资源简介

数学人教A版（2019）必修第一册学案
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式
【学习目标】
1．理解一元二次方程与二次函数的关系．(数学抽象)
2．掌握图象法解一元二次不等式．(直观想象)
3．会用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式．(逻辑推理)
【使用说明及学法指导】
1.预学指导：精读教材的内容，完成预学案，找出自己的疑惑；
2.探究指导：小组成员依次发表观点，有组织，有记录，有展示，有点评；
3.展示指导：规范审题，规范书写，规范步骤，规范运算；
4.检测指导：课堂上定时训练，展示答案；
5.总结指导：回扣学习目标，总结本节内容.
【预学案】
知识点1　一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为
.
一元二次不等式的一般形式是：
或
.
思考1：(1)不等式x2＋>0是一元二次不等式吗？
(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？
知识点2　二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
思考2.二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点就是图象与x轴的交点吗？
知识点3　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1有两个相等的实数根x1＝x2＝－
无实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
思考3：如何用图解法解一元二次不等式？
预学自测：
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．(　
　)
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　
　)
(3)设二次方程f(x)＝0的两解为x1，x2，且x10的解集不可能为{x|x1　)
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0(a≠0)或ax2＋bx＋c≥0(a≠0)的解集为空集，则方程ax2＋bx＋c＝0无实根．(　
　)
2．不等式2x≤x2＋1的解集为(　
　)
A．?　　　　　　　
B．R
C．{x|x≠1}
D．{x|x>1或x<－1}
3．不等式(2x－5)(x＋3)<0的解集为
.
【我的疑惑】
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【探究案】
探究一、解一元二次不等式
例1
解下列不等式．
(1)2x2－3x－2>0；
(2)x2－4x＋4>0；
(3)－x2＋2x－3<0；
(4)－3x2＋5x－2>0.
【归纳提升】　解一元二次不等式的步骤
【对点练习】?
不等式6x2＋x－2≤0的解集为
.
探究二、三个“二次”的关系
例2
已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1【归纳提升】　给出了一元二次不等式的解集，则可知a的符号和ax2＋bx＋c＝0的两实根，由根与系数的关系可知a，b，c之间的关系为：
【对点练习】?
若不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集．
探究三、解含有参数的一元二次不等式
例3
解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0.
【归纳提升】　在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到“不重不漏”，一般从如下几个方面进行考虑：
【对点练习】?
解关于x的不等式ax2－x>0.
【检测案】
1．求下列不等式的解集：
(1)(x＋2)(x－3)>0；
(2)3x2－7x≤10；
(3)－x2＋4x－4<0；
(4)x2－x＋<0；
(5)－2x2＋x≤－3；
(6)x2－3x＋4>0.
2．当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0?
(1)y＝3x2－6x＋2；
(2)y＝25－x2；
(3)y＝x2＋6x＋10；
(4)y＝－3x2＋12x－12.
【课堂小结】人教A版（2019）必修第一册学案
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式
【学习目标】
1．理解一元二次方程与二次函数的关系．(数学抽象)
2．掌握图象法解一元二次不等式．(直观想象)
3．会用分类讨论思想解含参数的一元二次不等式．(逻辑推理)
【使用说明及学法指导】
1.预学指导：精读教材的内容，完成预学案，找出自己的疑惑；
2.探究指导：小组成员依次发表观点，有组织，有记录，有展示，有点评；
3.展示指导：规范审题，规范书写，规范步骤，规范运算；
4.检测指导：课堂上定时训练，展示答案；
5.总结指导：回扣学习目标，总结本节内容.
【预学案】
知识点1　一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__一元二次不等式__.
一元二次不等式的一般形式是：
__ax2＋bx＋c>0(a≠0)__或__ax2＋bx＋c<0(a≠0)__.
思考1：(1)不等式x2＋>0是一元二次不等式吗？
(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？
提示：(1)不是，一元二次不等式一定为整式不等式．
(2)不可以，若a＝0，就不是二次不等式．
知识点2　二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
思考2.二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点就是图象与x轴的交点吗？
[提示]　不是．是图象与x轴交点的横坐标．
知识点3　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1有两个相等的实数根x1＝x2＝－
无实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|x>x2或x{x|x≠－}
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1?
?
思考3：如何用图解法解一元二次不等式？
提示：图解法解一元二次不等式的一般步骤：
(1)将原不等式化为标准形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
(2)求Δ＝b2－4ac；
(3)若Δ<0，根据二次函数的图象直接写出解集；
(4)若Δ≥0，求出对应方程的根，画出对应二次函数的图象，写出解集．
预学自测：
1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)
(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．(　×　)
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　×　)
(3)设二次方程f(x)＝0的两解为x1，x2，且x10的解集不可能为{x|x1(4)不等式ax2＋bx＋c≤0(a≠0)或ax2＋bx＋c≥0(a≠0)的解集为空集，则方程ax2＋bx＋c＝0无实根．(　√　)
[解析]　(1)当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式．
(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根．则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为?.
(3)当二次项系数小于0时，不等式f(x)>0的解集为{x|x1(4)当Δ<0时，一元二次不等式的解集为空集，此时方程无实根．
2．不等式2x≤x2＋1的解集为(　B　)
