资源简介

三年级数学思维训练
第 1 讲 找规律填图....................................... 1
第 2 讲 加减法巧算....................................... 7
第 3 讲 高斯求和......................................... 15
第 4 讲 找规律填数....................................... 23
第 5 讲 简单推理......................................... 29
第 6 讲 植树中的学问..................................... 35
第 7 讲 学会倒着想....................................... 41
第 8 讲 简单周期......................................... 49
第 9 讲 填运算符号....................................... 57
第10讲 神奇的一笔画..................................... 65
第11讲 有趣的数阵图..................................... 73
第12讲 用平移法求周长................................... 81
第13讲 和倍问题......................................... 89
第14讲 乘除法巧算....................................... 98
第15讲 剪剪拼拼......................................... 107
第16讲 巧数线段......................................... 113
第17讲 差倍问题......................................... 120
第18讲 和差问题......................................... 129
第19讲 年龄问题......................................... 137
第20讲 盈亏问题......................................... 145
第21讲 方阵问题......................................... 153
第22讲 移多补少......................................... 161
第23讲 定义新运算....................................... 169
第24讲 智巧趣题......................................... 177
综合能力测试............................................... 183
第 1 讲 找规律填图
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我们生活的世界是一个有规律的世界。比如，一年有四季；十二生肖十二年一个轮回；太阳每天从东方升起，从西方落下……可以说，生活中有很多规律，我们要学会观察、发现规律。
这一节，主要培养同学们从图形中发现规律的能力。一般来说，如果把一些图形排列在一起，大家可以从以下几个方面来考虑：
1．图形数量的变化；
2．图形形状、大小的变化；
3．图形颜色、位置的变化；
4．图形的繁简变化。
对一些比较复杂的图形，也可以分成几个部分来分别考虑。
【例1】 按顺序观察下面图形的变化规律，想想，空格处应画什么样的图形?
分析 图中“○”的个数从左到右依次增加，且每一格（第一格除外）都比前面一格多2个“○”。
〖即学即练1〗 观察下图中前面几幅图形的变化规律，想一想，接下来应该怎样画?
【例2】 下一个应选什么图案? （ ）
分析 仔细观察前三幅图，第二、三幅图是在第一、二幅图的基础上顺时针旋转90°得到的。
〖即学即练2〗 观察下面图形的变化规律，在空格处画上所缺的图形。
（备用图）
【例3】 观察下面图形的变化规律，在“__________”处画上合适的图形。
分析 仔细观察就会发现，每一横行都有两个基本图形，而第三个图形是由前面两个基本图形变化而来的，即将第一个图形放在第二个图形的正下方得到的。
〖即学即练3〗 仔细观察下面的图形，第三组的“?”处应填什么图形?在下面图形中画出来。
（备用图）
【例4】 观察下面给出的图形变化，按照这种变化规律，在空格中填上应有的图形。
分析 观察给出的两组图形，发现每组图形都是从左往右依次按顺时针方向旋转，且每旋转一次就少一对“羽毛”。
〖即学即练4〗 下面图形变化的规律，接下来应画什么图形?
（备用图）
【例5】 下面图形中哪一个选项与众不同? （ ）
分析 请观察左边白点数目与黑点数目跟右边的白点数目之间有什么样的运算关系。
〖即学即练5〗 下面图形中哪一个选项与众不同? （ ）
例6 下面图形的排列顺序有着一定的变化规律，请在右图A、B、C对应处画出相应的图形。

【分析】 每个图形从内、外两部分来观察，它们分别都是由三角形、正方形、圆形组成，并且每一横行（或每一竖行）中没有重复的，所以A的外部图形是正方形，B的外部图形是正方形，C的外部图形是三角形。同理可知，A的内部是正方形，B的内部是三角形，C的内部是圆形。形状确定好以后，内部图形中分别由空白、斜线、网状三种种组成。确定方法与确定形状的方法相同。
〖即学即练6〗 图中六只鸡的排列有规律，请在右图A、B、C对应处画出相应的图形。

能力检测
1．观察下面图形的变化规律，在右边“__________”处再补上一幅图形，使它们成为一个完整的系列。
2．根据下面图形的变化规律，在空格处填上合适的图形。
△
□
□
□
△
△
□
△
△
△
□
△
△
△
△
3．根据下面图形的变化规律，虚线方框内应填入的图形是哪一个? （ ）
4．接下来应该怎样画?
（备用图）
5．根据下面图形的变化规律，空格内应填入的图形是哪一个? （ ）
6．下面哪个图形与众不同，并说出理由：________________________________________
7．按照下面图形的变化规律，把空格处补充完整。
8．下列图形中哪一个能接上第一排的三个图形? （ ）
9．下面的图形变化很多，请你认真仔细地观察，画出第九幅图形的图样。
10．根据下面前三幅图的规律，推出第四幅图，并画在右边方框内。
49009300
11．你能找到下面图形的变化规律吗? 请按照规律在空格处画上适当的图形。
12．下面的前三个图形都是由A、B、C、D（线段或圆）中的两个组合而成，记为A※B、C※D、A※D。请在“_______”处画出B※C表示的图形。
13．观察下面图形的规律，在空格处填出图形。
14．仔细观察下面图形的规律，想一想“_______”处的图形是怎样的?
15．“_______”处的图形该怎样画?
16．观察下面图形的规律，画出“_______”处的图形。
17．按照已有图形的规律，画出下一个图形。
18．请在横线上填入恰当的图形，使整幅图的构成具有某种规律。
46126402311403315335231140 （图形画在上面） （备用图）
第 2 讲 加减法巧算
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“+”、“–”符号出现于中世纪。据说，当时酒商在售出酒后，用横线标出酒桶里的存酒，而当桶里的酒又增加时，便用竖线把原来画的横线划掉，于是就出现用以表示减少的“–”和用来表示增加的“+”。后来经过法国数学家韦达的宣传和提倡而开始普及。直到1630年，才得到大家的公认。
10个数字，几种运算符号，构成了千变万化的数学计算。计算要做到又快又对，关键在于掌握运算技巧，选用合理、灵活的计算方法。那么怎样才能迅速达到“速”与“巧”呢?
1．凑整法。就是优先计算可以得到整十、整百、整千的部分，从而达到巧算的目的。在凑整求和时，一定要注意，多加了要减去，少加了要加上的方法进行速算；在凑整求差时，一定要注意，多减了要加上，少减了要减去进行速算。
2．利用运算定律简化运算。
除了加法交换律和加法结合律外，还经常用到以下性质：
（1）在连减或加、减法混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时可以带着运算符号“搬家”。例如：a–b–c = a–c–b，a–b + c = a + c–b；18– 5 + 2 = 18 + 2–5，符号与数要合在一起进行移动。
（2）在加、减法混合运算中，去括号时：如果括号前面是“+”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“–”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“+”变为“–”，“–”变为“+”。例如：
a +（b–c）= a + b–c 7 +（5– 2）= 7 + 5–2
a–（b + c）= a–b–c 19–（4 + 10）= 19–4–10
a–（b–c）= a–b + c 42–（25–12）= 42–25 +12
（3）在加、减法混合运算中，添括号时：如果添加的括号前面是“+”号，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“–”号，那么括号内的数的原运算符号“+”变为“–”，“–”变为“+”。例如：
a + b–c = a +（b– c） 6 + 5–3 = 6 +（5–3）
a–b + c = a–（b–c） 17–9 + 4 = 17–（9–4）
a–b– c = a–（b + c） 25–17–3 = 25–（17 + 3）
【例1】 用简便方法计算下面各题：
（1）617 – 498 （2）512 – 304 （3）1999 + 35 （4）458 + 103
分析 观察发现，减数498、304和加数1999、103都接近整百、整千，因此，不妨把它们都看作整百、整干。（1）把减数498看作500，多减了2，所以结果要加2。（2）把减数304看作300，少减了4，所以结果还要减4。（3）把加数1999看作2000，多加了1，所以计算的结果要减1。（4）把加数103看作100，少加了3，所以计算的结果要加3。
〖即学即练1〗 用简便方法计算下面各题：
（1）298 + 87 （2）541 + 1003 （3）318 – 199 （4）1000 – 403
【例2 】 计算：33 + 54 + 18 + 57 + 82
分析 33和57可以凑成整十，18和82可以凑成整百，因此利用加法交换律，把加在一起为整十、整百的加数先加起来，然后再与其他的数相加。
〖即学即练2〗 用简便方法计算下面各题：
（1）724 + 45 + 655 + 226 （2）37 + 111 + 23 + 89 + 24
【例3】 计算：2000 – 53 – 40 – 60 – 47
分析 仔细观察后，发现53 + 47 = 100，40 + 60 = 100．所以利用减法的性质，把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。
〖即学即练3〗 用简便方法计算下面各题：
（1）213 – 86 – 114 （2）2014 – 563 – 484 – 516 – 437
【例4】 想一想，怎样计算更加简便。
（1）847 + 238 – 347 （2）651 – 385 + 149
分析 （1）847和减数347的尾数相同，因此，把347连同它前面的“–”号一起搬“家”。（2）65 1和1 49可以凑整，因此把149和它前面的“+”号一起搬“家”。
〖即学即练4〗 用简便方法计算下面各题：
（1）456 + 376 – 256 （2）724 – 243 + 176
【例5】 先观察，再动手计算。
（1）643 + （257 – 186） （2）3482 –（955 + 482） （3）474 –（353 – 76）
分析 （1）括号前面是“+”号，去掉括号后不变号。（2）减去几个数的和，等于分别减去这几个数；3482和482的尾数相同。（3）括号前面是“–”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“–”变为“+”。
〖即学即练5〗 用简便方法计算下面各题：
（1）456 + 376 – 456 （2）327 – 99 + 73
【例6】 怎样简便就怎样计算：
（1）9 + 99 + 999 + 9999 （2）398 + 48 + 503 + 3999 + 93
分析 （1）把9、99、999、9999分别看作10、100、1000、10000，这样就多加了4，所以计算结果还要减去4。（2）这些数比较接近整十、整百、整千，根据这一特征，我们就将它们按整十、整百、整千来加。最后考虑多加、少加的问题，来进行调整。
〖即学即练6〗 怎样简便就怎样计算：
（1）19 + 199 + 1999 + 19999 （2）895 + 68 + 3001 + 397 + 59
【例7】 计算：67 + 66 + 74 + 72 + 68 + 70 + 69 + 75 + 71
分析 仔细观察后，发现这些加数都接近于70。因此不妨把70作为基准数，全部按70来算，然后再加上或减去每个数与70的相差数。
〖即学即练7〗 怎样简便就怎样计算：
（1）99 + 101 + 98 + 97 + 100 + 102 + 103 + 103
【例8】 计算：（1）2467 + 285 （2）1242 – 396
分析 （1）先加上300，与原式比较多加了15，然后再减去15。（2）先减去400，与原式比较多减了4，然后再加上4。
〖即学即练8〗（1）1543 + 778 （2）958 – 597
能力检测
1．计算：（1）487 + 98 （2）748 + 1003
2．计算：（1）6211 – 202 （2）4796 – 1998
3．计算：
（1）42 + 71 + 24 + 29 + 58 （2）89 + 782 + 158 + 11
4．用简便方法计算：
（1）2014 – 534 – 266 – 208 （2）568 – 127 – 73
5．先观察，再计算：
（1）4356 + 1287 – 356 （2）389 – 497 + 211
（3）7342 – 3593 + 658 – 407 （4）262 + 345 + 638 + 455 + 517
6．先找规律，再汁算：
（1）701 + 702 + 705 + 699 + 704 + 705 + 698 （2）998 + 997 + 1001 + 1003 + 1
7．怎样简便就怎样计算：
（1）4253 –（253 – 158） （2）1457 –（185 + 457）
8．下面的题直接计算比较麻烦，你能想出好办法吗?
