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第一讲
一元二次方程
【学习目标】
1.正确理解一元二次方程的意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程；
2.知道一元二次方程的一般形式是是常数，）
，能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项；
3.理解并会用一元二次方程一般形式中a≠0这一条件；
4.通过问题情境，进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性，体会数学知识来源于生活，又能为生活服务，从而激发学习热情，提高学习兴趣。
【新课讲解】
知识点1：一元二次方程的概念
观察方程：（1）2x2-36=7x
;
（2）x2﹣3x+16=88
（3）x2﹣2mx+2n=0
观察以上方程，它们是不是一元一次方程？
它们有什么共同特点呢？与一元一次方程有什么相同和不同？
结论：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程特点：整式方程；
只含一个未知数；未知数的最高次数是2.
知识点2：一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式是：ax?+bx+c=0(a≠0)
其中ax?是二次项，a是二次项系数；
bx是一次项，b是一次项系数；
c是常数项。
注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的。
针对性演练：
给出一元二次方程2x2-36=7x
（1）将方程化为一般形式.
（2）指出方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
知识点3：一元二次方程的根
能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫做根。使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
针对性演练：
下列哪些数是方程x2-x-6=0的根？
－4，－2，0，2，3。
根的数量：一元二次方程的根是两个.
知识拓展：
类型一：利用一元二次方程的定义确定字母的取值。
【例题1】已知(m－3)x2＋m
x＝1+2mx2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是(　　)
A．m≠-3
B．m≥3
C．m≥－2
D．m≥－2且m≠3
类型二：利用一元二次方程的定义确定求字母的取值。
【例题2】若关于x的一元二次方程(2a－8)x2＋(a＋2)x＋a－8＝0没有常数项，则a的值为________．
类型三：利用一元二次方程的根的定义求代数式的值。
【例题3】已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
类型四：利用一元二次方程根的定义解决探究性问题
。
【例题4】已知m，n是方程
x2－2x－1＝0的两个根，是否存在实数a
使(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)的值等于8?
若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
一元二次方程过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每个小题4分，共40分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．2xy﹣7＝0
B．x2﹣7＝0
C．﹣7x＝0
D．5（x+1）＝72
2．一元二次方程的常数项是（
）
A．﹣4
B．﹣3
C．1
D．2
3．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（
）
A．
B．
C．
D．
4．若方程是关于x的一元二次方程，则m
=（
）
A．0
B．2
C．－2
D．±
2
5．已知一元二次方程x2+k﹣3=0有一个根为1，则k的值为（　　）
A．﹣2
B．2
C．﹣4
D．4
6.若是关于的一元二次方程的一个解，则2009－2a＋b的值（
）
A．17
B．1000
C．2018
D．4053
2009－2a＋b7.关于x的方程（m+1）+4x+2=0是一元二次方程，则m的值为（　　）
A．m1=﹣1，m2=1
B．m=1
C．m=﹣1
D．无解
8．宾馆有50间房供游客居住，当毎间房毎天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（　　）
A．（180+x﹣20）（50﹣）=10890
B．（x﹣20）（50﹣）=10890
C．x（50﹣）﹣50×20=10890
D．（x+180）（50﹣）﹣50×20=10890
9．某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为(　　)
A．
x(x－10)＝200
B．
2x＋2(x－10)＝200
C．
x(x＋10)＝200
D．
2x＋2(x＋10)＝200
10.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（　）
A．（x+1）（x+2）=18
B．x2﹣3x+16=0
C．（x﹣1）（x﹣2）=18
D．x2+3x+16=0
二、填空题（每空4分，共28分）
11．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m=　　．
12．若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，则m﹣n的值为　　．
13.若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n=　　．
14．已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为　
　．
15．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____．
16．方程是一元二次方程，则m=_____．
17．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为　　．
三、解答题（共32分）
18．（5分）学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：
①它的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）
②它的二次项系数为5
③常数项是二次项系数的倒数的相反数
你能写出一个符合条件的方程吗？
19．（8分）已知﹣1是方程x2+ax﹣b=0的一个根，求a2﹣b2+2b的值．
20.（9分）若关于的一元二次方程的常数项为0，求的值是多少？
21.（10分）已知关于的方程．
（1）为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。
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精品试卷·第
2
页
（共
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第一讲
一元二次方程
【学习目标】
1.正确理解一元二次方程的意义，并能判断一个方程是否是一元二次方程；
2.知道一元二次方程的一般形式是是常数，）
，能说出二次项及其系数，一次项及其系数和常数项；
3.理解并会用一元二次方程一般形式中a≠0这一条件；
4.通过问题情境，进一步体会学习和探究一元二次方程的必要性，体会数学知识来源于生活，又能为生活服务，从而激发学习热情，提高学习兴趣。
【新课讲解】
知识点1：一元二次方程的概念
观察方程：（1）2x2-36=7x
;
（2）x2﹣3x+16=88
（3）x2﹣2mx+2n=0
观察以上方程，它们是不是一元一次方程？
它们有什么共同特点呢？与一元一次方程有什么相同和不同？
结论：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。
一元二次方程特点：整式方程；
只含一个未知数；未知数的最高次数是2.
