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第二十二讲
二次函数单元总结与达标
【知识梳理】
1.二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a
≠0的函数，叫做二次函数．
注意：
(1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数．
2.二次函数的图象与性质
3.二次函数图像的平移
4.二次函数表达式的求法
（1）一般式法：y＝ax2＋bx＋c
(a≠
0)
（2）顶点法：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
（3）交点法：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
5.二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有两个重合的交点,没有交点.当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.
6.二次函数的应用
二次函数的应用包括以下两个方面
(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)；
(2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解．
(3)一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间
的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．
【考点总结与例题讲析】
考点一：
求抛物线的顶点、对称轴、最值
【例题1】抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标为________．
解决此类题目可以先把二次函数y＝ax2＋bx＋c配方为顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，得到：对称轴是直线x＝h，最值为y＝k，顶点坐标为(h，k)；也可以直接利用公式求解.
【答案】见解析。
【解析】方法一：配方，得y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，则顶点坐标为(1,2)．
方法二代入公式
则顶点坐标为(1,2)．
考点二：
二次函数的图像与性质及函数值的大小比较
方法总结：
1.可根据对称轴的位置确定b的符号：b＝0?对称轴是y轴；a、b同号?对称轴在y轴左侧；a、b异号?对称轴在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.
2.当x＝1时，函数y＝a＋b＋c.当图像上横坐标
x＝1的点在x轴上方时，a＋b＋c＞0；当图像上横坐标x＝1的点在x轴上时，a＋b＋c＝0；当图像上横坐标x＝1的点在x轴下方时，a＋b＋c＜0.同理，可由图像上横坐标x＝－1的点判断a－b＋c的符号.
【例题2】二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图像上，且x1A.
y1≤y2
B．y1C．y1≥y2
D．y1>y2
【答案】见解析。
【解析】由图像看出，抛物线开口向下，对称轴是x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大．
∵x1.
故选B.
考点三：
二次函数
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与系数a，b，c的关系
【例题3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.
其中正确的个数是(　　)
A．1　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4
【答案】见解析。
【解析】由图像开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图像与y轴交于正半轴可得
c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
由图像上横坐标为
x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图像上横坐标为x＝1的点在第四象限得出a＋b＋c＜0，由图像上横坐标为x＝－1的点在第二象限得出
a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，
即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，
故④正确．故选D.
考点四：
二次函数表达式的确定
【例题4】已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析式.
【答案】见解析。
【解析】设所求的二次函数为y＝ax2+bx＋c,
由题意得：
解得,
a=2,b=－3,c=5
∴
所求的二次函数为y＝2x2－3x＋5.
考点五：
二次函数与一元二次方程
【例题5】若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（　　）
A．x1=0，x2=6
B．x1=1，x2=7
C．x1=1，x2=﹣7
D．x1=﹣1，x2=7
【答案】D
【解析】∵二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，
∴
-m/2
=3，解得m=－6，
∴关于x的方程x2+mx=7可化为x2－6x－7=0，
即(x+1)(x－7)=0，解得x1=－1，x2=7．故选D．
考点六：
二次函数的应用
【例题6】某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.
(1)求一次函数的表达式；
(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】见解析。
【解析】(1)根据题意，得
解得k=-1,b=120.故所求一次函数的表达式为y=-x+120
(2)W=(x-60)?(-x+120)=-x2+180x-7200=-(x-90)2+900,
∵抛物线的开口向下，
∴当x＜90时，W随x的增大而增大，
而60≤x≤60×（1+45%），即60≤x≤87,
∴当x=87时，W有最大值，此时W=-(87-90)2+900=891.
二次函数单元总结与达标过关检测
注意：满分120分，答题时间90分钟
一、单选题（每个小题4分，共24分）
1．函数y=ax2+bx+c
(a，b，c为常数)是二次函数的条件是（
）
A．或
B．
C．且
D．
【答案】B
【解析】结合二次函数的定义判断，即可得到答案．
由二次函数定义可知，自变量x和应变量y满足
(a，b，c为常数，且)的函数叫做二次函数。
2．下列关于二次函数的说法正确的是（
）
A．它的图象经过点
B．当时，随的增大而减小
C．当时，有最大值为
D．它的图象的对称轴是直线
【答案】B
【解析】根据二次函数作出示意图，然后根据示意图逐一判断即可．
由题意得：
当x=-1时，y=2，故A选项错误；
当时，随的增大而减小，故B选项正确；
当时，有小值为，故C选项错误；
图象的对称轴是直线，故D选项错误.