（1）8795 – 4998 + 2994 – 3002 – 2008 （2）748 + 163 + 137 – 148 + 382 + 18
（3）647 – 139 – 347 – 61
9．计算出下面两题吗? 请试一试!
（1）（1350 + 49 + 68）+（51 + 32 + 1650） （2）43 +（38 + 45）+（55 + 62 + 57）
10．给左边的算式找到好朋友，用线连起来。
129 + 88 ● ○ 350 – 200 + 2
276 + 103 ● ○ 276 + 100 + 3
350 – 198 ● ○ 130 + 88 – 1
430 – 207 ● ○ 430 – 200 – 7
130 – 87 ● ○ 130 – 90 + 3
11．如图，用数字3从上到下叠罗汉，叠了10层，这10层的所有数字之和是多少?
3
3 3 3
3 3 3 3 3
……
12．计算：
（1）5000 – 71 – 29 – 72 – 28 – 73 – 27 – 74 – 26 – 75 – 25
（2）1000 – 20 – 40 – 60 – 80 – 100 – 120 – 140 – 160 – 180
13．计算：
（1）465–38 + 257–265 + 139–237 （2）2468–182 + 532 + 382–224 + 1234
14．计算：
（1）173–（60–28）–（153–78）+（122–28）
（2）537–（300–83）+（63–53）
15．计算：
（1）380–34–66–65–35 （2）479–113–58–87–42
16．计算：12 + 23–34 + 45–56 + 67–78 + 89–78 + 67–56 + 45–34 + 23 + 12
第 3 讲 高斯求和
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德国著名数学家高斯上小学的时候，一天，数学老师在黑板上写下一个算式：1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 =? “这么多数怎么算呀?”孩子们都傻了眼。不一会儿，小高斯拿着写有答案的小石板走上讲台。老师一看，顿时惊讶得说不出话来一小高斯的答案竟然完全正确!
你知道上面这道题小高斯是采用什么巧妙的方法计算出来的吗?
原来，除第一个数外，每一个数与它前面的那个数的差始终等于一个不变的值，因此，两两搭配（1和100，2和99，3和98，…），可以搭配100 ÷ 2 = 50对，并且它们的和都等于101。也就是说1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100相当于50个101 ，即5050。用一个算式表示就是：（1 + 100）×（100 ÷ 2）= 5050。
事实上，像1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100这样除第一个数外，每一个数与它前面的那个数的差始终相等的一列数叫等差数列，这个不变的差叫公差，等差数列中的每一个数都叫作这个等差数列的项，其中第一个数叫首项，最后一个数叫末项。
利用配对求和的方法，可以总结出等差数列的以下公式：
等差数列的和 =（首项 + 末项）× 项数 ÷ 2
等差数列的项数 =（末项 – 首项）÷ 公差 + 1
首项 = 末项 – 公差×（项数 – 1）
末项 = 首项 + 公差×（项数 – 1）
有了这些公式，很多数学问题解答起来就很方便了。
【例1】 计算：1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10
分析 在这个算式中，共有10个数，将和为11的两个数两两配对，可配成5对（如图）。
因此，求这10个数的和可以看成是求5个（1 + 10）的和。
〖即学即练1〗 （1）计算：1 + 3 + 5 + … + 17 + 19
（2）求50以内所有偶数（包括50）的和。
【例2】 建筑工地上堆着一些钢管（如左下图），这些钢管一共有多少根?
分析 要求这些钢管有多少根，我们可以这样想：假设另外有同样多的钢管，像右上图那样与原来的钢管互相颠倒放置在一个槽内。这个槽内的钢管共有8层，每层都有3 + 10 = 13（根），这样槽内的钢管总数就能求出。取它的一半，可知原来钢管的总数。
〖即学即练2〗（1）下图是一垛电线杆的侧面示意图，试计算一下，图中共有多少根电线杆?
（2）有一堆按规律摆放的砖，从上往下数，第一层有1块砖，第2层有5块砖，第3层
有9块砖，……一共有9层。这堆砖一共有多少块?
【例3】 求首项为5，末项为155，公差是3的等差数列的和。
分析 已知首项、末项和公差，要求等差数列的和，我们还需要知道项数才行。项数=（末项– 首项）÷ 公差+ 1。
〖即学即练3〗 一个有17项的等差数列，末项为117，公差为7。这个等差数列的和是多少?
【例4】 下面一列数是按照一定规律排列的：3，7，11，15，…，95，99。请问：
（1）这列数中的第20个是多少?
（2）39是这列数中的第几项?
分析 （1）细心观察，这个数列是一个等差数列，第二个数比第一个数大4，第三个数比第一个数大2个4，第四个数比第一个数大3个4，……以此类推，第20个数比第一个数大（20–1）个4。
（2）同样的道理，39比3大多少个4，用这个数加1，就可以得到39是第几个数。
〖即学即练4〗（1）自1开始，每隔三个数数一次，得到数列1，4，7，10，……第100个数是多少?
（2）某饭店的餐桌都是能坐4人的正方形，如图①所示。当团体客人在10人以上时，饭店允许客人将餐桌拼成一长条，如图②所示，但每张桌子不能有空位。如果团体客人是22人，那么需要几张桌子?
【例5】 计算：11 + 21 + 31 + 41 + 51 + 61 + 71 + 81 + 91
分析 任意几个自然数的和都等于平均数乘个数，而本题是一个等差数列，并且等差数列的项数为奇数，因此它们的平均数就是中间数51。
〖即学即练5〗 计算：11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23
【例6】 如图所示，用3根火柴摆成一个等边三角形，用这样的方法，按图中所示铺满一个大的等边三角形。如果这个大的等边三角形的底边放10根火柴，那么一共放多少根火柴?
分析 观察可知：第一层为1个三角形，共用3根火柴；第二层摆了2个独立的三角形，共用6根火柴。第三层摆了3个独立的三角形，共用9根火柴；……以此类推，当底边为10根火柴时，说明第10层共摆了10个独立的三角形，共用30根火柴。
〖即学即练6〗 如图所示是一个五边形点阵，中心1个点为第一层，第二层每边2个点，第三层每边3个点，第四层每边4个点，……以此类推，如果这个五边形点阵共有100层，那么点阵中一共有多少个点?
能力检测
1．下面数列中，哪些是等差数列? 如果是，请指出公差；如果不是，请说明理由。
（1）7，11，15，19，23，… __________________________________
（2）8，7，6，5，4，3，2，1 __________________________________
（3）1，2，1，2，1，2，1，2，… __________________________________
（4）3，6，12，24，48，… __________________________________
（5）5，5，5，5，5，5，… __________________________________
2．计算：1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15
3．计算：（2 + 4 + 6 + … + 2006 + 2008）–（1 + 3 + 5 + … + 2005 + 2007）
4．有一个等差数列首项为5，末项为97，公差为4，则这个等差数列的和是多少?
5．如果一个等差数列第4项为21，第8项为45，则它的第10项是多少?
6．有一个正方形空心方阵，如图所示，则这个正方形方阵的第10层有多少个点?
7．在5和69之间插入8个数之后，使这些数成为一个等差数列，则这个等差数列的和是多少?
8．下面的算式是按一定规律排列的，那么第10个算式的结果是多少?
（2 + 3），（5 + 5），（8 + 7），（11 + 9），…
9．计算：1 + 2 + 3 + … + 11 + 12 + 11 + … + 3 + 2 + 1
10．有一个老式座钟在1时整响1下，2时整响2下，3时整响3下，……，12时整响12下，而每半点钟也响1下。这个座钟一昼夜一共响多少下?
11．设自然数按下面的方式排列，则第20行的第一个数是几?
1 3 6 10 15 21 28 …
2 5 9 14 20 27 …
4 8 13 19 26 …
7 12 18 25 …
11 17 24 …
16 23 …
…
12．如下图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形。其中正三角形顶点的个数（重合的顶点只计一次）从小到大依次为：3，6，10，15，21，…。这列数中的第9位是多少?
13．自1开始，每隔两个数写出一个数来得到数列：1，4，7，10，13，…。求出这个数列前100项之和。
14．5个连续自然数的和为225，求这5个数的第一个数是多少?
15．小巧读一本课外书，第一天读了15页，以后每天都比前一天多读3页，最后一天读了36页，刚好把书读完。小巧一共读了多少天? 这本课外书共有多少页?
第 4 讲 找规律填数
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一对兔子每月能生一对小兔，而每对小兔在它们出生后的第三个月就能开始生小兔。如果兔子是长生不老的，由一对刚出生的小兔开始，50个月后会有多少对兔子?
你能得到答案吗? 12586269025对! 怎么样? 大吃一惊吧? 这是怎么算出来的呢?
