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第十七讲 用待定系数法求二次函数的解析式
【学习目标】
1.会用待定系数法求二次函数的表达式.
2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.
【新课讲解】
知识点1：一般式法二次函数的表达式
1.待定系数法求解二次函数一般式步骤：
（1）设：表达式
（2）代：坐标代入
（3）解：方程（组）
（4）还原：写解析式
2.一般式法求二次函数表达式的方法
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
【例题1】已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
知识点2：顶点法求二次函数的表达式方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
【例题2】一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.
知识点3： 交点法求二次函数的表达式
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
交点法求二次函数的表达式其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1, x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
【例题3】二次函数的图像与坐标轴三个交点是(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试出这个二次函数的表达式.
知识点4：特殊条件的二次函数的表达式
【例题4】已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．
重要：用待定系数法求解二次函数解析式方法总结：
用待定系数法求二次函数的解析式过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每个小题4分，共32分）
1．某函数图象刚经过（1，1），该函数的解析式可以是（ ）
A． B． C． D．
2．过原点的抛物线的解析式是（ 　 ）
A．y=3x2-1 B．y=3x2+1 C．y=3（x+1）2 D．y=3x2+x
3．已知点在抛物线上，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
4．已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（　　）
A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4
C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-4
5．一个二次函数的图象的顶点坐标为，与轴的交点，这个二次函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图1，是某次排球比赛中运动员垫球时的动作，垫球后排球的运动路线可近似地看作抛物线，在图2所示的平面直角坐标系中，运动员垫球时（图2中点）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图2中点）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图2中点）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ）．
A． B．
C． D．
7．二次函数的部分图象如图所示，则下列说法：①abc>0；②　2a+b=0；③　a(x+1)(x-3)=0；④　2c-3b=0．其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在图（1）位置时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2 m，水面宽4 m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=﹣2x2 B．y=2x2
C．y=﹣0.5x2 D．y=0.5x2
二、填空题（每空4分，共24分）
9.已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是　 。
10．已知点在二次函数的图象上，则k的值是_________．
11．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为_______________________．
12．写出一个图象开口向上，且经过点的二次函数的解析式：_______．
13．二次函数的图象过（2，2），则二次函数的表达式为________．
14．求经过A(1，4)，B(﹣2，1)两点，对称轴为x=﹣1的抛物线的解析式______．
三、解答题（共44分）
15．（8分）已知抛物线y=ax2+bx+c经过(﹣1，0)，(0，﹣3)，(2，3)三点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
16．（8分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过A（-2，0），B（4，0），C（1，3）三点．求这个二次函数的解析式．
17．（12分）已知：对称轴为x＝1的抛物线经过A（－1，0），B（2，－3）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设点P是该抛物线在第四象限内的图象上的一个动点，连接PO交直线AB于点Q，当Q是OP中点时，试求点P的坐标．
18．(16分)如图，在直角坐标系中，已知直线y=-x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，C点坐标为（﹣2，0）．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）如果M为抛物线的顶点，联结AM、BM，求四边形AOBM的面积．
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第十七讲 用待定系数法求二次函数的解析式
【学习目标】
1.会用待定系数法求二次函数的表达式.
2.会根据待定系数法解决关于二次函数的相关问题.
【新课讲解】
知识点1：一般式法二次函数的表达式
1.待定系数法求解二次函数一般式步骤：
（1）设：表达式
（2）代：坐标代入
（3）解：方程（组）
（4）还原：写解析式
2.一般式法求二次函数表达式的方法
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
【例题1】已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
【答案】y＝2x2＋3x－4.
【解析】设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．
依题意得
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.
知识点2：顶点法求二次函数的表达式方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
【例题2】一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.
【答案】见解析。
【解析】因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为
y=a(x-8)2+9.
又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 0=a(0-8)2+9.
解得 a=-9/64
∴所求的二次函数的解析式是
知识点3： 交点法求二次函数的表达式
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
交点法求二次函数的表达式其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1, x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
【例题3】二次函数的图像与坐标轴三个交点是(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试出这个二次函数的表达式.
【答案】y=-x2-4x-3.
【解析】∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
∴a(0+3)(0+1)=-3
解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
知识点4：特殊条件的二次函数的表达式
【例题4】已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点(2,3)和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．
【答案】y=2x2－5
【解析】∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5
注意;y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.