3．若二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），则关于x的方程a（x-2）2+1=0的实数根为（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【解析】二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），得到4a+1=0，求得a=-，代入方程a（x-2）2+1=0即可得到结论．
∵二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），
∴4a+1=0，
∴a=-，
∴方程a（x-2）2+1=0为：方程-（x-2）2+1=0，
解得：x1=0，x2=4
4．在正比例函数中，随的增大而减小，则二次函数的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】∵在正比例函数中，随的增大而减小
∴
∴二次函数，开口向下，对称轴为
5．设二次函数，点在该函数对称轴上，则点的坐标可能是（
）
A．（1，0）
B．（，0）
C．（3，0）
D．（0，）
【答案】C
【解析】由抛物线解析式可求得其对称轴，则可求得M点的横坐标，可求得答案．
∵，
∴抛物线对称轴为，
∵点M在抛物线对称轴上，
∴点M的横坐标为3
6．把二次函数化成的形式是下列中的
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】先提取二次项系数，然后再进行配方即可．
．
二、填空题（每空4分，共24分）
7．二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是_____．
【答案】k＜0且k≠﹣1．
【解析】令y＝0，可得（k+1）x2﹣2x+1＝0，
∵二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，
∴方程（k+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即4﹣4（k+1）＞0，
解得k＜0，且k≠﹣1，
∴k的取值范围为k＜0且k≠﹣1．
8．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝－x2的图象，则阴影部分的面积
是________．
【答案】2π
【解析】根据二次函数的性质可知C1与C2的图象关于x轴对称，从而得到x轴下方阴影部分的面积正好等于x轴上方空白部分的面积，所以，阴影部分的面积等于⊙O的面积的一半，然后列式计算即可得解．
∵与－互为相反数，
∴C1与C2的图象关于x轴对称，
∴x轴下方阴影部分的面积正好等于x轴上方空白部分的面积，
∴阴影部分的面积=×π?22=2π．
9．已知二次函数，当分别取时，函数值相等，则当取时，函数值为______．
【答案】2020
【解析】∵二次函数y=2x2+2020，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，
∴2x12+2020=2x22+2020，
∴x1=-x2，
∴2x1+2x2=2（x1+x2）=0，
∴当x=2x1+2x2时，y=2×0+2020=0+2020=2020
10．已知点P（x，y）在二次函数y=2（x+1）2﹣3的图象上，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是_____．
【答案】﹣3≤y≤5
【解析】∵二次函数y=2（x+1）2﹣3，
∴该函数对称轴是直线x=﹣1，当x=﹣1时，取得最小值，此时y=﹣3，
∵点P（x，y）在二次函数y=2（x+1）2﹣3的图象上，
当x=-2时，
当x=1时，
∵
∴当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是：﹣3≤y≤5
11．将二次函数y＝x2﹣6x+8化成y＝a（x+m）2+k的形式是_____．
【答案】y＝（x﹣3）2﹣1
【解析】直接利用配方法将原式变形进而得出答案．
y=x2﹣6x+8
=x2﹣6x+9﹣1
=(x﹣3)2﹣1．
12．已知二次函数的图象经过原点及点（﹣3，﹣2），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为___．
【答案】y＝x2x或y＝x2+x．
【解析】根据函数图像过原点、（﹣3，﹣2），（﹣1，0），代入求解即可；
∵二次函数图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，
∴这个点的坐标为（﹣1，0）或（1，0），
设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，
当该函数过原点、（﹣3，﹣2），（﹣1，0）时，
，
解得，，
即该二次函数的解析式为y＝x2
x；
当该函数过原点、（﹣3，﹣2），（1，0）时，
，
解得，，
即该二次函数的解析式为y＝x2+x；
由上可得，该二次函数的解析式为y＝x2
x或y＝x2+x。
三、解答题（共72分）
13．（8分）已知是x的二次函数，求出它的解析式．
【答案】y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．
【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
【详解】解：根据二次函数的定义可得：m2﹣2m﹣1=2，且m2﹣m≠0，
解得，m=3或m=﹣1；
当m=3时，y=6x2+9；
当m=﹣1时，y=2x2﹣4x+1；
综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．
【点评】本题考查二次函数的定义．一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．
14．（12分）已知函数是关于x的二次函数．