其实解决上面这个问题的方法很简单，只要先写出前几个月每个月有多少对兔子：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…就可以得出一列数。像这样按照一定次序排列起来的一列数，就叫作数列。数列中的每一个数叫作这个数列的项。其中，第一个数就称为第一项，第二个数就称为第二项，……，第n个数就称为第n项。
数列常常是有规律的，研究数列，目的就是发现数列中数的排列规律，再根据这个规律解决实际问题。例如上面那个数列，数学家正是发现从第三项起，数列中的每一项都是它前面两项的和这一规律，才解决了这个难题。
发现、研究一列数的排列规律，常常遵照以下步骤：
1．从相邻两数的和、差、积、商考虑，将和、差、积、商依次写下来组成新的一列数，通过对这列数的变化规律的分析，从而了解原来那列数的变化规律。
2．有时要将一列数分成两列数或三列数，分别考虑它们的变化规律。
3．对于那些分布于某些图形中的数，它们之间的变化规律往往与这些数在图形中的特殊位置有关。这是我们解决这类题的入手点。
【例1】 观察下面各数列的规律，在括号里填上适当的数。
（1）1，2，3，5，8，13，（ ），（ ），…
（2）2，5，8，11，14，（ ），（ ），…
（3）1，2，2，4，8，（ ），（ ），…
（4）243，81，27，9，（ ），（ ），…
分析（1）比较相邻两数的和。发现任意两个相邻的数，它们的和都等于它们后面的那个数。（2）比较相邻两数的差。发现后面那个数始终比它前面那个数大3。（3）比较相邻两数的积。发现任意两个相邻的数，它们的积都等于它们后面的那个数。（4）比较相邻两数的商，发现前面那个数始终是它后面那个数的3倍。
〖即学即练1〗 观察下面各数列的规律，在括号里填上适当的数。
（1）4，7，10，13，（ ），（ ），22，…
（2）0，2，2，4，6，10，（ ），（ ），…
（3）2，4，8，16，32，64，（ ），（ ），…
（4）2，1，2，2，4，8，（ ），（ ），…
【例2】 观察下面各数列的规律，在括号里填上适当的数。
（1）81，78，74，69，63，56，（ ），（ ），…
（2）1，1，2，6，24，120，（ ），5040，…
分析（1）比较相邻两数的差（如下图），发现它们的差是一个等差数列。
（2）比较相邻两数的商（如下图），发现它们的商是一个等差数列。
〖即学即练2〗观察下面各数列的规律，在括号里填上适当的数。
（1）2．5，11，23，47，（ ），（ ），…
（2）3，4，6，9，13，18，（ ），（ ），…
【例3】 在下面方框内填上适当的数。
分析 上面一行从左往右看，依次相差4；下面一行从右往左看，依次相差2，3，…。
〖即学即练3〗 找规律填空：
（备用图）
例4 先找出下面备数列的排列规律，再按规律填数。
（1）5，1 7，8，1 5，11，13，（ ），（ ）
（2）8，2，4，8，2，8，8，2，1 6，8，2，32，（ ），（ ），（ ）
分析（1）通过观察，我们会发现，数列中的第1、3、5、…项可以构成一个公差为3的等差数列，后面每一项都比它前面那项大3；同样的，数列中的第2、4、6、…项也可以组成一个公差为2的等差数列。（2）将数列中的第1、4、7、10、…项，第2、5、8、11、…项，第3、6、9、12、…项分别组在一起，构成三个新的数列。数列①：8，8，8，8，…；数列②：2，2，2，2，…；数列③：4，8，16，32，…。可以发现，数列①都是8；数列②都是2；数列③依次扩大2倍。
〖即学即练4〗 先找出下面各数列的排列规律，再按规律填数。
（1）11，3，8，3，5，3，（ ），（ ）
（2）15，6．13，7，11，8，（ ），（ ），…
（3）10，5，12，10，14，11，10，23，10，（ ），（ ），（ ），10，41，8，…
【例5】 观察已给数列，在括号内填入适当的数。
（1）2，0，2，2，4，6，10，16，（ ），（ ）
（2）1，2，3，4，10，19，36，（ ），（ ）
分析（1）通过观察可以发现：从第3项开始，每-一项都等于它前面两项的和。
（2）通过观察可以发现：从第5项开始，每一项都等于它前面四项的和。
〖即学即练5〗 观察已给数列，在括号内填入适当的数。
（1）1，0，1，1，2，3，5，（ ），（ ）
（2）1，1，1，3，5，9，17，（ ），（ ）
【例6】 观察下面备题中数的变化规律，填入所缺的数。
分析 （1）规律一：每一横行的一个数加起来的和相等。16 + 7 + 9 = 32，11 + 15 + 6 = 32。所以空格填32 – 2 – 15 = 14。规律二：：每一竖行的三个数加起来的和也相等。16 + 3 + 11 = 30，9 + 15 + 6 = 30。所以空格填30 – 7 – 15 =8。故空格填14或8。（2）先试横行，发现3 + 7 = 10，5 + 4 = 9。两边之和等于中间的数，所以空格填3 + 5 = 8。
〖即学即练6〗（1）找规律填空。（2）观察下面三个正方形内的数，在空格内填入适当的数。

【例7】 找出下面各图形中数与数之间规律不同的一组图形。
分析（1）左边上下两个数有乘4的关系，右边上下两个数有除以4的关系。第三个图形右边不符合这个规律。所以第三个图形与众不同。（2）第一、二、四行是依次递增2的数列，第三行是依次递增3的数列，所以第三数列与众不同。
〖即学即练7〗 根据前面两组数的规律，在空格里填上合适的数。
能力检测
1．找出规律，在括号里填上适当的数。
（1）5，10，15，20，25，（ ），（ ）；
（2）1，2，4，8，16，（ ），64；
（3）1，3，6，10，（ ），（ ）；
（4）343，216，125，64，27，（ ），（ ）。
2．一列火车的车厢按一定规律编号，你能写出被树挡住的那两节车厢的号码吗?
3．下图中后面两个空格应填几?
4．下面的蔬菜或水果上，每一组的前面几个都编着数。这些数都有规律，但每一组都没有编完，你能试一试吗?
5．根据前面两个圆圈里三个数的关系，在第三个圆圈的空格内填上适当的数。
6．下面图中的数字是按一定规律填上的。想一想，○里应填几?
7．先找出下图中的规律，再在空格中填上合适的数。
8．根据前面两个三角形中四个数之间的规律，想一想，第三个三角形的空格中应填什么数?
（备用图）
9．先找出下面前三个图形中菱形个数的规律，想一想，如果按照这样的规律排下去，第五个图形应有_____________个菱形。
10.下面表格中的数都是由一个完整的算式拼合的，请你参考前两题的规律，填出其他各式。
6742
6 × 7 = 42
84387
84 + 3 = 87
54227
903555
126382508
11．根据下面信封上四个数的关系，推算出空白处应填什么数。
12．找规律，在空格内填入适当的数。
13．下列表格中的数有一定的规律，请你按照规律填出空格中的数。
14．下面图形中的数各自都有规律，请按照规律填出“?”处的数。
15．下面方格中的数有一定的规律，请按照规律填出第4个方格中的数。
16．找规律，在空格内填入适当的数。
第 5 讲 简单推理
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你知道吗? 有一些数学题并不需要做太多的计算，有时甚至不需要计算，只需要对题目中的条件问题进行综合分析，判断推理，即可得出答案。
学会推理，能使你的头脑变得越来越灵活，思路越来越开阔。数学上许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。
简单推理很少依靠数学概念、法则、公式进行计算，而主要是根据某些条件进行判断推理。简单推理根据内容特点，一般可以分为两类，一类是根据题目中的条件，运用等量代换、消去等方法综合分析；另一类是根据题目中的条件认真分析，运用排除法、假设法，排除几种可能或者假设一个结论是正确的，然后验证它是不是符合所给的一切条件；若没有矛盾，说明推理正确，否则换个结论来验证。
【例1】 一天中午，孙悟空吃了10个桃子，猪八戒吃了25个包子。孙悟空说猪八戒太能吃了，但猪八戒说自己吃的包子比桃子小得多，还是孙悟空吃得多。聪明的沙僧用天平得到了如图所示的两种情况（圆圈是桃子，三角是包子，长方形表示重量为所标数值的砝码）．那么1个桃子和1个包子共重多少克?
分析 第二个天平左右同时减少80克，天平仍然平衡，可知“桃子 = 包子 + 120克”。由第一个天平可知“桃子 = 2包子 + 40克”，则包子 = 80克，桃子 = 200克，1个桃子和1个包子共重280克。
〖即学即练1〗 一个白球重多少克?
【例2 】 A、B、C三个数各是多少?
A + B = 12 B + C = 14 A + C = 18
分析 共有三个数A、B、C，三个数各两个的总和是12 + 14 + 18 = 44，那么三个数各一个的总和是22。由A + B = 12，可知C是10；由B + C = 14，可知A是8；由A + C = 18，可知B是4。
〖即学即练2〗 足球、篮球、排球各有几个?
足球 + 篮球 = 64（个） 篮球 + 排球 = 51（个） 排球 + 足球 = 57（个）
【例3】 在学校绘画比赛活动中，聪聪、明明、慧慧和小东的画挂在画廊的同一旁（如下图）已知聪聪的画挂在小东的画的左边；慧慧和小东的画是隔开挂的；明明的画紧挨着聪聪的画挂在他的右边；小东画的不是动物。想一想下面每张画分别是谁画的，）
分析 从关键条件入手。小东画的不能是动物．那么小东画的只能是汽车或小船；由“聪聪的画挂在小东的画的左边”和“明明的画紧挨着聪聪的画挂在他的右边”这两个条件可知，小东的画左边至少还有两幅画，这样小东画的只能是小船。“慧慧和小东的画是隔开挂的”说明慧慧画的不是大象，而“明明的面紧挨着聪聪的画”，这样慧慧画的只能是老虎，由于明明的画在聪聪的画的右边，所以明明画的是大象，聪聪画的是汽车。
〖即学即练3〗
（1）小强、小勇、小芳和小刚四人中，小强不是最矮的，小刚不是最高的，但比小强高，小芳不比大家高。请你按从矮到高的顺序，把这四人排好队。
（2）四个小朋友面对我们站的位置是这样的：乙站在甲的右边；丙站在甲的左边；丁站在丙的左边。请你将甲、乙、丙、丁分别填在方格里。
2450465017297400115316004324350
【例4】 王明、李红、赵强各订了三种报纸中的～种：《小学生数学报》、《小学生语文报》、《江城晚报》。已知王明订的不是《小学生数学报》，李红订的既不是《小学生数学报》也不是《小学生语文报》，他们订的分别是什么报纸?
分析 根据“李红订的既不是《小学生数学报》也不是《小学生语文报》”这个条件，可以判断出李红订的是《江城晚报》。再根据“王明订的不是《小学生数学报》”这个条件，可以判断出王明订的是《小学生语文报》，那么赵强订的就是《小学生数学报》了。
〖即学即练4〗 红红、聪聪、颖颖戴着太阳帽去野炊，三人戴的帽子一个是红的，一个是黄的，一个是蓝的。只知道红红没有戴黄帽子，聪聪既没戴黄帽子也没有戴蓝帽子。请你判断：红红、聪聪、颖颖三人分别戴的是什么颜色的帽子?
【例5】 小明、小刚、李东和张辉四位同学在操场上踢足球，打碎了教室的窗户玻璃。有人问他们时，他们分别这样回答：
小明：“玻璃可能是李东也可能是张辉打碎的。” 小刚：“是张辉打碎的。”
李东：“我没有打碎玻璃。” 张辉：“我才不干这种事。”
了解学生的老师说：“他们中有三位绝不会说谎话。”那么到底是谁打破了玻璃呢?
分析 分析四个同学的回答，小刚和张辉的结论刚好相反。而四人中“有三位绝不会说谎话”，说明小明、李东说的是实话，也就是李东没有打碎玻璃，显然打碎玻璃的是张辉。
〖即学即练5〗 从全国小学生英语竞赛组委会传来喜讯，小明、小张、小华共荣获金、银、铜三块奖牌。一位同学猜测：小明得金牌，小张不得金牌，小华不得铜牌。结果这位同学只猜对了一个，那么他们各得的是什么奖牌?
【例6】 一个正方形有六个面，每个面分别涂有红、绿、黄、白、蓝、黑六种颜色。你能根据这个正方体的三种不同的摆法，判断出这个正方体每一种颜色对面各是什么颜色吗?
