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第十九讲
几何图形的最大面积
【学习目标】
1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.
【新课讲解】
知识点1：求二次函数的最大（或最小）值
问题1
二次函数y=ax2+bx+c
(a≠0)
的最值由什么决定？
二次函数y=ax2+bx+c
(a≠0)的最值由a及自变量的取值范围决定.
问题2
当自变量x为全体实数时，二次函数y=ax2+bx+c
(a≠0)
的最值是多少？
问题3
当自变量x有限制时，二次函数y=ax2+bx+c
(a≠0)
的最值如何确定？
当自变量的范围有限制时，二次函数y=ax2+bx+c
(a≠0)
的最值可以根据以下步骤来确定：
1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.
2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围.
3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值.
【例题1】求下列函数的最大值与最小值
【答案】见解析。
【解析】
【例题2】求下列函数的最大值与最小值
【答案】见解析。
【解析】
知识点2：二次函数与几何图形面积的最值
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.
二次函数解决几何面积最值问题的方法：
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
【例题3】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度
h（单位：m）与小球的运动时间
t（单位：s）之间的关系式是
h=
30t
-
5t
2
（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
【答案】见解析。
【解析】
小球运动的时间是
3s
时，小球最高.小球运动中的最大高度是
45
m．
【例题4】如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
【答案】见解析。
【解析】设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则
0
＜
x
≤18.
由于30
＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378.
几何图形的最大面积过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
1．(10分)如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG?=
2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；
（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？
【答案】（1）y=-2x+4x+16；（2）2米
【分析】（1）若BE的长为x米，则改造后矩形的宽为米，长为米，求矩形面积即可得出y与x之间的函数关系式；
（2）根据题意可令函数值为16，解一元二次方程即可．
【详解】解：（1）∵BE边长为x米，
∴AE=AB-BE=4-x，AG=AD+DG=4+2x
苗圃的面积=AE×AG=(4-x)(4+2x)
则苗圃的面积y（单位：米2）与x（单位：米）的函数关系式为：y=-2x+4x+16
（2）依题意，令y=16
即-2x+4x+16=16
解得：x=0(舍）x=2
答：此时BE的长为2米．
【点睛】本题考查的知识点是列函数关系式以及二次函数的实际应用，难度不大，找准题目中的等量关系式是解此题的关键．
2．（12分）用一块边长为60㎝的正方形薄钢片制作一个长方体盒子：如果要做成一个没有盖的长方体盒子,可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，如图(1),然后把四边折合起来，如图(2)
（1）求做成的盒子底面积y(㎝2)与截去小正方形边长x(㎝)之间的函数关系式；
（2）当做成的盒子的底面积为900㎝2时,试求该盒子的容积.
【答案】（1）y=4x2-240x+3600；（2）该盒子的容积为13500cm3.
【分析】（1）先表示出盒子的正方形底面的边长，然后根据正方形的面积公式即可得出x，y的函数关系式；
（2）可将底面积代入（1）的式子中，求出高，然后根据底面积×高=容积，即可得出容积是多少．
【详解】（1）由题意可得y=(60-2x)2=4x2-240x+3600；
（2）当y=900时(60-2x)2
=900
∴60-2
x=±30
∴x1=15
x2=45
∵x2=45不符合题意∴x=15，
∴该盒子的容积为900×15=13500
（cm3），
答：该盒子的容积为13500cm3.
故答案为：（1）y=4x2-240x+3600；（2）该盒子的容积为13500cm3.
【点睛】本题考查正方形的面积公式的运用，一元二次方程的解法，长方体容器的容积的运用，解答时求出容器的高是解题的关键．
3．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平移抛物线y=x2﹣2x+3，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，求平移后的抛物线的解析式．
【答案】y=x2+3x+2或y=x2+x﹣2
【分析】利用A点坐标和等腰三角形的性质可求得B点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A、B的坐标代入可求得平移后的抛物线的解析式．
【详解】解：∵点B在y轴上，且△AOB是等腰直角三角形，A（﹣2，0），
∴点B的坐标为（0，2）或（0，﹣2），
根据题意设平移后抛物线解析式为y=x2+bx+c，
将（﹣2，0）、（0，2）代入得：
，
解得：
，
∴此时抛物线解析式为y=x2+3x+2；
将（﹣2，0）、（0，﹣2）代入得：
，
解得：
，
∴此时抛物线解析式为y=x2+x﹣2，
综上，平移后抛物线解析式为y=x2+3x+2或y=x2+x﹣2
【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换,
等腰直角三角形.