（1）求m的值．
（2）当m为何值时，该函数图像的开口向下？
（3）当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？
【答案】（1）m1＝?4，m2＝1；（2）当m＝?4时，该函数图象的开口向下；（3）当m＝1时，函数为，该函数有最小值，最小值为0．
【解析】（1）∵函数是关于x的二次函数，
∴m2＋3m?2＝2，m＋3≠0，
解得：m1＝?4，m2＝1；
（2）∵函数图象的开口向下，
∴m＋3＜0，
∴m＜?3，
∴当m＝?4时，该函数图象的开口向下；
（3）∵m＝?4或1，
∵当m＋3＞0时，抛物线有最低点，函数有最小值，
∴m＞?3，
∵m＝?4或1，
∴当m＝1时，函数为，该函数有最小值，最小值为0．
【点睛】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题；牢固掌握定义及其性质是解题的关键．
15．（12分）请在同一坐标系中画出二次函数①；②的图象．说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点．
【答案】画图见解析；①向左平移两个单位得到②；②的开口方向向上，对称轴是x=2，顶点坐标为（2，0）．
【分析】根据描点法，可得函数图象，根据，图象开口向上，对称轴是，顶点坐标是（，），可得答案．
【详解】解：列表：
-2
-1
0
1
2
3
4
2
0.5
0
0.5
2
2
0.5
0
0.5
2
描点：
连线，如图．
由图像可知，①向左平移两个单位得到②，
∴②的开口方向向上，对称轴是，顶点坐标为（2，0）．
【点评】本题考察了二次函数图象，利用描点法画函数图象，根据，图象开口向上，对称轴是，顶点坐标是（，）是解题关键．
16．（12分）已知点在二次函数的图象上，且当时，函数有最小值2．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）如果两个不同的点，也在这个函数的图象上，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）把点代入可得c的值，再将点代入，与对称轴等于1联立，即可求解；
（2）易知点，纵坐标相同，即其关于对称轴对称，即可求解．
【详解】解：（1）把点代入，可得，
∵当时，函数有最小值2，
∴，解得，
∴二次函数解析式为；
（2）∵点，纵坐标相同，
∴点，关于二次函数图象的对称轴对称，
∴，即．
【点睛】本题考查二次函数的性质、求二次函数解析式，掌握二次函数的对称性是解题的关键．
17．（12分）如图1，单孔拱桥的形状近似抛物线形，如图2建立所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度为拱桥的最高点到水面的距离为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为，求水面上涨的高度﹒
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据题意，C点是抛物线的顶点且位于y轴上，A、B点是抛物线与c轴交点，所以抛物线的对称轴为y轴，得A（-6,0）、B（6,0）、C（0，6）然后设二次函数解析式为，，将点B、C带入解析式解出即可.
（2）根据题意得，水面宽度的横坐标为和，将其代入解析式求得y值即可.
【详解】解：（1）设二次函数解析式为
由题意得，
解析式为
（2）由题意得，水面宽度的横坐标为和．
水面上涨的高度为．
【点睛】本题主要考查二次函数解析式的实际应用问题，运用数形结合的思想，正确理解图像上各点的含义是解题的关键
18．（16分）如图是二次函数的图象，其顶点坐标为．
（1）直接写出、的值；
（2）求二次函数的图象与轴的交点，的坐标；
（3）在二次函数的图象上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2），；（3）存在点，坐标为或
【分析】（1）由顶点坐标确定m、k的值；
（2）令y=0求得图象与x轴的交点坐标；
（3）设存在这样的P点，由于底边相同，求出△PAB中AB边上的高，然后得出P点纵坐标代入二次函数表达式求得P点坐标．
【详解】解：（1）由顶点坐标为M（1，-4）可知二次函数解析式为．
∴，；
（2）在中，令
得，
解得，，
∴，．
（3）∵与同底，且，
∴，即．
又∵点在的图象上，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴存在点，坐标为或，使．
【点睛】本题考查了由二次函数顶点式的求法及抛物线与x轴交点坐标的求法，以及给出面积关系求点的坐标，综合体现了数形结合的思想．
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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第二十二讲
二次函数单元总结与达标
【知识梳理】
1.二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a
≠0的函数，叫做二次函数．
注意：
(1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数．
2.二次函数的图象与性质
3.二次函数图像的平移
4.二次函数表达式的求法
（1）一般式法：y＝ax2＋bx＋c
(a≠
0)
（2）顶点法：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
（3）交点法：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
5.二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有两个重合的交点,没有交点.当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.