分析 从左图中可看出红色的对面肯定不是黑色和白色，从中图中可看出红色的对面肯定不是黄色和绿色，所以红色的对面是蓝色；从中图中可看出黄色对面肯定不是绿色和红色，从右图中可以看出黄色的对面肯定不是蓝色和白色，所以黄色的对面是黑色；剩下的白色的对面肯定是绿色。
〖即学即练6〗 一个正方体的六个面分别标有1、2、3、4、5、6这六个数字，从三个不同角度看见的正方体如图所示。正方体的每一个数字的对面各是什么数字?
【例】7 运动场上，甲、乙、丙、丁四个人进行长跑比赛。在场的小明、小芳、小英进行预测。
小明说：“我看甲只能得第三，冠军准是丙的。”
小芳说：“丙只能得第二名，第三名是乙。”
小英说：“肯定丁是第二、甲第一。”
比赛结束后，发现他们的预测都只猜对了一半。根据他们的预测，谁得了第一名，谁得了第四名?
分析 假设“甲第三”是真，那么“丙第一名是假”； “乙第三”是假，那么“丙第二”是真；“丁第二”是假，“甲第一”是真，此与“甲第三”矛盾。所以“甲第三”是假，“丙第一”是真；“甲第一”是假，“丁第二”是真；“丙第二”是假，“乙第三”是真，符合题意。
〖即学即练7〗 甲、乙、丙、丁四位同学在比赛中犯规的次数各不相同，分别为1次、2次、3次、4次。A、B、C、D四位裁判各有一段话：
A说：“甲犯规2次，乙犯规3次。” B说：“丙犯规4次，乙犯规2次。”
C说：“丁犯规2次，丙犯规3次。” D说：“丁犯规1次，乙犯规3次。”
记录员说A、B、C、D四位裁判每人说对了一半，那么甲犯规多少次?
能力检测
1．根据下面图形，判断一根香蕉有多少克。
2．1支钢笔可以换3支圆珠笔，1支圆珠笔可以换2支铅笔，5支钢笔可以换几支铅笔?
3．某智力竞赛节目中有这样一道题：
推算：一个西瓜可以换（ ）个桃；一个西瓜可以换（ ）根香蕉。
4．小明每门功课各是多少分?
语文 + 数学 = 194（分） 数学 + 英语 = 188（分） 语文 + 英语 = 186（分）
5．华华、英英、乐乐和明明一起玩游戏。明明在纸上写下一个三位数，让另外三个小朋友猜猜这个数是多少。
华华说：“我猜是765。” 英英说：“有可能是364。” 乐乐说：“一定是784。”
如果他们三个人都恰好猜对了两个位置上的数字，那么明明写下的三位数是几?
6．东风小学四年级3个班的全体学生报名参加第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛，（1）班和（2）班共有67人参加，（2）班和（3）班共有64人参加，（1）班和（3）班共有63人参加。那么（1）班、（2）班、（3）班分别有几人?
7．甲、乙、丙、丁进行一场比赛，赛前预测比赛情况。
甲说：“我第二名，丁第三名。” 乙说：“甲第一名，丁第二名。”
丙说：“我第二名，丁第四名。”
竞赛结束后三人发现他们每人都只说对了一半，问比赛结果究竟怎样?
8．A、B、C、D、E五个小朋友做游戏，每轮游戏都按照下面的箭头方向把原来手里的玩具传给另外一个小朋友：A → C，B → E，C → A，D → B，E → D，开始时A、B拿着福娃，C、D、E拿着福牛，传递完五轮时，拿着福娃的小朋友是谁与谁?
10．甲透露他的考试分数给乙、丙、丁三人知道，但其余的人都隐匿他们的分数。乙想：“至少我们四个人之中有两个分数一样。”丙想：“我的分数不是最低的。”丁想：“我的分数不是最高的。”将乙、丙、丁三人的分数从最低至最高排列，则正确的排序是什么呢?
11．设○、□、△分别表示三种不同的物体。用天平比较它们重量的大小两次，情况如图所示。○、□、△按重量从小到大顺序排列是什么?
12．把数字1～6分别写在正方体的六个面上，每个面上只写一个数字，且1与4相对，2与5相对，3与6相对。从某个角度看到的三个面上的数字如图（a）所示，从另一个角度看到的三个面如图（b）所示。那么图（b）中“?”代表的数字是几?
13．P、Q、R、S四人去公园玩跷跷板，根据下面的示意图，试判断这四个人从重到轻的顺序是什么?
14．学校开展“爱劳动、树新风”活动，甲、乙、丙三位同学抢着为学校做好事。这天有位同学提前将教室打扫干净了，老师询问是谁做的，结果，甲说：“是乙干的。”乙说：“不是我干的。”丙说：“不是我干的。”如果已知这三个人中有两个说了假话，有一个说了真话，那么是谁做的好事呢?
15．△ + △ = a，△ – △ = b，△ × △ = c， △ ÷ △ = d，a + b + c + d = 100。那么，△等于多少?
第 6 讲 植树中的学问
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同学们每天都排队做早操，设想男、女生交叉排列，有四种情况：
①男生开头，男生结束：男、女、男、女、……、男、女、男。
②女生开头，女生结束：女、男、女、男、……、女、男、女。
③男生开头，女生结束：男、女、男、女、……、男、女。
④女生开头，男生结束：女、男、女、男、……、女、男。
想一想，在每一种情况中，男生和女生谁多? 多多少? 相信你能脱口而出吧。
你意识到没有，如果把“树”看作一个物体，“路”看作另一个物体，那么不封闭植树的各种类型也可以看作交叉排列（如下图），而这所有排列实质正对应了上面男、女生交叉排队的各种类型。
因此，植树问题可以转化成我们熟悉的排队问题来解决，并只需记住两点：
1．不管是哪一种类型，段数是始终不变的，段数 = 路长 ÷ 间距；
2．如果两头站的是同一种物体，既开头又结尾的那种物体多1；如果两头站的是不同的物体，那两种物体的数量就相等。
【例1】 在一条长400米的大路两旁种树，每隔10米栽一棵，如果起点和终点都种一棵，一共种多少棵?
分析 把“树”看作一个物体“路”看作另一个物体，树既开始，又结束，那么树的棵数应该比路的段数多1。400米里面有40个10米，所以路有40段，树有40 + 1 = 41（棵）。又因为两旁种树，所以共种82棵。
〖即学即练1 〗从学校门到教学楼的走道长42米，计划在两旁从起点每隔2米摆一盆花，一共要准备几盆花?
【例2】 公路两端各有一座售报亭，售报亭之间每隔4米竖立一个广告牌，一共竖了250个广告牌。公路全长多少米?
分析 售报亭、路、广告牌的排列如下图。从图中看得很清楚（售报亭忽略），路开头，路结束，所以路的段数应比广告牌的个数多1。广告牌250个，路就应该有250 + 1 = 251（段）。每段4米。全长一共251 × 4 = 1004（米）。
〖即学即练2〗 （1）学校要在南、北教学楼之间均匀地栽19棵杨树苗（两头都不栽），恰好每隔4米栽一棵。南、北教学楼相距多少米?
（2）国庆节在厂门口挂彩灯，从头到尾一共挂了100只彩灯。若每两只彩灯之间的距离都是1分米，则工厂大门宽多少分米?
【例3】 一个圆形花坛周围长90米，沿花坛周围每隔5米栽一棵月季花，每两棵月季花审闻栽一棵菊花。花坛周围月季花和菊花各栽了多少棵7
分析 分两层来理解。首先，圆形花坛栽月季花（如图），以任意一棵月季花为例，顺向数，都可以看作月季花开始，路结束。换句话说，月季花和路的段数一样多。接着，把路换成菊花，正好符合“每两棵月季花中间栽一棵菊花”。因此，求月季花和菊花的棵数，实质是求路被分成的段数，即90 ÷ 5 = 18（段），也就是18棵。
〖即学即练3〗 一个湖泊周围长2100米。沿湖泊周围每隔6米栽一棵柳树，每两棵柳树中间栽一棵杨树。湖泊周围柳树和杨树各栽了多少棵?
【例4】 把一根钢管锯成小段，一共花了20分钟。已知每锯一段需要4分钟，这根钢管被锯成了多少段?
分析 如图所示，把每一小段看作一个物体，锯的地方看作另一个物体，每一小段与锯的地方就可以看作交叉排列。由于开头、结尾的都是钢管，所以钢管的段数应该比锯的次数多1。由题目知，一共锯了20 ÷ 4 = 5（次），所以锯了5 + 1 = 6（段）。
〖即学即练4〗（1）一根木料长21米，把它锯成3米长的一段。每锯一段用6分钟，共用了多少分钟?
（2）一根木料截成3段用时10分钟，如果每截一段的时间都相等，那么截成12段需要多少分钟?
【例5】 雅婷和文慧住在同一幢大楼，雅婷住在六楼，文慧住在三楼。雅婷上楼要走100级楼梯，那么文慧上楼要走多少级楼梯?
分析 不妨把楼房的每一层都看作一棵树，每层的楼梯看作间距，那么从一楼到六楼有5个问距．也就是有5层楼梯，每层100 ÷ 5 = 20（级）。文慧住在3楼，有2层楼梯，所以一共有20 × 2 = 40（级）楼梯。
〖即学即练5〗 红红上楼，从第一层走到第三层需要走36级台阶。如果从第一层走到第六层，需要走多少级台阶?
【例6】 在一个正方形池塘四周种树，四个顶点都种了一棵树，这样每边都种有25棵树。四周一共种了多少棵树?
分析 在正方形四间种树，可以看作树与路交叉排列，树开头，路结束，所以树的棵数应该和路的段数相等。因为每边25棵，每边被分或25–1 = 24（段），一共被分成24 × 4 = 96（段），一共植树96棵。
〖即学即练6〗 三（1）班的同学围成一圈做击鼓传花游戏。从小雨算起，按顺时针方向传到第18人是小兰，按逆时针方向传到第18人也是小兰。三（1）班共有学生多少人?
【例7】 爷爷家的大座钟1点钟敲一下，2点钟敲两下，……，12点钟敲十二下。如果5点钟时，小明听到钟共敲了24秒，那么当他听到钟敲了48秒时，当时的时间是几点钟?
分析 5点钟敲5下，有4个间隔，所以每个间隔需要24 ÷ 4 = 6（秒），48秒共有48 ÷ 6 = 8（个）间隔，所以当时是8 + 1 = 9（点）。
〖即学即练7〗 （1）一列火车共有25节车厢，每节车厢长10米，前后两节车厢间隔8米。问：这列火车全长多少米？
（2）12厘米的纸条连接起来（重叠处为5毫米）。
① 5张纸条连接起来，长为多少厘米?
② 要使纸条全长为104厘米，需要多少张纸条?
能力检测
1．在一个周长是48米的池塘周围种树，每隔6米种一棵树，一共种了多少棵树?
2．时钟4点钟敲4 下，6秒敲完。那么8点钟敲8下几秒敲完?
3．每两根电线杆之间栽3棵小树，一排12根电线杆之间一共能栽多少棵小树?
