资源简介

第六节　对数与对数函数
学习要求:
1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.
3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)互为反函数.
　　1.对数的概念
(1)对数的定义
一般地,如果①
ax=N(a>0,且a≠1)
,那么数x叫做以a为底N的对数,记作②
x=logaN
,其中③
a
叫做对数的底数,④
N
叫做对数的真数.?
(2)几种常见的对数
对数形式
特点
记法
一般对数
底数为a(a>0且a≠1)
⑤
logaN
常用对数
底数为10
⑥
lg
N
自然对数
底数为e
⑦
ln
N
　　2.对数的性质与运算法则
(1)对数的性质
(i)负数和0无对数.
(ii)1的对数等于0,即loga1=0(a>0且a≠1).
(iii)logaa=1(a>0且a≠1).
　　?提醒　=⑧
N
;logaaN=⑨
N
(a>0且a≠1).?
(2)换底公式及其推论
换底公式:⑩
logbN
=(a,b均大于0且不等于1).?
　　推论:logab=,lologab(a>0且a≠1,b>0且b≠1,m,n∈R,且m≠0),logab·logbc·logcd=
logad
(a,b,c均大于0且不等于1,d大于0).?
(3)对数的运算法则
如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么
loga(MN)=
logaM+logaN
,?
loga=
logaM-logaN
,?
logaMn=
nlogaM
(n∈R).?
3.对数函数的图象与性质
a>1
0图象
性质
定义域:(0,+∞)
值域:R
图象恒过点(1,0),即x=1时,y=0
当x>1时,y>0;
当0当x>1时,y<0;
当00
是(0,+∞)上的增函数
是(0,+∞)上的减函数
　　?提醒　当对数函数的底数a的大小不确定时,需分a>1和04.反函数
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数
y=logax
(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线
y=x
对称.?
知识拓展
　　1.在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
2.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),,函数图象只在第一、四象限.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“?”).
(1)loga(MN)=logaM+logaN.
(　　)
(2)函数y=logax2与函数y=2logax相等.
(　　)
(3)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.
(　　)
(4)函数y=ln与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.
(　　)
2.(新教材人教A版必修第一册P127T3改编)log29×log34+2log510+log50.25=(　　)
A.0　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.6
3.(新教材人教A版必修第一册P133例3改编)已知a=ln
3,b=log3e,c=logπe,则下列关系正确的是
(　　)
A.cC.b4.(新教材人教A版必修第一册P159T1改编)图中曲线是对数函数y=logax的图象,已知a取四个值,则对应于C1,C2,C3,C4的a值依次为
(　　)
A.
C.
5.已知函数f(x)=loga(2x-a)在区间上恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是　　　　.?
对数式的化简与求值
1.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,则
(　　)　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
A.ab+bc=2ac　　　
B.ab+bc=ac
C.
2.计算:+2log31-3log77+3ln
1=　　　　.?
3.计算:=　　　　.?
4.计算:=　　　　.?
对数函数的图象及应用
　　典例1　(1)(2020安徽亳州二模)在同一个平面直角坐标系中,函数f(x)=与g(x)=lg的图象可能是
(　　)
(2)(2020宁夏银川模拟)已知函数f(x)=|ln
x|,若0(　　)
A.(2,+∞)　　　　
B.[2,+∞)
C.(3,+∞)　　　　
D.[3,+∞)
1.(2020广东惠州模拟)当a>1时,在同一坐标系中,函数g(x)=a-x与f(x)=-logax的图象大致是(　　)
2.(2020陕西榆林三模)设x1、x2、x3均为实数,且=ln
x1,=ln(x2+1),=lg
x3,则(　　)
A.x1C.x2对数函数的性质及应用
角度一　比较对数值的大小
典例2　(2020课标Ⅲ理,12,5分)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则
(　　)
A.a角度二　解简单的对数不等式
典例3　若loga(a2+1)(　　)
A.(0,1)　　　　B.
C.　　　　D.(0,1)∪(1,+∞)
角度三　与对数函数有关的复合函数问题
典例4　已知函数f(x)=loga(ax2-x).
(1)若a=,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在区间[2,4]上是增函数,求实数a的取值范围.
1.(2020课标Ⅲ文,10,5分)设a=log32,b=log53,c=,则
(　　)
A.aC.b2.若a>b>0,0(　　)
A.logacC.acD.ca>cb
3.若函数f(x)=loga(a>0,a≠1)在区间上恒有f(x)>0,则f(x)的单调递增区间为　　　　.?
答案解析
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“?”).
(1)loga(MN)=logaM+logaN.
(　　)
(2)函数y=logax2与函数y=2logax相等.
(　　)
(3)对数函数y=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上是增函数.
(　　)
(4)函数y=ln与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.
(　　)
答案　(1)?　(2)?　(3)?　(4)√
2.(新教材人教A版必修第一册P127T3改编)log29×log34+2log510+log50.25=(　　)
A.0　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.6
答案　D
3.(新教材人教A版必修第一册P133例3改编)已知a=ln
3,b=log3e,c=logπe,则下列关系正确的是
(　　)
A.cC.b答案　A
4.(新教材人教A版必修第一册P159T1改编)图中曲线是对数函数y=logax的图象,已知a取四个值,则对应于C1,C2,C3,C4的a值依次为