知识点2：一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式是：ax?+bx+c=0(a≠0)
其中ax?是二次项，a是二次项系数；
bx是一次项，b是一次项系数；
c是常数项.
注意：二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都是包括符号的.
针对性演练：
给出一元二次方程2x2-36=7x
（1）将方程化为一般形式.
（2）指出方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数。
【解析】（1）将方程2x2-36=7x
移项得：2x2-7x-36=0
这就是一元二次方程一般形式。
（2）二次项为2x2
，二次项系数为2；一次项为-7x，一次项系数为-7；
常数项为-36.
注意：一元二次方程一般形式不是唯一的，但习惯上都把二次项的系数化为正整数。
知识点3：一元二次方程的根
能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫做根，使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.
针对性演练：
下列哪些数是方程x2-x-6=0的根？
－4，－2，0，2，3。
【解析】这个数带入一元二次方程，能使方程左右两端等式成立，这个数就是方程的根。
将x=-4带入方程的左边得14，不等于方程右端；
x=-2时，左边得0，等于方程右端；
x=0时，左边得-6，不等于方程右端；
x=2时，左边得-4，不等于方程右端；
x=3时，左边得0，等于方程右端。
所以该方程的根为-2和3.
根的数量：一元二次方程的根是两个.
知识拓展：
类型一：利用一元二次方程的定义确定字母的取值。
【例题1】已知(m－3)x2＋m
x＝1+2mx2是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是(　　)
A．m≠-3
B．m≥3
C．m≥－2
D．m≥－2且m≠3
【答案】A
【解析】将原来方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数不能等于0.
(m－3)x2＋m
x＝1+2mx2
化为一般形式(m+3)x2-m
x+1＝0
所以(m+3)
≠0
m
≠-3
类型二：利用一元二次方程的定义确定求字母的取值。
【例题2】若关于x的一元二次方程(2a－8)x2＋(a＋2)x＋a－8＝0没有常数项，则a的值为________．
【答案】4
【解析】一元二次方程没有常数项，即a－8=0
a=8
类型三：利用一元二次方程的根的定义求代数式的值。
【例题3】已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则a－b的值为(　　)
A．－1
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【解析】将x=-a带入方程得：a2-ab＋a＝0
因为a≠0，所以a2-ab＋a＝0变a-b＋1＝0
a－b=-1
类型四：利用一元二次方程根的定义解决探究性问题
。
【例题4】已知m，n是方程
x2－2x－1＝0的两个根，是否存在实数a
使(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)的值等于8?
若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】见解析。
【解析】由题意可知m2－2m－1＝0，n2－2n－1＝0，
∴m2－2m＝1，n2－2n＝1.
∴(7m2－14m＋a)(3n2－6n－7)＝[7(m2－2m)＋a][3(n2－2n)－7]
＝(7＋a)(3－7)＝－4(a＋7)，
由－4(a＋7)＝8得a＝－9，
故存在满足要求的实数a，且a的值等于－9.
一元二次方程过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每个小题4分，共40分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．2xy﹣7＝0
B．x2﹣7＝0
C．﹣7x＝0
D．5（x+1）＝72
【答案】B
【解析】一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
A．方程含有两个未知数，故错误；
B．符合一元二次方程的定义，正确；
C．未知数的最高次数是1，故错误；
D．未知数的最高次数是1，故错误．
2．一元二次方程的常数项是（
）
A．﹣4
B．﹣3
C．1
D．2
【答案】A
【解析】一元二次方程的常数项是﹣4，故选A．
3．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】一元二次方程的二次项系数是3，一次项系数-4，常数项-5．
4．若方程是关于x的一元二次方程，则m
=（
）
A．0
B．2
C．－2
D．±
2
【答案】B
【解析】∵是关于x的一元二次方程，
∴m+2≠0,
=2,解得:m=2
5．已知一元二次方程x2+k﹣3=0有一个根为1，则k的值为（　　）
A．﹣2
B．2
C．﹣4
D．4
【答案】B．
【解析】根据一元二次方程的解的定义，把把x=1代入方程得关于k的一次方程1﹣3+k=0，然后解一次方程即可．
把x=1代入方程得1+k﹣3=0，
解得k=2．
6.若是关于的一元二次方程的一个解，则2009－2a＋b的值（
）
A．17
B．1000
C．2018
D．4053
【答案】B
【解析】因为是关于x的一元二次方程的一个解，
所以，4a-2b-2018=0,
所以，2a-b=1009,
所以，
2009－2a＋b
=2009-（2a-b）=2009-1009=1000.