4．（12分）已知，如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点．此抛物线与轴的另一个交点为．抛物线的顶点为．
求此抛物线的解析式；
若点为抛物线上一动点，是否存在点．使与的面积相等?若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，点的坐标为或或或．
【分析】（1）先求得点A和点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式求得b，c的值即可；
（2）设M的坐标为（x，y），由△ACM与△ABC的面积相等可得到|y|＝3，将y＝3或y＝?3代入抛物线的解析式求得对应的x的值，从而得到点M的坐标．
【详解】由题意得
将点和点的坐标代入得:
解得:
抛物线的解析式为；
设的坐标为．
与的面积相等，
．
当时，，
解得，
或，
当时，
解得:或
或．
综上所述点的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的应用，求得点A和点B的坐标是解答问题（1）的关键，求得点M的纵坐标是解答问题（2）的关键．
5．（12分）如图，抛物线的顶点为（1，1），此抛物线交轴于,两点．
（1）求抛物线表达式；
（2）求△的面积；
（3）若抛物线上另一点满足,求点的坐标．
【答案】（1）；
（2）1；
（3）P（，-1）或（，-1）．
【分析】（1）抛物线的顶点为（1，1），设顶点式，,让抛物线过原点O（0，0）即可，
（2）让y=0，即，求出与x轴的另一交点B，OB=2，过A作AC⊥OB于C，则AC=1，S△ABO=代入计算即可，
（3）设P（x，h），，
当h=1时，，则P舍去，
当h=-1时，求之，讨论要求抛物线上另一点是否满足条件即可．
【详解】（1）抛物线的顶点为（1，1），
设抛物线的解析式为,由抛物线过原点O（0，0），代入抛物线，
，
，
，
，
（2）=0，
，
，B(2,0)，
OB=2，
过A作AC⊥OB于C，
则AC=1，
S△ABO=，
（3）抛物线上另一点满足，
设P（m，h），
，
，
，
，
当h=1时，，解得x=1，则P（1，1）为A，要求抛物线上另一点舍去，
当h=-1时，，
，
，
，
P（，-1）或（，-1），
要求抛物线上另一点，
P（，-1）或（，-1）满足要求．
【点睛】本题考查抛物线的解析式，抛物线中三角形的面积问题，掌握抛物线的性质，会用待定系数法求抛物线解析式，会求三角形的面积，会利用面积构造方程是解题关键．
6．（12分）如图，点E，F，G，H分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF=DG=DH，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若AB=2，∠A=60°，当BE为何值时，矩形EFGH的面积最大？
【答案】（1）见解析；（2）当BE＝1时，矩形EFGH的面积最大．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质：等边对等角，以及平行线的性质可以证得∠DGH＋∠CGH＝90°，则∠HGF＝90°，根据三个角是直角的四边形是矩形，即可证得；
（2）设BE的长是x，则利用x表示出矩形EFGH的面积，根据函数的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵DG＝DH，
∴∠DHG＝∠DGH＝，
同理，∠CGF＝，
∴∠DGH＋∠CGF＝，
又∵在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠D＋∠C＝180°，
∴∠DGH＋∠CGF＝90°，
∴∠HGF＝90°，
同理，∠GHE＝∠EFG＝90°，
∴四边形EFGH是矩形；
（2）如图，连接BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴AD＝AB，
∴△ABD和△BCD是等边三角形，
∴BD＝AB＝2，
∴S△BCD＝S△ABD＝AB2＝，
则菱形ABCD的面积是2，
设BE＝x，则AE＝2－x，
∵BE＝DH，AB＝AD，
∴AH＝AE，
∵∠A＝60°，
∴△AEH是等边三角形，
∴EH＝AE＝2－x
在Rt△BME中，∠ABD＝60°，BE＝x，
∴EM＝x
∴EF＝2EM＝x
则矩形EFGH的面积y＝HE×EF
＝（2－x）×x
＝－（x2－2x）
＝－（x－1）2＋，
∴当x＝1时，矩形EFGH的面积最大，
即当BE＝1时，矩形EFGH的面积最大．
7.(14分)某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：
方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．
（1）若a＝6．
①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？
②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？
（2）若0＜a＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．
【分析】（1）①设AB的长是x米，根据矩形的面积公式列出方程；
②列出面积关于x的函数关系式，再根据函数的性质解答；
（2）设AB＝x，能围成的矩形花圃的面积为S，根据题意列出S关于x的函数关系，再通过求最值方法解答．
【解答】（1）①设AB的长是x米，则AD＝20﹣3x，
根据题意得，x（20﹣3x）＝25，
解得：x1＝5，x2，
当x时，AD＝15＞6，
∴x＝5，
∴AD＝5，
答：AD的长是5米；
②设BC的长是x米，矩形花圃的最大面积是y平方米，则AB[20﹣x﹣（x﹣6）]，
根据题意得，y＝x（）x2x（x＞6），
∴当x时，y有最大值为．
答：按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是平方米；
（2）设BC＝x，能围成的矩形花圃的面积为S，
按图甲的方案，S＝xx，
∴在x＝a＜10时，S的值随x的增大而增大，
∴当x＝a的最大值n时，S的值最大，为S；
按图乙方案，S[20﹣x﹣（x﹣a）]x，
∴当x时，S的值最大为S，此时a取最大值n时，S的值最大为S；∵[（n﹣10）2]0，
∴，
故第二种方案能围成面积最大的矩形花圃．
