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第十八讲
二次函数与一元二次方程
【学习目标】
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系.
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.
3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
【新课讲解】
知识点1：二次函数与一元二次方程的关系
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数y=ax2+bx+c为一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程关系密切．比如：已知二次函数y
=
－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0
又可以看作已知二次函数
y
=
x2－4x+3
的值为0，求自变量x的值．
知识点2：利用二次函数深入讨论一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
【例题1】已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
【答案】见解析。
【解析】(1)证明：∵m≠0，
∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.
∵(m－2)2≥0，
∴Δ≥0，
∴此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)解：令y＝0，则(x－1)(mx－2)＝0，
所以
x－1＝0或mx－2＝0，
解得
x1＝1，x2＝2/m
.
当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数．
所以正整数m的值为1或2.
【例题2】已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.
(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
【答案】见解析。
【解析】(1)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，
∴不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)解：∵x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，
∴x1(2)＋x2(2)＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3，
∴a＝1.
知识点3：利用二次函数求一元二次方程的近似解
【例题3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　)
A．x1≈－2.1，x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x2≈0.9
D．x1≈－3，x2≈1
【答案】B
【解析】解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．
由图象可得二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为x＝－1，而对称轴右侧图象与x轴交点到原点的距离约为0.5，∴x2≈0.5；又∵对称轴为x＝－1，则
＝－1，
∴x1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x1≈－2.5，x2≈0.5.故选B.
知识点4：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系
【问题1】
函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么
方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，
x2=3
不等式ax2+bx+c>0的解集
是x<-1或x>3
不等式ax2+bx+c<0的解集
是-1【问题2】函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么
方程ax2+bx+c=2的根是
x1=-2，
x2=4
不等式ax2+bx+c>2的解集是x<-2或x>4
不等式ax2+bx+c<2的解集是-2【问题3】如果方程ax2+bx+c=0
（a≠0）没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与
x轴有______个交点；不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？
（1）当a>0时,
ax2+bx+c<0无解；
（2）当a＜0时,
ax2+bx+c<0的解集是一切实数.
本节课的精华总结：
二次函数与一元二次方程过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每个小题4分，共32分）
1.抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】对于抛物线解析式，分别令x=0与y=0求出对应y与x的值，即可确定出抛物线与坐标轴的交点个数．
抛物线y=2x2﹣2x+1，
令x=0，得到y=1，即抛物线与y轴交点为（0，1）；
令y=0，得到2x2﹣2x+1=0，即（x﹣1）2=0，
解得：x1=x2=，即抛物线与x轴交点为（，0），
则抛物线与坐标轴的交点个数是2。
2．若二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣1
B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝﹣1，x2＝3
D．x1＝﹣3，x2＝1
【答案】C
【解析】直接利用抛物线与x轴交点求法以及结合二次函数对称性得出答案．
∵二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），
∴方程ax2﹣2ax+c＝0一定有一个解为：x＝﹣1，
∵抛物线的对称轴为：直线x1，
∴二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象与x轴的另一个交点为：（3，0），
∴方程ax2﹣2ax+c＝0的解为：x1＝﹣1，x2＝3．
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；
②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．
其中正确的个数有（　　）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
【答案】B．
【解析】二次函数的图象；二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组）．
①根据抛物线的顶点坐标确定二次三项式ax2+bx+c的最大值；
②根据x=2时，y＜0确定4a+2b+c的符号；
③根据抛物线的对称性确定一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和；
④根据函数图象确定使y≤3成立的x的取值范围．
∵抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），∴二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，①正确；
∵x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，②正确；
根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣2，③错误；
使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤﹣2，④错误。
4.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0
（a≠0）的两根之和（　　）
A．大于0
B．等于0
C．小于0
D．不能确定
【答案】C．
【解析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键．
设ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，
∵由二次函数的图象可知x1+x2＞0，a＞0，
∴﹣＞0．
设方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根为a，b，则a+b=﹣=﹣+，
∵a＞0，∴＞0，∴a+b＞0．
5.
