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第三讲
解一元二次方程（配方法）
【学习目标】
1.了解配方的概念.
2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.
【温故知新】
(1)
a2+2ab+b2=(a+b)2；
(2)
a2-2ab+b2=(a-b)2.
【新课讲解】
知识点1：配方的方法
二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.
想一想：
x2+px+(p/2)2=(x+p/2)2
比如：x2+4x+
=
(
x
+
)2
括号里填写啥？
前面括号填(4/2)
2=4
后面括号填2
知识点2：用配方法解方程
怎样解方程:
x2+6x+4=0？
移项：x2+6x=-4
将方程左边化成完全平方的形式，应该加上一个一次项系数一半的平方，当然了方程右端也要加上这个数。
x2+6x+(6/2)2=-4+(6/2)2
即x2+6x+(3)2=-4+9
(x+3)2=5
利用直接开平方法就可以求出方程的两个根。
总结归纳方程配方的方法：
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.
配方法的定义：
像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.
配方法解方程的基本思路：
把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．
【例题1】解方程x2－8x+1=0
【答案】见解析。
【解析】移项：x2－8x=－1,
配方，得x2－8x+42=－1+42
,
(
x－4)2=15
由此可得
【例题2】解方程2x2+1=3x
【答案】见解析。
【解析】移项：2x2－3x=－1
二次项系数化为1，得
配方，得
即
由此可得
方程的两个根为
注意：
1.用配方法解一元二次方程时，移项时要移项时需注意改变符号.
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤.
①移项，二次项系数化为1；
②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方形式；
④降次；
⑤解一次方程.
规律总结
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
（1）p>0时,则,方程的两个根为
（2）当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为
x1=x2=-n.
（3）当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.
知识点3：配方法的应用
【例题3】应用配方法求2x2
-
4x+5的最小值.
【答案】3
【解析】原式
=
2(x
-
1)2
+3
当x
=1时有最小值3
【例题4】如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？?
【答案】1m.
【解析】设道路的宽为xm,
根据题意得
（35-x)(26-x)=850，
整理得x2-61x+60=0.
解得
x1=60（不合题意，舍去）,
x2=1.
解一元二次方程（配方法）过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每小题4分，共28分）
1.用配方法解方程时，原方程应变形为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】原方程可化为，
∴.故选B.
2.方程3+9=0的根为（
）
A．3
B．-3
C．±3
D．无实数根
【答案】D
【解析】依据方程的根的定义可判断此方程无实数根，故选D．
3.用配方法解方程，变形后的结果正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】，
，
，
所以
4．用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0时，应将其变形为(
)
A．(x﹣)2＝
B．(x+)2＝
C．(x﹣)2＝0
D．(x﹣)2＝
【答案】D
【解析】∵x2﹣x﹣1=0，
∴x2﹣x=1，
∴x2﹣x+=1+，
∴（x﹣）2=．
5．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（　　）
A．x2﹣2x＝5
B．x2+4x＝5
C．2x2﹣4x＝5
D．4x2+4x＝5
【答案】B
【解析】A．因为本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；
B.因为本方程的一次项系数是4，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方4；故本选项正确；
C.将该方程的二次项系数化为x
2
-2x=
，所以本方程的一次项系数是-2，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方1；故本选项错误；
D.将该方程的二次项系数化为x
2
+x=
，所以本方程的一次项系数是1，所以等式两边同时加上一次项系数一半的平方；故本选项错误。
6．用配方法解方程，变形结果正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据配方法的定义,将方程的二次项系数化为1,
得：
，配方得，
即:．
7．用配方法解方程2x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程为（　　）
A．（x﹣2）2=3
B．2（x﹣2）2=3
C．2（x﹣1）2=1
D．2（x﹣1）2=
【答案】C
【解析】2x2﹣4x=-1，
x2﹣2x=，
x2﹣2x+1=+1，
∴，
即．
二、填空题（每空5分，共20分）
8.一元二次方程可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是，则另一个一次方程是_____________.
【答案】
【解析】原方程可化为，
其中一个一次方程是，
∴另一个一次方程是．
9．如果一元二次方程x2﹣4x+k＝0经配方后，得（x﹣2）2＝1，那么k＝_____．
【答案】3
【解析】x2﹣4x=﹣k，
x2﹣4x+4=4﹣k，
（x﹣2）2=4﹣k，
所以4﹣k=1，
解得：k=3．
10．方程x2+2x﹣1=0配方得到（x+m）2=2，则m=_____．
【答案】1
【解析】x2+2x-1=0，
x2+2x=1，
x2+2x+1=2，
（x+1）2=2，
则m=1
11．若把代数式化为的形式，其中、为常数，则______．
【答案】-7
【解析】x?4x?5=x?4x+4?4?5
=(x?2)
?9，
所以m=2，k=?9，
所以m+k=2?9=?7.