A．?　　　　　　　
B．R
C．{x|x≠1}
D．{x|x>1或x<－1}
[解析]　将不等式2x≤x2＋1化为x2－2x＋1≥0，
∴(x－1)2≥0，∴解集为R，故选B．
3．不等式(2x－5)(x＋3)<0的解集为__{x|－3[解析]　将原不等式转化为或，
∴－3【我的疑惑】
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【探究案】
探究一、解一元二次不等式
例1
解下列不等式．
(1)2x2－3x－2>0；
(2)x2－4x＋4>0；
(3)－x2＋2x－3<0；
(4)－3x2＋5x－2>0.
[分析]　根据三个二次之间的关系求解即可．
[解析]　(1)因为Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－，x2＝2，
所以不等式2x2－3x－2>0的解集为{x|x<－或x>2}．
(2)因为Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，
所以不等式x2－4x＋4>0的解集为{x|x≠2}．
(3)原不等式可化为x2－2x＋3>0，
由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解，
所以不等式－x2＋2x－3<0的解集为R.
(4)原不等式可化为3x2－5x＋2<0，
由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝1，
所以不等式－3x2＋5x－2>0的解集为{x|[归纳提升]　解一元二次不等式的步骤
(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的形式．
(2)计算相应的判别式．
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．
(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．
【对点练习】?
不等式6x2＋x－2≤0的解集为__{x|－≤x≤}__.
[解析]　由于Δ>0，方程6x2＋x－2＝0的两根为x1＝，x2＝－，
所以原不等式的解集为{x|－≤x≤}．
探究二、三个“二次”的关系
例2
已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1[分析]　给出了一元二次不等式的解集，则可知a的符号和方程ax2－bx＋2＝0的两根，由根与系数的关系可求a，b的值．
[解析]　方法一：由题设条件知a>0，且1,2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根．
由根与系数的关系，知解得
方法二：把x＝1，x＝2分别代入方程ax2－bx＋2＝0中，得解得
[归纳提升]　给出了一元二次不等式的解集，则可知a的符号和ax2＋bx＋c＝0的两实根，由根与系数的关系可知a，b，c之间的关系．
(1)如果不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|de}，则说明a>0，x1＝d，x2＝e分别为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即d＋e＝－，d·e＝.
(2)如果不等式ax2＋bx＋c<0的解集为{x|d0，x1＝d，x2＝e分别为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即d＋e＝－，d·e＝；若解集为{x|xe}，则说明a<0，x1＝d，x2＝e分别为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即d＋e＝－，d·e＝.
【对点练习】?
若不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集．
[解析]　因为不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，所以a<0，且－3,4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，
由根与系数的关系可得，
即
所以不等式bx2＋2ax－c－3b≥0可化为－ax2＋2ax＋15a≥0，即x2－2x－15≥0，解得x≤－3或x≥5，故所求不等式的解集为{x|x≤－3或x≥5}．
探究三、解含有参数的一元二次不等式
例3
解关于x的不等式2x2＋ax＋2>0.
[分析]　二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．
[解析]　对于方程2x2＋ax＋2＝0，其判别式Δ＝a2－16＝(a＋4)(a－4)．
①当a>4或a<－4时，Δ>0，方程2x2＋ax＋2＝0的两根为x1＝(－a－)，x2＝(－a＋)，
∴原不等式的解集为{x|x<(－a－)或x>(－a＋)}．
②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，
∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．
③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，
∴原不等式的解集为{x|x≠1}．
④当－4[归纳提升]　在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：
(1)关于不等式类型的讨论：二次项的系数a>0，a＝0，a<0；
(2)关于不等式对应方程的根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)；
(3)关于不等式对应方程的根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1【对点练习】?
解关于x的不等式ax2－x>0.
[解析]　(1)当a＝0时不等式为－x>0，所以x<0，
(2)当a≠0时，方程ax2－x＝0的两根为0与；
①当a>0时，>0，所以x>或x<0；
②当a<0时，<0，所以综上，当a>0，不等式的解集为{x|x>或x<0}；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x<0}；
当a<0时，不等式的解集为{x|【检测案】
1．求下列不等式的解集：
(1)(x＋2)(x－3)>0；(2)3x2－7x≤10；
(3)－x2＋4x－4<0；(4)x2－x＋<0；
(5)－2x2＋x≤－3；(6)x2－3x＋4>0.
[解析]　(1)(x＋2)(x－3)＝0的两根为x1＝－2，x2＝3，
所以原不等式的解集为{x|x>3或x<－2}．
(2)原不等式等价于(x＋1)(3x－10)≤0，所以原不等式的解集是{x|－1≤x≤}．
(3)原不等式等价于x2－4x＋4>0，即(x－2)2>0，所以原不等式的解集是{x|x≠2}．
(4)因为x2－x＋＝(x－)2≥0，所以原不等式的解集为?.
(5)原不等式等价于(x＋1)(2x－3)≥0，所以原不等式的解集是{x|x≥或x≤－1}．
(6)因为x2－3x＋4＝(x－)2＋>0，所以原不等式的解集为R.
2．当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0?
(1)y＝3x2－6x＋2；
(2)y＝25－x2；
(3)y＝x2＋6x＋10；
(4)y＝－3x2＋12x－12.
[解析]　(1)使y＝3x2－6x＋2的值等于0的x的取值集合是{，}；
使y＝3x2－6x＋2的值大于0的x的取值范围是{x|x<或x>}；使y＝3x2－6x＋2的值小于0的x的值为.
(2)令25－x2＝0，则x＝±5，又由y＝25－x2图象的开口方向向下，故x＝±5时，函数的值等于0，当－55或x<－5时，函数值小于0.
(3)令x2＋6x＋10＝0，则方程无解，又由y＝x2＋6x＋10图象的开口方向朝上，故无论x为何值，函数值均大于0.
(4)令－3x2＋12x－12＝0，则x＝2，又由y＝－3x2＋12x－12图象的开口方向朝下，故x＝2时，函数的值等于0，当x≠2时，函数值小于0.
【课堂小结】

展开更多......

收起↑