4．一个湖泊周长为1800米，现每隔6米栽一棵柳树，每两棵柳树之间栽一棵桃树。湖泊周围一共栽了多少棵柳树? 多少棵桃树?
5．在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点，共放了18盆花，这条走廊长多少米?
6．两棵树相距115米，其间再以等距离增加22棵树后，每两棵树相距多少米?
7．一根木头在36秒内被切成了4段，用同样的速度切6段，需要多长时间?
8．一位科学家在做一项实验，从上午9点40分做第一次实验记录，以后每隔20分钟做一次记录。那么，他做第七次记录时是几时几分?
9．甲、乙两人比赛爬楼梯，甲爬到第5楼时，乙恰好爬到第3楼。照这样计算，甲爬到第17楼时，乙爬到第几层楼?
10．一个街心花同如右下图所示，它由四个大小相等的等边三角形组成。已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9株花。大三角形周边上栽有多少株花?
11．两个同样的铁环连在一起长28厘米，每个铁环长16厘米。若8个这样的铁环依次连在一起，长多少厘米?
12．把50枚黑棋子排列在正五边形的五条边上，每条边上的黑棋子个数相等，且每个角上有一枚。然后在所有相邻的两枚黑棋子间放两枚白棋子。五条边上黑、白棋子共有多少枚?
13．如果把一根木头截成3段要花8分钟，那么要把12根木头每根都截成6段，需要多少分钟?
14．甲、乙、丙三人锯同样粗细的木棍，分别领取8米、10米、6米长的木棍，要求都按2米的规格锯开。劳动结束后，甲、乙、丙三人分别锯了24段、25段、27段，那么锯木棍速度最快的比速度最慢的多锯几次?
15．小明来到商场乘坐手扶电梯从一楼到二楼，他乘上电梯24秒后离二楼还有6级台阶；他乘上电梯27秒后离二楼还有1级台阶。这部手扶电梯从一楼到二楼共有多少级台阶?
16．某人去一座商务楼的15层，4楼以下不设电梯（4楼起可乘电梯），他从1楼步行到2楼用了30秒，电梯速度是步行的10倍。他到达15楼共需要多少秒?
第 7 讲 学会倒着想
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00在左边这个数字迷宫中，有5个入口和1个出口。只有相邻的两个数字之和是3的倍数时，才能从它们中间通过。如果你是游戏中的小朋友，你会选择从哪个入口进去，走怎样的路线顺刹通过迷宫呢?
显然，上面这个问题如果顺着去想，就会很麻烦——要尝试很多次。倒不如反过来想．既然选择一定的路线可以通过迷宫，那么反过来按照同样的路线，也一定可以回到出发点。因此，不妨把出口当作入口，按照游戏中的规则反过来走（如图1），一次就可以找到问题的答案（如图2）。
像这样从所求问题出发，倒着想，回到已知条件思考问题的方法，就叫作“逆推法”。其实，不仅在游戏中，更多的也可以用在同学们的数学学习中。很多题目如果运用逆推法去思考，可以起到化难为易、化繁为简的效果!
利用逆推法解题，必要时借助线段图、表格的帮助，可使思路更加清晰、简便!
【例1】 浮萍在池塘里所占水面面积每天增加1倍，经过62天整个池塘长满了浮萍。浮萍长到半个池塘水面时，用了几天的时间?
分析 倒着想。由于“浮萍在池塘里所占水面面积每天增加1倍”，所以笫62天池塘浮萍的面积就应该是第61天的两倍。这样不难发现，第61天池塘浮萍的面积就是池塘水面的一半。
〖即学即练1〗 往贮水池里注水，每小时都要比原来的体积增加1倍。如果照这样计算，注入64立方米水用了6小时，那么注入16立方米水用了几小时?
【例2】 小华问数学张老师：“您今年多少岁了?”张老师回答说：“用我的年龄数减去8，乘以3，除以11，再加上3，就正好等于你现在的岁数9。”请你算一算，张老师今年多少岁?
分析 从结果倒着想。由于加上3，结果等于是9。说明没加3之前是9–3 = 6；同样的，没除以11之前是11×6 = 66，没乘3之前是66 ÷ 3 = 22，没减去8之前是22 + 8 = 30。
〖即学即练2〗 一个数加上4，乘以4，再减去4，最后除以4，结果还是4。这个数是几?
【例3】 在抄写某两个数相乘的习题时，小华将其中一个数45误写成54，结果他所得到的答案比正确答案大198。这个乘法习题的正确答案是多少?
分析 把45误写成54，即比原来的数大9。那个不变的数的9倍正好等于198，因此不变的数是198 ÷ 9 = 22。
〖即学即练3〗（1）小彬在做一道加法题目时，把个位上的4看成了2，把十位上的7看成了8，结果得到的和是251。正确的结果应是多少?
（2）一个数减去248，聪聪不小心错把被减数百位和十位上的数交换了，结果得439。
正确的结果是多少?
【例 4】 李老师拿着一批书送给30位同学，每到一位同学家里，李老师就将手里所有的书的一半给他，每位同学也都还她一本，最后李老师手里还剩下2本书。那么李老师原来拿了多少本书?
分析 从最后一个同学开始逆推。李老师收同最后那位同学给她的1本后还剩2本，说明李老师将自己剩下的书的一半给最后那个同学后还剩1本，当然，给最后那个同学之前有2本；同样的道理，给第35个同学之前是2本；给第34个同学之前是2本……为了直观，可以用表格表示如下：
本 数
最 后
2
给第36个同学之前
（2 – 1）× 2 = 2
给第35个同学之前
（2 – 1）× 2 = 2
给第34个同学之前
（2 – 1）× 2 = 2
……
……
给第1个同学之前
（2 – 1）× 2 = 2
〖即学即练4〗盒子里有若干个球。小明每次拿出盒中的一半再放回一个球。这样共操作了7次，盒中还有3个球。盒子里原来有多少个球?
【例5】 一条彩带，第一次用去一半，第二次又用去剩下的一半，还剩下9米。这条彩带原来长多少米?
分析 从下面的线段图上可以看出：剩下的9米和余下的一半同样多，那么可以先求出原来的一半，再求出彩带的全长。
〖即学即练5〗 小林摘西瓜，第一天摘了瓜地里西瓜的一半又10个，第二天摘了余下的一半又10个，第三天摘了10个正好摘完。这块瓜地原来共结西瓜多少个?
【例6】 小红、小青、小宁都喜爱画片。如果小红给小青11张画片，小青给小宁20张画片，小宁给小红5张画片，那么他们三人的画片张数同样多。已知他们三人共有画片150张，他们三人原来各有画片多少张?
分析 三人画片进行交换，其总数是不会改变的。交换以后三人张数相等，那么每人应有150 ÷ 3 = 50（张）。再对照题中条件，把各人的画片还原，便可得到他们三人原来画片的张数。
〖即学即练6〗 小红和小明共有54张牌，小红先给小明10张牌，小明再给小红12张牌，这时小红手中牌的张数是小明的2倍。他们原来各有几张牌?
【例7】 三堆棋子共96枚。小华先从第一堆里拿出和第二堆棋子同样多的棋子放入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆棋子数同样多的棋子放入第三堆；最后又从第三堆中拿出与第一堆同样多的棋子放入第一堆，这时，三堆棋子数正好相等。三堆棋子原来各有多少枚?
分析 根据题意可知，最后每堆棋子数是96 ÷3 = 32（枚）。由此向前逆推，用表格可以清楚地看出变化情况。
第一堆（枚）
第二堆（枚）
第三堆（枚）
最初状态
16 + 28 = 44
56 ÷ 2 = 28
24
第一次变化后
16
32 + 24 = 56
48 ÷ 2 = 24
第二次变化后
32 ÷ 2 = 16
32
32 + 16 = 48
第三次变化后
32
32
32
〖即学即练7〗甲、乙、丙三人的钱数各不相同。甲最多，他拿出一些给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加一倍，结果乙的最多；乙拿出一些给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加一倍，结果丙的最多；丙拿出一些给甲和乙，使甲和乙的钱数都比原来增加一倍，结果三人的钱数一样多。如果他们三人共有48元，那么甲、乙、丙三人原来各有多少元钱?
能力检测
1．一个数加上8，乘以8，减去8，除以8，结果还是8。这个数是多少?
2．将一个数作如下运算：乘以4，再加上112，减去20，最后除以4，这时得30。那么这个数是多少?
3．篮子里原来有苹果若干个，拿出一半给奶奶，又拿出剩下的一半送给妈妈，这时还剩下5个。原来这篮苹果有多少个?
4．一根电线，第一天先用去2米，再用去余下的一半。第二天同样先用去2米，再用去余下的一半，这时还剩12米。这根电线原有多少米？
5．大白鹅教授用一种特殊营养液进行喂虫子试验，虫子体长每天都长1倍，8天就长到了8厘米。大白鹅教授问小鸭助手：“当虫子长到4厘米时用了多少天?”小鸭随口答道：“8天长8厘米，那么一天就长1厘米，4天后就是4厘米。”你认为小鸭说得对不对?
6．小华在荷塘里种了一株莲藕，开始时它只有1片荷叶，以后每周都增加1倍的荷叶。假如现在它有1024片荷叶，在4周前它有多少片荷叶?
7．算式：□– 3 × 5 ÷ 8 + 95 = 120中，□ 处应填几?
8．四个小朋友共有课外读物120本，甲给了乙3本，乙给了丙4本，丙给了丁5本，丁给了甲6本，这时他们四个人课外读物的本数相等。他们原来各有课外书多少本?
9．有甲、乙两个港口，各停小船若干只，如果按下面的规则移动船只：第一次从甲港开出和乙港同样多的船只到乙港，第二次从乙港开出和甲港剩下的同样多的船只到甲港，那么照这样移动四次后，甲、乙两港所停的小船只数都是48只。甲、乙两港最初各有小船多少只?
10．将八个数从左往右排成一排，从第三个数开始，每个数都恰好等于它前面两个数之和。如果第七个数和第八个数分别是31和50，那么第一个数是多少?
11．三只猴子分一堆桃子，第一只猴子先去把桃子分成3份，拿走了自己的一份；第二只猴子以为谁也没来分过，把剩余的桃子又分成3份，拿走了自己的一份；第三只猴子以为谁也没来分过，也把剩余的桃子分成3份，拿走了自己的一份，最后还剩下8个桃子。这堆桃子原来有多少个?
12．有一个正方形，以它的一条对角线为边长作新正方形；又以新正方形的对角线为边长作新正方形（如右图所示）。如此这样作下去，得到第五个正方形的面积是128平方厘米。求原正方形的面积。
13．工程队要修一条小路，第一天修了全长的一半多6米，第二天修了余下的一半少20米，第三天修了30米，此时还剩下14米没有修，则这条小路长多少米?
14．某数加上5，然后再乘4的题，由于算错，某数先乘5，然后再加上4结果得34。正确的答案应该是多少?
15．小马虎在做一道加法题目时，把个位上的5看成了9，把十位上的8看成了3，结果得到的和是123。正确的结果应是多少?