已知二次函数y=x2+bx﹣2的图象与x轴的一个交点为（1，0），则它与x轴的另一个交点坐标是（　　）
A．（1，0）
B．（2，0）
C．（﹣2，0）
D．（﹣1，0）
【答案】C
【解析】把交点坐标（1，0），代入二次函数y=x2+bx﹣2求出b的值，进而知道抛物线的对称轴，再利用公式x=，可求出它与x轴的另一个交点坐标．
把x=1，y=0代入y=x2+bx﹣2得：
0=1+b﹣2，
∴b=1，
∴对称轴为，
∴，
∴=﹣2，
它与x轴的另一个交点坐标是（﹣2，0）．故选C．
6.
已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　)
A．k＜4
B．k≤4
C．k＜4且k≠3
D．k≤4且k≠3
【答案】B
【解析】分为两种情况：：①当k－3≠0时，(k－3)x2＋2x＋1＝0，求出△＝b2－4ac＝－4k＋16≥0的解集即可；②当k－3＝0时，得到一次函数y＝2x＋1，与X轴有交点；即可得到答案．
①当k－3≠0时，(k－3)x2＋2x＋1＝0，
△＝b2－4ac＝22－4(k－3)×1＝－4k＋16≥0，
k≤4；
②当k－3＝0时，y＝2x＋1，与x轴有交点．故选B．
7.二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=（　　）
A．1
B．﹣1
C．﹣2
D．0
【答案】B
【解析】先把x1=3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0，求出k的值，再根据根与系数的关系即可求出另一个解x2的值．
∵把x1=3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0得，
﹣9+6+k=0，解得k=3，
∴原方程可化为：﹣x2+2x+3=0，
∴x1+x2=3+x2=﹣=2，解得x2=﹣1．故选B．
8.已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c0的根的情况是（　　）
A．无实数根
B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根
D．有两个同号不等实数根
【答案】D
【解析】利用函数图象平移即可求解．
函数y＝ax2+bx+c向上平移个单位得到y′＝ax2+bx+c，
而y′顶点的纵坐标为﹣2，
故y′＝ax2+bx+c与x轴有两个交点，且两个交点在x轴的右侧，
故ax2+bx+c0有两个同号不相等的实数根，
二、填空题（每空5分，共30分）
9．若二次函数y＝x2+2x+m的图象与x轴没有公共点，则m的取值范围是　
　．
【答案】m＞1．
【解析】由题意可得二次方程无实根，得出判别式小于0，解不等式即可得到所求范围．
∵二次函数y＝x2+2x+m的图象与x轴没有公共点，
∴方程x2+2x+m＝0没有实数根，
∴判别式△＝22﹣4×1×m＜0，
解得：m＞1
10.
如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（0，﹣3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x
轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间．你确定的b的值是　
.
