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第六讲
一元二次方程根与系数的关系
【学习目标】
1.探索一元二次方程的根与系数的关系.
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
【知识回顾】
1.写出一元二次方程：
ax2
+
bx
+c
=
0(a≠0)
的求根公式
2.怎样用判别式
b2
-
4ac
来判断一元二次方程根的情况
对一元二次方程：
ax2
+
bx
+c
=
0(a≠0)
b2
-
4ac
>
0
时,方程有两个不相等的实数根.
b2
-
4ac
=
0
时,方程有两个相等的实数根.
b2
-
4ac
<
0
时,方程无实数根.
【新课讲解】
知识点1：探索一元二次方程的根与系数的关系
1.方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2与p,q之间的关系为：
x1+x2=
-p
,
x1
·x2=q.
2.如果一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、
x2，那么，两个根与二次项系数a、一次项系数b、常数项c的关系是：
x1+x2=-b/a
x1·x2=c/a
满足上述关系的前提条件b2-4ac≥0.
3.韦达定理：如果
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、
x2，那么x1+x2=-b/a
x1·x2=c/a
4.理解一元二次方程的根与系数的关系的推导过程
【例题1】已知
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、
x2，证明：x1+x2=-b/a
x1·x2=c/a
【答案】见解析。
【解析】
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、
x2，
所以，
所以两根之和为：
即：x1+x2=-b/a
所以两根之积为：
即：x1·x2=c/a
知识点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用
【例题2】利用根与系数的关系，求方程x2
+
7x
+
6
=
0的两根之和、两根之积.
【答案】x1
+
x2
=-7
,
x1
x2
=
6.
【解析】这里
a
=
1
,
b
=
7
,
c
=
6.
Δ
=b2
-
4ac
=
72
–4×1×6
=25
>
0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是
x1,
x2,
那么
x1
+
x2
=-b/a=-7/1=
-7
,
x1
x2
=c/a=6/1=
6.
所以x1
+
x2
=
-7
,
x1
x2
=
6.
【例题3】已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
【答案】方程的另一个根是-3/5
，k=－7.
【解析】设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2
.
所以：x1
·
x2=2x2=-6/5
即：x2=-3/5
由于x1+x2=2+(-3/5)
=-k/5
得：k=－7.
答：方程的另一个根是-3/5
，k=－7.
【例题4】设x1，x2是方程
x2
-2(k
-
1)x
+
k2
=0
的两个实数根，且x12
+x22
=4，求k的值.
【答案】0
【解析】由方程有两个实数根，得Δ=
4（k
-
1）2
-
4k2
≥
0
即
-8k
+
4
≥
0.
由根与系数的关系得
x1
+
x2
=
2(k
-1)
,
x1
x2
=k
2.
∴
x12
+
x22
=
(x1
+
x2)2
-
2x1x2
=
4(k
-1)2
-2k2
=
2k2
-8k
+
4.
由
x12
+
x22
=
4，得
2k2
-
8k
+
4
=
4,
解得
k1=
0
,
k2
=
4
.
经检验，
k2
=
4
不合题意，舍去.
知识技巧：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.常见的求值问题需要用到的转化式子:
一元二次方程根与系数的关系过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每小题4分，共32分)
1.一元二次方程的两实数根相等，则的值为（
）
A．
B．或
C．
D．或
【答案】B.
【解析】△＝，∴或，故选B.
2.若关于的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足.则的值为（
）
A．－1或
B．－1
C．
D．不存在
【答案】C注意:的值不仅须满足,更须在一元二次方程有根的大前提下才有意义,即的值必须使得△才可以.)
【解析】由一元二次方程根与系数的关系可得：，
∵，∴，解得，.
当时,△＝,此时方程无实数根,故不合题意,舍去.
当时,△＝,故
符合题意.综上所述,.故选C.
3．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（　　）
A．3
B．1
C．﹣1
D．﹣3
【答案】B
【解析】根据根与系数的关系得α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．
∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，
∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，
∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1，
4.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（
）
A．
B．3
C．6
D．9
【答案】B.
【解析】如果直接解方程，可以得到直角三角形的两条直角边的长，再运用勾股定理求出直角三角形的斜边长.但由于方程的两根是无理数，计算十分麻烦.因此应充分利用一元二次方程根与系数的关系进行简便求解.)