16．甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，结果三个组拥有同样多的图书。甲、乙、丙三个组原来各有多少本图书?
第 8 讲 简单周期
-144145115570
传说诸葛亮小时候就特别爱动脑筋。一天，他到邻居老爷爷家玩，老爷爷正和别人下棋，见到他就用棋来出题考他。老爷爷先摆了3颗白棋子．再摆了2颗黑棋子；接着又摆了3颗白棋子，再摆了2颗黑棋子（如图）。
然后，老爷爷发问了：不摆棋子，你能说出第22颗是什么颜色吗? 诸葛亮想了一会儿，很快就答对了。
诸葛亮为什么不用摆棋子就知道问题的答案呢? 聪明的同学一定想到了，老爷爷棋子的排列是非常有规律的，即总是按照“三白两黑、三白两黑”的顺序不断重复出现。生活中，像这样按照某种规律不断重复出现的现象还有很多，如十二生肖、一年春夏秋冬四季、一个星期从星期一到星期日的循环……
一般的，把这些不断重复出现的现象统称为周期现象，呈现一定周期现象的问题就叫作周期问题。
解答周期问题一般要利用余数的知识，解答时要注意两点：
1．找出规律，发现周期现象；
2．把要求的问题和某一周期的变化相对应，以求得问题的解决。
【例1】 国庆节，路旁挂起了一盏盏彩灯，小华看到两盏白灯之间有红、黄、绿灯各一盏。那么第80盏彩灯应是什么颜色? 第102盏呢?
分析 两盏白灯之间有红、黄、绿灯各一盏，电就是蜕彩灯是按照“白、红、黄、绿、白、红、黄、绿、白、红、黄、绿、白、红、黄、绿……”的规律不断重复出现的。以4个（白、红、黄、绿）为一组，80盏彩灯刚好分成80 ÷ 4 = 20（组），第80盏刚好在第20组的最后一个，也就是“白、红、黄、绿”的最后一个，所以第80盏彩灯是绿色。同样的道理，因为102 ÷ 4 = 25……2，所以25组彩灯数完了之后才只数到100个，第102盏彩灯还要接着数2个，也就是顺序“白、红、黄、绿”这一周期的第2个，即是红色。
〖即学即练1〗 舞蹈队的同学们为同庆节准备舞蹈，他们排成一长排，每个人头上都戴了一顶帽子，帽子的颜色按照2顶黄帽子、3顶蓝帽子、1顶黑帽子的顺序依次排列。如果一共有32位同学，那么最后一位同学戴的帽子是什么颜色的?
【例2】 2008年8月8日北京奥运会开幕。已知这一天是星期五，那么从这一天算起第55天是星期几?
分析 每星期有7天，2008年8月8日是星期五，以星期五、星期六、星期日一直到星期四为一个周期不断地循环。因为55 ÷ 7 = 7……6，所以第55天与这一周期的第六个星期数相同，也就是星期三。
〖即学即练2〗 今天是5月28日，星期四，过1天是星期五，过2天是星期六，过3天是星期天……那么过50天是星期几?
【例3】 为庆祝元旦，学校在大门口安装了50盏彩灯，彩灯按照“黄黄红绿绿红黄黄红绿绿红……”的顺序依次排列，则在这50盏彩灯中，共有黄色的彩灯多少盏?
分析 彩灯按照“黄黄红绿绿红黄黄红绿绿红……”的顺序依次排列，也就是把“黄黄红绿绿红’’看作一组。50盏彩灯刚好分成50 ÷ 6 = 8（组）……2（盏），其中每一组都有2盏黄灯，余下的2个也刚好是黄灯．即可算出黄色的灯的盏数。
〖即学即练3〗 在字母序列ABCDEDCBAABCDEDCBAABCDEDCBA…中，第2013个是哪个字母? 前2013个字母中有多少个A?
【例4】 A、B、C、D、E、F、G七盏灯各自装有一个拉线开关。开始时灯B、D、F亮着，一个小朋友按从A到G，再从A到G这样的顺序依次拉七盏灯的开关，一共拉了2011次。这时亮着的灯是哪些?
分析 灯的开关拉奇数次，灯的状态改变，灯的开关拉偶数次，状态不变。七盏灯各拉一次为一轮，则2011 ÷ 7 = 287……2，可得A、B两盏灯拉了288次，C、D、E、F、G五盏灯分别拉了287次。
〖即学即练4〗 老师把1～53号卡片依次发给聪聪、明明、冬冬和笑笑四个人。第38张卡片应发给谁?
聪聪
1
5
9
……
……
明明
2
6
10
……
……
冬冬
3
7
11
……
……
笑笑
4
8
12
……
……
【例5】 下面这串数的规律是：从第3个数起，每个数都是它前面两个数之和的个位数。这串数中第88个数是几? 62808864044…
分析 尝试着多写几个数：6280886104482022460662808864044820…，就会发现这一列数总是以62808864044820224606为周期进行循环。因为88 ÷ 20 = 4……8，所以第88个数是第5个周期里的第8个数。
〖即学即练5〗 有一列数：6，8，8，4，2，…，从第三个数起，每一个数都是前两个数乘积的个位数字。那么这列数的第80个数应是多少?
【例6】 A、B、C、D四个盒子中依次放有6、5、4、3个球。第1个小朋友找到放球最少的盒子，然后从其他盒子中各取一个球放入这个盒子；第2个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也从其他盒子中各取一个球放入这个盒子……当第100个小朋友放完后，A、B、C、D四个盒子中各放有几个球?
分析 把前5次移动后各盒子中放球情况列表如下：
移动次数
A
B
C
D
原始状况
6
5
4
3
1
5
4
3
6
2
4
3
6
5
3
3
6
5
4
4
6
5
4
3
5
5
4
3
6
从上表可以看出，第五次和第一次相同，推知每4次为一个周期。因为100 ÷ 4 = 25，所以第100位小朋友放完后应该与第4位小朋友放后的结果相同。
〖即学即练5〗 4个小动物排座位，一开始，小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1、2、3、4号位置上，以后它们不停地交换位置。第一次上下两排交换，第二次是在第一次交换后左右两列交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换……这样一直交换下去。那么第十次交换位置后，小兔坐在第几号位置上?
【例6】 看下表，每列上、下两个字（或数字）组成一组，例如：第一组是“福2”，第二组是“娃0”……那么，第2008组是什么?
福
娃
福
娃
福
娃
福
娃
福
娃
……
2
0
0
8
2
O
0
8
2
0
……
分析 表中上行每2个字为一个周期，因为2008 ÷ 2 = 1004，所以上行第2008个字是“娃”字。同样的道理，表中下行每4个数字为一个周期，因为2008 ÷ 4 = 501，所以下行第2008个数字是“8”。
〖即学即练6〗 如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组，例如第一组是“我A”，第二组是“们B”……
我
们
爱
科
学
我
们
爱
科
学
……
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
……
（1）第62组是什么?
（2）如果“科E”对应1983年，“学F”对应1984年……那么2013年对应怎样的组?
能力检测
1．根据规律，分别算出下列图形的第20个图形是什么?
2．一串珠子，按下图这样排列，第53颗是什么颜色? 第64颗呢?
3．小花猫玩套圈的游戏，现在有5根杆，从1号杆依次套到5号杆，每一轮套5个（如图）。第18个圈应该套在几号杆上?
4．在一列数2，2，4，8，2…中，从第3个数开始，每个数都是它前面两个数的乘积的个位数字。按这个规律，这列数中的第2013个数是几?
5．2018年4月2日是星期一，那么2014年4月1日是星期几?
6．有一列数：2，4，6，8，0，2，4，6，8，0，…，第34个数是几? 这34个数的和是多少?
7．如图，有a、b、c、d四条直线，从直线a上开始，按顺时针方向依次在a、b、c、d直线上写上整数1、2、3、4、5、6、…。
（1）整数505在a、b、c、d中哪一条直线上?
（2）直线a上的第100个数是多少?
8．下面是一个11位数，它的每三个相邻数字之和都是20（如图）。你知道打“?”的数是几?
9．如图，以A、B、C、D、E依次表示左手的大拇指、食指、中指、无名指、小指。若从大拇指开始数数，按ABCDEDCBABCDEDCBA…的顺序数，数到 “112”时，是_____。
10．100个3相乘，积的个位数字是几?
11．2013年10月1日是星期二，10月25日是星期几?
12．小红买了一本童话书，每两页文字之间有3页插图，也就是说3页插图前后各有1页文字。如果这本书有128页，而第1页是文字，这本童话书共有插图多少页?
13．体育课上同学们站成一排，老师让他们按1、2、3、4、5循环报数，最后一个同学报的是1。如果这排同学不超过50人，这排同学最多有多少人?
14．有一列数按432791864327918643279186…排列，那么前54个数字之和是多少?
15．同学们做早操，36个同学排成一列，每两个女生中间是两个男生，第一个是女生，这列队伍中男生有多少个?
16．有一串彩珠，按“2红3绿4黄”的顺序依次排列，第500颗是什么颜色?
第 9 讲 简单周期
-144145115570
传说诸葛亮小时候就特别爱动脑筋。一天，他到邻居老爷爷家玩，老爷爷正和别人下棋，见到他就用棋来出题考他。老爷爷先摆了3颗白棋子．再摆了2颗黑棋子；接着又摆了3颗白棋子，再摆了2颗黑棋子（如图）。
然后，老爷爷发问了：不摆棋子，你能说出第22颗是什么颜色吗? 诸葛亮想了一会儿，很快就答对了。
诸葛亮为什么不用摆棋子就知道问题的答案呢? 聪明的同学一定想到了，老爷爷棋子的排列是非常有规律的，即总是按照“三白两黑、三白两黑”的顺序不断重复出现。生活中，像这样按照某种规律不断重复出现的现象还有很多，如十二生肖、一年春夏秋冬四季、一个星期从星期一到星期日的循环……
一般的，把这些不断重复出现的现象统称为周期现象，呈现一定周期现象的问题就叫作周期问题。
解答周期问题一般要利用余数的知识，解答时要注意两点：
1．找出规律，发现周期现象；
2．把要求的问题和某一周期的变化相对应，以求得问题的解决。
【例1】 国庆节，路旁挂起了一盏盏彩灯，小华看到两盏白灯之间有红、黄、绿灯各一盏。那么第80盏彩灯应是什么颜色? 第102盏呢?
分析 两盏白灯之间有红、黄、绿灯各一盏，电就是蜕彩灯是按照“白、红、黄、绿、白、红、黄、绿、白、红、黄、绿、白、红、黄、绿……”的规律不断重复出现的。以4个（白、红、黄、绿）为一组，80盏彩灯刚好分成80 ÷ 4 = 20（组），第80盏刚好在第20组的最后一个，也就是“白、红、黄、绿”的最后一个，所以第80盏彩灯是绿色。同样的道理，因为102 ÷ 4 = 25……2，所以25组彩灯数完了之后才只数到100个，第102盏彩灯还要接着数2个，也就是顺序“白、红、黄、绿”这一周期的第2个，即是红色。
〖即学即练1〗 舞蹈队的同学们为同庆节准备舞蹈，他们排成一长排，每个人头上都戴了一顶帽子，帽子的颜色按照2顶黄帽子、3顶蓝帽子、1顶黑帽子的顺序依次排列。如果一共有32位同学，那么最后一位同学戴的帽子是什么颜色的?
