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第九章 直线和圆的方程
第三讲 椭　圆
1.[多选题]已知椭圆Ω:+=1(a>b>0),则下列结论正确的是 (　　)
A.若a=2b,则Ω的离心率为
B.若Ω的离心率为,则=
C.若F1,F2分别为Ω的两个焦点,直线l过点F1且与Ω交于点A,B,则△ABF2的周长为4a
D.若A1,A2分别为Ω的左、右顶点,P为Ω上异于点A1,A2的任意一点,则直线PA1,直线PA2的斜率之积为-
2.[2020山西大同高三调研]在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F 1,F 2在x轴上,离心率为,过F 1的直线l交C于A,B两点,且△ABF 2的周长为16,那么C的方程为 (　　)
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
3.[2020湖北省宜昌一中模拟]椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点为F 1( - c,0),F 2(c,0),M是椭圆上的一点,且满足·=0,则椭圆的离心率的取值范围为 (　　)
A.(0,] B.(0,) C.(,1) D.[,1)
4.[2020江西抚州高三第一次联考]已知点P是椭圆=1上非顶点的动点,F 1,F 2分别是椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,若M为∠F 1PF 2的平分线上一点,且·=0,则||的取值范围为 (　　)
A.(0,3] B.(0,2] C.(0,3) D.(0,2)
5.[2018全国卷Ⅱ]已知F 1,F 2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,
△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P=120°,则C的离心率为 (　　)
A. B. C. D.
6.[2019沈阳高三质量监测]已知椭圆的方程为=1,过椭圆中心的直线交椭圆于A,B两点,F 2是椭圆的右焦点,则△ABF 2的周长的最小值为　　　　,△ABF 2的面积的最大值为　　　　.
7.[2020云南师大附中高三模拟]设F 1,F 2为椭圆C:+y2=1的两个焦点,M为C上一点,且△MF 1F 2的内心I的纵坐标为2 - ,则∠F 1MF 2的余弦值为　　　　.?
8.[2019浙江高考]已知椭圆=1的左焦点为F ,点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF 的中点在以原点O为圆心,|OF |为半径的圆上,则直线PF 的斜率是　　　　.?
知识回顾
考法1 椭圆定义的应用
1(1)[2020武汉市武昌实验中学模拟]已知F 1,F 2分别是椭圆C:=1(a>3)的左、右焦点,P为椭圆C上一点,
且∠F 1PF 2=120°,则|PF 1|·|PF 2|=　　　.?
(2)[2020江西省九江市三校联考]已知F 是椭圆C:=1的右焦点,P是椭圆上一点,A(0,),当△APF 的周长最大时,该三角形的面积为　　　.?
【解题思路】
(1)→得到|PF 1|·|PF 2|的值
(2)→→目标:S△APF =|F F ' |·|yA - yP|
【解析】(1)由椭圆的定义可知|PF 1|+|PF 2|=2a,且|F 1F 2|=2c=2.根据余弦定理,得|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2 - 2|PF 1|·
|PF 2|cos 120°,所以4(a2 - 9)=4a2 - 2|PF 1|·|PF 2|+|PF 1|·|PF 2|=4a2 - |PF 1|·|PF 2|,解得|PF 1|·|PF 2|=36.故填36.
(2)设椭圆的左焦点为F ' ,由椭圆方程得a=5,F (3,0),F ' ( - 3,0).△APF 的周长为|AF |+|AP|+|PF |=|AF |+|AP|+2a –
|PF '|≤10+(|AF |+|AF ' |),当A,F ' ,P三点共线且F ' 在线段AP上时取等号,此时△APF 的周长最大.设点P的坐标为(xP,yP),yP<0.易知直线AF ' 的方程为=1,又=1,可得yP= - .所以S△APF =|F F ' |·|yA - yP|=×6×()=.故填.
【点评】本题组的第(2)题中,利用数形结合的思想方法,巧妙地将求三角形APF 的周长的最大值转化为三角形的三边关系的分析,从而化繁为简,减少了计算量.