设和是方程的两个根，由一元二次方程根与系数的关系可得：
∴，∴这个直角三角形的斜边长是3，故选B.
5．已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据一元二次方程的根的判别式、一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系逐一进行提示即可.
x1、x2是一元二次方程x2-2x=0的两个实数根，
这里a=1，b=-2，c=0，
b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，
所以方程有两个不相等的实数根，即，故A选项正确，不符合题意；
，故B选项正确，不符合题意；
，故C选项正确，不符合题意；
，故D选项错误，符合题意。
6．若2-是方程x2-4x+c=0的一个根，则c的值是（
）
A．1
B．3-
C．1+
D．2+
【答案】A
【解析】把2﹣代入方程x2﹣4x+c=0就得到关于c的方程，就可以解得c的值．
把2﹣代入方程x2﹣4x+c=0，得（2﹣）2﹣4（2﹣）+c=0，解得：c=1．
7．关于x的一元二次方程有两个实数根，，则k的值（
）
A．0或2
B．-2或2
C．-2
D．2
【答案】D
【解析】将化简可得，，
利用韦达定理，，解得，k＝±2，由题意可知△＞0，
可得k＝2符合题意.
由韦达定理，得：
＝k－1，,
由，得：
，
即，
所以，,
化简，得：，
解得：k＝±2，
因为关于x的一元二次方程有两个实数根，
所以，△＝＝〉0，
k＝－2不符合，
所以，k＝2
故选：D.
8．关于的方程的两根的平方和是5，则的值是(??
??)
A．-1或5
B．1
C．5
D．-1
【答案】D
【解析】设方程的两根为、，根据根与系数的关系得到，，由于，变形得到，则，然后解方程，满足的的值为所求.
设方程的两根为、，则，，
，
，
，
，，
，
.
二、填空题（每小题5分，共20分)
9.已知一元二次方程的两根为、，则______．
【答案】.
【解析】依据一元二次方程根与系数的关系可得.
10．（2018·南京市期末）关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是_____．
【答案】4
【解析】根据根与系数的关系结合x1+x2=x1?x2可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，再根据方程有实数根结合根的判别式即可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，从而可确定k的值．
∵x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，
∴x1+x2=2k，x1?x2=k2﹣k，
∵x12+x22=4，
∴（x1+x2）2-2x1x2=4，
（2k）2﹣2（k2﹣k）=4，
2k2+2k﹣4=0，
k2+k﹣2=0，
k=﹣2或1，
∵△=（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，
k≥0，
∴k=1，
∴x1?x2=k2﹣k=0，
∴x12﹣x1x2+x22=4﹣0=4
11．已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为__________．
【答案】1
【解析】设x+1=t，方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根分别是x3，x4，
∴at2+bt+1=0，
由题意可知：t1=1，t2=2，
∴t1+t2=3，
∴x3+x4+2=3
故答案为：1
12．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式2n2﹣mn+2m+2015=
．
【答案】2026
【解析】由题意可知：m，n是两个不相等的实数，且满足m2-m=3，n2-n=3，
所以m，n是x2-x-3=0的两个不相等的实数根，
则根据根与系数的关系可知：m+n=1，mn=-3，
又n2=n+3，
则2n2-mn+2m+2015
=2（n+3）-mn+2m+2015
=2n+6-mn+2m+2015
=2（m+n）-mn+2021
=2×1-（-3）+2021
=2+3+2021
=2026．
三、解答题（48分）
13.（8分）已知方程的两个根为、，求的值.
【答案】-1
【解析】由一元二次方程根与系数的关系可得：，
∴.
14．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．
【答案】（1）k≤；（2）k=﹣1．
【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根，
∴△≥0，即[﹣（2k﹣1）]2﹣4×1×（k2+k﹣1）=﹣8k+5≥0，
解得k≤；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k﹣1，x1x2=k2+k﹣1，
∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（2k﹣1）2﹣2（k2+k﹣1）=2k2﹣6k+3，
∵x12+x22=11，
∴2k2﹣6k+3=11，解得k=4，或k=﹣1，
∵k≤，
∴k=4（舍去），
∴k=﹣1．
15.（10分）已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）.（2）.
【解析】如果、是一元二次方程的两根，那么有，。
本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,特别是第（2）问中,所求的值一定须在一元二次方程有根的大前提下才有意义.这一点是同学们常常容易忽略出错的地方.