【答案】．
【解析】把（0，－3）代入抛物线的解析式求出c的值，在（1，0）和（3，0）之间取一个点，把它的坐标代入解析式即可求出答案．
把（0，﹣3）代入抛物线的解析式得：c=－3，∴y=x2+bx－3.∵确定一个b的值，使该抛物线与x轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间，假如过（2，0），代入，得0=4+2b﹣3，∴b=．故答案为．
11.若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则+的值为　
　．
【答案】﹣．
【解析】设y=0，则2x2﹣4x﹣1=0，
∴一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即x1，x2，
∴x1+x2=﹣=2，x1，?x2=﹣，
∵+==﹣，
∴原式==﹣
12.如图，抛物线y=-x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），点A在点B的左侧．当x=x2-2时，y_____0（填“＞”“=”或“＜”号）．
【答案】＜．
【解析】由二次函数根与系数的关系求得关系式，求得m小于0，当x=x2-2时，从而求得y小于0．
∵抛物线y=-x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），
∴x1+x2=2，x1x2=-m＞0
∴m＜0
∵x1+x2=2
∴x1=2-x2
∴x=-x1＜0
∴y＜0故答案为＜．
13．若二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x的图象经过点（3，0），则关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x＝0的根为　
　．
【答案】0或3．
【解析】当x＝0时，y＝x2﹣（m﹣1）x＝0，即二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x的图象经过点（0，0），
而二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x的图象也经过点（3，0），
故二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x与x轴的交点为（0，0）和（3，0），
故关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x＝0的根为0或3。
14．已知二次函数y＝2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数）．当m=_______时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方。
【答案】m＞﹣3
【解析】当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x﹣m﹣3）＝2m+6，
∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m+6，
∴当2m+6＞0，即m＞﹣3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方．
三、解答题（共38分）
15．（12分）已知二次函数．
（1）求这个函数图象的顶点坐标、对称轴以及函数的最大值；
（2）若另一条抛物线与上述抛物线只有一个公共点，求的值．
【答案】（1）对称轴，顶点坐标，最大值是8；（2）
【分析】（1）将二次函数的一般式化为顶点式，根据抛物线的性质解题；
（2）两抛物线的交点即两个解析式方程的公共解，据此转化为解一元二次方程根与系数的关系．
【详解】解：（1）∵，
∴对称轴，顶点坐标，即当时，函数有最大值是8．
（2）∵只有一个公共点，
∴方程有相等实数根，
即，，∴．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
16.（12分）已知：关于x的方程ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1=0．
（1）当x取何值时，二次函数y=ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1的对称轴是x=﹣2；
（2）求证：a取任何实数时，方程ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1=0总有实数根．
【答案】（1）﹣2
（2）a取任何实数。
【解析】（1）根据二次函数对称轴求法得出x=﹣==﹣2，即可求出；
当对称轴是x=﹣2，
∴x=﹣==﹣2，
解得：a=﹣1；
（2）利用一元二次方程根的判别式，证明其大于等于0即可．
∵△=（1﹣3a）2﹣4a（2a﹣1）=a2﹣2a+1=（a﹣1）2≥0，
∴a取任何实数时，方程ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1=0总有实数根．
17．（14分）已知二次函数y＝m（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数，且m≠0）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）设该函数的图象与y轴交于点A，若点A在x轴上方，求m的取值范围；
（3）该函数图象所过的象限随m的值变化而变化，直接写出函数图象所经过的象限及对应的m的取值范围．
【答案】见解析。
【解析】（1）证明：当y＝0时，m（x﹣1）（x﹣m﹣3）＝0，解得x1＝1，x2＝m+3，
当m+3＝1，即m＝﹣2时，方程有两个相等的实数根；
当m+3≠1，即m≠﹣2时，方程有两个不相等的实数根，
∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）解：当x＝0时，y＝m2+3m，
∴点A坐标为（0，m2+3m），
∵该函数的图象与y轴交于点A，点A在x轴上方，
∴m2+3m＞0．
设z＝m2+3m，即z是m的二次函数，当m＝0或﹣3时，z＝0．
∵抛物线开口向上，
∴当m＞0或m＜﹣3时，z＞0．
∴m的取值范围是m＞0或m＜﹣3；
（3）①当m＞0时，图象经过一、二、四象限；
②当﹣3＜m＜0（m≠﹣2）时，图象经过一、三、四象限；
③当m＝﹣2时，图象经过三、四象限；
④当m＜﹣3时，图象经过一、二、三、四象限．
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精品试卷·第
2
页
（共
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第十八讲
二次函数与一元二次方程
【学习目标】
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系.
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.
3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
【新课讲解】
知识点1：二次函数与一元二次方程的关系
一般地，当y取定值且a≠0时，二次函数y=ax2+bx+c为一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程关系密切．比如：已知二次函数y
=
－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0
又可以看作已知二次函数
y
=
x2－4x+3
的值为0，求自变量x的值．
知识点2：利用二次函数深入讨论一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
【例题1】已知关于x的二次函数y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
【例题2】已知：抛物线y＝x2＋ax＋a－2.