变式练习
1.(1)已知椭圆C:=1,M,N是坐标平面内的两点,且M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= (　　)
A.4 B.8 C.12 D.16
(2)[2019全国卷Ⅲ]设F 1,F 2为椭圆C:=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF 1F 2为等腰三角形,则M的坐标为　　　　.?
考法2 椭圆的标准方程
2、过点(, - ),且与椭圆=1有相同焦点的椭圆的标准方程为
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
【解题思路】
【解析】解法一　(定义法)椭圆=1的焦点为(0, - 4),(0,4),即c=4.
由椭圆的定义知,2a=+
,解得a=2.
由c2=a2 - b2,可得b2=4.
所以所求椭圆的标准方程为=1.
解法二　(待定系数法)设所求椭圆方程为=1(k> - 9),将点(, - )的坐标代入,可得=1,解得k= - 5,所以所求椭圆的标准方程为=1.
【答案】C
变式练习
2.[2019全国卷Ⅰ]已知椭圆C的焦点为F 1( - 1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C交于A,B两点.若|AF 2|=
2|F 2B|,|AB|=|BF 1|,则C的方程为 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　
A.+y2=1 B.=1 C.=1 D.=1
考法3 椭圆的几何性质
命题角度1　求椭圆离心率或其取值范围
3 [2017全国卷Ⅲ]已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx - ay+2ab=0相切,则C的离心率为
A. B. C. D.
【解题思路】根据已知求出圆的方程,根据直线与圆相切列出关于a,b的等式,结合a2=b2+c2求出离心率.
【解析】以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,由原点到直线bx - ay+2ab=0的距离d==a,得a2=3b2,所以C的离心率e=.
【答案】A
命题角度2　求与椭圆有关的最值或取值范围问题
4、[2017全国卷Ⅰ]设A,B是椭圆C:=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是
A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,]∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,]∪[4,+∞)
【解题思路】焦点位 置不确定,分情况讨论.
【解析】依题意得或所以或解得0【答案】A
变式练习
3.(1)设A1,A2分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右顶点,若在椭圆上存在点P,使得·> - ,则该椭圆的离心率的取值范围是 (　　)
A.(0,) B.(0,) C.(,1) D.(,1)
（2）如图9 -3 - 2,焦点在x轴上的椭圆=1的离心率e=,F ,A分别是椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,则·的最大值为　　　　.?
考法4 直线与椭圆的综合应用
命题角度1　直线与椭圆的位置关系
5已知对任意k∈R,直线y - kx - 1=0与椭圆=1恒有公共点,则实数m的取值范围为　　　　.?
【解析】解法一　由椭圆方程,可知m>0,且m≠5,
将直线与椭圆的方程联立,得
整理,得(5k2+m)x2+10kx+5(1 - m)=0.
因为直线与椭圆恒有公共点,故Δ=(10k)2 - 4×(5k2+m)×5(1 - m)=20(5k2m - m+m2)≥0.因为m>0,所以不等式等价于5k2 - 1+m≥0,即k2≥,由题意,可知不等式恒成立,则≤0,解得m≥1.
综上,m的取值范围为m≥1且m≠5.
解法二　因为方程=1表示椭圆,所以m>0且m≠5.
因为直线y - kx - 1=0过定点(0,1),
所以要使直线和椭圆恒有公共点,点(0,1)在椭圆上或椭圆内,即≤1,整理得≤1,解得m≥1.
综上,m的取值范围为m≥1且m≠5.
命题角度2　弦长问题
6 [2019河北省六校联考]已知椭圆E:=1(a>b>0)的焦距为2c,且b=c,圆O:x2+y2=r2(r>0)与x轴交于点M,N,P为椭圆E上的动点,|PM|+|PN|=2a,△PMN面积的最大值为.
(1)求圆O与椭圆E的方程;
(2)圆O的切线l交椭圆E于点A,B,求|AB|的取值范围.
【解题思路】
【解析】(1)因为b=c,所以a=2c.
