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匀变速直线运动的速度与时间的关系
1．知道什么是匀变速直线运动。
2．知道匀变速直线运动的v?t图像特点，理解图像的物理意义。
3．理解匀变速直线运动的速度与时间的关系，会用其解决实际问题。
一、匀变速直线运动
1．定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动。
2．常见的两种匀变速直线运动
(1)匀加速直线运动：速度随时间均匀增加；
(2)匀减速直线运动：速度随时间均匀减小。
3．直线运动的v?t图像
(1)匀速直线运动的v?t图像是一条平行于时间轴的直线，如图甲所示。
(2)匀变速直线运动的v?t图像是一条倾斜的直线，如图乙所示，a表示匀加速直线运动，b表示匀减速直线运动。
二、速度与时间的关系
1．匀变速直线运动的速度与时间的关系式：v＝v0＋at。
2．对关系式的理解：做匀变速直线运动的物体，在t时刻的速度v，等于物体在开始时刻的速度v0，再加上在整个过程中速度的变化量at。
判一判
(1)速度和时间的关系式v＝v0＋at适用于任何直线运动。(　　)
(2)速度和时间的关系式v＝v0＋at既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动。(　　)
(3)物体的初速度越大，运动时间越长，则物体的末速度一定越大。(　　)
提示：(1)×　v＝v0＋at适用于匀变速直线运动。
(2)√　匀加速和匀减速直线运动都是匀变速直线运动，v＝v0＋at都适用。
(3)×　当物体做匀加速运动时，初速度越大，运动时间越长，则物体的末速度越大。当物体做匀减速运动时，末速度不一定越大。
想一想
一个做直线运动的物体的v?t图像如图所示，在t1时刻物体的加速度为零吗？
提示：v?t图像中斜率代表加速度，在t1时刻速度为零，物体的加速度为直线的斜率，不为零。
课堂任务　对匀变速直线运动的理解
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：如图甲是小车运动的v?t图像，该图像有什么特点？
提示：是一条倾斜的直线。
活动2：由图甲v?t图像的特点，可知速度的变化量Δv与对应的时间的变化量Δt有什么关系吗？可以得出什么结论？
提示：无论Δt选在什么区间，速度的变化量Δv与对应的时间的变化量Δt之比都相同，即小车运动的加速度不变。
活动3：由图乙和图丙能得到活动2的结论吗？
提示：可以，图乙和图丙中的v?t图线也是一条倾斜的直线，物体运动的加速度也不变。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
1．匀变速直线运动的属性
(1)任意相等的时间内，速度的变化量相同。
(2)不相等的时间，速度的变化量不相等，但＝a相等，即加速度a保持不变。
(3)v?t图像是一条倾斜的直线。
2．匀变速直线运动的分类
(1)匀加速直线运动：物体的速度随时间均匀增加的变速直线运动。如图1所示的直线a表示的是匀加速直线运动。
(2)匀减速直线运动：物体的速度随时间均匀减小的变速直线运动。如图1所示的直线b表示的是匀减速直线运动。
(3)v?t图像为穿过时间轴的直线，表示的运动整个来看既不能称为匀加速直线运动也不能称为匀减速直线运动，只能称为匀变速直线运动。如图2所示，在0～t1时间段内是匀减速直线运动，但在t1～t2时间段内是反向匀加速直线运动，故0～t2时间内既不能称为匀加速直线运动，也不能称为匀减速直线运动。但是0～t2时间内任意截取一段时间都是一个定值，故可以称为匀变速直线运动。
注意：加速度与速度的方向决定物体是加速还是减速，如下图所示。
例1　(多选)一物体做直线运动，下图表示该物体做匀变速直线运动的是(　　)
(1)你能分清图像中x、v、a、t坐标轴分别表示的物理量是什么吗？
提示：x表示物体运动的位移，v表示物体运动的速度，a表示物体运动的加速度，t表示物体运动的时间。
(2)匀变速直线运动的特点是什么？
提示：沿一条直线运动，速度均匀变化，加速度不变。
[规范解答]　A图是v?t图像，速度均匀变化，物体做匀变速直线运动；B图是x?t图像，位移均匀增大，速度不变，物体做匀速直线运动；C图是a?t图像，加速度不变，物体做匀变速直线运动；D图是v?x图像，速度随位移均匀增大，不表示物体做匀变速直线运动。
[完美答案]　AC
我们分析二维坐标图像时，首先应注意两坐标轴表示的物理量分别是什么。其次要注意图像的斜率代表的是什么，比如位移—时间图像的斜率代表的是速度，而速度—时间图像的斜率代表的是加速度。而且我们还要清楚图线交点及平行于某个坐标轴的物理意义。
　下列关于匀变速直线运动的说法正确的是(　　)
A．匀加速直线运动的速度一定与时间成正比
B．匀减速直线运动就是加速度为负值的运动
C．匀变速直线运动的速度随时间均匀变化
D．速度先减小再增大的运动一定不是匀变速直线运动
答案　C
解析　匀加速直线运动的速度随时间均匀增大，二者呈线性关系，不一定成正比，A错误；加速度的正、负仅表示加速度的方向与规定的正方向相同还是相反，与是否为匀减速直线运动无关，B错误；匀变速直线运动的速度随时间均匀变化，C正确；加速度恒定，初速度与加速度方向相反的匀变速直线运动，速度就是先减小后增大的，D错误。
课堂任务　速度与时间关系的理解和应用
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：除v?t图像外，还可以如何描述小车速度与时间的关系？
提示：用公式描述。
活动2：如果小车开始时刻的速度是v0，t时刻的速度是v，则小车在0～t这段时间内速度的变化量是多少？小车的加速度是多少？
提示：速度的变化量Δv＝v－v0，小车的加速度a＝＝。
活动3：由活动2可以得出小车速度与时间的关系吗？
提示：可以，由a＝＝解得v＝v0＋at，此式即为小车做匀变速直线运动的速度与时间的关系式。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
1．公式v＝v0＋at的物理意义
从t＝0时刻起做匀变速直线运动的物体，在t时刻的速度v等于物体在开始时刻的速度v0加上在整个过程中速度的变化量at，如图所示。
2．公式中各符号的含义
(1)v0为开始时刻物体的瞬时速度，称为初速度；v为经时间t后物体的瞬时速度，称为末速度。
(2)a为物体的加速度。为恒量，表明速度均匀变化，即相等时间内速度的变化量相等。
3．公式的适用条件
做匀变速直线运动的物体。
4．矢量性
(1)公式中的v0、v、a均为矢量，应用公式解题时，一般取v0的方向为正方向，a、v与v0的方向相同时取正值，与v0的方向相反时取负值。对计算结果中的正、负，应根据正方向的规定加以说明，如若v>0，表明末速度与初速度v0同向；若a<0，表明加速度与v0反向。
(2)a与v0同向时物体做匀加速直线运动，a与v0反向时，物体做匀减速直线运动。
5．特殊情况
(1)当v0＝0时，v＝at(由静止开始的匀加速直线运动)。
(2)当a＝0时，v＝v0(匀速直线运动)。
　(1)对于做匀减速直线运动的物体，应注意物体速度减为零之后能否加速返回，若不能返回，应注意题中所给时间与物体所能运动的最长时间的关系。
(2)速度公式v＝v0＋at虽然是加速度定义式a＝的变形，但两式的适用条件是不同的：
①v＝v0＋at仅适用于匀变速直线运动；
②a＝可适用于任意的运动。
例2　以18
m/s的速度行驶的汽车，紧急刹车后做匀减速直线运动，其加速度大小为
6
m/s2。求：
(1)汽车在刹车2
s末的速度；
(2)汽车在刹车6
s末的速度。
刹车问题要注意什么？
提示：所给时间与刹车时间的关系。
[规范解答]　汽车做匀减速直线运动，规定开始刹车时的速度方向为正方向，则v0＝18
m/s，a＝－6
m/s2，
从减速到静止的时间t＝，解得：t＝3
s。
即2
s末物体仍在做匀减速运动，则v2＝v0＋at2，v2＝6
m/s。
因为3
s末汽车已经停止下来了，所以6
s末的速度为0。
[完美答案]　(1)6
m/s　(2)0
求解汽车刹车问题时应注意的问题
汽车刹车、飞机着陆、火车进站等实际减速运动，由于它们在速度减小为零后不再返回，此后它们就一直停留在某位置不动，故计算它们的速度时切不可盲目将所给时间代入速度公式。若所给时间小于刹车用时，可将所给时间代入速度公式求解；若所给时间大于或等于刹车用时，则它们在所给时间的速度为零。
　(多选)给滑块一初速度v0使它沿光滑斜面向上做匀减速运动，加速度大小为(g为常量)，当滑块速度大小减为时，所用时间可能是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　BC
解析　规定初速度的方向为正方向，若滑块的初速度与末速度的方向相同，则t＝；若滑块的初速度与末速度的方向相反，则t＝，B、C正确。
　一卡车以v0＝10
m/s的速度在平直公路上匀速行驶，因为路口出现红灯，司机从较远的位置A立即开始刹车，使卡车匀减速前进。当卡车运动到位置B，速度减小到vB＝2
m/s时，交通灯恰好转为绿灯，司机当即放开刹车开始做匀加速运动，并且只用了减速过程一半的时间，运动到位置C时，卡车就加速到原来的速度，已知从开始刹车到恢复到原来的速度所用的时间t＝12
s，求：
(1)卡车在减速和加速过程中的加速度a1、a2；
(2)刹车后卡车在2
s时的速度v。
答案　(1)－1
m/s2　2
m/s2　(2)8
m/s
解析　(1)设卡车从A点运动到B点所用的时间为t1，从B点运动到C点所用的时间为t2，
由题意可知t2＝t1，t1＋t2＝12
s，
解得t1＝8
s，t2＝4
s。
取卡车初速度的方向为正方向，在卡车从A点运动到B点的过程中，有vB＝v0＋a1t1，
卡车从B点运动到C点的过程中，有vC＝vB＋a2t2，
解得a1＝－1
m/s2，a2＝2
m/s2。
(2)卡车在刹车后2
s时的速度为v1＝v0＋a1t′，
其中t′＝2
s，解得v1＝8
m/s。
课堂任务　v?t图像的理解及应用
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：如图甲是一个物体运动的v?t图像，物体的速度是怎样变化的？
提示：速度随时间非线性增大，增大得越来越慢。
活动2：图甲中，在相等的时间间隔内，即Δt′＝Δt时，速度的变化量Δv′和Δv总是相同吗？
提示：不总是相同。
活动3：图甲中物体在做匀变速直线运动吗？如果不是，则在做什么运动？
提示：由活动2可知，图甲中物体不是在做匀变速直线运动。由图像可知，在相等的时间间隔内，即Δt′＝Δt时，速度的变化量Δv′＜Δv，物体速度增加得越来越慢，所以物体在做加速度减小的加速直线运动。
活动4：你能描述图乙中物体的运动吗？
提示：在0～2
s时间内，物体做匀加速直线运动；在2～6
s时间内，物体以2
m/s的速度做匀速直线运动；在6～8
s时间内，物体做匀减速直线运动，最后速度为0。
活动5：讨论、交流、展示，得出结论。
1．v?t图像总结
　v?t图像的两点说明
(1)只能描述直线运动，无法描述曲线运动。
(2)v?t图像描述的是物体的速度随时间的变化规律，并不表示物体的运动轨迹。
2．变加速直线运动的v
?t图像
加速度增加的加速运动
加速度减小的加速运动
加速度增加的减速运动
加速度减小的减速运动
曲线越来越陡，斜率逐渐增大，物体运动的加速度越来越大；速度越来越大
曲线越来越缓，最后水平，斜率逐渐减小，物体运动的加速度越来越小，最后为零；速度越来越大，最后做匀速运动
曲线越来越陡，斜率逐渐增大，物体运动的加速度越来越大；速度越来越小，最后为零
曲线越来越缓，斜率逐渐减小，物体运动的加速度越来越小；速度越来越小，最后为某一值或零
例3　(多选)质点做直线运动的v?t图像如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．在前4
s内质点做匀变速直线运动
B．在1～3
s内质点做匀变速直线运动
C．3
s末质点的速度大小为5
m/s，方向与规定的正方向相反
D．1～2
s内与2～3
s内质点的加速度方向相反
(1)如何根据v?t图像判断物体速度的大小和方向？
提示：纵坐标表示速度，纵坐标的绝对值表示速度的大小，纵坐标的正负表示速度的方向。
(2)如何根据v?t图像判断物体加速度的大小和方向？
提示：斜率表示加速度，斜率的绝对值表示加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向。
[规范解答]　由图像知，前4
s内质点的加速度发生变化，质点不做匀变速直线运动，故A错误；1～3
s内质点的加速度不变，质点做匀变速直线运动，故B正确；3
