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第三节　函数的奇偶性、周期性
学习要求:
1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义.
2.了解周期性的概念和几何意义.
　　1.函数的奇偶性
定义
图象特点
偶函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果?x∈I,都有-x∈I,且①
f(-x)=f(x)
,那么函数
f(x)就叫做偶函数
关于②
y轴
对称
奇函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果?x∈I,都有-x∈I,且③
f(-x)=-f(x)
,那么函数
f(x)就叫做奇函数
关于④
原点
对称
　　?提醒　函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.
2.周期性
(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时,都有⑤
f(x+T)=f(x)
成立,那么就称函数y=f(x)为周期函数,T为这个函数的周期.?
(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期.
知识拓展
　　1.函数奇偶性的常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.
(3)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
2.函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任意一自变量x,
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0);
(2)若f(x+a)=,则T=2a(a>0);
(3)若f(x+a)=-,则T=2a(a>0).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“?”).
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)+f(x)=0.
(　　)
(2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(　　)
(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.
(　　)
(4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.
(　　)
2.(新教材人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中为偶函数的是
(　　)
A.y=x2sin
x　　　　B.y=x2cos
x
C.y=|ln
x|　　　　D.y=2-x
3.定义在R上的偶函数f(x)满足对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),都有
<0,则
(　　)
A.f(3)B.f(1)C.f(-2)D.f(3)4.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是
(　　)
A.-
C.
5.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)==　　　　.?
函数的奇偶性
角度一　函数奇偶性的判断
　　典例1　判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=
角度二　已知函数的奇偶性求参数的值
典例2　已知函数f(x)=x(2x+a×2-x)(x∈R),若f(x)是偶函数,则记a=m,若f(x)是奇函数,则记a=n,则m+2n=
(　　)　　　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.-1
角度三　利用函数的奇偶性求不等式的解集
典例3　(2020四川成都模拟)已知函数f(x)是奇函数,且当x≥0时,f(x)=x-x2,则不等式(x+1)f(x)>0的解集是
(　　)
A.(0,1)　　　　
B.(-1,0)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(0,1)　　　　D.(-1,0)∪(1,+∞)
答案　A　当x<0时,-x>0,
f(x)=-f(-x)=-[-x-(-x)2]=x+x2,
　(2020广东广州一模)已知函数f(x)=2x+ln(x+)(a∈R)为奇函数,则a=(　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.
函数的周期性
　　典例4　(1)(多选题)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x),当x∈[0,3]时,f(x)=x2-3x,则下列等式成立的是(　　)
A.f(2
019)+f(2
020)=f(2
021)
B.f(2
019)+f(2
021)=f(2
020)
C.2f(2
019)+f(2
020)=f(2
021)
D.f(2
019)=f(2
020)+f(2
021)
(2)(2020四川成都一模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=2-f(-x),且函数f(x+1)是偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=1-x2,则f=
(　　)
A.
答案　(1)ABC　(2)C
　已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1-x)=-f(1+x),f(0)=1,则f(0)+f(1)+…+
f(2
020)=
(　　)
A.-1　　　　B.0
C.1　　　　
D.2
020
函数性质的综合应用
角度一　单调性、奇偶性的综合应用
典例5　(1)已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,则不等式f(2x-1)>f(x-2)的解集为(　　)
A.(-1,1)　　　　
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(1,+∞)　　　　
D.(0,1)
(2)(2020安徽马鞍山三模)已知函数f(x+2)是定义域为R的偶函数,若f(x)在(2,+∞)上单调递减,则不等式f(ln
x)-f(1)<0的解集是
(　　)
A.(0,1)∪(3,+∞)　　　　
B.(1,3)
C.(0,e)∪(e3,+∞)　　　　
D.(e,e3)
角度二　奇偶性、周期性的综合应用
典例6　(多选题)(2020山东威海高三模拟)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是偶函数,则
(　　)
A.f(x)是偶函数　　　　
B.f(x)是奇函数
C.f(x+3)是偶函数　　　　D.f(x)=f(x+4)
1.(2020重庆模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f,且当x∈时,f(x)=log2(x+1)+m,若f(100)=log23,则实数m的值为
(　　)
A.2　　　　B.1　　　　C.0　　　　D.-1
2.已知函数f(x)=若f(2x-2)≥f(x2-x+2),则实数x的取值范围是
(　　)
A.[-2,-1]　　　　
B.[1,+∞)
C.R　　　　
D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
数学运算——抽象函数的性质及应用
　　已知函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=-f(x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2
016)+f(2
017)+f(2
018)的值为　　　　.?