7.关于x的方程（m+1）+4x+2=0是一元二次方程，则m的值为（　　）
A．m1=﹣1，m2=1
B．m=1
C．m=﹣1
D．无解
【答案】B
【解析】根据一元二次方程未知数项的最高次数是2，可得m2＋1＝2且m＋1≠0，计算即可求解.
因为一元二次方程的最高次数是2，所以m2＋1＝2，解得m＝﹣1或1，又因为m＋1≠0，即m≠﹣1，所以m＝1，故选B.
8．宾馆有50间房供游客居住，当毎间房毎天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（　　）
A．（180+x﹣20）（50﹣）=10890
B．（x﹣20）（50﹣）=10890
C．x（50﹣）﹣50×20=10890
D．（x+180）（50﹣）﹣50×20=10890
【答案】B．
【解析】设房价定为x元，
根据题意，得（x﹣20）（50﹣）=10890．
9．某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为(　　)
A．
x(x－10)＝200
B．
2x＋2(x－10)＝200
C．
x(x＋10)＝200
D．
2x＋2(x＋10)＝200
【答案】C
【解析】∵花圃的长比宽多10米，花圃的宽为x米，
∴长为(x＋10)米，
∵花圃的面积为200，
∴可列方程为x(x＋10)＝200．
10.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（　）
A．（x+1）（x+2）=18
B．x2﹣3x+16=0
C．（x﹣1）（x﹣2）=18
D．x2+3x+16=0
【答案】C．
【解析】可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣1）m，
宽为（x﹣2）m．根据长方形的面积公式方程可列出．
设原正方形的边长为xm，依题意有
（x﹣1）（x﹣2）=18
二、填空题（每空4分，共28分）
11．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m=　　．
【答案】2．
【解析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．
∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，
∴m2﹣2m=0且m≠0，
解得，m=2．
12．若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，则m﹣n的值为　　．
【答案】．
【解析】∵2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，
∴4n2﹣4mn+2n=0，
∴4n﹣4m+2=0，
∴m﹣n=．
13.若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n=　　．
【答案】﹣2．
【解析】∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0的一个根，
∴4+2m+2n=0，
∴n+m=﹣2
14．已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为　
　．
【答案】﹣3．
【解析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，
整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3，
因为k≠0，
所以k的值为﹣3．
15．已知关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____．
【答案】2
【解析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解的定义列出关于m的方程，通过解关于m的方程求得m的值即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程mx2+5x+m2﹣2m=0有一个根为0，
∴m2﹣2m=0且m≠0，
解得，m=2
16．方程是一元二次方程，则m=_____．
【答案】-2
【解析】
根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，未知数的次数为2，可得，可求得m=-2.故答案为：-2
17．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为　　．
【答案】
x（x﹣1）=21．
【解析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），即可列方程．
设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x﹣1）=21
三、解答题（共32分）
18．（5分）学完一元二次方程后，在一次数学课上，同学们说出了一个方程的特点：
①它的一般形式为ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）
②它的二次项系数为5
③常数项是二次项系数的倒数的相反数
你能写出一个符合条件的方程吗？
【答案】这个方程是5x2－2x－=0（答案不唯一）
【解析】由（1）知这是一元二次方程，由（2）（3）可确定，而的值不唯一确定，可为任意数，熟悉一元二次方程的定义及特征是解答本题的关键．
这个方程是5x2－2x－=0.
19．（8分）已知﹣1是方程x2+ax﹣b=0的一个根，求a2﹣b2+2b的值．
【答案】1
【解析】把x=-1代入方程,得a+b=1,再代入中即可.
∵是方程的一个根，
∴．
∴．
∴
．
20.（9分）若关于的一元二次方程的常数项为0，求的值是多少？
【答案】-1
【解析】由题意得，，
解得：
所以时，的常数项为0.
21.（10分）已知关于的方程．
（1）为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项。
【答案】见解析
【解析】本题是含有字母系数的方程问题．根据一元一次方程和一元二次方程的定义，分别进行讨论求解.
（1）由题意得，时，即时，
方程是一元一次方程.
（2）由题意得，时，即时，方程是一元二次方程.此方程的二次项系数是、一次项系数是、常数项是.
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