8.（16分）如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）直接写出B、C两点的坐标；
（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）
注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）
【答案】见解析。
【解析】（1）由A（﹣1，0），对称轴为x=2，可得，解得，
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5；
（2）由A点坐标为（﹣1，0），且对称轴方程为x=2，可知AB=6，
∴OB=5，
∴B点坐标为（5，0），
∵y=x2﹣4x﹣5，
∴C点坐标为（0，﹣5）；
（3）如图，连接BC，则△OBC是直角三角形，
∴过O、B、C三点的圆的直径是线段BC的长度，
在Rt△OBC中，OB=OC=5，
∴BC=5，
∴圆的半径为，
∴圆的面积为π（）2=π．
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几何图形的最大面积
【学习目标】
1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.
【新课讲解】
知识点1：求二次函数的最大（或最小）值
问题1
二次函数y=ax2+bx+c
(a≠0)
的最值由什么决定？
二次函数y=ax2+bx+c
(a≠0)的最值由a及自变量的取值范围决定.
问题2
当自变量x为全体实数时，二次函数y=ax2+bx+c
(a≠0)
的最值是多少？
问题3
当自变量x有限制时，二次函数y=ax2+bx+c
(a≠0)
的最值如何确定？
当自变量的范围有限制时，二次函数y=ax2+bx+c
(a≠0)
的最值可以根据以下步骤来确定：
1.配方，求二次函数的顶点坐标及对称轴.
2.画出函数图象，标明对称轴，并在横坐标上标明x的取值范围.
3.判断，判断x的取值范围与对称轴的位置关系.根据二次函数的性质，确定当x取何值时函数有最大或最小值.然后根据x的值，求出函数的最值.
【例题1】求下列函数的最大值与最小值
【例题2】求下列函数的最大值与最小值
知识点2：二次函数与几何图形面积的最值
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.
二次函数解决几何面积最值问题的方法：
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
【例题3】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度
h（单位：m）与小球的运动时间
t（单位：s）之间的关系式是
h=
30t
-
5t
2
（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
【例题4】如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
几何图形的最大面积过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
1．(10分)如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG?=
2BE．设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．
（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；
（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，请问此时BE的长为多少米？
2．（12分）用一块边长为60㎝的正方形薄钢片制作一个长方体盒子：如果要做成一个没有盖的长方体盒子,可先在薄钢片的四个角上截去四个相同的小正方形，如图(1),然后把四边折合起来，如图(2)
（1）求做成的盒子底面积y(㎝2)与截去小正方形边长x(㎝)之间的函数关系式；
（2）当做成的盒子的底面积为900㎝2时,试求该盒子的容积.
3．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平移抛物线y=x2﹣2x+3，使平移后的抛物线经过点A（﹣2，0），且与y轴交于点B，同时满足以A，O，B为顶点的三角形是等腰直角三角形，求平移后的抛物线的解析式．
4．（12分）已知，如图，抛物线经过直线与坐标轴的两个交点．此抛物线与轴的另一个交点为．抛物线的顶点为．
求此抛物线的解析式；
若点为抛物线上一动点，是否存在点．使与的面积相等?若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（12分）如图，抛物线的顶点为（1，1），此抛物线交轴于,两点．
（1）求抛物线表达式；
（2）求△的面积；
（3）若抛物线上另一点满足,求点的坐标．
6．（12分）如图，点E，F，G，H分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF=DG=DH，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）若AB=2，∠A=60°，当BE为何值时，矩形EFGH的面积最大？
7.(14分)某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：
方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长．
（1）若a＝6．
①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD的长是多少米？
②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？
（2）若0＜a＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．
8.（16分）如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）直接写出B、C两点的坐标；
（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）
注：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，）
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