（1）∵一元二次方程有两个实数根,
∴△＝,∴.
（2）当时，即,∴或.
当时，依据一元二次方程根与系数的关系可得,
∴,∴.
又∵由（1）一元二次方程有两个实数根时的取值范围是,∴不成立,故无解；
当时，,方程有两个相等的实数根,
∴△＝,∴.
综上所述,当时，.
16.（8分）已知、是方程的两实数根，求的值.
【答案】10
【解析】由一元二次方程根与系数的关系可得：，
∴.
17．（12分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两根α，β．
（1）求m的取值范围；
（2）若，则m的值为多少？
【答案】（1）；（2）m的值为3．
【解析】（1）由题意知，（2m+3）2﹣4×1×m2≥0，
解得：m≥-；
（2）由根与系数的关系得：α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，
∵即=-1,
∴=-1,整理得m2﹣2m﹣3=0
解得：m1=﹣1，m1=3，
由（1）知m≥-，
∴m1=﹣1应舍去，
∴m的值为3．
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一元二次方程根与系数的关系
【学习目标】
1.探索一元二次方程的根与系数的关系.
2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.
【知识回顾】
1.写出一元二次方程：
ax2
+
bx
+c
=
0(a≠0)
的求根公式
2.怎样用判别式
b2
-
4ac
来判断一元二次方程根的情况
对一元二次方程：
ax2
+
bx
+c
=
0(a≠0)
b2
-
4ac
>
0
时,方程有两个不相等的实数根.
b2
-
4ac
=
0
时,方程有两个相等的实数根.
b2
-
4ac
<
0
时,方程无实数根.
【新课讲解】
知识点1：探索一元二次方程的根与系数的关系
1.方程x2+px+q=0的两个根为x1,x2与p,q之间的关系为：
x1+x2=
-p
,
x1
·x2=q.
2.如果一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、
x2，那么，两个根与二次项系数a、一次项系数b、常数项c的关系是：
x1+x2=-b/a
x1·x2=c/a
满足上述关系的前提条件b2-4ac≥0.
3.韦达定理：如果
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、
x2，那么x1+x2=-b/a
x1·x2=c/a
4.理解一元二次方程的根与系数的关系的推导过程
【例题1】已知
ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、
x2，证明：x1+x2=-b/a
x1·x2=c/a
知识点2：一元二次方程的根与系数的关系的应用
【例题2】利用根与系数的关系，求方程x2
+
7x
+
6
=
0的两根之和、两根之积.
【例题3】已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
【例题4】设x1，x2是方程
x2
-2(k
-
1)x
+
k2
=0
的两个实数根，且x12
+x22
=4，求k的值.
知识技巧：求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.常见的求值问题需要用到的转化式子:
一元二次方程根与系数的关系过关检测
注意：满分100分，答题时间60分钟
一、单选题（每小题4分，共32分)
1.一元二次方程的两实数根相等，则的值为（
）
A．
B．或
C．
D．或
2.若关于的一元二次方程的两个实数根分别是,且满足.则的值为（
）
A．－1或
B．－1
C．
D．不存在
3．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（　　）
A．3
B．1
C．﹣1
D．﹣3
4.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（
）
A．
B．3
C．6
D．9
5．已知、是一元二次方程的两个实数根，下列结论错误的是(
)
A．
B．
C．
D．
6．若2-是方程x2-4x+c=0的一个根，则c的值是（
）
A．1
B．3-
C．1+
D．2+
7．关于x的一元二次方程有两个实数根，，则k的值（
）
A．0或2
B．-2或2
C．-2
D．2
8．关于的方程的两根的平方和是5，则的值是(??
??)
A．-1或5
B．1
C．5
D．-1
二、填空题（每小题5分，共20分)
9.已知一元二次方程的两根为、，则______．
10．（2018·南京市期末）关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12﹣x1x2+x22的值是_____．
11．已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为__________．
12．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2﹣m=3，n2﹣n=3，那么代数式
2n2﹣mn+2m+2015=
．
三、解答题（48分）
13.（8分）已知方程的两个根为、，求的值.
14．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+k﹣1=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=11，求k的值．
15.（10分）已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
（1）求实数的取值范围；
（2）当时，求的值．
16.（8分）已知、是方程的两实数根，求的值.
17．（12分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两根α，β．
（1）求m的取值范围；
（2）若，则m的值为多少？
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