1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,
f(x+3)=-f(x),且当x∈(0,3)时,f(x)=x+1,则f(-2
017)+f(2
018)=(　　)　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
A.3　　　　B.2　　　　C.1　　　　D.0
2.已知定义在R上的函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,且f(x+1)是偶函数,不等式f(m+2)≥f(x-1)对任意的x∈[-1,0]恒成立,则实数m的取值范围是
(　　)
A.[-3,1]　　　　
B.[-4,2]
C.(-∞,-3]∪[1,+∞)　　　　D.(-∞,-4]∪[2,+∞)
答案解析
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“?”).
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数,则f(-x)+f(x)=0.
(　　)
(2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(　　)
(3)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.
(　　)
(4)若函数y=f(x+b)是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.
(　　)
答案　(1)√　(2)?　(3)√　(4)√
2.(新教材人教A版必修第一册P84例6改编)下列函数中为偶函数的是
(　　)
A.y=x2sin
x　　　　B.y=x2cos
x
C.y=|ln
x|　　　　D.y=2-x
答案　B
3.定义在R上的偶函数f(x)满足对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),都有
<0,则
(　　)
A.f(3)B.f(1)C.f(-2)D.f(3)答案　B
4.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是
(　　)
A.-
C.
答案　B
5.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x∈[-1,1)时,f(x)==　　　　.?
答案　1
函数的奇偶性
角度一　函数奇偶性的判断
　　典例1　判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=
解析　(1)由得x2=3,解得x=±,即函数f(x)的定义域为{-},关于原点对称,∴f(x)==0.∴f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数.
(2)由得函数的定义域为(-1,0)∪(0,1),关于原点对称.∴x-2<0,∴|x-2|-2=
-x,∴f(x)=.∵f(-x)==-f(x),
∴函数f(x)为奇函数.
显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.当x<0时,-x>0,
则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);当x>0时,-x<0,则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).综上可知,对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.
角度二　已知函数的奇偶性求参数的值
典例2　已知函数f(x)=x(2x+a×2-x)(x∈R),若f(x)是偶函数,则记a=m,若f(x)是奇函数,则记a=n,则m+2n=
(　　)　　　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.-1
答案　B　当f(x)是偶函数时,f(x)=f(-x),即x(2x+a×2-x)=-x(2-x+a×2x),
即(1+a)(2x+2-x)x=0,因为上式对任意实数x都成立,所以a=-1,即m=-1;
当f(x)是奇函数时,f(-x)=-f(x),
即-x(2-x+a×2x)=-x(2x+a×2-x),
即(1-a)(2x-2-x)x=0,
因为上式对任意实数x都成立,所以a=1,即n=1.所以m+2n=1.
角度三　利用函数的奇偶性求不等式的解集
典例3　(2020四川成都模拟)已知函数f(x)是奇函数,且当x≥0时,f(x)=x-x2,则不等式(x+1)f(x)>0的解集是
(　　)
A.(0,1)　　　　
B.(-1,0)∪(0,1)
C.(-∞,-1)∪(0,1)　　　　D.(-1,0)∪(1,+∞)
答案　A　当x<0时,-x>0,
f(x)=-f(-x)=-[-x-(-x)2]=x+x2,
则f(x)=∴(x+1)f(x)>0?解得0名师点评
1.判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件:
(1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域;
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性时,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立.
2.利用函数的奇偶性可解决的4个问题:
(1)求函数值:将待求函数值利用函数的奇偶性转化到已知区间上求函数值.
(2)求解析式:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求解.
(3)求解析式中的参数:利用待定系数法求解,根据f(x)±f(-x)=0得到关于参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程或方程组,进而得出参数的值.
(4)画函数图象:利用函数的奇偶性可画出函数在对称区间上的图象.
　(2020广东广州一模)已知函数f(x)=2x+ln(x+)(a∈R)为奇函数,则a=(　　)
A.-1　　　　B.0　　　　C.1　　　　D.
答案　C　∵函数f(x)=2x+ln(x+)为奇函数,
∴f(-x)+f(x)=-2x+ln[-x+]+2x+ln(x+)=ln
a=0,解得a=1.故选C.