因为|PM|+|PN|=2a,所以点M,N为椭圆的焦点,所以r2=c2=a2.
设P(x0,y0), - b≤y0≤b,则S△PMN=r·|y0|=a|y0|,
当|y0|=b时,(S△PMN)max=ab=,
所以r=c=1,b=,a=2,
所以圆O的方程为x2+y2=1,椭圆E的方程为=1.
(2)当直线l的斜率不存在时,不妨取直线l的方程为x=1,则可取A(1,),B(1, - ),|AB|=3.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),
因为直线l与圆O相切,所以=1,即m2=1+k2,
由消去y,可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2 - 12=0,
Δ=64k2m2 - 4(4k2+3)(4m2 - 12)=48(4k2+3 - m2)=48(3k2+2)>0,x1+x2= - ,x1x2=.
|AB|=·
=4··
=
=
=·.
令t=,0所以|AB|=·,所以3<|AB|≤.
综上,|AB|的取值范围是[3,].
命题角度3　弦中点问题
7已知椭圆E:=1(a>b>0)的右焦点为F (3,0),过点F 的直线交椭圆于A,B两点.若线段AB的中点坐标为(1, - 1),则E的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
【解题思路】
由“点差法”得到中点坐标和斜率的关系式→利用焦点坐标和中点坐标,结合c=3,求出a2,b2的值→得到椭圆方程
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得① - ②得=0,易知x1≠x2,
∴·=0.
∵ x1+x2=2,y1+y2= - 2,kAB=,
∴×=0,即a2=2b2.
又c=3=,∴a2=18,b2=9.
∴椭圆E的方程为=1.
【答案】D
【点评】本题设出A,B两点的坐标,却不求出A,B两点的坐标,而是利用点差法,巧妙地表达出直线AB的斜率,并利用焦点坐标和中点坐标建立几何量之间的关系,从而快速解决问题.
变式练习
4.[2019天津高考]设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F ,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF |(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.
数学应用 椭圆与物理知识的融合
8如图9 - 3 - 3所示,椭圆有这样的一个光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆C的方程为=1(a>b>0),其左、右焦点分别是F 1,F 2,直线l与椭圆C切于点P,且|PF 1|=1,过点P且与直线l垂直的直线l' 与椭圆长轴交于点M,若e=,,则椭圆C的标准方程为
A.=1　　　　　　　B.=1 C.+y2=1 D.=1
【解题思路】
由光学知识得到直线l' 平分∠F 1PF 2→由三角形面积比和已知条件可求出a的值,再利用椭圆的定义、离心率可求出b的值→即得椭圆的方程
【解析】由光学知识可知直线l' 平分∠F 1PF 2,
因为=,|PF 1|=1,所以|PF 2|=3,又|PF 1|+|PF 2|=2a,所以a=2.
因为e=,b2=a2 - c2,所以b=1,
所以椭圆的标准方程为+y2=1.
【答案】C
第三讲　《椭　圆》测试
基础篇
1.[2020湖南岳阳入学调研考试]已知定点M(1，0)和椭圆=1上两个动点P，Q满足MP⊥MQ，则·取得最小值时点P的横坐标为 (　　)
A. B.1 C. D.
2.[2020安徽省示范高中名校联考]已知椭圆C:=1(a>b>0)，F1，F2分别为其左、右焦点，|F1F2|=2，B为短轴的一个端点，三角形BF1O(O为坐标原点)的面积为，则椭圆的长轴长为 (　　)
A.4　 B.8 C. D.1+
3.[2020陕西省部分学校摸底检测]已知F1，F2分别为椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限的点，延长PF2交椭圆于点Q，若PF1⊥PQ，且|PF1|=|PQ|，则椭圆的离心率为 (　　)
A.2- B.- C.-1 D.
4.[2020福建省三明市模拟]已知P是椭圆=1上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2面积为 (　　)
A.3 B.2 C. D.