【例2】 2008年8月8日北京奥运会开幕。已知这一天是星期五，那么从这一天算起第55天是星期几?
分析 每星期有7天，2008年8月8日是星期五，以星期五、星期六、星期日一直到星期四为一个周期不断地循环。因为55 ÷ 7 = 7……6，所以第55天与这一周期的第六个星期数相同，也就是星期三。
〖即学即练2〗 今天是5月28日，星期四，过1天是星期五，过2天是星期六，过3天是星期天……那么过50天是星期几?
【例3】 为庆祝元旦，学校在大门口安装了50盏彩灯，彩灯按照“黄黄红绿绿红黄黄红绿绿红……”的顺序依次排列，则在这50盏彩灯中，共有黄色的彩灯多少盏?
分析 彩灯按照“黄黄红绿绿红黄黄红绿绿红……”的顺序依次排列，也就是把“黄黄红绿绿红’’看作一组。50盏彩灯刚好分成50 ÷ 6 = 8（组）……2（盏），其中每一组都有2盏黄灯，余下的2个也刚好是黄灯．即可算出黄色的灯的盏数。
〖即学即练3〗 在字母序列ABCDEDCBAABCDEDCBAABCDEDCBA…中，第2013个是哪个字母? 前2013个字母中有多少个A?
【例4】 A、B、C、D、E、F、G七盏灯各自装有一个拉线开关。开始时灯B、D、F亮着，一个小朋友按从A到G，再从A到G这样的顺序依次拉七盏灯的开关，一共拉了2011次。这时亮着的灯是哪些?
分析 灯的开关拉奇数次，灯的状态改变，灯的开关拉偶数次，状态不变。七盏灯各拉一次为一轮，则2011 ÷ 7 = 287……2，可得A、B两盏灯拉了288次，C、D、E、F、G五盏灯分别拉了287次。
〖即学即练4〗 老师把1～53号卡片依次发给聪聪、明明、冬冬和笑笑四个人。第38张卡片应发给谁?
聪聪
1
5
9
……
……
明明
2
6
10
……
……
冬冬
3
7
11
……
……
笑笑
4
8
12
……
……
【例5】 下面这串数的规律是：从第3个数起，每个数都是它前面两个数之和的个位数。这串数中第88个数是几? 62808864044…
分析 尝试着多写几个数：6280886104482022460662808864044820…，就会发现这一列数总是以62808864044820224606为周期进行循环。因为88 ÷ 20 = 4……8，所以第88个数是第5个周期里的第8个数。
〖即学即练5〗 有一列数：6，8，8，4，2，…，从第三个数起，每一个数都是前两个数乘积的个位数字。那么这列数的第80个数应是多少?
【例6】 A、B、C、D四个盒子中依次放有6、5、4、3个球。第1个小朋友找到放球最少的盒子，然后从其他盒子中各取一个球放入这个盒子；第2个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也从其他盒子中各取一个球放入这个盒子……当第100个小朋友放完后，A、B、C、D四个盒子中各放有几个球?
分析 把前5次移动后各盒子中放球情况列表如下：
移动次数
A
B
C
D
原始状况
6
5
4
3
1
5
4
3
6
2
4
3
6
5
3
3
6
5
4
4
6
5
4
3
5
5
4
3
6
从上表可以看出，第五次和第一次相同，推知每4次为一个周期。因为100 ÷ 4 = 25，所以第100位小朋友放完后应该与第4位小朋友放后的结果相同。
〖即学即练5〗 4个小动物排座位，一开始，小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在1、2、3、4号位置上，以后它们不停地交换位置。第一次上下两排交换，第二次是在第一次交换后左右两列交换，第三次再上下两排交换，第四次再左右两列交换……这样一直交换下去。那么第十次交换位置后，小兔坐在第几号位置上?
【例6】 看下表，每列上、下两个字（或数字）组成一组，例如：第一组是“福2”，第二组是“娃0”……那么，第2008组是什么?
福
娃
福
娃
福
娃
福
娃
福
娃
……
2
0
0
8
2
O
0
8
2
0
……
分析 表中上行每2个字为一个周期，因为2008 ÷ 2 = 1004，所以上行第2008个字是“娃”字。同样的道理，表中下行每4个数字为一个周期，因为2008 ÷ 4 = 501，所以下行第2008个数字是“8”。
〖即学即练6〗 如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组，例如第一组是“我A”，第二组是“们B”……
我
们
爱
科
学
我
们
爱
科
学
……
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
……
（1）第62组是什么?
（2）如果“科E”对应1983年，“学F”对应1984年……那么2013年对应怎样的组?
能力检测
1．根据规律，分别算出下列图形的第20个图形是什么?
2．一串珠子，按下图这样排列，第53颗是什么颜色? 第64颗呢?
3．小花猫玩套圈的游戏，现在有5根杆，从1号杆依次套到5号杆，每一轮套5个（如图）。第18个圈应该套在几号杆上?
4．在一列数2，2，4，8，2…中，从第3个数开始，每个数都是它前面两个数的乘积的个位数字。按这个规律，这列数中的第2013个数是几?
5．2018年4月2日是星期一，那么2014年4月1日是星期几?
6．有一列数：2，4，6，8，0，2，4，6，8，0，…，第34个数是几? 这34个数的和是多少?
7．如图，有a、b、c、d四条直线，从直线a上开始，按顺时针方向依次在a、b、c、d直线上写上整数1、2、3、4、5、6、…。
（1）整数505在a、b、c、d中哪一条直线上?
（2）直线a上的第100个数是多少?
8．下面是一个11位数，它的每三个相邻数字之和都是20（如图）。你知道打“?”的数是几?
9．如图，以A、B、C、D、E依次表示左手的大拇指、食指、中指、无名指、小指。若从大拇指开始数数，按ABCDEDCBABCDEDCBA…的顺序数，数到 “112”时，是_____。
10．100个3相乘，积的个位数字是几?
11．2013年10月1日是星期二，10月25日是星期几?
12．小红买了一本童话书，每两页文字之间有3页插图，也就是说3页插图前后各有1页文字。如果这本书有128页，而第1页是文字，这本童话书共有插图多少页?
13．体育课上同学们站成一排，老师让他们按1、2、3、4、5循环报数，最后一个同学报的是1。如果这排同学不超过50人，这排同学最多有多少人?
14．有一列数按432791864327918643279186…排列，那么前54个数字之和是多少?
15．同学们做早操，36个同学排成一列，每两个女生中间是两个男生，第一个是女生，这列队伍中男生有多少个?
16．有一串彩珠，按“2红3绿4黄”的顺序依次排列，第500颗是什么颜色?
第 10 讲 神奇的一笔画
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288290115570古时候有一个国王，他不识字，却经常需要在重要文件上签名。怎么办呢? 深思熟虑之后，他创造了一个双月图代表自己的签名。后来，有个狡猾的大臣拿着模仿得一模一样的假冒签名向国王冒领财物时，却被精明的国王发觉了!
你猜，国王是怎样发觉这位大臣的阴谋的呢?
其实很简单。国王的签名是一笔完成的。旁人不知晓这个秘密，只注意模仿图形，而没有注意笔画的多少，因此画出的图形连接处有空隙，国王当然一眼就能看出这个签名是假冒的了。
所谓一笔画，是指在纸上连续不断，又不重复，笔画成某种图形。正确理解这段话，要注意三点：
1．一笔画图形必须是连通图形，即图形中的各部分必须是相连的而不能是分开的；
2．每条线都要画到，但又不能重复；
3．图形中的点可以重复通过。
一个图形能否一笔画成，关键在于图中奇点的多少。
任何图形都是由点和线组成的，图形中的点可以分成两大类：奇点（也叫单点）和偶点（也叫双点）。从一点出发的线的条数是单数，这样的点称为奇点；从一点出发的线的条数是双数，这样的点称为偶点。
正确解答一笔画问题，要掌握两条规律：
1．如果一个图中的奇点个数为0或2，那么，这个图形可以一笔画成。
当奇点的个数为。时，可以从任何个偶点开始，最后仍回到这个点；当奇点的个数为2时，必须从某一奇点开始，最后到另一个奇点结束。
2．如果一个图中奇点个数不是0或2，那么这个图形不能一笔画成。
【例1】 下面的各个图形都是由点和线组成的，请你仔细观察后回答后面的问题。
（1）与一条线相连的有哪些点?
（2）与两条线相连的有哪些点?
（3）与三条线相连的有哪些点?
（4）与四条或四条以上的线相连的有哪些点?
（5）若把与奇数条线相连的点叫奇点，把与偶数条线相连的叫偶点，那么有0个奇点（即全部是偶点）的图形有哪些? 有2个奇点的图形有哪些? 有3个或3个以上奇点的图形有哪些?
分析 先找出图中的点，再数一数从这点出发的线有几条，根据从一个点出发的线的条数的多少就能确定这个点是奇点还是偶点了。
〖即学即练1〗 判断下列图中的点，哪些是奇点? 哪些是偶点?
【例2】 六个人传球，每两人之间至多传一次，那么这六个人最多共进行多少次传球?
分析 如图，这六个点都是奇点，不可能一笔画出来，因此至少需要去掉4个点，即两条线。
〖即学即练2〗下面的图形如果能一笔画出，请试一试；如果不能，请说明理由。
【例3】 如图是可以一笔画出的，一共有几种不同的一笔画法呢? 起点、终点或顺序只要有一样不同，就算不同的画法）
分析 图中有2个奇点，无论哪个奇点都可以作为起点。
〖即学即练3〗 一张纸上画有如下的图，你能用剪刀一次连续剪下图中的三个正方形和两个三角形吗?
【例4】 甲、乙两个邮递员去送信，两人以同样的速度走遍所有的街道。甲从A点出发，乙从8点出发，最后都回到邮局（C点）。如果都选择最短的线路，谁先回到邮局?
分析 图中A、C为奇点，其余都是偶点。甲从A点出发，可以不走重复线路到达C点；而乙从B出发，一定会走重复线路。
〖即学即练4〗 甲、乙两辆车同时以相同的速度分别从A、C两点出发到达B点，哪辆车能最先行驶完所有的路线?
【例5】 下图是一个公园的平面图，能不能使游人走遍每一条路不重复? 入口和出口又应设在哪儿?
分析 游人不重复地走遍每一条路，奇点的个数必须是0或2。
〖即学即练5〗 下面是某新区花圃平面图。如果你想带领客人不重复地参观新区内路旁的每一处鲜花，应该带领客人从哪一点开始参观?
【例6】 下图能不能一笔画成? 如果不能，你能添加最少的线把它改成一笔画图形吗?
分析 一笔画图形最多只能有2个奇点，而图中共有6个奇点，因此必须将多余的奇点转化成偶点。
〖即学即练6〗 下面的图形至少要用几笔画完?