s末质点的速度为－5
m/s，故C正确；1～2
s内质点的加速度为负，2～3
s内加速度也为负，方向相同，D错误。
[完美答案]　BC
v?t图像的意义
(1)可求出物体在任一时刻的速度和物体达到某一速度所需要的时间。
(2)图线的斜率等于物体的加速度。
(3)图线在时间轴的上方表示物体向正方向运动，在时间轴的下方表示物体向负方向运动。
(4)可判断物体的运动性质：在v?t图像中，倾斜直线表示物体做匀变速直线运动；平行于时间轴的直线表示物体做匀速直线运动；和时间轴重合的直线表示物体静止。
　2018年12月8日凌晨，人类首次月球背面软着陆探测之旅，在素有“月亮城”美誉的四川西昌开启征程。2时23分，中国长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心点火升空，成功将嫦娥四号探测器送上太空。若火箭由地面竖直向上发射，其v?t图像如图所示，由图像可知(　　)
A．0～tb这段时间火箭是上升的，tb～tc这段时间火箭是下落的
B．tb时刻火箭离地面最远
C．tc时刻火箭回到地面
D．火箭在0～ta这段时间的加速度小于在ta～tb这段时间的加速度
答案　D
解析　速度的正负表示方向，故0～tb和tb～tc这两段时间火箭的运动方向相同，都是上升的，A错误；因为0～tc这段时间火箭一直上升，故tb时刻火箭离地面并不是最远，这段时间中，tc时刻火箭离地面最远，B、C错误；由v?t图像的斜率表示加速度，可知0～ta这段时间火箭的加速度小于ta～tb这段时间的加速度，D正确。
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-匀变速直线运动的位移与时间的关系
1．理解v?t图像中“面积”与位移的关系，了解匀变速直线运动位移与时间的关系式的推导过程。
2．理解匀变速直线运动位移与时间的关系式，并会用其解决实际问题。
3．理解速度与位移的关系式的推导过程，理解速度与位移关系式，并会应用其解决实际问题。
一、匀变速直线运动的位移
1．位移在v?t图像中的表示
做匀变速直线运动的物体的位移，对应着v?t图像中的图线和t轴所包围的面积。如图所示，在0～t时间内的位移大小等于着色部分的梯形的面积。
2．位移公式：x＝v0t＋at2。
(1)公式中x、v0、a均是矢量，应用公式解题前应先根据正方向明确它们的正、负值；
(2)当v0＝0时，x＝at2，表示初速度为零的匀加速直线运动的位移与时间的关系。
二、匀变速直线运动的速度与位移的关系
1．匀变速直线运动的速度与位移的关系式
v2－v＝2ax，若v0＝0，则关系式为v2＝2ax。
2．公式推导
速度公式：v＝v0＋at①
位移公式：x＝v0t＋at2②
将上述两个公式联立，消去时间t，可得v2－v＝2ax。
3．速度与位移的关系式是矢量式，使用时应先规定正方向，以便确定v0、v、a、x的正负。
判一判
(1)初速度越大，时间越长，匀变速直线运动物体的位移一定越大。(　　)
(2)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关。(　　)
(3)位移公式x＝v0t＋at2仅适用于匀加速直线运动。(　　)
(4)公式v2－v＝2ax适用于所有的直线运动。(　　)
(5)因为v2－v＝2ax，v2＝v＋2ax，所以物体的末速度v一定大于初速度v0。(　　)
(6)在公式v2－v＝2ax中，a为矢量，与规定的正方向相反时，a取负值。(　　)
提示：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√
想一想
(1)v?t图像中图线与时间轴所围的图形有时在时间轴上方，有时在时间轴下方，这与物体的位移有何关系？
提示：根据v?t图像的物理意义，图线在时间轴上方，表明物体向正方向运动，图线与时间轴所围的图形在时间轴上方，其面积表示的物体的位移为正值，位移为正方向；同理，图线在时间轴的下方，表明物体向负方向运动，图线与时间轴所围的图形在时间轴下方，其面积表示的位移是负值，位移为负方向。
(2)匀速直线运动的位移公式为x＝vt，由此式可以得出它的位移x与时间t呈线性关系，作出的x?t图像为倾斜直线；匀变速直线运动的位移公式为x＝v0t＋at2，那么它的x?t图像应为什么形状？
提示：匀变速直线运动的位移x是时间t的二次函数，由数学知识可知匀变速直线运动的x?t图像应为抛物线。
(3)应用v2－v＝2ax分析匀变速直线运动有何优势？
提示：因为公式v2－v＝2ax不涉及物体运动的时间，故在不要求计算时间时，应用该式分析匀变速直线运动较方便。
课堂任务　匀变速直线运动的位移
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：以速度v做匀速直线运动的物体，时间t内的位移是什么？在图甲所示的图像中可以用什么来表示？
提示：位移x＝vt，在图甲所示的v?t图像上可以用图线与时间轴所包围的矩形面积来表示。
活动2：从活动1的结论可以得到什么启示？在图乙上有什么体现？
提示：匀变速直线运动的位移大小也能用v?t图像中图线与时间轴所包围图像的面积来表示，即初速度为v0，末速度为v，运动时间为t的匀变速直线运动的位移可用图乙中着色部分的梯形面积表示。
活动3：观察图丙和图丁，分析活动2的推测合理吗？
提示：把匀变速直线运动近似看成几段匀速直线运动，如图丙，其位移就可以近似表示为图丙中几个矩形面积的和。把运动过程划分为更多的小段，如图丁，用这些小段的位移之和近似代表物体在整个过程中的位移，小矩形越窄，多个小矩形的面积之和越接近物体的位移。如果把整个运动过程分割得非常细，很多小矩形的面积之和就能非常精确地代表物体的位移，这些小矩形合在一起便形成了图乙中的梯形，所以活动2的推测合理。
活动4：若已知匀变速直线运动的初速度v0、加速度a，如何推导出位移x与时间t的关系式？
提示：根据梯形面积公式可知，x＝(v0＋v)t，将v＝v0＋at代入得，x＝v0t＋at2。
活动5：讨论、交流、展示，得出结论。
1．位移与面积的关系
匀变速直线运动v?t图像与时间轴所围成的“梯形面积”等于“位移”。
2．匀变速直线运动的位移公式：x＝v0t＋at2
(1)公式推导
方法一：如图为匀变速直线运动的v?t图像，其阴影部分的面积等于物体的位移。由梯形的面积公式知物体的位移：x＝·t，再代入v＝v0＋at得：x＝·t，整理得x＝v0t＋at2。
方法二：仍然利用v?t图像中阴影部分的面积等于物体的位移，但把阴影部分分割为两部分(如图所示)：x1＝v0t，x2＝at2，所以x＝x1＋x2，即x＝v0t＋at2。
图线在时间轴上方，图线与时间轴所围的图形的面积为正值，表示的位移为正；图线在时间轴下方，图线与时间轴所围的图形的面积为负值，表示的位移为负；图线与时间轴有交叉，总位移为上、下面积的代数和。例如：如果一个物体的v?t图像如图所示，图线与t轴围成两个三角形，面积分别为x1和x2，此时x1<0，x2>0，则0～t2时间内该物体的总位移x＝|x2|－|x1|，若x>0，位移为正，若x<0，位移为负。
(2)公式特点
①公式x＝v0t＋at2是位移公式，而不是路程公式。利用该公式求的是位移，而不是路程，只有在单方向直线运动中，所求的位移大小才等于路程。
②矢量性：位移公式为矢量式，该公式中除t外各量均为矢量，注意其方向。x、a、v0必须选取统一的正方向，一般选取初速度的方向为正方向。若取初速度方向为正方向，其情况列表如下。
若物体做匀加速直线运动
a与v0同向，a取正值
若物体做匀减速直线运动
a与v0反向，a取负值
若位移的计算结果为正值
说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相同
若位移的计算结果为负值
说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相反
③此公式只适用于匀变速直线运动，对非匀变速直线运动不适用。
3．公式的特殊形式
(1)当a＝0时，x＝v0t(匀速直线运动)。
(2)当v0＝0时，x＝at2(由静止开始的匀加速直线运动)。
例1　一物体做匀加速直线运动，初速度大小为v0＝5
m/s，加速度大小为a＝0.5
m/s2，求：
(1)物体在前3
s内的位移大小；
(2)物体在第3
s内的位移大小。
(1)两问分别要求的是哪段时间内的位移？
提示：第一问要求的是0～3
s内的位移，即所求位移的时间间隔是3
s；第二问要求的是第3
s内的位移，所求位移的时间间隔是1
s，即第2
s末到第3
s末的位移。
(2)选用什么公式来求解位移？
提示：因为物体做匀加速直线运动，v0、a、t已知，可以运用x＝v0t＋at2来计算。
[规范解答]　(1)用位移公式求解，前3
s内物体的位移：
x3＝v0t3＋at＝5×3
m＋×0.5×32
m＝17.25
m。
(2)同理2
s内物体的位移：
x2＝v0t2＋at＝5×2
m＋×0.5×22
m＝11
m。
因此，第3
s内的位移
x＝x3－x2＝17.25
m－11
m＝6.25
m。
[完美答案]　(1)17.25
m　(2)6.25
m
1使用公式x＝v0t＋at2时要注意v0、a、x是矢量。式中包含v0、a、x、t四个物理量，当其中三个量已知时，可求第四个未知量。
2应用位移公式x＝v0t＋at2解题的基本思路
①确定研究对象，并分析判断物体是否做匀变速直线运动。
②选择研究过程。
③分清已知量和待求量，找出与所选研究过程相对应的v0、a、t、x的值，特别要注意v0并不一定是物体运动的初速度，而是与研究过程相对应的初速度。
④规定正方向，判定各矢量的正、负，然后代入公式。
⑤统一已知量的单位，求解方程。
　一小球沿斜面由静止开始匀加速滚下(斜面足够长)，已知小球在第4
s末的速度为4
m/s。求：
(1)第6
s末小球的速度；
(2)前6
s内小球的位移；
(3)第6
s内小球的位移。
答案　(1)6
m/s　(2)18
m　(3)5.5
m
解析　根据加速度公式得
a＝＝
m/s2＝1
m/s2。
(1)第6
s末小球的速度：v′＝at′＝1×6
m/s＝6
m/s。
(2)前6
s内小球的位移：
x＝at′2＝×1×62
m＝18
m。
(3)第6
s内小球的位移：
Δx＝x－a(t′－1)2＝
m＝5.5
m。
例2　汽车以10
m/s的速度行驶5分钟后突然刹车，如果刹车过程汽车做匀变速直线运动，加速度大小为5
m/s2，则刹车后3秒内汽车行驶的距离是多少？
(1)刹车问题先求什么？如何求解？
提示：先求刹车时间，由匀变速直线运动速度和时间的关系可以求解。
(2)能直接将所给刹车后的时间代入位移公式计算该段时间的位移吗？
提示：不能。物理解题需要符合实际，要先判断所给时间是否就是运动时间。
[规范解答]　依题意画出运动草图如图所示。
设经时间t速度减为零，根据匀变速直线运动速度公式v＝v0＋at，
有0＝10－5t，解得t＝2
s，
由于汽车在运动2
s时就停下了，所以有
x3＝x2＝v0t＋at2＝10×2
m＋×(－5)×22
m＝10
m。
[完美答案]　10
m
刹车类问题的处理思路
实际交通工具刹车后在摩擦力作用下可认为是做匀减速直线运动且运动过程不可逆，即当速度减小到零时，车辆就会停止。解答此类问题的思路是：
1先求出它们从刹车到静止的刹车时间t刹＝；
2比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解。若t>t刹，不能直接将所给时间t代入公式求解；若t　骑自行车的人以5
m/s的初速度匀减速地上一个斜坡(如图所示)，加速度的大小为0.4
m/s2，斜坡长30
m，骑自行车的人通过斜坡需要多长时间？
答案　10
s
解析　知道初速度、加速度和位移三个量自然想到公式x＝v0t＋at2，代入数据得：30＝5t－×0.4t2，解得：t1＝10
s，t2＝15
s。
将t1＝10
s和t2＝15
s分别代入速度公式v＝v0＋at计算得两个时间分别对应的末速度：v1＝1
m/s和v2＝－1
m/s。
v2＝－1m/s与上坡的速度方向相反，与实际情况不符，应该舍去，所以人通过斜坡需要的时间为10
s。
课堂任务　速度与位移的关系
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
交通事故中，交警为了了解汽车开始刹车时的车速，判断汽车是否超速，只要知道刹车时的加速度大小，再测出刹车痕迹长度就行。这是怎么办到的？
活动1：汽车刹车时做匀减速直线运动，刹车痕迹的长度即刹车时位移x的大小，x怎么表示？
提示：x＝v0t＋at2。
活动2：刹车开始的速度v0如何表示？
提示：v＝v0＋at。
活动3：根据已知量a、x、v＝0，用什么方法可以求出汽车刹车时的速度v0?
