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第五讲
解一元二次方程（因式分解法）
【学习目标】
1.理解用因式分解法解方程的依据.
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.
3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.
【新课讲解】
知识点1：因式分解法解一元二次方程
1.因式分解法的概念
通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.
2.因式分解的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c);
a2
±2ab+b2=(a
±b)2；
a2
-b2=(a
+b)(a
-b).
3.因式分解法的基本步骤
（1）通过移项将方程的右边=0;
（2）将方程的左边因式分解;
（3）方程化为两个一元一次方程;
（4）解方程，写出方程两个解。
3.例题解析
【例题1】用因式分解法解方程：3x2－6x=-3.
【例题2】用因式分解法解方程
(x-5)(x+2)=18.
知识点2：灵活选用方法解方程
1.各种一元二次方程的解法及适用类型.
2.一元二次方程解法选择的基本思路
（1）一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；
（2）若常数项为0（
ax2+bx=0），应选用因式分解法；
（3）若一次项系数和常数项都不为0
(ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
（4）不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
【例题3】解方程x(x+1)=2时，要先把方程化为
；
再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1=
,
x2=
.
解一元二次方程（因式分解法）过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每小题4分，共32分)
1.方程的解是（
）
A．
B．
C．，
D．，
2．关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（　　）
A．x1=﹣1，x2=3
B．x1=1，x2=﹣3
C．x1=1，x2=3
D．x1=﹣1，x2=﹣3
3．一元二次方程的根是（
）
A．﹣1
B．2
C．1和2
D．﹣1和2
4．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是（　　）A．16
B．12
C．14
D．12或16
5．已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是（　　）
A．11
B．12
C．11或12
D．15
6．若x＝－2是关于x的一元二次方程x2＋ax－a2＝0的一个根，则a的值为（
）
A．－1或4
B．－1或－4
C．1或－4
D．1或4
7．已知x、y都是实数，且(x2+y2)(x2+y2+2)﹣3＝0，那么x2+y2的值是(　　)A．﹣3
B．1
C．﹣3或1
D．﹣1或3
8.我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（
）
A．x1=1，x2=3
B．x1=1，x2=﹣3
C．x1=﹣1，x2=3
D．x1=﹣1，x2=﹣3
二、填空题（每小题5分，共20分)
9.小华在解一元二次方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是________.
10．若多项式x2﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣2，则2m﹣n的值为_______．
11．已知在△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三边BC的长为一元二次方程x2－6x＋8＝0的一个根，则该三角形为__________三角形．
12．如果（x2+y2）2+3(x2+y2)-4=0，那么x2+y2的值为_______．
三、解答题（48分）
13．（8分）选择因式分解方法解方程3x（x﹣1）＝2﹣2x
14.（8分）已知，求的值.
15.（12分）我们知道，那么就可转化
为，请你用上面的方法解下列方程：
（1）；（2）；（3）.
16.（10分）方程较大根为，方程较小根为，求的值.
17．（10分）阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0
①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　
　法达到　
　的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
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第五讲
解一元二次方程（因式分解法）
【学习目标】
1.理解用因式分解法解方程的依据.
2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.
3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.
【新课讲解】
知识点1：因式分解法解一元二次方程
1.因式分解法的概念
通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.
2.因式分解的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c);
a2
±2ab+b2=(a
±b)2；
a2
-b2=(a
+b)(a
-b).
3.因式分解法的基本步骤
（1）通过移项将方程的右边=0;
（2）将方程的左边因式分解;
（3）方程化为两个一元一次方程;
（4）解方程，写出方程两个解。
3.例题解析
【例题1】用因式分解法解方程：3x2－6x=-3.
【答案】x1=x2=1.
【解析】将方程：3x2－6x
=-3化为一般式为
x2－2x+1
=0.
因式分解，得
(
x－1
)(
x－1
)
=0.
有
x－1=0
或
x－1=0，
x1=x2=1.
【例题2】用因式分解法解方程
(x-5)(x+2)=18.
【答案】x1=7，x2=－4.
【解析】将(x-5)(x+2)=18化为
x2－3x－28=0，
方程左端因式分解
(x－7)(x+4)=0，
(x－7)=0或者(x+4)=0，
所以
x1=7，x2=－4.
知识点2：灵活选用方法解方程
1.各种一元二次方程的解法及适用类型.
2.一元二次方程解法选择的基本思路
（1）一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法；
（2）若常数项为0（
ax2+bx=0），应选用因式分解法；
（3）若一次项系数和常数项都不为0
(ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法；
（4）不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.
【例题3】解方程x(x+1)=2时，要先把方程化为
；
再选择适当的方法求解，得方程的两根为x1=
,
x2=
.
【答案】x2+x－2=0；－2，
1
【解析】把原来一元二次方程化为二次项系数为1，右端等于0的形式。首先看看能因式分解的就先用因式分解法解方程。不能因式分解可以用公式法。本题用因式分解法简单。
解一元二次方程（因式分解法）过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每小题4分，共32分)
1.方程的解是（
）
A．
B．
C．，
D．，
【答案】C
【解析】先移项，得，因式分解，得：，∴，.