三、解答题（52分）
12.（8分）解方程：x(x+4)=8x+12
【答案】x1=6,x2=-2
【解析】原方程化为x2-4x-12=0，
(x-2)2=16
所以x-2=4，
x-2=-4
x1=6,
x2=-2
13.（8分）解一元二次方程是．
【答案】．
【解析】方程两边同除以2，得，
∴，∴．
14.（8分）解关于x的方程（x+m）2=n．
【答案】见解析。
【解析】当n≥0时，x+m=±，∴x1=-m，x2=--m．
当n<0时，方程无解．
15.（8分）已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求的值．
【答案】-8/13
【解析】本题中一个方程、两个未知数，一般情况下无法确定、的值．但观察到方程可配方成两个完全平方式的和等于零，可以挖掘出隐含条件x=-2和y=3，从而使问题顺利解决．
原方程可化为（x+2）2+（y-3）2=0，
∴（x+2）2=0，且（y-3）2=0，
∴x=-2，且y=3，
∴原式=．
16.（8分）如果x2-4x+y2+6y++13=0，求的值．
【答案】1/36
【解析】原方程可化为（x-2）2+（y+3）2+=0，
∴x=2，y=-3，z=-2，
∴=．
17．（12分）根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；
②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；
③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；
……
……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；
②关于x的方程________________________的解为x1＝1，x2＝n．
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．
【答案】（1）①x1＝1，x2＝1；②x1＝1，x2＝2；③x1＝1，x2＝3．（2）①x1＝1，x2＝8，
②x2－(1＋n)x＋n＝0；（3）x1＝1，x2＝8．
【解析】（1）①x1＝1，x2＝1；②x1＝1，x2＝2；③x1＝1，x2＝3．
（2）①x1＝1，x2＝8；
②x2－(1＋n)x＋n＝0．
（3）x2－9x＋8＝0
x2－9x＝－8
x2－9x＋＝－8＋
(x－)2＝
∴x－＝±．
∴x1＝1，x2＝8．
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解一元二次方程（配方法）
【学习目标】
1.了解配方的概念.
2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.
【温故知新】
(1)
a2+2ab+b2=(a+b)2；
(2)
a2-2ab+b2=(a-b)2.
【新课讲解】
知识点1：配方的方法
二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.
想一想：
x2+px+(p/2)2=(x+p/2)2
比如：x2+4x+
=
(
x
+
)2
括号里填写啥？
前面括号填(4/2)
2=4
后面括号填2
知识点2：用配方法解方程
怎样解方程:
x2+6x+4=0？
移项：x2+6x=-4
将方程左边化成完全平方的形式，应该加上一个一次项系数一半的平方，当然了方程右端也要加上这个数。
x2+6x+(6/2)2=-4+(6/2)2
即x2+6x+(3)2=-4+9
(x+3)2=5
利用直接开平方法就可以求出方程的两个根。
总结归纳方程配方的方法：
在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.
配方法的定义：
像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.
配方法解方程的基本思路：
把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．
【例题1】解方程x2－8x+1=0
【例题2】解方程2x2+1=3x
注意：
规律总结
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
（1）p>0时,则,方程的两个根为
（2）当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为
x1=x2=-n.
（3）当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.
知识点3：配方法的应用
【例题3】应用配方法求2x2
-
4x+5的最小值.
【例题4】如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？?
解一元二次方程（配方法）过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每小题4分，共28分）
1.用配方法解方程时，原方程应变形为（
）
A．
B．
C．
D．
2.方程3+9=0的根为（
）
A．3
B．-3
C．±3
D．无实数根
3.用配方法解方程，变形后的结果正确的是(
)
A．
B．
C．
D．
4．用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0时，应将其变形为(
)
A．(x﹣)2＝
B．(x+)2＝
C．(x﹣)2＝0
D．(x﹣)2＝
5．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（　　）
A．x2﹣2x＝5
B．x2+4x＝5
C．2x2﹣4x＝5
D．4x2+4x＝5
6．用配方法解方程，变形结果正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．用配方法解方程2x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程为（　　）
A．（x﹣2）2=3
B．2（x﹣2）2=3
C．2（x﹣1）2=1
D．2（x﹣1）2=
二、填空题（每空5分，共20分）
8.一元二次方程可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是，则另一个一次方程是_____________.
9．如果一元二次方程x2﹣4x+k＝0经配方后，得（x﹣2）2＝1，那么k＝_____．
10．方程x2+2x﹣1=0配方得到（x+m）2=2，则m=_____．
11．若把代数式化为的形式，其中、为常数，则______．
三、解答题（52分）
12.（8分）解方程：x(x+4)=8x+12
13.（8分）解一元二次方程是．
14.（8分）解关于x的方程（x+m）2=n．
15.（8分）已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求的值．
16.（8分）如果x2-4x+y2+6y++13=0，求的值．
17．（12分）根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；
②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；
③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；
……
……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；
②关于x的方程________________________的解为x1＝1，x2＝n．
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．
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