提示：由以上活动可知时间t是未知的，但是由速度公式v＝v0＋at和位移公式x＝v0t＋at2联立，消去t，可得速度与位移的关系式v2－v＝2ax，末速度v为零，测量出刹车距离x，并将已知的加速度a代入关系式即可计算出汽车刹车时的速度v0。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
1．速度与位移关系式的推导
?x＝＋·?x＝?v2－v＝2ax。
2．速度与位移关系式v2－v＝2ax的理解及应用
(1)公式的适用条件：公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系，适用于匀变速直线运动。
(2)公式的意义：公式v2－v＝2ax反映了初速度v0、末速度v、加速度a、位移x之间的关系，当其中三个物理量已知时，可求第四个未知的量。
(3)公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，解题时先要规定正方向。若规定v0的方向为正方向，则：
①物体做加速运动时，a取正值，做减速运动时，a取负值。
②x＞0，说明物体通过的位移方向与初速度方向相同；x＜0，说明位移的方向与初速度的方向相反。或者已知位移时，位移的方向与正方向相同，取正值；位移的方向与正方向相反，取负值。
(4)两种特殊形式
①当v0＝0时，v2＝2ax。(初速度为零的匀加速直线运动)
②当v＝0时，－v＝2ax。(末速度为零的匀减速直线运动，例如刹车问题)
例3　在某城市的一条道路上，规定车辆行驶速度不得超过30
km/h。在一次交通事故中，肇事车是一辆客车，量得这辆车紧急刹车(车轮被抱死)时留下的刹车痕迹长为7.6
m(如图)，已知该客车刹车时的加速度大小为7
m/s2。请判断该车是否超速？
(1)汽车的末速度是多少？
提示：汽车的末速度为零。
(2)题中的已知量是什么？如何求解初速度？
提示：题中已知量为v、a、x；求初速度v0，缺时间t，用公式v2－v＝2ax求解比较简单。
[规范解答]　规定v0的方向为正方向，则刹车时位移x＝7.6
m，刹车时加速度a＝－7
m/s2，客车的末速度v＝0。
由匀变速直线运动位移与速度的关系式v2－v＝2ax得：0－v＝2×(－7)×7.6
m2/s2
解得：v0≈10.3
m/s≈37.1
km/h＞30
km/h，所以该客车超速。
[完美答案]　客车超速
1对于匀变速直线运动，会涉及5个物理量：v0、v、a、x、t，如果已知量和待求量中缺t，用公式v2－v＝2ax解题会比较简便。如果已知量和待求量中缺v，用公式x＝v0t＋at2解题会比较简便。如果已知量和待求量中缺x，用公式v＝v0＋at解题会比较简便。
2匀变速直线运动的5个物理量：v0、v、a、x、t，若已知其中3个物理量，便可由以上公式求出剩下的2个量。即5个量中只有3个是独立的。
　一辆在绵遂高速公路上以108
km/h的速度行驶的小汽车，突然发现同一车道的正前方100
m处停有一辆故障车，由于无法从其他车道避让，司机从发现前方故障车到开始制动有1
s的反应时间，制动后小汽车以a＝－6
m/s2的加速度做匀减速直线运动，请你通过计算判定这辆小汽车是否会与前方故障车发生追尾事故？
答案　这辆小汽车会与前方故障车发生追尾事故
解析　司机反应时间内小汽车做匀速直线运动，
v0＝
m/s＝30
m/s
由x1＝v0t，代入数据解得x1＝30
m，
随后小汽车做匀减速直线运动，设减速到停下的位移为x2，则v＝2ax2，代入数据解得x2＝
m＝75
m，
从发现故障车到停下来通过的距离
x＝x1＋x2＝105
m，
x＞100
m，故会发生追尾。
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10
-自由落体运动
1．了解历史上对自由落体运动的认识历程，了解伽利略对自由落体运动的研究方法。
2．理解自由落体运动概念，知道物体做自由落体运动的条件。
3．用实验测量自由落体加速度，知道它的大小和方向。
4．应用类比法得出自由落体运动的规律，并能解决相关实际问题。
一、自由落体运动
1．亚里士多德的观点
物体下落的快慢跟它的轻重有关，重的物体下落得快。
2．伽利略的观点
(1)归谬：伽利略从亚里士多德的论断出发，通过逻辑推理，否定了亚里士多德的论断。
(2)猜想：重的物体与轻的物体下落得同样快。
3．自由落体运动
(1)定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动。
(2)条件：①运动条件：初速度为0；②受力条件：只受重力作用。
(3)特别说明：自由落体运动只在真空中才能发生。在有空气的空间，如果空气阻力的作用比较小，可以忽略，物体的下落可以近似看作自由落体运动。
二、自由落体加速度
1．定义：在同一地点，一切物体自由下落的加速度都相同，这个加速度叫作自由落体加速度，也叫作重力加速度，通常用g表示。
2．方向：竖直向下。
3．大小：在地球表面不同的地方，g的大小一般是不同的。在一般的计算中，g可以取9.8
m/s2或10
m/s2。
4．自由落体运动的规律：自由落体运动是初速度为0、加速度为g的匀加速直线运动，速度与时间的关系式为v＝gt，位移与时间的关系式为x＝gt2。
判一判
(1)在空气中自由释放的物体做自由落体运动。(　　)
(2)物体在真空中一定做自由落体运动。(　　)
(3)自由释放的物体只在重力作用下一定做自由落体运动。(　　)
(4)质量越大的物体自由落体加速度越大。(　　)
(5)地球上任何地方的重力加速度都相同。(　　)
(6)伽利略通过实验的观察与计算，直接得到了自由落体运动的规律。(　　)
提示：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　(6)×
想一想
自由落体加速度的方向总是竖直向下，是否可以理解为自由落体加速度方向总是垂直地面向下？
提示：不可以。竖直向下不等同于垂直地面向下。当地面水平时，两者相同；当地面不水平时，两者不相同。
课堂任务　自由落体运动的理解
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：如图，让小钢珠和羽毛从玻璃管上方同时开始下落，图甲真空管和图乙有空气的玻璃管中它们的下落情况是怎样的？
提示：在真空管中，小钢珠和羽毛下落得一样快；在有空气的玻璃管中，小钢珠比羽毛下落得快。
活动2：由图甲中的现象，你能得出什么结论？
提示：在真空中，轻的物体和重的物体下落得一样快。
活动3：你认为图乙中小钢珠和羽毛下落的快慢不同的原因是什么？
提示：空气阻力对小钢珠与羽毛的影响不同。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
1．自由落体运动
物体只在重力作用下从静止开始下落的运动，叫作自由落体运动。满足两个条件：
(1)初速度为零。
(2)仅受重力作用。
2．自由落体运动是一种理想化模型
在空气中，物体的运动都是要受阻力的，所以空气中不存在真正的自由落体运动。但在空气阻力很小的情况下，可以近似看作自由落体运动。所以自由落体运动是一种理想化模型。
例1　关于自由落体运动，下列说法正确的是
(　　)
A．物体从静止开始下落的运动就叫作自由落体运动
B．自由落体运动是物体不受任何作用力的运动
C．从静止开始下落的小钢球，因受空气阻力作用，不能看成自由落体运动
D．从树上落下的树叶，因受空气阻力作用，不能看成自由落体运动
(1)自由落体运动的条件是什么？
提示：①初速度为0；②只受重力作用。
(2)空气中的落体运动什么情况下能看成自由落体运动？
提示：当空气阻力远小于物体所受重力时，空气中物体由静止开始下落的运动可看作自由落体运动。
[规范解答]　根据自由落体运动的条件：初速度为0，只受重力作用，A、B错误。从静止开始下落的小钢球，所受空气阻力远小于重力，可看成自由落体运动；从树上落下的树叶，所受空气阻力较大，不能看成自由落体运动，C错误，D正确。
[完美答案]　D
初速度为零、物体只受重力，这两个条件是否都满足是判断物体是否做自由落体运动的唯一标准。
　关于自由落体运动，下列说法正确的是(　　)
A．物体竖直向下的运动就是自由落体运动
B．从水平飞行的飞机上释放的物体将做自由落体运动
C．雨滴下落的过程是自由落体运动
D．从水龙头上滴落的水滴下落的过程可近似看作自由落体运动
答案　D
解析　紧扣自由落体运动的两个关键点：①只受重力，空气阻力可忽略；②由静止开始下落。由此可知，A错误；从水平飞行的飞机上释放的物体不是由静止下落的，所以不是自由落体运动，B错误；雨滴在空中下落时运动距离很长，速度很大，空气阻力不能忽略，故雨滴下落的过程不是自由落体运动，C错误；从水龙头上滴落的水滴下落的高度较小，速度较小，空气阻力可以忽略，下落过程可近似看作自由落体运动，D正确。
课堂任务　自由落体加速度
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
表2
活动1：怎样测量做自由落体运动的物体的加速度？
提示：由第1节的知识可知，可以用“打纸带”的方法测量做自由落体运动的物体的加速度，如图所示。
活动2：改变物体的质量，测量的加速度如表1所示，对此能得出什么结论？
提示：在实验误差允许的范围内，在同一地点，不同质量物体自由下落的加速度都相同。
活动3：观察表2，能发现什么规律？
提示：在地球表面不同的地方，自由落体加速度的大小一般不同。随着纬度的升高，自由落体加速度增大。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
1．自由落体加速度
(1)定义：在同一地点，一切物体做自由落体运动的加速度都相同，这个加速度叫作自由落体加速度，也叫作重力加速度，通常用g表示。
(2)大小：与所处地球上的位置及距地面的高度有关。
①在地球表面随纬度的增加而增大，在赤道处最小，在两极处最大，但差别很小。
②在地面上的同一地点，随高度的增加而减小，但在一定的高度范围内，可认为重力加速度的大小不变。
③一般情况下，取g＝9.8
m/s2或g＝10
m/s2。
(3)方向：竖直向下，不一定指向地心。由于地球是球体，各处重力加速度的方向并不相同。
2．重力加速度的测量方法
(1)打点计时器法
①利用如图所示装置，让重锤自由下落打出点迹清晰的纸带。
②对纸带上相邻两个计数点间的距离x进行测量，利用g＝，求出重力加速度。
(2)频闪照相法
频闪照相机可以间隔相等的时间拍摄一次，利用频闪照相机可追踪记录做自由落体运动的物体在各个时刻的位置，根据匀变速直线运动的推论Δx＝gT2可求出重力加速度g＝。也可以根据v＝＝，求出物体在某两个时刻的速度，由g＝，求出重力加速度g。
(3)滴水法
如图，让水滴自水龙头滴下，在水龙头正下方放一个盘，调节水龙头，让水一滴一滴地滴下，并调节到使第一滴水碰到盘的瞬间，第二滴水正好从水龙头口开始下落，并且能依次持续下去。用刻度尺测出水龙头口距盘面的高度h，再测出每滴水下落的时间T，其方法是：当听到某一滴水滴落在盘上的同时，开启停表开始计时，之后每落下一滴水依次数1、2、3…，当数到n时按下停表停止计时，则每一滴水滴下落的时间为T＝。由h＝gT2得g＝＝。
　(1)打点计时器法的误差主要来自阻力的影响和测量误差。
(2)频闪照相法和滴水法的误差主要是测量误差。
例2　某同学用如图1所示装置测定重力加速度，已知打点频率为50
Hz。
(1)实验时下面步骤的先后顺序是________。
A．释放纸带
B．接通打点计时器电源
(2)打出的纸带如图2所示，可以判断实验时重物连接在纸带的________(填“左”或“右”)端。
(3)已知纸带上记录的点为打点计时器打出的点，所测得的重力加速度大小为________
m/s2。(结果保留三位有效数字)
(4)若当地的重力加速度数值为9.8
m/s2，请列出测量值与当地重力加速度的值有差异的一个原因：__________________________。
(1)实验中需要测量哪些物理量？
提示：时间、位移。
(2)造成重力加速度的测量值与当地重力加速度的值有差异的原因有哪些？
提示：打点计时器与纸带间的摩擦、空气阻力等。
[规范解答]　(1)根据打点计时器的使用步骤，应先接通电源，后释放纸带，故顺序为：BA。
(2)纸带与重物相连的那端最先打点，点的分布比较密集些，所以重物连接在纸带的左端。
(3)由于每相邻两个计数点间还有1个点，所以相邻计数点间的时间间隔T＝0.04
s，根据匀变速直线运动的推论公式Δx＝aT2可以求出重力加速度的大小，得：
g＝
＝
m/s2
＝9.75
m/s2。
(4)因为实验过程中重物受到空气阻力和限位孔与纸带间的摩擦阻力等作用，所以所求加速度的值偏小
[完美答案]　(1)BA　(2)左　(3)9.75
(4)重物受到空气阻力和限位孔与纸带间的摩擦阻力
利用纸带计算重力加速度的三种方法
(1)计算出纸带上几个点的速度，然后根据加速度的定义式求加速度。