2．关于x的一元二次方程x2﹣4x+3=0的解为（　　）
A．x1=﹣1，x2=3
B．x1=1，x2=﹣3
C．x1=1，x2=3
D．x1=﹣1，x2=﹣3
【答案】C
【解析】x2-4x+3=0，
分解因式得：（x-1）（x-3）=0，
解得：x1=1，x2=3
3．一元二次方程的根是（
）
A．﹣1
B．2
C．1和2
D．﹣1和2
【答案】D
【解析】
,
4．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一根，则此三角形的周长是（　　）
A．16
B．12
C．14
D．12或16
【答案】A
【解析】解方程，得：或，
若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，
5．已知三角形的两边长为4和5，第三边的长是方程x2﹣5x+6=0的一个根，则这个三角形的周长是（　　）
A．11
B．12
C．11或12
D．15
【答案】C
【解析】x2﹣5x+6=0，解得x1=2,x2=3,
所以三角形周长是4+5+2=11,4+5+3=12
6．若x＝－2是关于x的一元二次方程x2＋ax－a2＝0的一个根，则a的值为（
）
A．－1或4
B．－1或－4
C．1或－4
D．1或4
【答案】C
【解析】∵x=-2是关于x的一元二次方程的一个根，
∴（-2）2+a×（-2）-a2=0，即a2+3a-4=0，
整理，得（a+4）（a-1）=0，
解得
a1=-4，a2=1．
即a的值是1或-4．
7．已知x、y都是实数，且(x2+y2)(x2+y2+2)﹣3＝0，那么x2+y2的值是(　　)
A．﹣3
B．1
C．﹣3或1
D．﹣1或3
【答案】B
【解析】∵（x2＋y2）(x2＋y2＋2)－3=0，
∴（x2＋y2）2+2(x2＋y2)－3=0，
解得：x2＋y2=-3或x2＋y2=1
∵x2＋y2>0
∴x2＋y2=1
8.我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是（
）
A．x1=1，x2=3
B．x1=1，x2=﹣3
C．x1=﹣1，x2=3
D．x1=﹣1，x2=﹣3
【答案】D
【解析】将x1=1，x2=﹣3代入到x2+2x﹣3=0得
12+2×1﹣3=0，（-3）2+2×（-3）﹣3=0
对比方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，可得
2x+3=1或﹣3
解得：x1=﹣1，x2=﹣3
二、填空题（每小题5分，共20分)
9.小华在解一元二次方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是________.
【答案】.
【解析】方程两边不能同除以含有未知数的式子，否则会失根的.
将方程因式分解，得，∴，.
∴被他漏掉的根是.
10．若多项式x2﹣mx+n（m、n是常数）分解因式后，有一个因式是x﹣2，则2m﹣n的值为_______．
【答案】4
【解析】设另一个因式为x﹣a，
则x2﹣mx+n=（x﹣2）（x﹣a）=x2﹣ax﹣2x+2a=x2﹣（a+2）x+2a，得：
，
∴2m-n=2（a+2）-2a=4
11．已知在△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三边BC的长为一元二次方程x2－6x＋8＝0的一个根，则该三角形为__________三角形．
【答案】直角
【解析】解一元二次方程x2-6x+8=0，
得，x=2或4，
∵AB=3，AC=5，
∴2＜BC＜8，
∵第三边BC的长为一元二次方程x2－6x＋8＝0的一个根，
∴BC=4，
当BC=4时，AB2+BC2=AC2，△ABC是直角三角形.
?12．如果（x2+y2）2+3(x2+y2)-4=0，那么x2+y2的值为_______．
【答案】1
【解析】先设，则原方程可变形为：，解方程即可求得m的值，从而求得的值.
设，则原方程可变形为：，
分解因式得，
∴m=-4，m=1，
∵≥0
∴=1
三、解答题（48分）
13．（8分）选择因式分解方法解方程3x（x﹣1）＝2﹣2x
【答案】x1＝1，x2＝﹣．
【解析】3x(x﹣1)+2(x﹣1)＝0,
(x﹣1)(3x+2)＝0,
x﹣1＝0或3x+2＝0,
所以x1＝1,x2＝﹣．
14.（8分）已知，求的值.
【答案】或2.
【解析】将看作一个整体,不妨设，则求出的值即为的值.
设，则方程可化为,∴,
∴,
∴，.
∴的值是或2.
15.（12分）我们知道，那么就可转化
为，请你用上面的方法解下列方程：
（1）；（2）；（3）.
【答案】（1），.
（2），.
（3），.
【解析】（1）∵，∴，
∴或，∴，.
（2）∵，∴，
∴或，∴，.
（3）∵，∴，
∴或，∴，.
16.（10分）方程较大根为，方程较小根为，求的值.
【答案】0
【解析】本题中两个方程的系数都较大，用配方法和公式法都会遇到烦琐的运算，因此考虑到系数的特点，
选用因式分解法最合适．
将方程因式分解，得：，
∴或，∴，.
∴较大根为1，即.
将方程变形为：
，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴，.
∴较小根为-1，即.∴.
17．（10分）阅读下面的材料，回答问题：
解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0
①，解得y1＝1，y2＝4．
当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；
∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用　
　法达到　
　的目的，体现了数学的转化思想．
（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．
【答案】（1）换元，降次；（2）x1=﹣3，x2=2．
【解析】（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想;
（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．
由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．
由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．
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