A
【解析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可得出答案．
∵二次函数解析式为，
∴二次函数顶点式为，
故顶点坐标为：（）。
3．对于二次函数，下列说法正确的是(　　　)
A．当，随的增大而增大
B．当时，有最大值
C．图象的顶点坐标为
D．图象与轴有一个交点
【答案】B
【解析】将二次函数化为顶点式，即可得出二次函数图象的开口方向以及二次函数图象的对称轴、顶点坐标，利用根的判别式可判断出二次函数图象于x轴的交点的个数．
∵
∴图象的顶点坐标为，选项C错误；
∵
∴二次函数图象开口向下，当时，有最大值，选项B正确；
∵当，随的增大而减小，当，随的增大而增大，选项A错误；
∵关于x的方程，，有两个不相等的实数根，
∴二次函数，图象与轴有两个交点，选项D错误。
4.如图所示，一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（　　）
A
B
C
D
【答案】A．
【解析】本题考查了二次函数的图象，直线和抛物线的交点，交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，得出方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，进而得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，根据方程根与系数的关系得出函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，即可进行判断．
∵一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，
∴方程ax2+（b﹣1）x+c=0有两个不相等的根，
∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c与x轴有两个交点，
∵方程ax2+（b﹣1）x+c=0的两个不相等的根x1＞0，x2＞0，
∴x1+x2=﹣＞0，
∴﹣＞0，
∴函数y=ax2+（b﹣1）x+c的对称轴x=﹣＞0，
∵a＞0，开口向上，
∴A符合条件。
5.如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法：
①a＞0
②2a+b=0
③a+b+c＞0
④当﹣1＜x＜3时，y＞0
其中正确的个数为（　　）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
【答案】C．
【解析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断﹣1＜x＜3时，y的符号．
①图象开口向下，能得到a＜0；
②对称轴在y轴右侧，x==1，则有﹣=1，即2a+b=0；
③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0；
④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．
6．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴求出2a与b的关系．
【解析】①∵由抛物线的开口向上知a＞0，
∵对称轴位于y轴的右侧，
∴b＜0．
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0；
故错误；②对称轴为x1，得2a＞﹣b，即2a+b＞0，
故错误；
③如图，当x＝﹣2时，y＞0，4a﹣2b+c＞0，
故正确；
④∵当x＝﹣1时，y＝0，
∴0＝a﹣b+c＜a+2a+c＝3a+c，即3a+c＞0．
故正确．
综上所述，有2个结论正确．
7．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1．给出下列结论：
①ac＜0；②b2﹣4ac＞0；③2a﹣b＝0；④a﹣b+c＝0．
其中，正确的结论有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【答案】C
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点，综合进行判断即可．
【解析】抛物线开口向下，a＜0，对称轴为x1，因此b＞0，与y轴交于正半轴，因此c＞0，
于是有：ac＜0，因此①正确；
由x1，得2a+b＝0，因此③不正确，
抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，②正确，
由对称轴x＝1，抛物线与x
轴的一个交点为（3，0），对称性可知另一个交点为（﹣1，0），因此a﹣b+c＝0，故④正确，
综上所述，正确的结论有①②④。
8．关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（　　）
A．图象的对称轴在y轴的右侧
B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）
C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）
D．y的最小值为﹣9
【答案】D
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解析】∵二次函数y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9＝（x+4）（x﹣2），
∴该函数的对称轴是直线x＝﹣1，在y轴的左侧，故选项A错误；
当x＝0时，y＝﹣8，即该函数与y轴交于点（0，﹣8），故选项B错误；
当y＝0时，x＝2或x＝﹣4，即图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（﹣4，0），故选项C错误；
当x＝﹣1时，该函数取得最小值y＝﹣9，故选项D正确。
二、填空题（每空3分，共24分）
9．抛物线的顶点坐标是______．
【答案】(1,2)．
【分析】已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标是（1,2），
故答案为：（1,2）．
【点睛】此题考查了二次函数的性质．二次函数y=a（x-h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，此题还考查了配方法求顶点式．
10．如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是_________．
【答案】
【分析】由抛物线的开口向下，可得：＜，解不等式可得答案．
【详解】解：
抛物线的开口向下，
＜，
＜
故答案为：．
【点睛】本题考查的是抛物线的开口方向，掌握＞，抛物线的开口向上，＜，抛物线的开口向下，是解题的关键．
11.二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是　
　．
【答案】（1，﹣2）．
【解析】本题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标有两种方法①公式法，②配方法．
此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出其顶点的坐标．
∵y=﹣x2+2x﹣3
=﹣（x2﹣2x+1）﹣2
=﹣（x﹣1）2﹣2，
故顶点的坐标是（1，﹣2）．
12．已知抛物线y=ax2﹣3x+c（a≠0）经过点（﹣2，4），则4a+c﹣1=　
　．
【答案】﹣3．
【解析】二次函数图象上点的坐标特征．将点（﹣2，4）代入y=ax2﹣3x+c（a≠0），即可求得4a+c的值，进一步求得4a+c﹣1的值．
把点（﹣2，4）代入y=ax2﹣3x+c，得
4a+6+c=4，
∴4a+c=﹣2，
∴4a+c﹣1=﹣3。
13．已知二次函数y＝x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是　
　．
【答案】k＜4．
【解析】先根据函数解析式得出抛物线的开口向上，根据顶点在x轴的下方得出△＞0，求出即可．
∵二次函数y＝x2﹣4x+k中a＝1＞0，图象的开口向上，
又∵二次函数y＝x2﹣4x+k的图象的顶点在x轴下方，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×k＞0，
解得：k＜4，
故答案为：k＜4．
14．抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是　
　．
【答案】2．
【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质可以求得抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数，本题得以解决．
【解析】∵抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数），
∴当y＝0时，0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k，
∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4×2×（﹣k）＝4k2+4＞0，
∴0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k有两个不相等的实数根，
∴抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴有两个交点，
15．已知抛物线的对称轴为x=1，则m=______．
【答案】-2
【分析】利用抛物线的对称轴方程得到，解方程即得到m的值.