(2)计算出纸带上各点的速度，画出v?t图像，由图像的斜率可求得重物下落的加速度，即重力加速度。
(3)用逐差法根据Δh＝gt2求加速度，注意要尽可能多地选用数据。
　某同学利用如图甲的实验装置测量重力加速度的大小。
(1)该同学开始实验时情形如图甲所示，接通电源释放纸带。请指出该同学在实验操作中存在的两处明显错误(或不当的地方)：
①__________________________________________________；
②__________________________________________________。
(2)该同学经修改错误并正确操作后得到如图乙所示的纸带，取连续六个点A、B、C、D、E、F为计数点，测得A点到B、C、D、E、F的距离分别为h1、h2、h3、h4、h5。若打点的频率为f，则打E点时重物的速度表达式vE＝________。
(3)该同学先分别计算出各计数点的速度值，并试画出速度的二次方(v2)与对应重物下落的距离(h)的关系图如图丙所示，则重力加速度g＝________
m/s2。
答案　(1)①打点计时器应使用交流电源　②重物应紧靠打点计时器
(2)　(3)9.4
解析　(1)打点计时器应使用交流电源；要让纸带打尽可能多的点，重物应紧靠打点计时器。
(2)把E当成中间时刻点，找到DF段，则vE＝＝。
(3)由运动学公式v2＝v＋2gh，可知v2?h图线的斜率就是重力加速度g的2倍，由图丙得g＝9.4
m/s2。
课堂任务　自由落体运动的规律及应用
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：自由落体运动的实质是什么？
提示：是初速度为0、加速度为g的匀加速直线运动。
活动2：如图为小球做自由落体运动的频闪照片，可以在图上直接得到小球在任一时刻的速度吗？如何求小球在任一时刻的速度？
提示：不能在图上直接得到小球在任一时刻的速度，可以用v＝gt求得小球在任一时刻的速度。
活动3：由活动2你能得到什么启发？自由落体运动的规律是什么？
提示：匀变速直线运动的基本公式及推论都适用于自由落体运动。把初速度v0＝0、加速度a＝g代入匀变速直线运动的基本公式，可得自由落体运动的规律：v＝gt；h＝gt2；v2＝2gh。
活动4：讨论、交流、展示，得出结论。
自由落体运动的规律及应用
自由落体运动是匀变速直线运动在v0＝0、加速度a＝g时的一个特例，它是最简单的一种匀变速直线运动，所以匀变速直线运动的基本规律以及推论都适用于自由落体运动，只要把x写为h，初速度v0写为0，加速度a写为g就可以了。
(1)基本规律
(2)推论
(3)关于自由落体运动的几个比例关系式
①第1
s末、第2
s末、第3
s末、…、第n
s末的速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n；
②前1
s内、前2
s内、前3
s内、…、前n
s内的位移之比为h1∶h2∶h3∶…∶hn＝1∶4∶9∶…∶n2；
③从初始时刻起，连续相等时间内的位移之比为hⅠ∶hⅡ∶hⅢ∶…∶hN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)；
④从初始时刻起，连续相等位移所用的时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)。
例3　如图所示，直杆长L1＝0.5
m，圆筒高为L2＝2.5
m。直杆位于圆筒正上方H＝1
m处。直杆从静止开始做自由落体运动，并能竖直穿过圆筒。试求：(取g＝10
m/s2，＝2.236)
(1)直杆下端刚好开始进入圆筒时的瞬时速度v1的大小；
(2)直杆穿过圆筒所用的时间t。
(1)直杆在下落过程中，能看成质点吗？
提示：不能。
(2)怎样计算直杆穿过圆筒所用的时间？
提示：设从开始到直杆下端到达圆筒上端开口处所用的时间为t1，从开始到直杆上端离开圆筒下端开口处所用的时间为t2，则直杆穿过圆筒所用的时间为t＝t2－t1。
[规范解答]　(1)杆做自由落体运动，由运动学知识得v＝2gH，
解得v1＝
m/s＝
m/s≈4.47
m/s。
(2)设从开始到直杆下端到达圆筒上端开口处所用的时间为t1，
则H＝gt，
设从开始到直杆上端离开圆筒下端开口处所用的时间为t2，
则H＋L2＋L1＝gt，
由题意得t＝t2－t1，
由以上三式联立，解得t≈0.45
s。
[完美答案]　(1)4.47
m/s　(2)0.45
s
1处理自由落体运动问题时，要善于根据题意灵活运用公式。
2分析直杆、铁链等不能看作质点的物体做自由落体运动的问题，要画出运动草图，选准研究过程，找准与这段研究过程的起点和终点相对应的位移。
　(多选)物体从离地面45
m高处做自由落体运动(g取10
m/s2)，则下列选项中正确的是(　　)
A．物体运动3
s后落地
B．物体落地时的速度大小为30
m/s
C．物体在落地前最后1
s内的位移为25
m
D．物体在整个下落过程中的平均速度为20
m/s
答案　ABC
解析　由h＝gt2，得t＝＝3
s，落地速度v＝gt＝30
m/s，最后1
s内的位移Δh＝gt－gt＝25
m，全程的平均速度＝＝
m/s＝15
m/s，A、B、C正确，D错误。
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12
-实验：探究小车速度随时间变化的规律
1．掌握打点计时器的使用、纸带数据处理和测量瞬时速度的方法。
2．了解如何从实验中获取数据，学会利用v?t图像处理、分析实验数据的方法。
3．知道小车在重物牵引下运动速度随时间变化的规律。
1.实验原理
(1)瞬时速度的计算：可用以该点为中间时刻的一段时间内的平均速度来代替，即vn＝。
(2)作出v?t图像判断小车速度随时间变化的关系：以速度v为纵轴、时间t为横轴建立直角坐标系，在坐标系中描点作出v?t图像，根据点的分布规律思考小车速度与时间的关系。
2．实验器材
打点计时器、一端附有定滑轮的长铝板、小车、纸带、细绳、槽码、刻度尺、导线、交流电源。
课堂任务　探究过程·获取数据
仔细观察下列图片，认真参与“师生互动”。
活动1：本实验要研究的对象是什么？研究的目的是什么？
提示：研究的对象是小车，研究其速度随时间变化的规律。
活动2：本实验的操作步骤是什么？
提示：(1)按照实验装置图，把一端带有定滑轮的长铝板平放在实验桌上，并使定滑轮伸出桌面，把打点计时器固定在长铝板上没有定滑轮的一端，连接好电路。
(2)铝板上放一个可以左右移动的小车，小车一端连接穿过打点计时器的纸带，另一端连接绕过定滑轮系有槽码的细绳。
(3)把小车停在靠近打点计时器的位置，启动计时器，然后放开小车，让它拖着纸带运动，打点计时器会在纸带上打下一行小点，随后，立即关闭电源。
(4)增减所挂的槽码(或在小车上放置重物)，更换纸带，再做两次实验。
活动3：本实验中有哪些注意事项？
提示：(1)开始放开小车时，应使小车靠近打点计时器。
(2)先启动打点计时器，再放开小车。
(3)取下纸带前，先断开电源。
(4)选取一条点迹最清晰的纸带，舍掉开头一些过于密集的点迹，找一个适当的点作为计时起点。适当选取计数点(注意计数点与计时点的区别)，弄清楚相邻两计数点的时间间隔T是多少。
(5)不要逐次测量各段距离，应一次测量完毕各计数点与计时起点间的距离。
(6)要防止槽码落地，避免小车跟定滑轮相碰，当小车到达定滑轮前及时用手按住。
(7)牵引小车的槽码个数要适当，以免小车速度过大而使纸带上的点太少，或者速度太小，而使各段位移差别不大，使误差增大。
课堂任务　分析数据·得出结论
活动1：分析数据有哪些方法？
提示：分析数据有多种方法，比较常见的有列表法、作图法。
活动2：本实验可以用哪些方法来分析实验数据？可以得出什么结论？
提示：(1)表格法
①从几条纸带中选择一条比较理想的纸带，舍掉开始一些比较密集的点，在后面便于测量的地方找一个点，作为计时起点(即计数点起点)，以后依次每五个点取一个计数点，并标明0、1、2、3、4、…，如图所示。
②依次测出点0～1、0～2、0～3、0～4、…的距离x1、x2、x3、x4、…。
③1、2、3、4、…各点的瞬时速度分别为：v1＝，v2＝，v3＝，v4＝，…。将计算得出的各点的瞬时速度填入表中。
④同理，计算增减槽码后两次实验的速度，分别填入表中标有“v2”和“v3”的两行内。
表　小车在几个时刻的瞬时速度
⑤根据表格中的数据，分析速度随时间变化的定量关系。
(2)图像法
①在坐标纸上建立直角坐标系，横轴表示时间，纵轴表示速度，并根据表格中的数据在坐标系中描点。
②用平滑曲线(包括直线)将这些点连起来，让这条线通过尽可能多的点，使不在线上的点均匀分布在线的两侧，偏差比较大的点忽略不计，注意不可用折线连接，如图所示。
③观察所得到的图线，分析小车的速度随时间变化的定量关系。
活动3：本实验有哪些实验误差？怎样减小这些实验误差？
提示：
课堂任务　典例探究·提升能力
例1　在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，某同学使用频率为50
Hz的交流电，用打点计时器记录了被小车拖动的纸带的运动情况，在纸带上确定出
A、B、C、D、E共5个计数点。测得计数点间的距离如图1所示，每两个相邻的计数点之间还有四个点未画出。
(1)试根据纸带上各个计数点间的距离，计算出打下B、C、D三个点时小车的瞬时速度，则vB＝________
m/s，vC＝0.264
m/s，vD＝0.390
m/s(保留三位有效数字)。
(2)在图2所示的坐标系中作出小车的v?t图线。
(3)将图线延长与纵轴相交，此交点纵坐标的物理意义是________________。
(1)如何根据纸带求瞬时速度？
提示：用一小段时间内的平均速度可表示中间时刻的瞬时速度。
(2)v?t图像的斜率和纵截距表示什么？
提示：加速度和初速度。
[规范解答]　(1)由于相邻两计数点间还有四个点未画出，所以相邻两计数点间的时间间隔T＝0.1
s，则vB＝＝
m/s＝0.138
m/s。
(2)作图时需注意，尽量使描绘的点落在直线上，对于不能落在直线上的点，尽量让其均匀分布在直线两侧。个别偏离较远的点应舍去。
(3)将图线延长并与纵轴相交，交点的纵坐标是零时刻的速度，此速度的物理意义是计时初始的速度。
[完美答案]　(1)0.138　(2)图见规范解答　(3)计时初始的速度
(1)处理纸带时，要分清计时点和计数点，搞清相邻的两个计数点之间的时间间隔T。
(2)纸带上某点的瞬时速度近似等于以此为中心的前、后相邻两点间的平均速度。
(3)标度的选择要结合数据及其分布特点，以使图像在坐标系中的分布合理、大小适中。
(4)作图时要先判断图像的大体走势，然后用平滑曲线(包括直线)“拟合”坐标系中的点，难以落在曲线上的点要大致均匀地分布在两侧，偏离曲线较远的点可略去。
　在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，用打点计时器在纸带上打的点记录了小车的运动情况。某同学做此实验时的步骤如下：
A．拉住纸带，将小车移至靠近打点计时器处，放开纸带，再接通电源；
B．将打点计时器固定在长铝板上，并接好电路；
C．把一条细绳拴在小车上，细绳跨过定滑轮，下面挂上适当的槽码；
D．小车停止运动后，直接取下纸带；
E．将纸带固定在小车尾部，并穿过打点计时器的限位孔；
F．换上新纸带，再重复操作两次，然后从各纸带中选取一条点迹清晰的进行数据处理。
其中错误或遗漏的步骤有：
(1)__________________；
(2)__________________。
将以上步骤完善后，其合理的顺序为______________。
答案　(1)A中应先接通电源，再放开纸带
(2)D中取纸带前应先断开电源　BECADF
解析　实验过程中应先接通电源，再放开纸带；取纸带前应先断开电源，所以错误的步骤是A、D。该实验步骤的合理顺序为BECADF。
　某同学在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，用打点计时器记录了被小车拖动的纸带的运动情况，在纸带上确定出A、B、C、D、E、F、G共7个计数点，其相邻点间的距离如图1所示，每两个相邻的计数点之间还有4个点未画出，打点计时器所接交流电源的频率为50
Hz。
(1)试根据纸带上各个计数点间的距离，计算出打下B、F两个点时小车的瞬时速度，并将计算结果填入下表中(保留三位有效数字)。
(2)将B、C、D、E、F各个时刻的瞬时速度标在图2的直角坐标系中，并作出小车的瞬时速度随时间变化的关系图线。
(3)由所作速度—时间图像求出小车的加速度为________
m/s2。
(4)根据v?t图像判断，在A计数点时，小车的速度vA＝________
m/s。
(5)若在实验过程中打点计时器使用的交流电的频率实际为60
Hz，而误以为是50Hz，这样计算出的各点的速度值与真实值相比将_________(填“偏大”“偏小”或“不变”)。