重要：用待定系数法求解二次函数解析式方法总结：
用待定系数法求二次函数的解析式过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每个小题4分，共32分）
1．某函数图象刚经过（1，1），该函数的解析式可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】把分别代入四个选项中的解析式，即可判断．
．把代入得，故函数经过点；
．把代入得，故函数不经过点；
．把代入得，故函数不经过点；
．把代入得，故函数不经过点。
2．过原点的抛物线的解析式是（ 　 ）
A．y=3x2-1 B．y=3x2+1 C．y=3（x+1）2 D．y=3x2+x
【答案】D
【解析】经过原点（0，0）的抛物线，当时，y=0代入计算即可判断．
A．当时，，不符合题意；
B．当时，，不符合题意；
C．当时，，不符合题意；
D．当时，，符合题意。
3．已知点在抛物线上，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【解析】把点代入，求解即可.
把点代入，得：
解得：a=2
4．已知二次函数的图象经过点（-1，-5），（0，-4）和（1，1），则这二次函数的表达式为（　　）
A．y=-6x2+3x+4 B．y=-2x2+3x-4
C．y=x2+2x-4 D．y=2x2+3x-4
【答案】D
【解析】设所求函数的解析式为y=ax2+bx+c，
把（-1，-5），（0，-4），（1，1）分别代入，
得：解得
所求的函数的解析式为y=2x2+3x-4．
5．一个二次函数的图象的顶点坐标为，与轴的交点，这个二次函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由于已知顶点坐标，则可设顶点式y=a（x﹣3）2﹣1，然后把（0，﹣4）代入求出a的值即可得到抛物线解析式．
设抛物线解析式为y=a（x﹣3）2﹣1，把（0，﹣4）代入得：a （﹣3）2﹣1=﹣4，解得：a=﹣，所以抛物线解析式为y=﹣（x﹣3）2﹣1=﹣x2+2x﹣4．
6．如图1，是某次排球比赛中运动员垫球时的动作，垫球后排球的运动路线可近似地看作抛物线，在图2所示的平面直角坐标系中，运动员垫球时（图2中点）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图2中点）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图2中点）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意结合函数的图象，得出图中A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出函数关系式即可．
（米）
根据题意和所建立的坐标系可知，A（-5，），B（0，），C（，0），
设排球运动路线的函数关系式为y=ax2+bx+c，将A、B、C的坐标代入得：
，
解得，，
∴排球运动路线的函数关系式为
7．二次函数的部分图象如图所示，则下列说法：①abc>0；②　2a+b=0；③　a(x+1)(x-3)=0；④　2c-3b=0．其中正确的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】如图，由抛物线过，对称轴为 根据对称性得到抛物线的图像经过
①图象开口向下， ∴a＜0，
与y轴交于正半轴， ∴c＞0，
对称轴在y轴右侧， ∴b＞0，
则abc＜0，故①错误；
②对称轴 解得，2a+b=0，故②正确；
③由抛物线与轴的交点坐标为：，
所以函数解析式为：y=a（x+1）（x-3），
所以y的值是不断变化的，故③错误；
④∵抛物线与x轴交于（-1，0）和（3，0），
∴a-b+c=0，9a+3b+c=0，
两式相加得，10a+2b+2c=0，
又b=-2a，
，
∴2c-3b=0，故④正确．
8．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在图（1）位置时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2 m，水面宽4 m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）
A．y=﹣2x2 B．y=2x2
C．y=﹣0.5x2 D．y=0.5x2
【答案】C
【解析】由题意可得，设抛物线解析式为：y=ax2，由图意知抛物线过（2，–2），故–2=a×22，解得：a=–0.5，故解析式为 y=﹣0.5x2 ，选C．
二、填空题（每空4分，共24分）
9.已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是　 。
【答案】（1，4）．
【解析】把A、B的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求出方程组的解，即可得出解析式，化成顶点式即可．
∵A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，
∴代入得：，
解得：b=2，c=3，
∴y=﹣x2+2x+3
=﹣（x﹣1）2+4，
顶点坐标为（1，4）
10．已知点在二次函数的图象上，则k的值是_________．
【答案】2
【解析】由题意，将点代入二次函数的解析式得：，
解得
11．已知二次函数y＝ax2＋4x＋c，当x等于﹣2时，函数值是﹣1；当x＝1时，函数值是5．则此二次函数的表达式为_______________________．
【答案】y＝2x2＋4x－1
【解析】把两组对应值代入y＝ax2＋4x＋c得到关于a、c的方程组，然后解方程组即可．
根据题意得：，
解得，
所以抛物线解析式为y＝2x2＋4x－1，
故填：y＝2x2＋4x－1．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
12．写出一个图象开口向上，且经过点的二次函数的解析式：_______．
【答案】等
【分析】设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0)，根据开口向上，a＞0，可取a=1，将(0，1)代入得出c=1，即可得出二次函数表达式．