【例7】 游人在林间小路上（如图）散步，能否一次不重复地走遍所有的路线后回到出发点，）如不能，应选择怎样的路线才能使全程最短? 最短路程是多少?（单位：千米）
分析 不重复地一次走遍所有路线后返回出发点，奇点的个数必须是0。而图中有6个奇点，所以必须重复走三条路线。要使走过的路程最短，重复走的路线必须最短（1千米）。
〖即学即练7〗 一邮递员要从邮局出发，走遍图（单位：千米）中所有的街道，最后回到邮局，怎样走路程最短? 全程多少千米?
能力检测
1．下面的图形中，（ ）是奇点，（ ）是偶点。
2．下图是国际奥林匹克运动会的会标，能一笔画出来吗? 如果能，请你把它画出来。
（备用图）
3．拿一支铅笔，你能一笔画过下面的图形吗?
4．下面各图至少要用几笔画完?
5．有16个点排成的4 × 4方阵，如图。请不间断地一笔画出6条直线经过每个点，且最后回到起点。
（备用图）
6．右图是幸福镇“菜篮子工程”的某片蔬菜地，菜地的边上新种上了一批蔬菜，要给这些蔬菜施肥，能否设计一条不重复的路线? 怎样设计?
7．“六一”儿童节，小巧和爸爸去参观儿童摄影展览，所有作品都布置在画廊里。小巧和爸爸从下图的入口处进去，出口处出来。要求每条画廊只走一次，而且走遍图中所有画廊，他们该怎样走?
8．一个邮递员投递信件要走的街道如图所示，图中的数字表示各条街道的千米数。他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局。怎样走才能使所走的路程最短? 最短是多少千米?
9．右图是一个公同的平面图，要使游客走遍公园每条路而不重复，出入口应设在哪里?
10．如右图所示，从起点走到终点，要求取走每个站点上的旗子，并且每个站点只允许通过一次，有多少种不同的走法?
11．一只木箱的长、宽、高分别为5、4、3厘米（如图）。有一只甲虫从A点出发，沿棱爬
行，每条棱不允许重复，则甲虫回到A点时，最多爬行多少厘米?
12．从下图中的哪一点出发到哪一点结束，可以让你用笔在纸上连续不断且不重复地一笔画出下图?
13．下面的图形如果能一笔画出，请试一试；如果不能，请说明理由。
14．下图中，哪个能一笔画? 不能一笔画的，请添上最少的线，使它能够一笔画。
15．去掉最少的线，使下图能一笔画。
（备用图）
16．如图，甲、乙两人分别处在A、F顶点，甲向乙提出：“咱们比一比，看谁先把这个图中的每一条线都跑一遍后到达顶点C。”乙高兴地答应了。假设甲、乙两人同时出发并且速度一样，谁会先到顶点C ?
第 11 讲 有趣的数阵图
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090170传说大禹治水的时候，一只灵龟从水中翩然浮出。令人称奇的是，这只乌龟的背上竟刻有一幅图（如图①所示）。
如果将图上的点转化成数字，一个点记为一个“1”，那么图①就转变成了数字图（图②）。研究这幅数字图你会发现：每一行、每一列，甚至每一条对角线上的三个数的和都相等。
像上面的图②这样，把一些数按照 定要求排列成各种图形，使图形中的每一条直线段或若干条线段的数字和相等，这样呈现的图形，就叫作数阵图。
数阵图可以是正方形，还可以是长方形、三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形……但不管是哪一种形状的数阵图，填写时都应注意两点：
1．抓住数阵中的“特殊数”，比如两线交点上的数、长方形和正方形的顶点上的数……这些数与其他数相比，往往重复计算了多次，因而不妨作为解决数阵问题的一个突破口。
2．确定突破口后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法求解其他数。但有时因为数字存在不同的组合方法，因此答案往往不是唯一的。
4612640115570【例1】 将1、2、3、4、5这五个数分别填入右图中，组成一个“十字数阵图”，使图中横行三个数的和与竖列三个数的和相等。
分析 图中最中间的那个数最特殊，因为横行三个数相加和竖行三个数相加都算了它，即它被算了2次。因此不妨把它当作解决问题的突破口。假设它填1，剩下的四个数刚好可以分成2 + 5 = 3 + 4，因而得到本题的一个解；假设它填2，由于剩下的四个数不能分组成两组，使两组的和相等。所以2不能填在中间；同样的方法，尝试中间填3、4、5。
〖即学即练1〗 将10、13、16、19、22分别填入图中，使图中横行的三个数与竖行中三个数的和相等。

43243500【例2】 将1、2、3、4、5、6、7这七个数字分别填入图中，使得每条直线上的数字和为11。右下角“NT”处填的数字是几?
分析 除“NT”处的数外，其他六个数刚好分在两条直线上，即其他六个数的和为11 × 2 = 22。
〖即学即练2〗 （1）把1～7这七个数填入图中的圆圈中，使得每条边上的三个数的和都等于14；如果每条边上三个数的和等于10，那么中间数应该填几?
（备用）
（2）把16、17、18、19、20、21、22、23、24分别填入下图中的九个圆圈内，使每条直线上的和都等63。
（备用） （备用）
【例3】 将1、2、3、4、5、7、8、9分别填入下图的八个圆圈内，使得每个三角形的三个顶点上的数之和都与中间正方形四个顶点上的数之和相等。最上面和最下面的两个圆圈内的数之和是多少。

分析 在○中标上字母a ～ h，根据题意，a + e + h = e + f + g + h，得a = f + g，同理，c = e + h；则a + c = e + h + f + g。因为a + b + c + d + e + f + g + h = 3 ×（e + f + g + h），则a + c = （1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8 + 9）÷ 3 = 13。
〖即学即练3〗 将1～8这八个数分别填入图中的圆圈内，使每个五边形上五个数的和分别为20、21、22。
【例4】 把1、2、3、4、5、6分别填入下图的圆圈中，使每条边上的三个数之和相等，并且和最大。
（备用图） （备用图）
分析 由于三个顶点所在位置的数重复计算了，所以三个顶点所在位置的数最大，即填4、5、6时，每边上三个数的和最大。
〖即学即练4〗 （1）把3、4、5、6、7、8、9、10、11这九个数分别填在下图的圆圈中，使每条边上四个数的和相等且最大。
（备用图） （备用图）
（2）把1～10这十个数分别填在下图的五边形边上的十个圆圈内，使每条边上的三个圆圈内的数的和相等，并且使和尽可能小。
（备用图）
【例5】 在下图的空白区域内分别填上1、2．4、6四个数，使每个圈中的四个数的和都是15。4180205115570
分析 题目要求每个圈中的四个数的和都是15，而左上角的圈已知的两个数的和已经是12．则剩下的两个数的和只能是3，而这只有一种可能，即剩下的两个数只能填1和2；同样的道理，右上角那个圈剩下的两个空只能填1和4。这里，三个圈交叉的那个数重复了一次，而“1”也同样重复了一次．所以，可以断定三个圆交叉的那个数填“1”。
〖即学即练5〗（1）在图中空白部分分别填上3、5、7、8这四个数，使每个圆中的四个数的和都是21。
（备用图）
（2）下图有五个圆。它们相交后分成9个区域，现在两个区域里已经填上10与6，请在另外七个区域里分别填进2、3、4、5、6、7、9这七个数，使每圆内的和都等于15。
（备用图）
【例6】 下图是四个互相联系的三角形。把1～9这九个数字分别填入圆圈中，使每个三角形中数字的和都是15。
（备用图）
分析 因要求每个三角形中数字的和都是15，则中间的那个三角形数字和必然也是15，而这有8种可能：（1、9、5）；（2、8、5）；（2、7、6）；（4、6、5）；（2、9、4）；（3、8、4）；（3、7、5）；（8、6、1）任意选一组，都可得到本题的一个解。
〖即学即练6〗（1）把11、12、13、14、15、16分别填入下图的圆圈中，使每条边上的三个数之和都等于39。
（备用图）
（2）把1～9这九个数分别填入下图的圆圈中，使每条边上的四个数之和都等于21。
（备用图）
【例7】 将2～10这九个数分别填入下图中，使它每一横行、每一竖行、每一斜行的三个数的和都相等。
（备用图）
分析 从图①看得很明显，每一横行、每一竖行、每一斜行三个数相加，最中间的那个方框的数计算了4次，四个角上的数计算了3次。又由于题目说每一横行的和都相等，而2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 54，54 ÷ 3 = 18。2～10中，三个数相加和等于18的有：
7 + 6 + 5 8 + 7 + 3 10 + 5 + 3 9 + 5 + 4
10 + 6 + 2 8 + 6 + 4 9 + 6 + 3 9 + 7 + 2
在这八道算式中，只有6出现了四次，所以中间数填6；9、7、5、3出现了三次，因此9、7、5、3填在四个角上；最后根据每一横行、竖行、斜行三个数的和都是18，就可算出剩余四个空所应填的数。
〖即学即练7〗（1）将1、3、5、7、9、11、13、15、17这九个数填入图中的九个方框内，使每一横行、每一竖行、每一斜行的三个数的和都相等。
（备用图） （备用图）
（2）图中有九个圆，你能将0、1、2、3、4、5、6、7、8这九个数字分别填入九个圆圈内，使得每一横行、每一竖行、每一斜行的三个数的和都相等吗?
（备用图）（备用图）
能力检测
1．将l991、1992、1993、1994、1995分别填入下图的五个方格中，使得横排的三个方格中的数之和等于竖列的三个方格中的数之和。则中间方格中能填的数分别是多少?
（备用图）（备用图）
2．将1、2、3、4、5、6这六个数字填入下图的6个圆圈内，使每条线上三个数字之和都等于10。
（备用图）
3．将1～7这七个数分别填入下图的七个圆圈内，使得每条边的三个数的和都等于14。
（备用图）
4．把1、4、7、10、13、16、19这七个数分别填入下图的七朵花里，使每条线上三个数的和相等。
（备用图）
5．把数字1～6分别填入下图中的圆圈内，使得每个大圆上的数字和都是15。
（备用图）
6．在下图的九个小方格中各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上的三个数字之和相等，则其中带“?”方格中所填入的数字是多少?
（备用图）
7．把2、5、8、11、14、17分别填入下图的圆圈中，使每条边上的三个数之和最小，最小是多少?
（备用图）
8．将2、4、6、8、10、12、14、16、18这九个数分别填入下图的九个方框内，使每一横行、 每一竖行、每一斜行的三个数的和都相等。
（备用图）
9．把4～9这六个数分别填入下图中的六个圆圈内，使得每个正方形四个顶点上的数的和都为28。
（备用图）
10．把2～12这十一个数分别填入下图的圆圈内，使每条边上三个圆圈内数的和都相等。你能写出哪些不同的填法?
（备用图）
11．2010年是虎年，请把1～11这十一个数不重复地填入虎额上的“王”字中，使三行、 一列的和都等于18。
（备用图） （备用图）
12．把1～8这八个数分别填入下图中的方格内（每个数必须用一

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