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第二讲
解一元二次方程（直接开方法）
【学习目标】
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.
2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p
(p≥0)的方程.
【知识回顾】
1.如果
x2=a,则x叫做a的平方根
2.如果
x2=a(a
≥0),则x=
3.如果
x2=64
,则x=±8
4.任何数都可以作为被开方数吗？负数不可以作为被开方数.
【新课讲授】
知识点1：直接开平方法定义.
1.方法讲解
我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±2。
如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？
回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±2
即2t+1=2，2t+1=-2
方程的两根为t1=-，t2=--
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
2.总结：一般的，对于可化为方程
x2
=
p,
的解的情况
(1)当p>0
时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根
(2)当p=0
时，方程(I)有两个相等的实数根x1=x2=0.
(3)当p<0
时,因为任何实数x，都有x2≥0
，所以方程无实数根.
3.例题解析
【例题1】解方程：x2=4
【答案】x1=2,
x2=-2.
【解析】根据平方根的意义，得x=±2
所以x1=2,
x2=-2.
【例题2】解方程：（x－1）2－4
=
0；
【答案】x1=3，x2=-1.
【解析】移项，得（x-1）2=4.
∵x-1是4的平方根，
∴x-1=±2
即x1=3，x2=-1.
【例题3】解方程：x2+4x+4=1
【答案】x1=-1，x2=-3
【解析】很清楚，x2+4x+4是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．
由已知，得：（x+2）2=1
直接开平方，得：x+2=±1
即x+2=1，x+2=-1
所以，方程的两根x1=-1，x2=-3
4.应用拓展
【例题4】某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？
【答案】10%．
【解析】设该公司二、三月份营业额平均增长率为x，那么二月份的营业额就应该是（1+x），三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2．
解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为x．
那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31
把（1+x）当成一个数，配方得：
（1+x+）2=2.56，即（x+）2=2．56
x+=±1.6，即x+=1.6，x+=-1.6
方程的根为x1=10%，x2=-3.1
因为增长率为正数，
所以该公司二、三月份营业额平均增长率为10%．
5.归纳小结
本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的．
解一元二次方程（直接开方法）过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每小题5分，共30分）
1．一元二次方程(x+2000)2＝1的解为(
)
A．﹣1999，﹣2001
B．﹣1999
C．﹣2001
D．﹣2000
【答案】A
【解析】（x+2000）2=1
x+2000=±1，
所以x1=-2001，x2=-1999．
2．一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】将两边开平方，得
，
则则另一个一元一次方程是
。
3．若(m+n﹣1)(m+n+1)﹣4＝0，则m+n的值为(　　)
A．2
B．±2
C．
D．±
【答案】D
【解析】(m+n)2﹣1﹣4＝0，
(m+n)2＝5，
∴m+n=±．
4．若a,b,c满足则关于x的方程的解是(
)
A．1，0
B．-1，0
C．1，-1
D．无实数根
【答案】C
【解析】由方程组得到a+c=0,
即a=-c，b=0，再代入方程可求解.
因为a+b+c=0——①；a-b+c=0——②且a≠0,
联立两式①+②得a+c=0,
即a=-c,b=0,
代入ax?+bx+c=0
得：ax?-a=0
解得x=1或x=-1
5．方程3+9=0的根为（
）
A．3
B．－3
C．±3
D．无实数根
【答案】D
【解析】原方程可化为：，
∵负数没有平方根，
∴原方程无实数根.
6．有下列方程：
①x2-2x=0；
②9x2-25=0；
③(2x-1)2=1；
④．
其中能用直接开平方法做的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】①x2-2x=0，因式分解法；
②9x2-25=0，直接开平方法；
③(2x-1)2=1，直接开平方法；
④，直接开平方法，
则能用直接开平方法做的是②③④.
二、填空题（每空5分，共20分）
7．如果关于x的方程（m﹣1）x3﹣mx2+2＝0是一元二次方程，那么此方程的根是_____．
【答案】
【解析】直接利用一元二次方程的定义得出m的取值范围，再代入方程解方程即可．
由题意得：，
∴m=1，
原方程变为：﹣x2+2=0，
x=
8．已知，则的值为__________．
【答案】1.
