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第二十讲
商品利润最大问题
【学习目标】
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.
2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
【新课讲解】
知识点1：利润问题中的数量关系
（1）销售额=
售价×销售量;
（2）利润=
销售额-总成本=单件利润×销售量;
（3）单件利润=售价-进价.
知识点2：如何定价利润最大
【问题】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售
每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),
即：y=-10x2+100x+6000.
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x
≥0，且x
≥0,因此自变量的取值范围是0
≤x
≤30.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+100x+6000，
当
时,y=-10×52+100×5+6000=6250.
即定价65元时，最大利润是6250元.
求解最大利润问题的一般步骤
（1）建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
【例题】某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.
（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？
（2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
【答案】见解析。
【解析】（1）由题意得：当40≤x≤50时，
Q
=
60(x－30)=
60x－1800
∵
y
=
60
>
0，Q随x的增大而增大
∴当x最大=
50时，Q最大=
1200
答：此时每月的总利润最多是1200元.
（2）解：当50≤x≤70时，
设y与x函数关系式为y=kx+b,
∵线段过(50，60)和(70，20).
∴y
=－2x
+160（50≤x≤70）
∴Q=(x－30)y
=(x－30)(－2x
+
160)
=－2x2
+
220x－
4800
=－2(x－55)2
+1250
(50≤x≤70)
∵a
=
－2＜0，图象开口向下，
∴当x
=
55时，Q最大=
1250
∴当售价在50～70元时，售价x是55元时，获利最大，最大利润是1250元.
商品利润最大问题过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
1．（12）某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．（1）求k，b的值；（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．
【答案】见解析。
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）由销售该商品每周的利润w＝销售单价×销售量，可求函数解析式，由二次函数的性质可求解．
【解析】（1）由题意可得：，
∴，
答：k＝﹣1，b＝80；
（2）∵w＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣x+80）＝﹣（x﹣60）2+400，
∴当x＝60时，w有最大值为400元，
答：销售该商品每周可获得的最大利润为400元．
2.(12分)“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y（张）与电影票售价x（元/张）之间满足一次函数：y=﹣4x+220（10≤x≤50，且x是整数），设影城每天的利润为w（元）（利润=票房收入﹣运营成本）．
（1）试求w与x之间的函数关系式；
（2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）w=﹣4x2+220x﹣1000；（2）影城将电影票售价定为27或28元/张时，每天获利最大，最大利润是2024元．
【详解】
（1）根据题意，得：w=（﹣4x+220）x﹣1000=﹣4x2+220x﹣1000；
（2）∵w=﹣4x2+220x﹣1000=﹣4（x﹣27.5）2+2025，∴当x=27或28时，w取得最大值，最大值为2024，答：影城将电影票售价定为27或28元/张时，每天获利最大，最大利润是2024元．
3.（12分）小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：
销售单价x（元）
12
14
16
每周的销售量y（本）
500
400
300
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以求得y与x之间的函数关系式；
（2）根据题意，可以得到w与x的函数关系式，然后根据二次函数的性质，可以解答本题．
【解答】（1）设y与x之间的函数关系式是y＝kx+b（k≠0），
，得，
即y与x之间的函数关系式为y＝﹣50x+1100；
（2）由题意可得，
w＝（x﹣10）y＝（x﹣10）（﹣50x+1100）＝﹣50（x﹣16）2+1800，
∵a＝﹣50＜0
∴w有最大值
∴当x＜16时，w随x的增大而增大，
∵12≤x≤15，x为整数，
∴当x＝15时，w有最大值，
∴w＝﹣50（15﹣16）2+1800＝1750，
答：销售单价为15元时，每周获利最大，最大利润是1750元．
4.（15分）某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．
（1）当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为　
　．
（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？
（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）当x＝200时，代入yx+110，确定批发单价，根据总价＝批发单价×200，进而求出答案；
（3）首先根据服装厂获利w元，当100≤x≤300且x为10整数倍时，得出w与x的函数关系式，进而得出最值，再利用当300＜x≤400时求出最值，进而比较得出即可．