6.二次函数的应用
二次函数的应用包括以下两个方面
(1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)；
(2)利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解．
(3)一般步骤：(1)找出问题中的变量和常量以及它们之间
的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义．
【考点总结与例题讲析】
考点一：
求抛物线的顶点、对称轴、最值
【例题1】抛物线y＝x2－2x＋3的顶点坐标为________．
解决此类题目可以先把二次函数y＝ax2＋bx＋c配方为顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，得到：对称轴是直线x＝h，最值为y＝k，顶点坐标为(h，k)；也可以直接利用公式求解.
考点二：
二次函数的图像与性质及函数值的大小比较
方法总结：
1.可根据对称轴的位置确定b的符号：b＝0?对称轴是y轴；a、b同号?对称轴在y轴左侧；a、b异号?对称轴在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.
2.当x＝1时，函数y＝a＋b＋c.当图像上横坐标
x＝1的点在x轴上方时，a＋b＋c＞0；当图像上横坐标x＝1的点在x轴上时，a＋b＋c＝0；当图像上横坐标x＝1的点在x轴下方时，a＋b＋c＜0.同理，可由图像上横坐标x＝－1的点判断a－b＋c的符号.
【例题2】二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图像上，且x1A.
y1≤y2
B．y1C．y1≥y2
D．y1>y2
考点三：
二次函数
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与系数a，b，c的关系
【例题3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.
其中正确的个数是(　　)
A．1　　　B．2　　　　　C．3　　　　　D．4
考点四：
二次函数表达式的确定
【例题4】已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析式.
考点五：
二次函数与一元二次方程
【例题5】若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（　　）
A．x1=0，x2=6
B．x1=1，x2=7
C．x1=1，x2=﹣7
D．x1=﹣1，x2=7
考点六：
二次函数的应用
【例题6】某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.
(1)求一次函数的表达式；
(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
二次函数单元总结与达标过关检测
注意：满分120分，答题时间90分钟
一、单选题（每个小题4分，共24分）
1．函数y=ax2+bx+c
(a，b，c为常数)是二次函数的条件是（
）
A．或
B．
C．且
D．
2．下列关于二次函数的说法正确的是（
）
A．它的图象经过点
B．当时，随的增大而减小
C．当时，有最大值为
D．它的图象的对称轴是直线
3．若二次函数y=ax2+1的图象经过点（-2，0），则关于x的方程a（x-2）2+1=0的实数根为（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
4．在正比例函数中，随的增大而减小，则二次函数的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
5．设二次函数，点在该函数对称轴上，则点的坐标可能是（
）
A．（1，0）
B．（，0）
C．（3，0）
D．（0，）
6．把二次函数化成的形式是下列中的
(
)
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每空4分，共24分）
7．二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是_____．
8．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝x2的图象，C2是函数y＝－x2的图象，则阴影部分的面积
是________．
9．已知二次函数，当分别取时，函数值相等，则当取时，函数值为______．
10．已知点P（x，y）在二次函数y=2（x+1）2﹣3的图象上，当﹣2＜x≤1时，y的取值范围是_____．11．将二次函数y＝x2﹣6x+8化成y＝a（x+m）2+k的形式是_____．
12．已知二次函数的图象经过原点及点（﹣3，﹣2），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为___．
三、解答题（共72分）
13．（8分）已知是x的二次函数，求出它的解析式．
14．（12分）已知函数是关于x的二次函数．
（1）求m的值．
（2）当m为何值时，该函数图像的开口向下？
（3）当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？
15．（12分）请在同一坐标系中画出二次函数①；②的图象．说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点．
16．（12分）已知点在二次函数的图象上，且当时，函数有最小值2．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）如果两个不同的点，也在这个函数的图象上，求的值．
17．（12分）如图1，单孔拱桥的形状近似抛物线形，如图2建立所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度为拱桥的最高点到水面的距离为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）因为上游水库泄洪，水面宽度变为，求水面上涨的高度﹒
18．（16分）如图是二次函数的图象，其顶点坐标为．
（1）直接写出、的值；
（2）求二次函数的图象与轴的交点，的坐标；
（3）在二次函数的图象上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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精品试卷·第
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