(　　)
A.
C.
答案　A
5.已知函数f(x)=loga(2x-a)在区间上恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是　　　　.?
答案　
对数式的化简与求值
1.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,则
(　　)　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
A.ab+bc=2ac　　　
B.ab+bc=ac
C.
答案　AD　∵a,b,c都是正数,
故可设4a=6b=9c=M,
∴a=log4M,b=log6M,c=log9M,
则=logM4,=logM6,=logM9.
∵logM4+logM9=2logM6,
∴,即,去分母整理得,ab+bc=2ac.故选AD.
2.计算:+2log31-3log77+3ln
1=　　　　.?
答案　0
解析　原式=3+2×0-3×1+3×0=0.
3.计算:=　　　　.?
答案　-20
解析　原式=(lg
2-2-lg
52)×10×10=lg
10-2×10=-2×10=-20.
4.计算:=　　　　.?
答案　1
解析　原式
=
=
==1.
名师点评
1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数运算法则化简合并.
2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数,然后逆用对数的运算法则,化为同底对数真数的积、商、幂再运算.
3.ab=N?b=logaN(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.
对数函数的图象及应用
　　典例1　(1)(2020安徽亳州二模)在同一个平面直角坐标系中,函数f(x)=与g(x)=lg的图象可能是
(　　)
(2)(2020宁夏银川模拟)已知函数f(x)=|ln
x|,若0(　　)
A.(2,+∞)　　　　
B.[2,+∞)
C.(3,+∞)　　　　
D.[3,+∞)
答案　(1)A　(2)B
解析　(1)由题意a>0且a≠1,
所以函数g(x)=lg单调递减,故排除B、D;
对于A、C,由函数f(x)=的图象可知0a<0,故A正确,C错误.
(2)f(x)=|ln
x|的图象如下:
因为0所以|ln
a|=|ln
b|且01,
所以-ln
a=ln
b,即ab=1,
易得2a+b≥2,
当且仅当2a=b,
即a=,b=时等号成立.
故选B.
名师点评
1.在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.
2.常把一些对数型方程、不等式问题转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.
1.(2020广东惠州模拟)当a>1时,在同一坐标系中,函数g(x)=a-x与f(x)=-logax的图象大致是(　　)
答案　D　因为a>1,
所以g(x)=a-x=为R上的减函数,且过(0,1);f(x)=-logax为(0,+∞)上的减函数,且过(1,0),
故只有D选项符合.
2.(2020陕西榆林三模)设x1、x2、x3均为实数,且=ln
x1,=ln(x2+1),=lg
x3,则(　　)
A.x1C.x2答案　D　因为=ln
x1,=ln(x2+1)?=ln(x2+1),
=lg
x3,所以作出函数y=,y1=ln
x,y2=ln(x+1),y3=lg
x的函数图象,如图所示:
由图象可知函数y2,y1,y3与y的交点A,B,C的横坐标依次为x2,x1,x3,即有x2对数函数的性质及应用
角度一　比较对数值的大小
典例2　(2020课标Ⅲ理,12,5分)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则
(　　)
A.a答案　A　a=log53∈(0,1),b=log85∈(0,1),则<1,∴a又∵134<85,
∴135<13×85,两边同取以13为底的对数得log13135,
∴c>.
又∵55<84,
∴8×55<85,两边同取以8为底的对数得log8(8×55)即log85<,
∴b<.
综上所述,c>b>a,故选A.
角度二　解简单的对数不等式
典例3　若loga(a2+1)(　　)
A.(0,1)　　　　B.
C.　　　　D.(0,1)∪(1,+∞)
答案　C　由题意得a>0且a≠1,
故必有a2+1>2a,又loga(a2+1)所以01,
∴a>.
故a的取值范围是.
角度三　与对数函数有关的复合函数问题
典例4　已知函数f(x)=loga(ax2-x).
(1)若a=,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在区间[2,4]上是增函数,求实数a的取值范围.
解析　(1)当a=时,f(x)=lo,由x2-x>0,得x2-2x>0,解得x<0或x>2,
所以函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞),
利用复合函数单调性可得函数f(x)的增区间为(-∞,0),减区间为(2,+∞).
(2)令g(x)=ax2-x,
则函数g(x)的图象开口向上,对称轴为x=的抛物线,
①当0则g(x)=ax2-x在[2,4]上单调递减,
且g(x)min=ax2-x>0,
即此不等式组无解.
②当a>1时,要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数,
则g(x)=ax2-x在[2,4]上单调递增,
且g(x)min=ax2-x>0,
即,
又a>1,∴a>1.
综上实数a的取值范围为(1,+∞).
名师点评
(1)确定函数的定义域,研究或利用函数的性质,都要在其定义域上进行.
(2)如果需将函数解析式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误.
(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时,一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响,并且真数必须为正.
1.(2020课标Ⅲ文,10,5分)设a=log32,b=log53,c=,则
(　　)
A.aC.b答案　A　因为a=log32=log3=c,
b=log53=log5=c,所以a2.若a>b>0,0(　　)
A.logacC.acD.ca>cb
答案　B　∵0∴当a>b>1时,logac>logbc,故A项错误;
∵0∴y=logcx在(0,+∞)上单调递减,
又a>b>0,
∴logca∵0∴y=xc在(0,+∞)上单调递增,
又∵a>b>0,
∴ac>bc,故C项错误;
∵0∴y=cx在(0,+∞)上单调递减,
又∵a>b>0,
∴ca3.若函数f(x)=loga(a>0,a≠1)在区间上恒有f(x)>0,则f(x)的单调递增区间为　　　　.?
答案　(0,+∞)
解析　令M=x2+x,当x∈,+∞时,M∈(1,+∞),
因为f(x)>0,
所以a>1,
所以函数y=logaM为增函数,
又M=,
因此M的单调递增区间为.
又x2+x>0,
所以x>0或x<-,
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).

展开更多......

收起↑