【解答】（1）当100≤x≤300时，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，根据题意得出：
，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：yx+110，
故答案为：yx+110；
（2）当x＝200时，y＝﹣20+110＝90，
∴90×200＝18000（元），
答：某零售商一次性批发A品牌服装200件，需要支付18000元；
（3）分两种情况：
①当100≤x≤300时，w＝（x+110﹣71）x39x（x﹣195）2+3802.5，
∵批发件数x为10的正整数倍，
∴当x＝190或200时，w有最大值是：（200﹣195）2+3802.5＝3800；
②当300＜x≤400时，w＝（80﹣71）x＝9x，
当x＝400时，w有最大值是：9×400＝3600，
∴一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件时，x为190元或200元时，w最大，最大值是3800元．
5.（16分）随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图甲所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图乙所示(注：利润与投资量的单位：万元)
甲
乙
（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
【答案】见解析。
【解析】（1）设=,由图12-①所示，函数=的图像过（1，2），所以2=，
故利润关于投资量的函数关系式是=；
因为该抛物线的顶点是原点，所以设=，由图12-②所示，函数=的图像过（2，2），所以，
故利润关于投资量的函数关系式是；
（2）设这位专业户投入种植花卉万元（），则投入种植树木()万元，
他获得的利润是万元，根据题意，得
=+=
=
∵∴当时，的最小值是14；
∴他至少获得14万元的利润．
因为，所以在对称轴的右侧，
随的增大而增大
所以，当时，的最大值为32．
6．（15分）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．
（1）请写出y与x之间的函数表达式；
（2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？
（3）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？
【分析】（1）根据“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”列函数关系式即可；
（2）根据题意“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，超市每天销售这种玩具可获利润2250元”即可得到结论；
（3）根据题意得到w（x﹣30）2+2450，根据二次函数的性质得到当x＜30时，w随x的增大而增大，于是得到结论．
【解析】（1）根据题意得，yx+50（0＜x≤20）；
（2）根据题意得，（40+x）（x+50）＝2250，
解得：x1＝50，x2＝10，
∵每件利润不能超过60元，
∴x＝10，
答：当x为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；
（3）根据题意得，w＝（40+x）（x+50）x2+30x+2000（x﹣30）2+2450，
∵a0，
∴当x＜30时，w随x的增大而增大，
∵40+x≤60，x≤20，
∴当x＝20时，w最大＝2400，
答：当x为20时w最大，最大值是2400元．
7.（18分）新冠肺炎期间，某超市将购进一批口罩进行销售，已知购进4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，购进5盒甲口罩和4盒乙口罩需220元．两种口罩以相同的售价销售，甲口罩的销量y1（盒）与售价x（元）之间的关系为y1＝400﹣8x；当售价为40元时，乙口罩可销售100盒，售价每提高1元，少销售5盒．
（1）求甲、乙两种口罩每盒的进价分别为多少元？
（2）当乙口罩的售价为多少元时，乙口罩的销售总利润最大？此时两种口罩的销售利润总和为多少？
（3）已知甲的销售量不低于乙口罩的销售量的，若使两种口罩的利润总和最高，此时的定价应为多少？
【分析】（1）设甲、乙两种口罩每盒的进价分别为x元、y元，由题意得方程组，求解即可．
（2）设乙口罩的销售利润为w元，由题意得x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得乙口罩的售价及此时乙口罩的最大销售总利润，然后此时甲的销售利润进而求得两种口罩的销售利润总和．
（3）根据甲的销售量不低于乙口罩的销售量的列出不等式，解得x的范围，再得出两种口罩的利润总和w总关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得其对称轴，从而可得答案．
【解答】（1）设甲、乙两种口罩每盒的进价分别为x元、y元，由题意得：
，
解得：．
∴甲、乙两种口罩每盒的进价分别为20元、30元．
（2）设乙口罩的销售利润为w元，由题意得：
w＝（x﹣30）[100﹣5（x﹣40）]
＝﹣5x2+450x﹣9000
＝﹣5（x﹣45）2+1125，
∴当乙口罩的售价为45元时，乙口罩的销售总利润最大，为1125元．
当售价为45元时，y1＝400﹣8x＝400﹣8×45＝40（盒）；
∴甲口罩的销售利润为：（45﹣20）×40＝1000（元），
∴此时两种口罩的销售利润总和为：1125+1000＝2125（元）．
∴当乙口罩的售价为45元时，乙口罩的销售总利润最大，此时两种口罩的销售利润总和为2125元．
（3）由题意得：400﹣8x[100﹣5（x﹣40）]，
解得：x≤36，
∵两种口罩的利润总和w总＝（400﹣8x）（x﹣20）+（﹣5x2+450x﹣9000）
＝﹣13x2+1010x﹣17000，
∴对称轴为：x36，
∴当x＝36时，两种口罩的利润总和最高．
∴若使两种口罩的利润总和最高，此时的定价应为36元．
【点评】本题考查了二元一次方程组、一次函数、二次函数及一元一次不等式在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．
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商品利润最大问题
【学习目标】
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.