答案　(1)0.400　0.721　(2)图见解析
(3)0.80　(4)0.320　(5)偏小
解析　(1)由于每相邻两个计数点间还有4个点没有画出，所以相邻的计数点间的时间间隔T＝0.02×5
s＝0.1
s，根据瞬时速度的特点，可以求出纸带打某点时小车的瞬时速度大小，vB＝
m/s＝0.400
m/s，vF＝
m/s＝0.721
m/s。
(2)根据表中实验数据在坐标系内描出对应点，然后作出图像如图所示：
(3)由图像可知，图线是倾斜直线，即小车的速度随时间均匀增加，根据v?t图像斜率表示加速度可知，加速度a＝
m/s2≈0.80
m/s2。
(4)图线的纵轴截距表示打A点时小车的速度，vA＝0.320
m/s。
(5)若电源频率实际为60
Hz，根据T＝可知，实际打点周期将变小，而进行计算时，时间间隔仍按照周期为0.02
s计算，则计算中所代入的时间间隔相较于实际值偏大，结合瞬时速度计算公式
vn＝，可知计算出的速度数值将比真实值偏小。
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7
-专题二　运动图像与追及相遇问题
课题任务　速度图像与位移图像
在物理学中，图像法是一种十分重要的思想方法，既可以用图像来描述物理问题，也可以用图像来解决物理问题，而且用图像法分析和解决物理问题往往比用解析法更简洁直观。图像法中常用到的就是平面直角坐标系，解决任何图像问题首先必须要注意横轴和纵轴所代表的物理意义。运动学中，位移—时间图像(x?t图像)和速度—时间图像(v?t图像)是两种最典型的图像。这两种图像里包含了大量的信息，考试时可能会从各个方面考查，下面我们进行具体全面的描述。
x?t图像、v?t图像的比较
例1　物体a、b从同一位置沿同一直线运动的v?t图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．t＝2
s时，a、b的速度方向均发生改变
B．t＝4
s时，a、b相距20
m
C．前4
s，a、b均做匀变速直线运动
D．前4
s，a与b的加速度始终相同
[规范解答]　由图像可知，前4
s，a的速度都为正方向，b的速度都为负方向，所以t＝2
s时，a、b的速度方向均没有发生改变，A错误；图线与时间轴围成的面积表示位移，则t＝4
s时，a、b相距Δx＝×4×5
m－
m＝20
m，B正确；图像的斜率表示加速度，由图像可知，前4
s，a、b的加速度方向都发生了变化，不是匀变速直线运动，C错误；图像的斜率表示加速度，由图像可知，前4
s，a与b的加速度方向始终相反，D错误。
[完美答案]　B
(1)解决常规运动的图像问题时要根据物理情景中遵循的规律，由图像提取信息和有关数据，根据对应的规律公式对问题做出正确的解答。以速度图像为例，具体分析过程如下：
(2)解答非常规运动图像问题的“三个”步骤：一审、二列、三判：
　如图所示，x?t图像反映了甲、乙两车在同一条直道上行驶的位移随时间变化的关系，已知乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10
s处，则(　　)
A．甲车的加速度大小为4.0
m/s2
B．乙车的加速度大小为1.6
m/s2
C．5
s时两车速度相等
D．乙车的初位置在x0＝75
m处
答案　B
解析　位移—时间图像的斜率等于速度，可知甲车做匀速运动，加速度为零，A错误；乙车做匀变速直线运动，其图线与t轴相切于10
s处，则t＝10
s时，速度为零，将其0～10
s的运动逆向看成初速度为0的匀加速直线运动，则s＝at2，根据图像有：x0＝a·(10
s)2,20
m＝a·(5
s)2，解得a＝1.6
m/s2，x0＝80
m，B正确，D错误；5
s时，v甲＝
m/s＝4
m/s，v乙＝at＝8
m/s，C错误。
　一汽车从静止开始做匀加速直线运动，然后刹车做匀减速直线运动，直到停止。下列速度的平方v2和位移x的关系图像中，能描述该过程的是(　　)
答案　B
解析　汽车做初速度为零的匀加速直线运动时，由v2＝2ax可知，v2与x成正比，即这段时间内的v2和位移x的关系图像为过原点的一条倾斜直线，设匀加速直线运动的末速度为v1，位移为x1，则在做匀减速直线运动过程中，v2－v＝2a′(x－x1)，B正确，A、C、D错误。
课题任务　追及相遇问题
1．什么是追及相遇问题？
当两个物体在同一直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两物体之间的距离会不断发生变化，两物体间距离越来越大或越来越小，这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题。需要注意只要后面物体的速度有可能大于前面物体的速度都可以谈追及问题。
2．追及相遇问题情况概述
(1)追及问题
①若后者能追上前者，则追上时，两者处于同一位置，后者的速度一定不小于前者的速度。
②若后者追不上前者，则当后者的速度与前者相等时，两者相距最近。
(2)相遇问题
①同向运动的两物体的追及即相遇。
②相向运动的两物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇。
3．常见的三种追及相遇情况
(1)匀加速直线运动的物体追匀速直线运动的物体。
肯定能追上，且只能相遇一次。两者在追上前相距最远的条件是v加＝v匀。
(2)匀减速直线运动的物体追匀速直线运动的物体。
①若当v减＝v匀时，两者仍没到达同一位置，则不能追上，且此时有最小距离。
②若当v减＝v匀时，两者正在同一位置，则恰能追上，这种情况也是避免两者相撞的临界条件。
③若当两者到达同一位置时v减>v匀，则有两次相遇的机会。
(3)匀速直线运动的物体追匀加速直线运动的物体。
①若当v加＝v匀时，两者仍没到达同一位置，则不能追上，且此时有最小距离。
②若当v加＝v匀时，两者恰好到达同一位置，则只能相遇一次。
③若当两者到达同一位置时v加4．解题思路
(1)根据对两物体运动过程的分析，画出两物体运动的示意图或v?t图像，找到临界状态和临界条件。
(2)根据两物体的运动性质，分别列出两物体的位移方程，注意要将两物体运动时间的关系反映在方程中。
(3)由运动示意图找出两物体位移间的关联方程，这是解题关键。
(4)联立方程求解，并对结果进行简单分析。
5．追及问题中的“一个条件”“两个关系”
(1)一个条件：两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的距离是最大还是最小，以及是否恰好追上等。
(2)两个关系：时间关系和位移关系。
时间关系指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后运动；位移关系指两物体是同地开始运动还是一前一后开始运动，其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画运动示意图分析问题的良好习惯，运动示意图对帮助我们理解题意、启迪思维大有好处。
　判断同向运动两物体是否相撞与判断同向运动两
物体能否追及相遇的方法相同。
例2　一辆汽车在十字路口等候红绿灯，当绿灯亮时汽车以a＝3
m/s2的加速度开始行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自＝6
m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车。试求：
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前，经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
(2)什么时候汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？
[规范解答]　
(1)解法一(物理分析法)：汽车与自行车的速度相等时两车相距最远，设此时经过的时间为t1，两车间的距离为Δx，则有
v汽＝v自＝at1
所以t1＝＝2
s
Δx＝x自－x汽＝v自t1－at＝6
m。
解法二(极值法)：设汽车在追上自行车之前，经过时间t两车相距Δx，则Δx＝x自－x汽＝v自t－at2
代入已知数据得Δx＝6t－t2
由二次函数求极值的条件知：t1＝2
s时，Δx有最大值6
m。
所以经过t1＝2
s后，两车相距最远，此时距离为Δx＝6
m。
解法三(图像法)：自行车和汽车的v?t图像如图所示，由图像可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形的面积，所以有
t1＝＝
s＝2
s
Δx＝＝
m＝6
m。
(2)解法一(物理分析法)：当两车位移相同时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，
则有v自t2＝at
解得t2＝＝
s＝4
s
此时汽车的速度v1′＝at2＝12
m/s。
解法二(图像法)：由前面画出的v?t图像可以看出，在t1时刻之后，当由图线v自、v汽和t＝t2构成的三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等时，汽车与自行车的位移相同，即汽车与自行车相遇，所以t2＝2t1＝4
s，v1′＝at2＝3×4
m/s＝12
m/s。
[完美答案]　(1)2
s　6
m　(2)4
s　12
m/s
求解追及和相遇问题的两点技巧
1．掌握“三种分析方法”
(1)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题目中的隐含条件，画出两物体运动关系的示意图。
(2)数学极值法：设相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于时间t的一元二次方程，用根的判别式进行讨论。若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好能追上或相遇一次；若Δ<0，无解，说明追不上或不能相遇。
(3)图像法：将两个物体运动的速度—时间关系在同一图像中画出，然后利用图像分析求解相关问题。
起点在同一点的追及相遇问题最适合用图像解决，因为其图线和时间轴所围成的面积就是位移。
2．牢记“一个思维流程”
　甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t＝0时刻同时经过公路旁的同一个路标。在描述两车运动的v?t图像中(如图所示)，直线a、b分别描述了甲、乙两车在0～20
s的运动情况。关于两车之间的位移关系，下列说法正确的是(　　)
A．在0～10
s内两车逐渐靠近
B．在10～20
s内两车逐渐远离
C．在5～15
s这段时间两车运动的位移相等
D．在t＝10
s时两车在公路上相遇
答案　C
解析　甲车做速度为5
m/s的匀速直线运动，乙车做初速度为10
m/s的匀减速直线运动。在t＝10
s时，两车的速度相同，在此之前，甲车的速度小于乙车的速度，两车的距离越来越大；在此之后，甲车的速度大于乙车的速度，两车的距离又逐渐减小，在t＝20
s时两车相遇，故A、B、D均错误。5～15
s这段时间，两图线与时间轴所围成的面积相等，故两车运动的位移相等，C正确。
　甲、乙两物体在同一条直线上同时同地沿同一方向运动，甲初速度为6
m/s，由于摩擦做匀减速直线运动，加速度大小为2
m/s2；乙做初速度为零，加速度为1
m/s2的匀加速直线运动。求：
(1)甲物体能运动多远？
(2)乙经多长时间追上甲？
(3)乙追上甲之前两物体的最大距离是多少？
答案　(1)9
m　(2)4.2
s　(3)6
m
解析　(1)甲做匀减速直线运动直至停止，
由v＝2a甲x甲，得x甲＝＝
m＝9
m。
(2)甲的运动时间为：t＝＝
s＝3
s
此过程中乙的位移
x乙＝a乙t2＝×1×32
m＝4.5
m<9
m
说明甲停止后，过一段时间乙才追上甲
所以乙追上甲所用时间：
t乙＝
＝
s＝3
s≈4.2
s。
(3)当甲、乙的速度相等时，二者距离最大，
即a乙t′＝v甲－a甲t′，
得：t′＝＝2
s
在这2
s内，甲的位移：
x甲′＝v甲t′－a甲t′2＝
m＝8
m
乙的位移：x乙′＝a乙t′2＝
m＝2
m
二者间的最大距离：Δx＝x甲′－x乙′＝6
m。
1．如图所示的v?t图像，此图像对应的函数表达式为v＝v0＋at，则a、v0分别为(　　)
A．a＝1
m/s2，v0＝0.5
m/s
B．a＝0.5
m/s2，v0＝1
m/s
C．a＝0.5
m/s2，v0＝3
m/s
D．a＝－0.5
m/s2，v0＝1
m/s
答案　B
解析　v?t图线的斜率等于物体的加速度，故a＝＝
m/s2＝0.5
m/s2；物体的初速度为t＝0时的速度，故v0＝1
m/s，故B正确。
2.