【详解】设二次函数的表达式为(a≠0)，
∵图象为开口向上，且经过(0，1)，
∴a＞0，c=1，
∴二次函数表达式可以为：(答案不唯一)．
13．二次函数的图象过（2，2），则二次函数的表达式为________．
【答案】
【解析】将点代入二次函数中即可求出a的值，从而可确定二次函数的表达式．
∵二次函数的图象过（2，2），
，
解得 ，
∴二次函数的表达式为
14．求经过A(1，4)，B(﹣2，1)两点，对称轴为x=﹣1的抛物线的解析式______．
【答案】
【解析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
根据对称轴解析式，设抛物线顶点式解析式，然后把点A、B的坐标代入解析式，利用待定系数法求函数解析式求解即可．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+k，
∵抛物线经过A（1，4），B（-2，1）两点，
∴
解得
∴这个抛物线的解析式为y=（x+1）2，即y=x2+2x+1．
三、解答题（共44分）
15．（8分）已知抛物线y=ax2+bx+c经过(﹣1，0)，(0，﹣3)，(2，3)三点．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【答案】（1）y=2x2﹣x﹣3；（2）抛物线的开口向上，对称轴为x=，顶点坐标为（，﹣）．
【分析】（1）将三点代入y=ax2+bx+c，得到三元一次方程组，解方程组即可得到a，b，c的值，从而得到抛物线的解析式．
（2）把解析式化成顶点式，根据抛物线的性质即可得出结论．
【详解】解：（1）把(-1,0)，(0,-3)，(2,3)代入y=ax2+bx+c，得，解得．
所以，这个抛物线的表达式为y=2x2﹣x﹣3．
（2）y=2x2﹣x﹣3=2(x﹣)2﹣，
所以，抛物线的开口向上，对称轴为x=，顶点坐标为（，﹣）
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的性质．熟练掌握待定系数法是解题的关键．
16．（8分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过A（-2，0），B（4，0），C（1，3）三点．求这个二次函数的解析式．
【答案】
【分析】利用抛物线与轴的两交点坐标，可设交点式，然后把C点坐标代入求出即可．
【详解】∵二次函数的图象经过A(-2，0)，B(4，0)，
∴设二次函数的解析式为，
∵图象过点C(1，3)，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为，
故二次函数的解析式为：．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求抛物线解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
17．（12分）已知：对称轴为x＝1的抛物线经过A（－1，0），B（2，－3）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设点P是该抛物线在第四象限内的图象上的一个动点，连接PO交直线AB于点Q，当Q是OP中点时，试求点P的坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）点P（，）．
【分析】（1）对称轴为x=1的抛物线经过A（-1，0），则抛物线与x轴的另外一个交点坐标为：（3，0），则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3），即可求解；
（2）设点P（m，m2-2m-3），当Q是OP中点时，则点Q，即可求解．
【详解】解：（1）∵对称轴为x＝1的抛物线经过A（﹣1，0），
∴抛物线与x轴的另外一个交点为（3，0），
则抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将点B的坐标代入上式并解得a＝1，
故抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3
（2）设点P（m，m2﹣2m﹣3），m＞0
设直线AB的解析式为y=kx+b
将点A、B的坐标代入一次函数解析式，得
解得，
所以，直线AB的表达式为：y＝﹣x﹣1，
当Q是OP中点时，则点Q（，），
将点Q的坐标代入y＝﹣x﹣1解得m＝，由题意，取m＝.
故点P（，）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质，考查了利用待定系数法求函数的解析式．
18．(16分)如图，在直角坐标系中，已知直线y=-x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，C点坐标为（﹣2，0）．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）如果M为抛物线的顶点，联结AM、BM，求四边形AOBM的面积．
【答案】（1）y=- （2）31
分析：（1）先利用一次函数解析式确定A（0，4），B（8，0），再设交点式y=a（x+2）（x-8），然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；
（2）先利用配方法得到y=-（x-3）2+，则M（3，），作MD⊥x轴于D，如图，然后根据梯形面积公式和三角形面积公式，利用四边形AOBM的面积=S梯形AODM+S△BDM进行计算即可．
详解：（1）当x=0时，y=- x+4=4，则A（0，4），
当y=0时，- x+4=0，解得x=8，则B（8，0），
设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣8），
把A（0，4）代入得a 2 （﹣8）=4，解得x=﹣ ，
∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣8），即y=﹣x2+x+4；
（2）∵y=﹣（x﹣3）2+，∴M（3，），
作MD⊥x轴于D，如图，四边形AOBM的面积=S梯形AODM+S△BDM
=×（4+）×3+×5×
=31．
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