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第四讲
解一元二次方程（公式法）
【学习目标】
1.经历求根公式的推导过程.
2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.
3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.
4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
【新课讲解】
知识点1：求根公式的推导
用配方法解一般形式的一元二次方程：ax2+bx+c=0
(a≠0).这个方程的根的表达式就是求根公式。下面进行推到，注意学习推导过程。
移项，得：ax2+bx=-c
方程两边都除以a，将方程二次项系数变为1.（目的是利用配方法解方程）
方程两端同时加上一次项系数的一半的平方，配方，得
即
∵a
≠0,4a2>0
当b2-4ac
≥0时，
上面这个就是一元二次方程的求根公式。两个根分别为：
∵a
≠0,4a2>0
当b2-4ac
＜0时
而x取任何实数都不能使上式成立.
因此，方程无实数根.
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0
(a≠0)
，当b2-4ac
≥0
时，将a，b，c
代入式子就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。
一定注意：用公式法解一元二次方程的前提是
1.必需是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0);
2.b2-4ac≥0.
知识点:2：公式法解方程
1.公式法解方程的步骤
（1）变形:
化已知方程为一般形式;
（2）确定系数:用a,b,c写出各项系数;
（3）计算:
b2-4ac的值;
（4）判断：若b2-4ac
≥0，则利用求根公式求出；
若b2-4ac<0，则方程没有实数根。
2.例题解析
【例题1】解方程：x2
+7x–18
=0.
【答案】
x1
=-9,
x2
=2
.
【解析】这个一元二次方程：x2
+7x–18
=0.已经是一般形式，
所以这里
a=1,
b=7,
c=-18.
∵
b
2
-4ac
=7
2
–4
×
1×
(-18
)
=121>0,方程有两个不等实数根
根据求根公式
即
x1
=-9,
x2
=2
.
【例题2】解方程4x2=12x－9
【答案】3/2.
【解析】方程化为：4x2－12x+9=0,
这里
a=4,
b=-12
,
c=9.
∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.
∴方程有两个相等的实数根．
x1
=x2
=-b/2a=12/(2×4)=3/2.
【例题3】解方程（x
-
2)
(1-3x)
=6.
【答案】原方程没有实数根.
【解析】去括号
，得x–2-3x2
+
6x=6,
化为一般式
3x2
-
7x
+
8=0,
这里
a=3,
b=-7
,
c=8.
∵b2
-
4ac=(-7
)2
–4×3×8
=49–96
=-
47
<
0,
∴原方程没有实数根.
知识点3：一元二次方程根的判别式
1.判别式的含义
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“Δ
”表示，即Δ=b2-4ac.
2.根的判别式使用方法
（1）将一元二次方程化为一般式ax2+bx+c=0，确定a,b,c的值.
（2）计算Δ
的值，确定Δ
的符号.
（3）判别根的情况，得出结论.
3.判断一元二次方程根的情况的方法
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
当b2
-
4ac>
0时,方程有两个不相等的实数根.
当b2
-
4ac=
0时,方程有两个相等的实数根.
当b2
-
4ac<
0时,方程无实数根.
4.例题解析
【例题4】若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(
)
A.k>-1
B.k>-1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
【答案】B
【解析】方程kx2-2x-1=0
由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac>0，同时要求二次项系数不为0，
即（-2）2-4×k×（-1）>0
，k≠0.
解得k>-1且k≠0，故选B.
【例题5】不解方程，判断方程3x2+4x－3=0
的根的情况．
【答案】方程有两个不相等的实数根．
【解析】（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3,
∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
核心素养提升：
【例题6】在等腰△ABC
中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC
的周长.
【答案】12
【解析】关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，
所以Δ=(b-2)2-4(6-b)=b2+8b-20=0.
所以b=-10或b=2.
将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4；
将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（舍去）；
这样a=5,b=2
因为△ABC是等腰三角形，
所以c=5或者
c=2
当a=5,b=2，c=5时，能够成三角形，所以周长为12；
当a=5,b=2，c=2时，不能够成三角形。
△ABC周长为12.
解一元二次方程（公式法）过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每小题4分，共32分)
1.一元二次方程的根的情况为（
）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【答案】B
【解析】∵△＝，
∴方程有两个不相等的实数根，故选B．
2.若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵△＝，∴．故选C．
3．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（
）
A．方程有两个相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【答案】B
【解析】先求出△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，即可判定方程有两个不相等的实数根．故答案选B.
4.如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（
）
A．
B．且
C．
D．且
【答案】B
【解析】注意:一元二次方程的二次项系数含有字母.
依题意得,,
解得且.故选B．
5．关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是(
)
A．q<16
B．q>16
C．q≤4
D．q≥4
【答案】A
【解析】∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，
∴△>0，即82-4q>0，
∴q<16
6．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（
）
A．
B．
C．且
D．且
【答案】D
【解析】∵关于x的一元二次方程有实数根，∴且△≥0，即，解得，∴m的取值范围是且．故选D．
7．不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况(　　)
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根
D．无实数根
【答案】B
【解析】一元二次方程的根的情况与根的判别式有关，
，方程有两个不相等的实数根，故选B
8．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则k的值为（
）
A．
B．
C．2或3
D．或
【答案】A
【详解】
∵方程有两个相等的实根，
∴△=k2-4×2×3=k2-24=0，
解得：k=．
二、填空题（每空5分，共15分)
9．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】根据根与系数的关系可得要使有两个不相等的实数根，则必须，进而可以计算出k的取值范围.