5.[2019唐山市高三摸底考试]已知椭圆C:=1(a>b>0)和双曲线E:x2-y2=1有相同的焦点F1，F2，且椭圆C与双曲线E的离心率之积为1，P为两曲线的一个交点，则△F1PF2为 (　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
6.[2020洛阳市第一次联考]已知椭圆C1:=1(a1>b1>0)与双曲线C2:=1(a2>0，b2>0)有相同的焦点F1，F2，点P是曲线C1与C2的一个公共点，e1，e2分别是C1和C2的离心率，若PF1⊥PF2，则4的最小值为　　　　　.?
7.[双空题]已知椭圆=1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别是F1，F2，且△F1AB的面积为，则椭圆的方程为　　　　；若点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围是　　　　.?
8.[2020陕西省百校第一次联考]已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F，椭圆上一动点M到点F的最远距离和最近距离分别为+1和-1.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若··=10，求k的值.
9.[2019湖北十堰调研]已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆C的一个焦点，点M(0，2)，直线MF的斜率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为N，且|AB|=|MN|，求直线l的方程.
提升篇
10.[2020四川五校联考]设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，以F1F2为直径的圆与椭圆C在第一象限的交点为P，则直线PF1的斜率为 (　　)
A. B. C. D.
11.[2019江西南昌模拟]已知F1，F2为椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF1⊥AF2，=2，则椭圆C的方程为 (　　)
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
12.[2019蓉城名校高三联考]已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，P是椭圆上一点，|PF2|=|F1F2|=2c，若∠PF2F1∈(，π)，则该椭圆的离心率的取值范围是 (　　)
A.(0，)　 B.(0，)　 C.(，1)　 D.(，)
13.[2019江西名校高三质检]如图9-3-1所示，
图9-3-1
A1，A2是椭圆C:=1的短轴端点，点M在椭圆上运动，且点M不与A1，A2重合，点N满足NA1⊥MA1，NA2⊥MA2，则= (　　)
A.2 B.3 C.4 D.
14.[新情境题]有一个高为12 cm，底面圆半径为3 cm的圆柱形玻璃杯，杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃杯厚度忽略不计)，当玻璃杯倾斜时，杯中水面的形状为椭圆，则在杯中的水不溢出的前提下，该椭圆的离心率的取值范围是 (　　)
A.(0，]　　B.[，1)　　C.(0，]　　D.[，1)
15.[2020广东七校联考]已知椭圆C的方程为=1(a>b>0)，焦距为2c，直线l :y=x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|=2c，则椭圆C的离心率为　　　　.?
16.[2020南昌市测试]已知椭圆E:=1(a>b>0)的四个顶点中的三个是边长为2的等边三角形的三个顶点.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线y=kx+m与圆O :x2+y2=相切且交椭圆E于M，N两点，求|MN|的最大值.
17.[交汇题]2019年1月3日10点26分(北京时间)，“嫦娥四号”探测器成功着陆在月球背面东经177.6度、南纬45.5度附近的预选着陆区，并通过“鹊桥”中继星传回了月背影像图，揭开了古老月背的神秘面纱.如图9-3-2所示，假设“嫦娥四号”卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星
图9-3-2
在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，若用e1和e2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的离心率，则 (　　)
A.e1>e2 　　　　B.e1C.e1=e2 　　　　D.e1与e2的大小关系不能确定
18.[多选题]历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线.如图9-3-3，
图9-3-3
在此圆锥中，圆锥的母线与轴的夹角为30°，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与轴的交点O到圆锥顶点M的距离为1，对于所得截口曲线给出如下命题，其中正确的选项为 (　　)
A.曲线为椭圆
B.点O为该曲线上任意两点之间的线段中最长的线段的三等分点
C.该曲线上任意两点间的距离中最长的距离为
D.该曲线上任意两点间的距离中最短的距离为
参考答案与解析
第三讲　椭　圆
考点测评
1.BCD　若a=2b，则c=b，e=，选项A不正确；若e=，则a=2c，b=c，，选项B正确；根据椭圆的定义易知选项C正确；设P(x0，y0)，则=1，易知A1(- a，0)，A2(a，0)，所以直线PA1，直线PA2的斜率之积为·=- ，选项D正确.故选BCD.