函数的周期性
　　典例4　(1)(多选题)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-3)=-f(x),当x∈[0,3]时,f(x)=x2-3x,则下列等式成立的是(　　)
A.f(2
019)+f(2
020)=f(2
021)
B.f(2
019)+f(2
021)=f(2
020)
C.2f(2
019)+f(2
020)=f(2
021)
D.f(2
019)=f(2
020)+f(2
021)
(2)(2020四川成都一模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=2-f(-x),且函数f(x+1)是偶函数,当x∈[-1,0]时,f(x)=1-x2,则f=
(　　)
A.
答案　(1)ABC　(2)C
解析　(1)由f(x-3)=-f(x)知f(x)的周期为6,
f(2
019)=f(336×6+3)=f(3)=0,
f(2
020)=f(337×6-2)=f(-2)=-f(2)=2,
f(2
021)=f(337×6-1)=f(-1)=-f(1)=2.
故A,B,C中的等式均成立.
(2)因为函数f(x+1)是偶函数,
所以f(x+1)=f(-x+1),
所以f(-x)=f(x+2),因为f(x)=2-f(-x),所以f(x)+f(x+2)=2,
所以f(x+2)+f(x+4)=2,所以f(x)=f(x+4),所以函数f(x)的周期为4,
所以f,
因为f,
所以f.故选C.
名师点评
函数周期性的判断与应用
(1)判断:判断函数的周期性只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可得函数是周期函数,且周期为T.
(2)应用:根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数整体的性质,在解决具体问题时,要注意结论:若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期.
　已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1-x)=-f(1+x),f(0)=1,则f(0)+f(1)+…+
f(2
020)=
(　　)
A.-1　　　　B.0
C.1　　　　
D.2
020
答案　C　因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),因为f(1-x)=-f(1+x),所以f(x-1)=-f(1+x),则f(x-2)=-f(x),所以f(x-4)=-f(x-2)=f(x),所以f(x)是周期为4的函数,易知f(1)=-f(1),所以f(1)=0,因为f(2)=-f(0)=-1,f(3)=f(-1)=f(1)=0,所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0,所以f(0)+f(1)+…+
f(2
020)=505[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+f(0)=505×0+1=1.故选C.
函数性质的综合应用
角度一　单调性、奇偶性的综合应用
典例5　(1)已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,且f(x)在[0,+∞)上单调递增,则不等式f(2x-1)>f(x-2)的解集为(　　)
A.(-1,1)　　　　
B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(1,+∞)　　　　
D.(0,1)
(2)(2020安徽马鞍山三模)已知函数f(x+2)是定义域为R的偶函数,若f(x)在(2,+∞)上单调递减,则不等式f(ln
x)-f(1)<0的解集是
(　　)
A.(0,1)∪(3,+∞)　　　　
B.(1,3)
C.(0,e)∪(e3,+∞)　　　　
D.(e,e3)
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)∵函数y=f(x)为偶函数,
∴f(x)=f(|x|),
由f(2x-1)>f(x-2),得f(|2x-1|)>f(|x-2|),
∵函数y=f(x)在[0,+∞)上单调递增,
∴|2x-1|>|x-2|,即(2x-1)2>(x-2)2,
化简得x2-1>0,解得x<-1或x>1,
故不等式f(2x-1)>f(x-2)的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).故选B.
(2)因为f(x+2)的图象是由f(x)的图象向左平移2个单位长度得到的,
且f(x+2)的图象关于y轴对称,所以f(x)的图象关于直线x=2对称.
由f(x)在(2,+∞)上单调递减可得f(x)在(-∞,2)上单调递增,
由f(ln
x)-f(1)<0得f(ln
x)所以|ln
x-2|>|2-1|=1,所以ln
x<1或ln
x>3,解得0e3.故选C.
角度二　奇偶性、周期性的综合应用
典例6　(多选题)(2020山东威海高三模拟)函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是偶函数,则
(　　)
A.f(x)是偶函数　　　　
B.f(x)是奇函数
C.f(x+3)是偶函数　　　　D.f(x)=f(x+4)
答案　CD　因为f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),从而f(-x)=f(x+2).
因为f(x-1)是偶函数,所以f(-x-1)=f(x-1),从而f(-x)=f(x-2).