根据根与系数的关系可得要使有两个不相等的实数根，则.
故答案为.
10．关于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_____．
【答案】且k≠0
【解析】∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
解得：﹣≤k＜且k≠0
故答案为﹣≤k＜且k≠0．
11．在x2+（________）+4=0的括号中添加一个关于的一次项，使方程有两个相等的实数根.
【答案】（只写一个即可）
【详解】
设方程为x2+kx+4=0，由题意得
k2-16=0，
∴k=±4,
∴一次项为（只写一个即可）.
三、解答题（53分）
12.（18分）用公式法解下列方程.
（1）；（2）；（3）.
【答案】见解析
【解析】用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后正确代入求根公式
，即可.
（1），，,
∴,
∴,
∴，．
（2）将方程化为一般形式，
∴，，,
∴,
∴，∴，．
（3），，,
∴，
∵在实数范围内，负数不能开平方，∴此方程无实数根．
13.（8分）解方程：．
有一位同学解答如下：
这里，，，,
∴,
∴,
∴，．
请你分析以上解答有无错误,如有错误,找出错误的地方,并写出正确的结果．
【答案】见解析。
【解析】本题所反映的错误是非常典型的,在用公式法求解方程时,一定要求先将方程化为一元二次方程的一般形式才行.
这位同学的解答有错误,错误在,而不是,并且导致以后的计算都发生相应的错误．
正确的解答是:
首先将方程化为一般形式，
∴，，,
∴,
∴,
∴，．
14．（12分）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．
（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x1=x2=﹣1．
【解析】（1）解：由题意：．
∵，
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）答案不唯一，满足（）即可，例如：
解：令，，则原方程为，
解得：．
15．（15分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【答案】(1)
△ABC是等腰三角形；(2)△ABC是直角三角形；(3)
x1=0，x2=﹣1．
【解析】
（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1．
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精品试卷·第
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第四讲
解一元二次方程（公式法）
【学习目标】
1.经历求根公式的推导过程.
2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.
3.理解并会计算一元二次方程根的判别式.
4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况.
【新课讲解】
知识点1：求根公式的推导
用配方法解一般形式的一元二次方程：ax2+bx+c=0
(a≠0).这个方程的根的表达式就是求根公式。下面进行推到，注意学习推导过程。
移项，得：ax2+bx=-c
方程两边都除以a，将方程二次项系数变为1.（目的是利用配方法解方程）
方程两端同时加上一次项系数的一半的平方，配方，得
即
∵a
≠0,4a2>0
当b2-4ac
≥0时，
上面这个就是一元二次方程的求根公式。两个根分别为：
∵a
≠0,4a2>0
当b2-4ac
＜0时
而x取任何实数都不能使上式成立.
因此，方程无实数根.
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0
(a≠0)
，当b2-4ac
≥0
时，将a，b，c
代入式子就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。
一定注意：用公式法解一元二次方程的前提是
1.必需是一般形式的一元二次方程:
ax2+bx+c=0(a≠0);
2.b2-4ac≥0.
知识点:2：公式法解方程
1.公式法解方程的步骤
（1）变形:
化已知方程为一般形式;
（2）确定系数:用a,b,c写出各项系数;
（3）计算:
b2-4ac的值;
（4）判断：若b2-4ac
≥0，则利用求根公式求出；
若b2-4ac<0，则方程没有实数根。
2.例题解析
【例题1】解方程：x2
+7x–18
=0.
【例题2】解方程4x2=12x－9
【例题3】解方程（x
-
2)
(1-3x)
=6.
知识点3：一元二次方程根的判别式
1.判别式的含义
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“Δ
”表示，即Δ=b2-4ac.
2.根的判别式使用方法
（1）将一元二次方程化为一般式ax2+bx+c=0，确定a,b,c的值.
（2）计算Δ
的值，确定Δ
的符号.
（3）判别根的情况，得出结论.
3.判断一元二次方程根的情况的方法
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
当b2
-
4ac>
0时,方程有两个不相等的实数根.
当b2
-
4ac=
0时,方程有两个相等的实数根.
当b2
-
4ac<
0时,方程无实数根.
4.例题解析
【例题4】若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(
)
A.k>-1
B.k>-1且k≠0
C.k<1
D.k<1且k≠0
【例题5】不解方程，判断方程3x2+4x－3=0
的根的情况．
核心素养提升：
【例题6】在等腰△ABC
中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC
的周长.
解一元二次方程（公式法）过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每小题4分，共32分)
1.一元二次方程的根的情况为（
）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
2.若关于的一元二次方程没有实数根，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
3．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说法正确的是（
）
A．方程有两个相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
4.如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（
）
A．
B．且
C．
D．且
5．关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是(
)
A．q<16
B．q>16
C．q≤4
D．q≥4
6．关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（
）
A．
B．
C．且
D．且
7．不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况(　　)
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根
D．无实数根
8．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实根，则k的值为（
）
A．
B．
C．2或3
D．或
二、填空题（每空5分，共15分)
9．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_____.
10．关于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_____．
11．在x2+（________）+4=0的括号中添加一个关于的一次项，使方程有两个相等的实数根.
三、解答题（53分）
12.（18分）用公式法解下列方程.
（1）；（2）；（3）.
13.（8分）解方程：．
有一位同学解答如下：
这里，，，,
∴,
∴,
∴，．
请你分析以上解答有无错误,如有错误,找出错误的地方,并写出正确的结果．
14．（12分）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0．
（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
15．（15分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
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精品试卷·第
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