2.D　设椭圆的方程为=1(a>b>0)，由e2==1- ，得a2=2b2，根据椭圆的定义可知△ABF2的周长为4a，所以4a=16，即a=4，a2=16，b2=8，则椭圆的标准方程为=1，故选D.
3.D　设点M(x0，y0)，因为·=0，所以(x0+c)·(x0- c)=0，即=c2　①.
又点M在椭圆C上，所以=1　②.①②联立，结合a2- b2=c2，可得.由椭圆的性质可知0≤≤a2，即即所以c2≥b2，所以c2≥a2- c2，即2c2≥a2，可得e2≥.又04.D　如图D 9- 3- 1所示，
不妨设点P在y轴右侧，延长PF2，F1M交于点N.因为M为∠F1PF2的平分线上一点，且·=0，所以PM垂直平分F1N，故|PF1|=|PN|，由中位线定理可得|OM|=|F2N|.设点P(x0，y0)，x0∈(0，4)，由椭圆焦半径公式得，|PF1|=a+ex0，|PF2|=a- ex0，所以|F2N|=|PF1|- |PF2|=2ex0，故||=ex0.因为a=4，c==2，所以e=.
又x0∈(0，4)，所以||=ex0∈(0，2)，故选D.
5.D　由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图D 9- 3- 2所示，
图D 9- 3- 2
设|F1F2|=2c，∵△PF1F2为等腰三角形，且∠F1F2P=120°，∴|PF2|=|F1F2|=2c.∵|OF2|=c，∴点P的坐标为(c+2ccos 60°，2csin 60°)，即P(2c，c).∵点P在过点A且斜率为的直线上，∴，解得，∴e=，故选D.

6.10　2　设F1是椭圆的左焦点.如图D 9- 3- 3，连接AF1.由椭圆的对称性，结合椭圆的定义知|AF2|+|BF2|=2a=6，所以要使△ABF2的周长最小，必有|AB|=2b=4，所以△ABF2的周长的最小值为2a+2b=10.设A(xA，yA)，×2c×|yA|=|yA|≤2(当且仅当点A在y轴上时等号能取到)，所以△ABF2面积的最大值为2.
【技巧点拨】　以椭圆上一点P与椭圆的两焦点为顶点的三角形通常称为“焦点三角形”，利用椭圆的定义可求其周长.
图D 9- 3- 3 图D 9- 3- 4
7.0　如图D 9- 3- 4，由题意知△MF1F2的内切圆的半径为2- ，由三角形的面积=×内切圆半径×三角形的周长，得×(2- )×(4+2)=(2- )×(2)=1.
又焦点三角形的面积=b2tan(∠F1MF2)=tan(∠F1MF2)，
所以tan(∠F1MF2)=1，所以∠F1MF2=，
则∠F1MF2=，
所以cos∠F1MF2=0.
8. 　解法一　依题意，设点P(m，n)(- 30)，由题意知F(- 2，0)，所以线段FP的中点M的坐标为(，).因为点M在圆x2+y2=4上，所以()2+()2=4，又点P(m，n)在椭圆=1上，所以=1，所以4m2- 36m- 63=0，所以m=- ，n=，所以kPF=.
图D 9- 3- 5
解法二　如图D 9- 3- 5，连接O与PF的中点M，由题意知|OM|=|OF|=2，设椭圆的右焦点为F1，连接PF1，在△PFF1中，OM为中位线，所以|PF1|=4，由椭圆的定义知|PF|+|PF1|=6，所以|PF|=2.因为M为PF的中点，所以|MF|=1.在等腰三角形OMF中，过O作OH⊥MF于点H，所以|OH|=，所以kPF=tan∠HFO=.
变式练习
图D 9- 3- 6
1.(1)B　设MN的中点为D，椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，如图D 9- 3- 6，连接MA，MB，DF1，DF2，因为F1是MA的中点，D是MN的中点，所以F1D是△MAN的中位线，则|DF1|=|AN|，同理可得|DF2|=|BN|，所以|AN|+|BN|=2(|DF1|+|DF2|).因为D在椭圆上，所以根据椭圆的定义知|DF1|+|DF2|=4，所以|AN|+|BN|=8.故选B.