(多选)如图所示为一个质点运动的位移x随时间t变化的图像，由此可知质点在0～4
s内(　　)
A．先沿x轴正方向运动，后沿x轴负方向运动
B．一直做匀变速运动
C．t＝2
s时速度一定最大
D．速率为5
m/s的时刻有两个
答案　CD
解析　由图可知，位移先沿正方向减小，后沿负方向增大，则质点沿x轴负方向运动，A错误；图像的斜率表示质点的速度，则质点先加速后减速，质点速度方向没变，则加速度的方向发生了变化，质点做变加速运动，B错误；t＝2
s时，图像的斜率最大，即速度最大，C正确；质点在加速和减速的过程中，平均速度的大小均为v＝
m/s＝5
m/s，所以速率为5
m/s的时刻有两个，D正确。
3.
(多选)如图所示为在同一直线上运动的A、B两质点的x?t图像，由图可知以下说法正确的是(　　)
A．t＝0时，A在B的前面x1处
B．B在t2时刻追上A，并在此后跑在A的前面
C．A在t1～t2时间内做匀速直线运动
D．t1时刻前B运动的速度比A小，但0～t2时间内B的平均速度比A大
答案　ABD
解析　t＝0时，B在原点，A在正方向上距原点x1处，则A在B的前面x1处，A正确；在t2时刻两质点到达同一位置，说明B追上A，此后A处于静止状态，而B沿原方向仍做匀速直线运动，因而在此后B跑在A的前面，B正确；根据x?t图像斜率等于速度可知，A在t1～t2时间内静止，C错误；根据图线斜率知，t1时刻前B运动的速度比A的小，0～t2时间内B的位移比A的位移大，时间相等，所以B的平均速度大，D正确。
4.
(多选)如图所示为两个物体A和B在同一直线上沿同一方向同时运动的v?t图线。已知在第3
s末两个物体在途中相遇，则下列说法正确的是(　　)
A．两物体从同一地点出发
B．出发时A在B前3
m处
C．3
s末两个物体相遇后，两物体一定不可能再相遇
D．运动过程中B的加速度小于A的加速度
答案　CD
解析　由速度—时间图线与时间轴围成的“面积”等于位移可知，两物体在3
s内的位移不相等，而在第3
s末两个物体相遇，可知两物体出发点不同，A错误；两物体在3
s内的位移分别为xA＝
m＝6
m，xB＝
m＝3
m，则出发时B在A前3
m处，B错误；3
s末两个物体相遇后，A的速度一直大于B的速度，两物体不可能再次相遇，C正确；由B图像的斜率小于A的斜率，可知B的加速度小于A的加速度，D正确。
5．(多选)物体甲的x?t图像和物体乙的v?t图像分别如图所示，则这两个物体的运动情况是(　　)
A．甲在整个t＝6
s时间内来回运动，它通过的总位移为零
B．甲在整个t＝6
s时间内的运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4
m
C．乙在整个t＝6
s时间内来回运动，它通过的总位移为零
D．乙在整个t＝6
s时间内的运动方向一直不变，它通过的总位移大小为4
m
答案　BC
解析　根据位移—时间图线的斜率表示速度，可知甲在整个t＝6
s时间内一直沿正方向匀速运动，总位移为Δx＝2
m－(－2
m)＝4
m，A错误，B正确；物体乙的速度—时间图像中，速度的正负，表示速度的方向，即表示物体的运动方向。速度先负后正，说明物体乙先沿负向运动，后沿正向运动。根据图线与时间轴所围成的面积表示位移，图线乙在t轴上方位移为正值，下方位移为负值，得知总位移为0，C正确，D错误。
6．甲物体以速度v0做匀速直线运动，当它运动到某一位置时，该处有另一物体乙开始做初速度为零的匀加速直线运动去追甲，由上述条件可求的是(　　)
A．乙追上甲时，乙的速度
B．乙追上甲时，乙走的路程
C．乙从开始运动到追上甲时，所用的时间
D．甲从乙旁边经过开始，乙追上甲前，甲、乙之间的最大距离
答案　A
解析　乙追上甲时两物体位移相等，即v0t＝t，解得乙追上甲时乙的速度为v＝2v0，A正确；由于乙的加速度未知，所以无法求出乙追上甲的时间、乙追上甲时乙走的路程以及乙追上甲前，甲、乙之间的最大距离，B、C、D错误。
7．汽车以10
m/s的速度在平直的公路上匀速前进，司机发现正前方x处有一辆自行车正以4
m/s的速度做同方向的匀速直线运动，立即关闭油门使汽车做a＝－6
m/s2的匀变速直线运动，若汽车恰好碰不上自行车，则x的大小为(　　)
A．8.33
m
B．7
m
C．3.33
m
D．3
m
答案　D
解析　根据题设，汽车恰好碰不上自行车，则追上时两者速度相同，均为4
m/s，汽车位移为
m＝7
m，汽车减速的时间为t＝＝
s＝1
s，则自行车位移为x自＝vt＝4
m，所以两者间距x＝3
m，D正确。
8．如图所示的v?t图像中，直线表示甲物体从A地向B地运动的v?t图像，折线表示同时开始运动的乙物体由静止从A地向B地运动的v?t图像。下列说法正确的是(　　)
A．在t＝4
s时，甲、乙两物体相遇
B．在t＝4
s时，甲、乙两物体相距最远
C．在0～2
s内，甲、乙两物体的加速度大小相等
D．在2～4
s内，乙物体处于静止状态
答案　B
解析　根据v?t图像中，图线与t轴所围成的面积表示位移，可得t＝4
s时，甲的位移和乙的位移不相等，刚开始甲的速度较大，故是乙追甲，当两者速度相等时，甲、乙相距最远，A错误，B正确；根据加速度的定义可得，在0～2
s内，甲物体的加速度为a甲＝
m/s2＝－10
m/s2，乙物体的加速度为a乙＝
m/s2＝20
m/s2，两者的加速度大小在这段时间内不相等，C错误；在2～4
s内，乙物体处于匀速运动状态，D错误。
9.
(多选)宇航员的训练、竞技体育的指导、汽车的设计等多种工作都用到急动度的概念。加速度对时间的变化率称为急动度，其方向与加速度的变化方向相同。一质点从静止开始做直线运动，其加速度随时间的变化关系如图所示。下列说法正确的是(　　)
A．t＝1
s时急动度是0.5
m/s3
B．t＝3
s时的急动度和t＝5
s时的急动度等大反向
C．2～4
s内质点做减速运动
D．0～6
s内质点速度方向不变
答案　AD
解析　t＝1
s时急动度＝
m/s3＝0.5
m/s3，A正确；图线的斜率表示急动度，则t＝3
s时的急动度和t＝5
s时的急动度完全相同，B错误；0～4
s内质点的加速度方向不变，做加速运动，C错误；由v?t图线与t轴所围成的面积表示位移类比可知，a?t图线与t轴所围成的面积表示速度变化量，又由题知t＝0时v＝0，则0～4
s内质点做加速度方向不变的加速运动，4～6
s做加速度反向但速度方向不变的减速运动，所以0～6
s内质点速度方向不变，D正确。
10．(多选)由于公路维修只允许单车道通行，在一平直车道上，有同向行驶的甲、乙两车，t＝0时，甲车在前，乙车在后，相距x0＝100
m，速度均为v0＝30
m/s，从此时开始两车按如图所示规律运动，则下述说法正确的是(　　)
A．两车最近距离为10
m
B．两车最近距离为100
m
C．两车一定不会相遇
D．两车一定会相遇
答案　AC
解析　如图所示为甲、乙两车的速度—时间图像，由图像可知，t＝6
s时两车共速，在此之前，乙车速度一直比甲车大(t＝0除外)，如果0～6
s内两车不相遇，就不会相遇，由图像面积可以算出，0～6
s内，x甲＝67.5
m，x乙＝157.5
m，x乙－x甲＝90
m＜x0＝100
m，故两车不会相遇，两车最近距离为100
m－90
m＝10
m，A、C正确。
11．如图为某一路段的俯视图，该路段全程限速12.5
m/s，一辆汽车以9
m/s的速度匀速行驶，前方要通过一路口，绿灯还有2
s将熄灭变为红灯，此时汽车距离停车线为19
m。已知该车加速时最大加速度大小为2
m/s2，刹车时最大加速度大小为5
m/s2。
(1)若汽车此时立即以最大加速度一直加速通过路口，通过计算判断汽车是否违章？
(2)为保证安全，汽车不急于通过路口，为防止闯红灯且又压停车线，则汽车最多可继续行驶多远就应开始刹车？
答案　(1)汽车违章　(2)10.9
m
解析　(1)汽车做匀加速直线运动，
v0＝9
m/s，a1＝2
m/s2
t＝2
s内的位移x＝v0t＋a1t2，
解得：x＝22
m>19
m，汽车可以在变为红灯前通过路口。
设汽车运动x0＝19
m时对应的速度vt，
由v－v＝2ax0得vt＝＝
m/s>12.5
m/s，汽车超速，所以汽车违章。
(2)汽车减速过程可看作反向初速度为0的匀加速直线运动，a2＝5
m/s2，刹车时间t′＝＝1.8
s
刹车位移x2＝a2t′2＝8.1
m
汽车最多可继续匀速行驶的位移
Δx＝x0－x2＝10.9
m。
12．一辆长途客车正在一平直公路上以v0＝20
m/s的速度匀速行驶。突然，司机看见车的正前方x＝33
m处有一只狗，如图甲所示，司机立即采取制动措
施。若从司机看见狗时开始计时(t＝0)，长途客车的“速度—时间”图像如图乙所示。
(1)求长途客车从司机发现狗至客车停止运动的这段时间内前进的距离；
(2)求长途客车制动时的加速度大小；
(3)若狗以v＝4
m/s的速度与长途客车同向奔跑，狗会不会被撞？
答案　(1)50
m　(2)5
m/s2　(3)狗将被撞
解析　(1)客车在前0.5
s内的位移
x1＝v0t1＝20×0.5
m＝10
m，
客车在0.5～4.5
s内的位移
x2＝t2＝×20×(4.5－0.5)
m＝40
m，
故客车从司机发现狗至客车停止运动的这段时间内前进的距离
x＝x1＋x2＝10
m＋40
m＝50
m。
(2)图像的斜率表示加速度，则由图像得：
a＝＝
m/s2＝－5
m/s2。
(3)若客车恰好撞不到狗，则车追上狗时车速为4
m/s，
则刹车时间为t＝＝
s＝3.2
s
客车位移为
x1′＝v0t1＋＝20×0.5
m＋
m＝48.4
m，
而狗通过的位移为
x2′＝v(t1＋t)＝4×(0.5＋3.2)
m＝14.8
m，
而x2′＋33
m＝47.8
m，
因为x1′＞47.8
m，所以狗将被撞。
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-专题一　匀变速直线运动的推论及公式的应用
课题任务　匀变速直线运动的平均速度、中间时刻速度、位移中点速度
1．平均速度
做匀变速直线运动的物体，在一段时间t内的平均速度等于这段时间内中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半。
推导：设物体的初速度为v0，做匀变速直线运动的加速度为a，t时刻的速度为v。
由x＝v0t＋at2得，
平均速度＝＝v0＋at①
由速度公式v＝v0＋at知，
当t′＝时，v＝v0＋a·②
由①②得＝v
又v＝v＋a·
联立以上各式解得v＝，所以＝v＝。
2．中间时刻的瞬时速度(v)与位移中点的瞬时速度(v)的比较
在v?t图像中，速度图线与时间轴围成的面积表示位移。当物体做匀加速直线运动时，由图甲可知v>v；当物体做匀减速直线运动时，由图乙可知v>v。所以当物体做匀变速直线运动时，v>v。
拓展：
(1)内容：匀变速直线运动中，位移中点的瞬时速度v与初速度v0、末速度v的关系是v＝
。
(2)证明：对前一半位移有v2－v＝2a，对后一半位移有v2－v2＝2a，
两式联立可得v＝
。
例1　光滑斜面的长度为L，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为t，则下列说法不正确的是(　　)