所以f(x+2)=f(x-2),f(x+4)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.
因为f(-x-1)=f(x-1),所以f(-x-1+4)=f(x-1+4),即f(-x+3)=f(x+3),所以f(x+3)是偶函数.
名师点评
函数性质综合应用的注意点
(1)函数单调性与奇偶性综合:注意函数单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.
(2)周期性与奇偶性综合:此类问题多考查求值问题,常利用奇偶性及周期性进行变换,将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
(3)周期性、奇偶性与单调性综合:解决此类问题通常先利用周期性转化到自变量所在的区间,然后利用奇偶性和单调性求解.
1.(2020重庆模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f,且当x∈时,f(x)=log2(x+1)+m,若f(100)=log23,则实数m的值为
(　　)
A.2　　　　B.1　　　　C.0　　　　D.-1
答案　B　由f(x)为奇函数知f,
∴f,即f=-f(x),∴f(x+3)=-f=f(x),∴f(x)是周期为3的函数,故f(100)=f(1)=f+m=log23,∴m=1.
2.已知函数f(x)=若f(2x-2)≥f(x2-x+2),则实数x的取值范围是
(　　)
A.[-2,-1]　　　　
B.[1,+∞)
C.R　　　　
D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
答案　D　函数f(x)=
画出函数y=f(x)的图象如图,
由图可知,f(x)的图象关于直线x=1对称,且f(x)在[1,+∞)上是单调减函数.∵f(2x-2)≥f(x2-x+2),且x2-x+2=>1恒成立,
∴|2x-2-1|≤x2-x+2-1,即|2x-3|≤x2-x+1,当x≥时,不等式化为2x-3≤x2-x+1,即x2-3x+4≥0,不等式恒成立,所以x≥;当x<时,不等式化为3-2x≤x2-x+1,即x2+x-2≥0,解得x≤-2或x≥1,
即x≤-2或1≤x<.
综上,当f(2x-2)≥f(x2-x+2)时,实数x的取值范围是(-∞,-2]∪[1,+∞).
数学运算——抽象函数的性质及应用
　　已知函数y=f(x)对任意x∈R都有f(x+2)=-f(x)成立,且函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则f(2
016)+f(2
017)+f(2
018)的值为　　　　.?
答案　4
解析　因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,所以f(x)是R上的奇函数,因为f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.所以f(2
017)=f(504×4+1)=f(1)=4,所以f(2
016)+f(2
018)=-f(2
014)+f(2
014+4)=
-f(2
014)+f(2
014)=0,所以f(2
016)+f(2
017)+f(2
018)=4.
　　(1)本题涉及了函数的周期性与对称性,利用函数的周期性与对称性求函数值,提升了数学运算的核心素养.
(2)已知函数f(x)是定义在R上的函数:
①若f(a+x)=f(b-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=对称;若f(a+x)=f(a-x)恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=a对称;
②若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=0,即f(x)=-f(2a-x),则f(x)的图象关于点(a,0)对称.
1.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,
f(x+3)=-f(x),且当x∈(0,3)时,f(x)=x+1,则f(-2
017)+f(2
018)=(　　)　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
A.3　　　　B.2　　　　C.1　　　　D.0
答案　C　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(-2
017)=-f(2
017),因为当x≥0时,f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),即当x≥0时,函数f(x)的周期为6,又当x∈(0,3)时,f(x)=x+1,所以f(2
017)=f(336×6+1)=f(1)=2,f(2
018)=f(336×6+2)=f(2)=3.故f(-2
017)+f(2
018)=-2+3=1.
2.已知定义在R上的函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,且f(x+1)是偶函数,不等式f(m+2)≥f(x-1)对任意的x∈[-1,0]恒成立,则实数m的取值范围是
(　　)
A.[-3,1]　　　　
B.[-4,2]
C.(-∞,-3]∪[1,+∞)　　　　D.(-∞,-4]∪[2,+∞)
答案　A　因为f(x+1)是偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,由f(x)在[1,+∞)上单调递减得f(x)在(-∞,1)上单调递增,由f(m+2)≥f(x-1)得|(m+2)-1|≤|(x-1)-1|,即|m+1|≤|x-2|对任意的x∈[-1,0]恒成立,所以|m+1|≤|x-2|min,所以|m+1|≤2,解得-3≤m≤1.
2
/
3

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