【解析】∵,
∴,
∴,
∴,
∴.
9．一元二次方程（4-2x）2-36=0的解是__________．
【答案】x1=-1，x2=5
【解析】移项得：（4﹣2x）2=36，
开方得：4﹣2x=±6，
解得：x1=﹣1，x2=5．
10．已知,那么_____.
【答案】3.
【解析】把看成一个整体设为x，再解一元二次方程舍去负值即可.
设,则原方程化为:,
,
,
,
三、解答题（50分）
11．（12分）解方程：(x+5)2+16=80；
【答案】x1=-13，x2=3
【解析】（x+5）2+16=80，
移项，得（x+5）2=64，
∴x+5=±8，∴x=-5±8，
∴x1=-13，x2=3。
12.（12分）解方程：(x-1)2-9=0
【答案】x1=4,
x2=-2
【解析】(x-1)2-9=0，
(x-1)2=9,
x-1=3或x-1=-3
∴x1=4,
x2=-2．
13．（13分）解方程：
【答案】当时，原方程的解是，当时，原方程无实数解
【解析】先移项，再合并同类项可得，根据求出，再讨论时，，分别计算出方程的解.
移项得：，
化简得：，
，
，
当时，，
原方程无实数解，
当时，，
，
当时，原方程的解是
当时，原方程无实数解．
14.（13分）解方程：12（3－2x）2－3
=
0.
【答案】见解析。
【解析】先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可.
移项，得12（3-2x）2=3，
两边都除以12，得（3-2x）2=0.25.
∵3-2x是0.25的平方根，
∴3-2x=±0.5.
即3-2x=0.5,3-2x=-0.5
∴
x1=5/4
,
x2=7/4
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解一元二次方程（直接开方法）
【学习目标】
1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.
2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p
(p≥0)的方程.
【知识回顾】
1.如果
x2=a,则x叫做a的平方根
2.如果
x2=a(a
≥0),则x=
3.如果
x2=64
,则x=±8
4.任何数都可以作为被开方数吗？负数不可以作为被开方数.
【新课讲授】
知识点1：直接开平方法定义.
1.方法讲解
我们已经讲了x2=8，根据平方根的意义，直接开平方得x=±2。
如果x换元为2t+1，即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？
回答是肯定的，把2t+1变为上面的x，那么2t+1=±2
即2t+1=2，2t+1=-2
方程的两根为t1=-，t2=--
利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
2.总结：一般的，对于可化为方程
x2
=
p,
的解的情况
(1)当p>0
时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根
(2)当p=0
时，方程(I)有两个相等的实数根x1=x2=0.
(3)当p<0
时,因为任何实数x，都有x2≥0
，所以方程无实数根.
3.例题解析
【例题1】解方程：x2=4
【例题2】解方程：（x－1）2－4
=
0；
【例题3】解方程：x2+4x+4=1
4.应用拓展
【例题4】某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？
5.归纳小结
本节课应掌握：由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的．
解一元二次方程（直接开方法）过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每小题5分，共30分）
1．一元二次方程(x+2000)2＝1的解为(
)
A．﹣1999，﹣2001
B．﹣1999
C．﹣2001
D．﹣2000
2．一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（
）
A．
B．
C．
D．
3．若(m+n﹣1)(m+n+1)﹣4＝0，则m+n的值为(　　)
A．2
B．±2
C．
D．±
4．若a,b,c满足则关于x的方程的解是(
)
A．1，0
B．-1，0
C．1，-1
D．无实数根
5．方程3+9=0的根为（
）
A．3
B．－3
C．±3
D．无实数根
6．有下列方程：
①x2-2x=0；
②9x2-25=0；
③(2x-1)2=1；
④．
其中能用直接开平方法做的是(
)
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每空5分，共20分）
7．如果关于x的方程（m﹣1）x3﹣mx2+2＝0是一元二次方程，那么此方程的根是_____．
8．已知，则的值为__________．
9．一元二次方程（4-2x）2-36=0的解是__________．
10．已知,那么_____.
三、解答题（50分）
11．（12分）解方程：(x+5)2+16=80；
12.（12分）解方程：(x-1)2-9=0
13．（13分）解方程：
14.（13分）解方程：12（3－2x）2－3
=
0.
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