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数学人教A版（2019）必修第一册学案
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
第2课时　二次函数与一元二次方程、不等式的应用
【学习目标】
1．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(数学运算)
2．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．(数学抽象)
【使用说明及学法指导】
1.预学指导：精读教材的内容，完成预学案，找出自己的疑惑；
2.探究指导：小组成员依次发表观点，有组织，有记录，有展示，有点评；
3.展示指导：规范审题，规范书写，规范步骤，规范运算；
4.检测指导：课堂上定时训练，展示答案；
5.总结指导：回扣学习目标，总结本节内容.
【探究案】
探究一、不等式的恒成立问题
例1
已知不等式mx2－2x＋m－2<0，若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围．
【归纳提升】求不等式恒成立问题中参数范围的常用方法
【对点练习】?
若关于x的不等式ax2＋(a－2)x－2≤0恒成立，求实数a的取值范围．
探究二、一元二次方程根的分布　
例2
已知方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0有两实根，如果两实根都大于1，求实数m的取值范围．
【归纳提升】　方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布情况如下，其中x1，x2为该方程两根：
【对点练习】?
要使关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是__
__.
探究三、一元二次不等式的应用
例3
恩格尔系数(记为n)是指居民的食物支出占家庭消费总支出的比重．根据某镇家庭抽样调查的统计，2003年每户家庭平均消费支出总额为1万元，其中食品消费额为0.6万元．预测2003年后，每户家庭平均消费支出总额每年增加3
000元，如果到2005年该镇居民生活状况能达到小康水平(即恩格尔系数n满足40%【归纳提升】　一元二次不等式解决实际应用问题的步骤
【对点练习】?
有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的28%，问桶的容积最大为多少升？
【检测案】
1．若x∈{x|12．国家原计划以2
400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
【课堂小结】人教A版（2019）必修第一册学案
第二章
一元二次函数、方程和不等式
2.3　二次函数与一元二次方程、不等式
第2课时　二次函数与一元二次方程、不等式的应用
【学习目标】
1．会解一元二次不等式中的恒成立问题．(数学运算)
2．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．(数学抽象)
【使用说明及学法指导】
1.预学指导：精读教材的内容，完成预学案，找出自己的疑惑；
2.探究指导：小组成员依次发表观点，有组织，有记录，有展示，有点评；
3.展示指导：规范审题，规范书写，规范步骤，规范运算；
4.检测指导：课堂上定时训练，展示答案；
5.总结指导：回扣学习目标，总结本节内容.
【探究案】
探究一、不等式的恒成立问题
例1
已知不等式mx2－2x＋m－2<0，若对于所有的实数x不等式恒成立，求m的取值范围．
[分析]　本题的易错之处在于忽略对二次项系数为0的讨论，即使不符合题意，也要规范地解答，这是解题过程的完整性．
[解析]　对于所有实数x都有不等式mx2－2x＋m－2<0恒成立，即函数y＝mx2－2x＋m－2的图象全部在x轴下方．当m＝0时，－2x－2<0，显然对任意x不能恒成立；
当m≠0时，由二次函数的图象可知有解得m<1－.
综上可知，m的取值范围是{m|m<1－}．
[归纳提升]　求不等式恒成立问题中参数范围的常用方法
1．利用一元二次方程根的判别式解一元二次不等式在R上的恒成立问题．
当未说明不等式为一元二次不等式时，有
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立?或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立?或
2．分离自变量和参变量，利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问题．
通过等价变形，将参变量分离出来，转化为y>a(或(1)若y在定义域内存在最大值m，则ym(或a≥m)；
(2)若y在定义域内存在最小值m，则y>a(或y≥a)恒成立?a【对点练习】?
若关于x的不等式ax2＋(a－2)x－2≤0恒成立，求实数a的取值范围．
[解析]　若a＝0时，原不等式为－2x－2≤0不恒成立，所以a≠0.
当a≠0时，则应有即
整理得解得a＝－2.
所以实数a的值为－2.
探究二、一元二次方程根的分布　
例2
已知方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0有两实根，如果两实根都大于1，求实数m的取值范围．
[解析]　设方程两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为两根均大于1，所以x1－1>0，x2－1>0，
故有
即解得
所以m≥25.
故实数m的取值范围是{m|m≥25}．
[归纳提升]　方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布情况如下，其中x1，x2为该方程两根：
(1)x1，x2一正一负?x1x2<0.
(2)x1>0，x2>0?
(3)x1<0，x2<0?
【对点练习】?
(2019·陕西汉中高二期末)要使关于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是__{a|－2[解析]　设两根为x1>1，x2<1，则x1－1>0，x2－1<0，
∴
即
即解得－2探究三、一元二次不等式的应用
例3
恩格尔系数(记为n)是指居民的食物支出占家庭消费总支出的比重．根据某镇家庭抽样调查的统计，2003年每户家庭平均消费支出总额为1万元，其中食品消费额为0.6万元．预测2003年后，每户家庭平均消费支出总额每年增加3
000元，如果到2005年该镇居民生活状况能达到小康水平(即恩格尔系数n满足40%[解析]　设食品消费额的年平均增长率为x(x>0)，则2005年，食品消费额为0.6(1＋x)2万元，消费支出总额为1＋2×0.3＝1.6(万元)．依题意得40%<≤50%，
即
又x>0，解得
因此－1因为－1≈0.033＝3.3%，－1≈0.155＝15.5%，所以该镇居民的生活如果在2005年达到小康水平，那么他们的食品消费额的年增长率就应在3.3%到15.5%的范围内取值，不包括3.3%但包括15.5%，也就是说，平均每年的食品消费额至多是15.5%.
[归纳提升]　一元二次不等式解决实际应用问题的步骤
(1)理解题意，搞清量与量之间的关系．
(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式(组)问题．
(3)解这个一元二次不等式(组)，得到实际问题的解．
【对点练习】?
有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的28%，问桶的容积最大为多少升？
[解析]　设桶的容积为x升，显然x>8.
依题意，得(x－8)－≤28%·x.
由于x>8，因而原不等式化简为9x2－150x＋400≤0，
即(3x－10)(3x－40)≤0.
因此≤x≤，从而8故桶的容积最大为升．
【检测案】
1．若x∈{x|1[解析]　设y＝x2＋mx＋4，图象开口向上，因为当x∈{x|1即解得m≤－5.
2．国家原计划以2
400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.
[解析]　设税率调低后，税收总收入为y元．
y＝2
400m(1＋2x%)·(8－x)%
＝－m(x2＋42x－400)(0依题意，得y≥2
400m×8%×78%，
即－m(x2＋42x－400)≥2
400m×8%×78%，
整理，得x2＋42x－88≤0，解得－44≤x≤2.
根据x的实际意义，知0所以x的范围为0【课堂小结】

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