(1)求证：不论a取何值时，抛物线y＝x2＋ax＋a－2与x轴都有两个不同的交点；
(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且x1、x2的平方和为3，求a的值．
知识点3：利用二次函数求一元二次方程的近似解
【例题3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似根为(　　)
A．x1≈－2.1，x2≈0.1
B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x2≈0.9
D．x1≈－3，x2≈1
知识点4：二次函数与一元二次不等式的关系(拓展)
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次不等式的关系
【问题1】
函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么
方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，
x2=3
不等式ax2+bx+c>0的解集
是x<-1或x>3
不等式ax2+bx+c<0的解集
是-1【问题2】函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么
方程ax2+bx+c=2的根是
x1=-2，
x2=4
不等式ax2+bx+c>2的解集是x<-2或x>4
不等式ax2+bx+c<2的解集是-2【问题3】如果方程ax2+bx+c=0
（a≠0）没有实数根，那么函数y=ax2+bx+c的图象与
x轴有______个交点；不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？
（1）当a>0时,
ax2+bx+c<0无解；
（2）当a＜0时,
ax2+bx+c<0的解集是一切实数.
本节课的精华总结：
二次函数与一元二次方程过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每个小题4分，共32分）
1.抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（　　）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．若二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣1
B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝﹣1，x2＝3
D．x1＝﹣3，x2＝1
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：
①二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；
②4a+2b+c＜0；
③一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为﹣1；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．
其中正确的个数有（　　）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
4.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0
（a≠0）的两根之和（　　）
A．大于0
B．等于0
C．小于0
D．不能确定
5.
已知二次函数y=x2+bx﹣2的图象与x轴的一个交点为（1，0），则它与x轴的另一个交点坐标是（　　）
A．（1，0）
B．（2，0）
C．（﹣2，0）
D．（﹣1，0）
6.
已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是(　　)
A．k＜4
B．k≤4
C．k＜4且k≠3
D．k≤4且k≠3
7.二次函数y=﹣x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=（　　）
A．1
B．﹣1
C．﹣2
D．0
8.已知函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c0的根的情况是（　　）
A．无实数根
B．有两个相等实数根
C．有两个异号实数根
D．有两个同号不等实数根
二、填空题（每空5分，共30分）
9．若二次函数y＝x2+2x+m的图象与x轴没有公共点，则m的取值范围是　
　．
10.
如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（0，﹣3），请你确定一个b的值，使该抛物线与x
轴的一个交点在（1，0）和（3，0）之间．你确定的b的值是　
.
11.若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则+的值为　
　．
12.如图，抛物线y=-x2+2x+m（m＜0）与x轴相交于点A（x1，0）、B（x2，0），点A在点B的左侧．当x=x2-2时，y_____0（填“＞”“=”或“＜”号）．
13．若二次函数y＝x2﹣（m﹣1）x的图象经过点（3，0），则关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x＝0的根为　
　．
14．已知二次函数y＝2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数）．当m=_______时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方。
三、解答题（共38分）
15．（12分）已知二次函数．
（1）求这个函数图象的顶点坐标、对称轴以及函数的最大值；
（2）若另一条抛物线与上述抛物线只有一个公共点，求的值．
16.（12分）已知：关于x的方程ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1=0．
（1）当x取何值时，二次函数y=ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1的对称轴是x=﹣2；
（2）求证：a取任何实数时，方程ax2﹣（1﹣3a）x+2a﹣1=0总有实数根．
（1）﹣2
（2）a取任何实数。
17．（14分）已知二次函数y＝m（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m为常数，且m≠0）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）设该函数的图象与y轴交于点A，若点A在x轴上方，求m的取值范围；
（3）该函数图象所过的象限随m的值变化而变化，直接写出函数图象所经过的象限及对应的m的取值范围．
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精品试卷·第
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