2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围.
【新课讲解】
知识点1：利润问题中的数量关系
（1）销售额=
售价×销售量;
（2）利润=
销售额-总成本=单件利润×销售量;
（3）单件利润=售价-进价.
知识点2：如何定价利润最大
【问题】某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售
每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),
即：y=-10x2+100x+6000.
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x
≥0，且x
≥0,因此自变量的取值范围是0
≤x
≤30.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+100x+6000，
当
时,y=-10×52+100×5+6000=6250.
即定价65元时，最大利润是6250元.
求解最大利润问题的一般步骤
（1）建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”
（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；
（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
【例题】某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.
（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？
（2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
商品利润最大问题过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
1．（12）某商品的进价为每件40元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似看作一次函数y＝kx+b，且当售价定为50元/件时，每周销售30件，当售价定为70元/件时，每周销售10件．（1）求k，b的值；（2）求销售该商品每周的利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式，并求出销售该商品每周可获得的最大利润．
2.(12分)“五一”期间，恒大影城隆重开业，影城每天运营成本为1000元，试营业期间统计发现，影城每天售出的电影票张数y（张）与电影票售价x（元/张）之间满足一次函数：y=﹣4x+220（10≤x≤50，且x是整数），设影城每天的利润为w（元）（利润=票房收入﹣运营成本）．
（1）试求w与x之间的函数关系式；
（2）影城将电影票售价定为多少元/张时，每天获利最大？最大利润是多少元？
3.（12分）小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量y（本）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：
销售单价x（元）
12
14
16
每周的销售量y（本）
500
400
300
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为x元（12≤x≤15，且x为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为w元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？
4.（15分）某服装厂生产A品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍．
（1）当100≤x≤300时，y与x的函数关系式为　
　．
（2）某零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装200件，需要支付多少元？
（3）零售商到此服装厂一次性批发A品牌服装x（100≤x≤400）件，服装厂的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？
5.（16分）随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图甲所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图乙所示(注：利润与投资量的单位：万元)
甲
乙
（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
6．（15分）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加x元，每天售出y件．
（1）请写出y与x之间的函数表达式；
（2）当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？
（3）设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？
7.（18分）新冠肺炎期间，某超市将购进一批口罩进行销售，已知购进4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，购进5盒甲口罩和4盒乙口罩需220元．两种口罩以相同的售价销售，甲口罩的销量y1（盒）与售价x（元）之间的关系为y1＝400﹣8x；当售价为40元时，乙口罩可销售100盒，售价每提高1元，少销售5盒．
（1）求甲、乙两种口罩每盒的进价分别为多少元？
（2）当乙口罩的售价为多少元时，乙口罩的销售总利润最大？此时两种口罩的销售利润总和为多少？
（3）已知甲的销售量不低于乙口罩的销售量的，若使两种口罩的利润总和最高，此时的定价应为多少？
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