(2)(3，)　不妨令F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c==4.因为△MF1F2为等腰三角形，所以易知|F1M|=2c=8，所以|F2M|=2a- 8=4.设M(x，y)，则得
所以M的坐标为(3，).
2.B　设椭圆C的标准方程为=1(a>b>0)，因为|AF2|=2|F2B|，|AB|=|BF1|，所以|BF1|=3|F2B|.又|BF1|+|F2B|=2a，所以|F2B|=，则|AF2|=a，|AB|=|BF1|=a，|AF1|=a.
解法一　在△ABF1中，由余弦定理得cos∠BAF1=.因为椭圆C的焦点为F1(- 1，0)，F2(1，0)，所以c=1，|F1F2|=2.在△AF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2- 2|AF1||AF2|·cos∠BAF1，即4=a2+a2- 2a2·，解得a2=3，所以b2=a2- c2=2.于是椭圆C的标准方程为=1.故选B.
解法二　因为|AF1|=|AF2|=a，所以点A为椭圆的上顶点或下顶点.不妨设A(0，- b)，因为=2，所以B(，)，代入椭圆方程得=1，解得a2=3.又c=1，所以b2=a2- c2=2.于是椭圆C的标准方程为=1.故选B.
3.(1)C　由题意知，椭圆=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1(- a，0)，A2(a，0)，设P(x0，y0)，则·>- .因为=1，所以a2- ，所以，即，1- e2<，所以e2>，又0(2) 4　 由题意知椭圆的长半轴长a=2，因为e=，所以c=1，b2=a2- c2=3.故椭圆方程为=1.设P点坐标为(x0，y0)，- 2≤x0≤2，- ≤y0≤.因为F(- 1，0)，A(2，0)，=(- 1- x0，- y0)，=(2- x0，- y0)，=1，所以·- x0- 2- x0+1=(x0- 2)2.则当x0=- 2时，·取得最大值4.
4.(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，依题意，2b=4，，又a2=b2+c2，可得a=，b=2，c=1.
所以，椭圆的方程为=1.
(Ⅱ)由题意，设P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM，0).设直线PB的斜率为k(k≠0)，又B(0，2)，则直线PB的方程为y=kx+2，与椭圆方程联立得整理得(4+5k2)x2+20kx=0，可得xP=- ，代入y=kx+2得yP=，进而直线OP的斜率.在y=kx+2中，令y=0，得xM=- .由题意得N(0，- 1)，所以直线MN的斜率为- .由OP⊥MN，得·(- )=- 1，化简得k2=，从而k=±.
所以，直线PB的斜率为或- .
基础篇
1.C　因为MP⊥MQ，所以··()=.设P(x0，y0)，则由题意易得=3- ，- 3≤x0≤3.又M(1，0)，所以=(x0- 1)2- 2x0+1+3- - 2x0+4=(x0- )2，所以当x0=时，取得最小值，即·取得最小值.故选C.
2.B　由题意可知c=，bc=b=，解得b=，所以a==4，所以椭圆的长轴长为2a=8，故选B.
3.D　设|PF1|=|PQ|=m(m>0)，则|PF2|=2a- m，|QF2|=2m- 2a，|QF1|=4a- 2m.由题意知△PQF1为等腰直角三角形，所以|QF1|=|PF1|，故m=4a- 2a.因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2，所以(4a- 2a)2+[2a- (4a- 2a)]2=4c2，整理得4×()2=36- 24，即，故选D.
【解题关键】　求解本题的关键是利用题设条件构建关于a，c的一个方程.