A．物体运动全过程中的平均速度是
B．物体在时刻的瞬时速度是
C．物体运动到斜面中点时的瞬时速度是
D．物体从顶点运动到斜面中点所需的时间是
[规范解答]　全程的平均速度v＝＝，A正确；时刻物体的速度等于全程的平均速度，B错误；若末速度为v，则＝，v＝，中间位置的速度v＝
＝
＝，C正确；设物体的加速度为a，到达中间位置用时t′，则L＝at2，＝at′2，所以t′＝t，D正确。
[完美答案]　B
　一个做匀减速直线运动的物体，先后经过a、b两点时的速度大小分别是4v和v，所用时间为t，则下列判断正确的是(　　)
A．物体的加速度大小为
B．物体经过a、b中点时的速率是v
C．物体在时刻的速率是2v
D．物体在这段时间内的位移为2.5vt
答案　D
解析　物体的加速度大小为a＝＝，A错误；物体经过a、b中点时的速率为v′＝
＝
v，B错误；物体在时刻的速率为v″＝＝＝2.5v，C错误；物体在这段时间内的位移x＝t＝2.5vt，D正确。
课题任务　位移差公式Δx＝aT2
1．一个重要推论：Δx＝aT2
做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间T内的位移差是个恒量，即Δx＝aT2。
证明：如图，
x1＝v0T＋aT2，
x2＝v0·2T＋a(2T)2－
＝v0T＋aT2
所以Δx＝x2－x1＝aT2。
2．Δx＝aT2的应用：逐差法
在研究匀变速直线运动的实验中，其实验目的之一是使用打点计时器测定匀变速直线运动的加速度。除通过求出各时刻的速度画v?t图像求解加速度外，还可以用公式法求解。原理如下：
设物体做匀加速直线运动的加速度是a，在各个连续相等时间间隔T内的位移分别是x1、x2、…、x6，如图甲所示，
使用公式Δx＝aT2可得：
x4－x1＝(x4－x3)＋(x3－x2)＋(x2－x1)＝3aT2，
同理：x5－x2＝x6－x3＝3aT2。
由测得的各段位移x1、x2、…、x6可求出：
a1＝，a2＝，a3＝，
所以a1、a2、a3的平均值：
＝＝。
这就是我们所要测定的匀变速直线运动的加速度。所用方法称为逐差法。
这样处理数据的过程中，所给的实验数据x1、x2…x6全部都用到了，所以，在“使用全部所给数据，全面真实反映纸带的情况”并采用了“多次测量求平均值”的原则下，减小了实验误差。
3．逐差法的简化：两段法
“两段法”实际上就是将图甲所示纸带的6段位移分成两大部分：xⅠ和xⅡ，如图乙所示，则xⅠ和xⅡ是运动物体在两个相邻的相等时间间隔T′＝3T内的位移。
由xⅡ－xⅠ＝aT′2可得：
a＝＝。
显然，得到的计算结果和前面完全相同，但这种方法避免了“逐差法”求多个a，再求这些a的平均值的麻烦，而且在思路上更清晰，计算上也更简捷。“连续相等时间内的位移”中“相等时间”的长度可任意选取，不必拘泥于纸带上已给的相邻计数点间的时间间隔T。凡是“逐差法”适用的情景，都可以用“两段法”快速求得结果。
例2　有一个做匀变速直线运动的物体，它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24
m和64
m，连续相等的时间为4
s，求物体在这两段时间内的初速度和加速度大小。
[规范解答]　解法一(常规解法)：如图所示，物体从A到B再到C各用时4
s，AB＝24
m，BC＝64
m。设物体的加速度为a，由位移公式得：x1＝vAT＋aT2
x2＝－
将x1＝24
m，x2＝64
m，T＝4
s代入两式求得
vA＝1
m/s，a＝2.5
m/s2。
解法二(用平均速度求解)：
1＝＝
m/s＝6
m/s，
2＝＝
m/s＝16
m/s。
又2＝1＋aT，代入数据解得a＝2.5
m/s2，
再由x1＝vAT＋aT2，求得vA＝1
m/s。
解法三(用推论公式Δx＝aT2求解)：由x2－x1＝aT2，代入数据解得a＝2.5
m/s2，再代入x1＝vAT＋aT2，可求得vA＝1
m/s。
[完美答案]　1
m/s　2.5
m/s2
?1?以上推论只适用于匀变速直线运动，其他性质的运动不能套用此推论式来处理问题。
?2?推论式Δx＝aT2常用在探究物体速度随时间变化规律的实验中根据打出的纸带求物体的加速度。
　一小球(可视为质点)沿斜面匀加速滑下，依次经过A、B、C三点。已知AB＝6
m，BC＝10
m，小球经过AB和BC两段所用的时间均为2
s，则小球在经过A、B、C三点时的速度大小分别是(　　)
A．2
m/s,4
m/s,6
m/s
B．2
m/s,3
m/s,4
m/s
C．3
m/s,4
m/s,5
m/s
D．3
m/s,5
m/s,7
m/s
答案　A
解析　根据Δx＝aT2得，a＝＝
m/s2＝1
m/s2，经过B点的瞬时速度等于AC段的平均速度，则vB＝＝
m/s＝4
m/s，则经过C点的速度vC＝vB＋aT＝(4＋1×2)
m/s＝6
m/s，经过A点的速度vA＝vB－aT＝(4－1×2)
m/s＝2
m/s，A正确，B、C、D错误。
　一小球在桌面上从静止开始做匀加速直线运动，现用高速摄影机在同一底片上多次曝光，记录下小球每次曝光的位置，并将小球的位置编号。如图所示，1位置恰为小球刚开始运动的瞬间，摄影机连续两次曝光的时间间隔均为1
s，则小球在4位置时的瞬时速度约为________
m/s，小球从1位置到6位置的运动过程中的平均速度为________
m/s，在该过程中的加速度大约为________
m/s2。
答案　0.09　0.075　0.03
解析　由题图可知，1～6计数点的刻度依次是0、1.5、6.0、13.5、24.0、37.5，单位：cm。所以连续相等的时间位移依次是：x1＝1.5
cm，x2＝4.5
cm，x3＝7.5
cm，x4＝10.5
cm，x5＝13.5
cm。故其Δx＝3.0×10－2
m。
小球在4位置时的瞬时速度为3、5位置之间的平均速度：v4＝＝
m/s＝0.09
m/s。
小球从1位置到6位置运动过程中的平均速度：
＝
m/s＝0.075
m/s。
由Δx＝at2得该过程中的加速度
a＝＝
m/s2＝0.03
m/s2。
课题任务　初速度为零的匀加速直线运动的比例关系
1．初速度为零的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T)
(1)由v＝at可得：T时刻、2T时刻、3T时刻、…、nT时刻的瞬时速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。
(2)由x＝at2可得：T时间内、2T时间内、3T时间内、…、nT时间内的位移之比x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶4∶9∶…∶n2。
(3)设第一个T时间内的位移为xⅠ，第二个T时间内的位移为xⅡ，第三个T时间内的位移为xⅢ，…，第n个T时间内的位移为xN，则xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1，xⅢ＝x3－x2，…，xN＝xn－xn－1。容易得到xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
2．初速度为零的匀加速直线运动，按位移等分(设相等的位移为x)
(1)由v2＝2ax，可得v＝，则x末、2x末、3x末、…、nx末的瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶∶∶…∶。
(2)由x＝at2可得t＝，则通过x、2x、3x、…、nx所用时间之比t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶。
(3)设通过第一个x所用的时间为tⅠ、通过第二个x所用的时间为tⅡ、通过第三个x所用的时间为tⅢ、…，通过第N个x所用的时间为tN，则tⅠ＝t1，tⅡ＝t2－t1，tⅢ＝t3－t2，…，tN＝tn－tn－1。容易得到tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tN＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)。
例3　在高11.25
m的屋檐上，每隔一定的时间有一滴水落下，设水滴的运动是从静止开始的匀加速直线运动。已知第一滴水落到地面时，第四滴水刚好离开屋檐。求：第1滴水滴落地时瞬间空中各相邻两滴水之间的距离。
[规范解答]　设相邻两滴水的时间间隔为T，第一滴水落到地面时，第四滴水刚好离开屋檐，中间的时间间隔就是3T。将第4滴水和第3滴水之间的距离作为x1，第3滴水和第2滴水之间的距离作为x2，第2滴水和第1滴水之间的距离作为x3，根据速度从零开始的匀加速直线运动中连续相等的时间位移之比是x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)，整个高度可分为1＋3＋5＝9份，则x1占1份、x2占3份、x3占5份。故x1＝×11.25
m＝1.25
m，x2＝3x1＝3×1.25
m＝3.75
m，x3＝×11.25
m＝6.25
m。
[完美答案]　第1、2滴水之间的距离为6.25m，第2、3滴水之间的距离为3.75
m，第3、4滴水之间的距离为1.25
m。
?1?运动学问题一般有多种分析方法，在解题时应选用最优解法，以便快速解题。
?2?初速度为零的匀加速直线运动的比例关系很多，记起来也许容易混乱，要结合三个公式v＝at，x＝at2，v2＝2ax加以理解。
在冰壶世锦赛上中国女子冰壶队夺得世界冠军。如图所示，一冰壶以速度v垂直进入两个相同的矩形区域做匀减速直线运动，且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零，则冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比分别是多少？(冰壶可看成质点)
答案　∶1　(－1)∶1
解析　把冰壶的运动看作逆向的初速度为零的匀加速直线运动。冰壶通过两矩形区域位移相等，则从右向左穿过矩形的末速度之比为1∶，则冰壶实际运动依次进入每个矩形区域的速度之比为v1∶v2＝∶1；冰壶从右向左，通过每个矩形区域的时间之比为1∶(－1)，则冰壶实际运动穿过矩形区域的时间之比为t1∶t2＝(－1)∶1。
课题任务　运动学公式的选择技巧
　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．匀变速直线运动四个常用公式的比较
2．共同点
(1)适用条件相同：适用于匀变速直线运动。
(2)都是矢量式：v0、v、a、x都是矢量，应用这些公式时必须选取统一的正方向，一般选取v0的方向为正方向。
(3)都涉及四个物理量，当已知其中三个物理量时，可求另一个未知量。
3．运动学公式的应用步骤
(1)认真审题，画出物体的运动过程示意图。
(2)明确研究对象，明确已知量、待求量。
(3)规定正方向(一般取初速度v0的方向为正方向)，确定各矢量的正、负。
(4)选择适当的公式求解。
(5)判断所得结果是否合乎实际情况，并根据结果的正、负说明所求物理量的方向。