【详解】抛物线的对称轴为直线，
∴m＝-2.故答案为：-2
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴是直线x=是解答此题的关键.
16．若二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
10
0
6
8
6
…
则它的图象与x轴的两个交点横坐标的和为　
　．
【答案】4
【解析】从表格看通过函数的对称轴为确定图象和x轴的两个交点的横坐标，即可求解．
从表格看，函数的对称轴为x＝2，
根据点的对称性，x＝0，y＝0，则x＝4时，y＝0，
即图象和x轴的两个交点的横坐标为0、4，
则图象与x轴的两个交点横坐标的和为0+4＝4
三、解答题（共44分）
17．（10分）已知：二次函数
（1）求出该函数图象的顶点坐标；
（2）在所提供的网格中画出该函数的草图．
【答案】（1）
(－2，－1)；（2）见解析
【分析】（1）将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标；
（2）利用五点法画二次函数的图象即可．
【详解】（1）化为顶点式为
则该函数图象的顶点坐标为；
（2）先求出自变量x在处的函数值，再列出表格
当和时，
当和时，
当时，
列出表格如下：
由此画出该函数的草图如下：
【点睛】本题考查了二次函数的顶点式、画二次函数的图象，掌握函数图象的画法是解题关键．
18．（10分）抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
求这个二次函数的表达式，并利用配方法求出此抛物线的对称轴、顶点坐标
【答案】y=-x2+x+6，对称轴方程为直线x=，顶点坐标为（，）．
【分析】把点（0，6）代入求出c，把点（-1，4）和（1，6）代入得出，求出a、b，再利用x=-得出抛物线的对称轴方程，代入二次函数的表达式，即可求出答案．
【详解】解：（1）由表得，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6），∴c=6，
∵抛物线y=ax2+bx+6过点（-1，4）和（1，6），∴，
解得：，∴二次函数的表达式为：y=-x2+x+6；
∴抛物线的对称轴方程为直线x=，
∵当x=时，y=，∴抛物线的顶点坐标为（，）；
【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的解析式的应用，能求出二次函数的解析式是解此题的关键．
19．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．
（1）求a，b的值．
（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．
【分析】（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1解方程组即可得到结论；
（2）把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得到y1＝6，于是得到y1＝y2，即可得到结论．
【解析】（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，
解得：；
（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，
把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得，y1＝6，
∴y2＝12﹣y1＝6，
∵y1＝y2，且对称轴为x＝2，
∴m＝4﹣5＝﹣1．
20．（14分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
【答案】见解析。
【分析】（1）把解析式化成顶点式即可求得；
（2）根据顶点式求得得到坐标，根据题意得到关于a的方程解方程求得a的值，从而求得抛物线的解析式；
（3）根据对称轴得到其对称点，再根据二次函数的增减性写出m的取值．
【解析】（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2＝a（x﹣1）2+2a2﹣a﹣3．
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）∵抛物线的顶点在x轴上，
∴2a2﹣a﹣3＝0，
解得a或a＝﹣1，
∴抛物线为yx2﹣3x或y＝﹣x2+2x﹣1；
（3）∵抛物线的对称轴为x＝1，
则Q（3，y2）关于x＝1对称点的坐标为（﹣1，y2），
∴当a，﹣1＜m＜3时，y1＜y2；当a＝﹣1，m＜﹣1或m＞3时，y1＜y2．
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精品试卷·第
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