4.A　 解法一　由椭圆标准方程，得a=5，b=3，所以c==4.设|PF1|=t1，|PF2|=t2，由椭圆的定义可得t1+t2=10　①.在△F1PF2中，∠F1PF2=60°，根据余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2- 2|PF1|·|PF2|cos 60°=|F1F2|2=(2c)2=64，整理可得- t1t2=64　②.把①两边平方得2t1t2=100　③.由③- ②可得t1t2=12，所以t1t2sin∠F1PF2=3.故选A.
解法二　由椭圆焦点三角形的面积公式，得=b2tan=9tan=3.故选A.
5.B　由题意可知，=1，即c=a.因为c=，所以a=2，b2=a2- c2=2.不妨设点P与点F2在y轴右侧，则解得即|PF1|2=，所以△F1PF2为直角三角形，故选B.
6.　设点P在双曲线的右支上，F2为两曲线的右焦点，由椭圆及双曲线的定义可得解得设|F1F2|=2c，因为PF1⊥PF2，所以(a1+a2)2+(a1- a2)2=4c2，整理得=2c2，两边同时除以c2，得=2.所以4(4)()=(5)≥×(5+2×2)=，当且仅当，且=2时取“=”，即当e1=，e2=时取“=”，故4的最小值为.
7.y2=1　[1，4]　由已知得2b=2，故b=1，∴a2- c2=b2=1　①.∵△F1AB的面积为，∴(a- c)b=，∴a- c=2- 　②，联立①②解得a=2，c=，则椭圆的方程为y2=1.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=4，∴，又2- ≤|PF1|≤2，∴1≤- |PF1|2+4|PF1|≤4，∴1≤≤4.即的取值范围为[1，4].
8. (1)由题意知，a+c=1，a- c=- 1.
又a2=b2+c2，所以可得b=，c=1，a=，
所以椭圆的方程为=1.
(2)由(1)可知F(- 1，0)，则直线CD的方程为y=k(x+1)，
由
消去y得(2+3k2)x2+6k2x+3k2- 6=0.
Δ=36k4- 4(2+3k2)(3k2- 6)=48k2+48>0.
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
则x1+x2=- ，x1x2=.
又A(- ，0)，B(，0)，
所以··
=(x1，y1)·(- x2，- y2)+(x2，y2)·(- x1，- y1)
=6- 2x1x2- 2y1y2
=6- 2x1x2- 2k2(x1+1)(x2+1)
=6- (2+2k2)x1x2- 2k2(x1+x2)- 2k2
=6
=10，
解得k=±.
9.(1)由题意可得解得
则b2=a2- c2=2.
所以椭圆C的方程为=1.
(2)当直线l的斜率不存在时，|AB|=2，|MN|=2，|AB|≠|MN|，不合题意，所以直线l的斜率存在.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+2，
由消去y并整理，得(1+4k2)x2+16kx+8=0.
Δ=(16k)2- 32(1+4k2)=128k2- 32>0，即k2>.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，y0)，则x1+x2=- ，x1x2=，则x0==- .
因为|AB|=|MN|，
所以|x1- x2|=|x0- 0|，
则=|x0|，即=||，
整理得k2=，解得k=±.
于是直线l的方程为y=±x+2.
提升篇
10.B　解法一　由题意可知，|F1F2|=2c，又由e=得c=a，所以|F1F2|=a.因为点P是以F1F2为直径的圆与椭圆C在第一象限的交点，故PF1⊥PF2且|PF1|>|PF2|，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.又|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF1|·|PF2|=a2，所以|PF1|=a，|PF2|=a，所以直线PF1的斜率=tan∠PF1F2=.故选B.
解法二　因为e=，故可设a=3，c=，则b=2，=b2tan=b2tan 45°=|PF1|·|PF2|=4.因为点P在第一象限，所以|PF1|>|PF2|，又|PF1|+|PF2|=2a=6，故|PF1|=4，|PF2|=2，所以直线PF1的斜率=tan∠PF1F2=.故选B.