例4　从车站开出的汽车，做匀加速直线运动，走了12
s时，发现还有乘客没上车，于是立即做匀减速直线运动至停车。汽车从开出到停止总共历时20
s，行进了50
m。求该过程中汽车的最大速度。
[规范解答]　解法一(基本公式法)：设最大速度为vmax，
由题意可得x＝x1＋x2＝a1t＋vmaxt2＋a2t，
t＝t1＋t2，vmax＝a1t1,0＝vmax＋a2t2，
联立得vmax＝＝
m/s＝5
m/s。
解法二(平均速度法)：匀加速阶段和匀减速阶段平均速度相同，都等于，故有x＝t1＋t2，
因此有vmax＝＝
m/s＝5
m/s。
解法三(图像法)：
作出汽车运动全过程的v?t图像，如图所示，v?t图线与t轴所围成的三角形的面积等于位移的大小，故x＝，所以vmax＝＝
m/s＝5
m/s。
[完美答案]　5
m/s
分析匀变速直线运动的技巧：“一画、二选、三注意”
一画：根据题意画出物体的运动示意图，使运动过程直观清晰。
二选：从以下常用方法中选取合适的方法。
三注意：注意列运动学方程时，方程式中每一个物理量均对应同一运动过程。
如图所示，一物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面，斜面总长度为l，到达斜面最高点C时速度恰好为零，该过程物体做匀减速直线运动。已知物体第一次运动到距斜面底端l处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间。
答案　t
解析　解法一(逆向思维法)：物体向上匀减速冲上斜面，相当于向下匀加速滑下斜面。
故xBC＝，xAC＝，又xBC＝，
由以上三式解得tBC＝t。
解法二(基本公式法)：因为物体沿斜面向上做匀减速直线运动，设物体从B滑到C所用的时间为tBC，由匀变速直线运动的规律可得
v＝2axAC①
v＝v－2axAB②
xAB＝xAC③
由①②③解得vB＝④
又vB＝v0－at⑤
vB＝atBC⑥
由④⑤⑥解得tBC＝t。
解法三(位移比例法)：对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间里通过的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。
因为xCB∶xBA＝∶＝1∶3，而通过xBA的时间为t，所以通过xBC的时间tBC＝t。
解法四(时间比例法)：对于初速度为零的匀加速直线运动，通过连续相等的各段位移所用的时间之比为t1∶
t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)。
现将整个斜面分成相等的四段，如图所示，设通过BC段的时间为tx，那么通过BD、DE、EA的时间分别为tBD＝(－1)tx，tDE＝(－)tx，tEA＝(2－)tx，又tBD＋tDE＋tEA＝t，解得tx＝t。
解法五(中间时刻速度法)：利用推论：中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度，得AC＝＝。又v＝2axAC，v＝2axBC，xBC＝，由以上三式解得vB＝。因为vB＝AC，所以有tBC＝t。
解法六(图像法)：
根据匀变速直线运动的规律，作出v?t图像，如图所示。利用相似三角形的规律，面积之比等于对应边长平方之比，得＝，且＝，
OD＝t，OC＝t＋tBC。
所以＝，解得tBC＝t。
1．电动自行车以其时尚、方便、快捷深受广大中学生的喜爱，但由电动自行车引发的交通事故也在逐年增多，学习交通安全常识，自觉遵守交通法规是确保学生交通安全的重要举措之一。按规定电动自行车在城区限速20
km/h。某同学为了判断自己正常行驶时是否超速，在一次正常行驶途中经过某一位置时立刻切断电源，让电动自行车沿直线自由滑行。测得电动自行车滑行的最大距离为15
m，滑行的时间为5
s，则该同学正常行驶的车速约为(　　)
A．3
km/h
B．3
m/s
C．6
km/h
D．6
m/s
答案　D
解析　根据公式x＝t得，v＝＝
m/s＝6
m/s＝21.6
km/h，D正确。
2．现在的航空母舰上都有帮助飞机起飞的弹射系统，已知某战斗机在跑道上加速时产生的加速度为4.5
m/s2，起飞速度为50
m/s。若该飞机滑行100
m时起飞，则弹射系统必须使飞机具有的初速度为(　　)
A．30
m/s
B．40
m/s
C．20
m/s
D．10
m/s
答案　B
解析　设应用弹射系统帮助起飞时初速度为v0，由公式v2－v＝2ax，可得v0＝＝40
m/s，故选B。
3．从静止开始做匀加速直线运动的物体，在第1
s内、第2
s内、第3
s内的平均速度之比为(　　)
A．1∶3∶5
B．1∶4∶9
C．1∶2∶3
D．1∶∶
答案　A
解析　由于第1
s内、第2
s内、第3
s内的位移之比x1∶x2∶x3＝1∶3∶5，而平均速度＝，三段时间都是1
s，故三段时间内的平均速度之比为1∶3∶5，故A正确。
4．为了测定某轿车在平直路上启动阶段的加速度(轿车启动时的运动可近似看成匀加速直线运动)，某人拍摄了一张在同一底片上多次曝光的照片，如图所示，如果拍摄时每隔2
s曝光一次，轿车车身总长为4.5
m，那么这辆轿车的加速度为(　　)
A．1
m/s2
B．2.25
m/s2
C．3
m/s2
D．4.25
m/s2
答案　B
解析　根据匀变速直线运动规律有Δx＝x2－x1＝aT2。轿车总长为4.5
m，可知图中每一小格为1.5
m，由此可算出两段距离分别为x1＝12
m和x2＝21
m，又T＝2
s，则a＝＝＝2.25
m/s2，B正确。
5．一质点在连续的4
s内做匀加速直线运动，在第一个2
s内位移为12
m，第二个2
s内位移为16
m，下面说法正确的是(　　)
A．质点在第1
s末的速度大小为4
m/s
B．质点在第2
s末的速度大小为6
m/s
C．质点的加速度大小为1
m/s2
D．质点的加速度大小为6
m/s2
答案　C
解析　质点做匀加速直线运动，由Δx＝aT2，T＝2
s，Δx＝16
m－12
m＝4
m，解得a＝1
m/s2，C正确，D错误；第一个2
s内的平均速度v1＝
m/s＝6
m/s，此速度等于该阶段中间时刻的瞬时速度，故第1
s末的速度大小为6
m/s，A错误；由匀变速直线运动公式v＝v0＋at，代入第1
s末的速度与加速度，可得第2
s末的速度大小为7
m/s，B错误。
6．一质点做匀加速直线运动，速度变化Δv时发生位移x1，紧接着速度变化同样的Δv时发生位移x2。则该质点的加速度大小为(　　)
A.
B.
C.
D．(Δv)2
答案　B
解析　本题疑难之处在于不知道运动时间，突破点是在匀加速直线运动中，速度变化同样的Δv时，所用时间相等。根据x2－x1＝aT2，a＝，联立可求得a＝，故B正确。
7．如图是某同学在做匀变速直线运动实验中获得的一条纸带。
(1)已知打点计时器的电源频率为50
Hz，则纸带上打相邻两点的时间间隔为________。
(2)A、B、C、D是纸带上四个计数点，每两个相邻计数点间有四个点未画出。图中B、C两点间距未标示，则C点对应的速度是________
m/s，对应匀变速直线运动的加速度为________
m/s2。
答案　(1)0.02
s　(2)0.1　0.2
解析　(1)已知打点计时器电源频率为50
Hz，则纸带上打相邻两点的时间间隔为0.02
s。
(2)因每两个相邻计数点间有四个点未画出，可知T＝0.1
s；根据Δx＝x－0.70
cm＝1.10
cm－x，可得x＝0.90
cm，Δx＝0.2
cm，则vC＝＝
m/s＝0.1
m/s。根据Δx＝aT2可得a＝＝
m/s2＝0.2
m/s2。
8．如图所示，一个小球沿斜面向下运动，用每间隔
s曝光一次的频闪相机拍摄不同时刻小球位置的照片，即照片上出现的相邻两个小球的像之间的时间间隔为
s，测得小球在几个连续相等时间内的位移(数据见表)，则
x1/cm
x2/cm
x3/cm
x4/cm
8.20
9.30
10.40
11.50
(1)小球在连续相等时间内的位移之差________(选填“相等”或“不相等”)，小球的运动性质属于________直线运动。
(2)甲、乙两位同学计算小球加速度的方法如下：
甲同学：a1＝，a2＝，a3＝，a＝；
乙同学：a1＝，a2＝，a＝。
你认为甲、乙两位同学中哪位同学的计算方法较准确？________，加速度为________
m/s2。
(3)图中频闪相机拍摄第二张照片的时刻小球的瞬时速度为________
m/s。
答案　(1)相等　匀加速　(2)乙　1.1　(3)0.875
解析　(1)由表中数据可知，x4－x3＝x3－x2＝x2－x1，即小球在相邻的相等时间内的位移之差相等，小球做匀加速直线运动。
(2)甲同学：
a＝＝＝，
乙同学：
a＝＝＝。
乙同学用到了所有数据，故求加速度较准确，加速度为：a＝＝1.1
m/s2。
(3)根据匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度公式，
v＝＝，
则v＝＝
m/s＝0.875
m/s。
9．日本筑波大学研制出了世界上第一种商业外骨骼机器人，这种装置能帮助行动不便者以一定速度行走。某人利用该外骨骼机器人从静止开始，沿直线匀加速行走了4
s，达到最大速度6
m/s后，又以1.2
m/s2的加速度沿直线匀减速行走了3
s，然后做匀速直线运动。求：
(1)该人匀加速运动时的加速度大小；
(2)该人匀速运动时的速度大小；
(3)前7
s过程中该人行走的总位移的大小。
答案　(1)1.5
m/s2　(2)2.4
m/s　(3)24.6
m
解析　(1)设匀加速运动阶段，人的加速度大小为a1，最大速度大小为v1，运动的时间为t1，位移大小为x1，
则v1＝6
m/s，t1＝4
s，
a1＝＝＝
m/s2＝1.5
m/s2。
(2)设匀减速运动阶段，人的加速度大小为a2，末速度大小为v2，匀减速运动的时间为t2，匀减速运动的位移大小为x2，则
a2＝1.2
m/s2，t2＝3
s，
由v2＝v1－a2t2，代入数据得v2＝2.4
m/s。
(3)x1＝v1t1＝12
m；
x2＝(v1＋v2)t2＝12.6
m；
则前7
s过程中人的总位移大小x＝x1＋x2＝24.6
m。
10．从光滑斜面上某一位置，每隔0.1
s释放一颗相同的小球，在连续放下几颗以后，对在斜面上运动的小球摄下照片，如图所示，测得AB＝15
cm，BC＝20
cm，试求：
(1)小球的加速度大小；
(2)拍摄时B球的速度大小vB；
(3)D球与C球的距离；
(4)A球上面正在运动的球的数量。
答案　(1)5
m/s2　(2)1.75
m/s　(3)25
cm　(4)2
解析　解本题的关键是将同一时刻的多个小球的照片转化为同一小球的频闪照片研究。
(1)据BC－AB＝aT2得a＝5
m/s2。
(2)据vB＝得vB＝1.75
m/s。
(3)据CD－BC＝BC－AB得CD＝25
cm。
(4)据vB＝at得t＝0.35
s，显然A球已运动了0.25
s，故A球上面正在运动的球还有2颗。
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