11.A　因为点A在椭圆上，所以|AF1|+|AF2|=2a，把该等式两边同时平方，得|AF1|2+|AF2|2+2|AF1||AF2|=4a2.又AF1⊥AF2，所以|AF1|2+|AF2|2=4c2，则2|AF1||AF2|=4a2- 4c2=4b2，即|AF1||AF2|=2b2，所以|AF1||AF2|=b2=2.因为△AF1F2是直角三角形，∠F1AF2=90°，且O为F1F2的中点，所以|OA|=|F1F2|=c.不妨设点A在第一象限，则∠AOF2=30°，所以A(c，c)，所以|F1F2|·c=c2=2，即c2=4，故a2=b2+c2=6，所以椭圆C的方程为=1，故选A.
12.D　根据题意知，|PF2|=|F1F2|=2c，则|PF1|=2a- 2c.在△PF1F2中，cos∠PF2F1=()2.因为∠PF2F1∈(，π)，所以cos∠PF2F1∈(- 1，)，所以- 1<()2<.
所以即
即又e>0，解得2<<3，13.A　由题意知A1(0，3)，A2(0，- 3).设M(x0，y0)，N(x1，y1)，则直线MA1的斜率为.由NA1⊥MA1，可得NA1的斜率为=- .于是直线NA1的方程为y=- x+3　①.同理，NA2的方程为y=- x- 3　②.联立①②消去y，得x=x1=.因为M(x0，y0)在椭圆=1上，所以=1，从而- 9=- ，所以x1=- ，所以=||=2.故选A.
14.C　由题意知，当玻璃杯倾斜至杯中的水刚好不溢出时，杯中水面所形成的椭圆的离心率最大，易知此时椭圆的长轴长为=6，短轴长为6，所以椭圆的离心率e=，所以e∈(0，].
15.　设直线l与椭圆C在第一象限内的交点为A(x1，y1)，则y1=x1，由|AB|=2c，可知|OA|==c(O为坐标原点)，即=c，解得x1=c，所以A的(c，c)，把点A的坐标代入椭圆方程得=1，又a2=b2+c2，整理得8e4- 18e2+9=0，即(4e2- 3)(2e2- 3)=0，又016. (1)由题意得，椭圆的上、下两顶点与左顶点或右顶点是边长为2的等边三角形的三个顶点，
∴a=b，2b=2，即a=3，b=，
∴椭圆E的方程为=1.
(2)∵b=，∴圆O:x2+y2=2.
∵直线y=kx+m与圆O:x2+y2=2相切，
∴，即m2=2(1+k2).
联立方程得
消去y并整理得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2- 3)=0.
Δ=36k2m2- 12(1+3k2)(m2- 3)=12(9k2- m2+3)=12(7k2+1)>0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1+x2=- ，x1·x2=.
由弦长公式得
|MN|=·|x1- x2|=··，
将m2=2(1+k2)代入上式得，
|MN|=·
=·
≤·
=，
当且仅当2+2k2=7k2+1，即k2=时等号成立，故|MN|的最大值为.
17.A　设椭圆轨道Ⅰ和椭圆轨道Ⅱ的长轴长分别为2a1，2a2，焦距分别为2c1，2c2，由题意知a1>a2>0，c1>c2>0，且a1- c1=a2- c2.令a1- c1=a2- c2=t，t>0，∴a1=t+c1，a2=t+c2.
∴=1，=1.
∵c1>c2>0，t>0，∴，∴，∴e1>e2.故选A.
18.ABC　由题意易知曲线为椭圆，故A正确.
画出轴截面的示意图如图D 9- 3- 7所示，A，B为截面与圆锥的两条母线的交点.
图D 9- 3- 7
因为∠AMO=∠BMO=30°，MA⊥AB，MO=1，
所以AO=MO=，∠OMB=∠OBM=30°，
所以BO=MO=1，所以.
因为曲线上任意两点之间的线段中最长的线段为AB，
所以点O为该曲线上任意两点之间的线段中最长的线段的三等分点，故B正确.
因为AB=AO+OB=1=，
所以该曲线上任意两点间的距离中最长的距离为，故C正确.
因为曲线是一个封闭的曲线，所以该曲线上任意两点间的距离中没有最短的距离，故D错误.选ABC.
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