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第九章 直线和圆的方程
第四讲　双曲线
考点测评
1.[多选题]以下说法正确的是 (　　)
A.若点(2,3)在焦距为4的双曲线-=1(a>0,b>0)上,则此双曲线的离心率e=1
B.若点F,B分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点和虚轴的一个端点,则线段FB的中点一定不在此双曲线的渐近线上
C.等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于
D.若双曲线-=1(a>0,b>0)与-=1(a>0,b>0)的离心率分别是e1,e2,则+=1(称这两条双曲线互为共轭双曲线)
2.[2016全国卷Ⅰ]已知方程=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是 (　　)
A.( - 1,3) B.( - 1,) C.(0,3) D.(0,)
3.[2019全国卷Ⅲ]双曲线C:=1的右焦点为F ,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF |,则
△PF O的面积为 (　　)
A. B. C.2 D.3
4.[2019全国卷Ⅱ]设F 为双曲线C:=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF 为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF |,则C的离心率为 (　　)
A. B. C.2 D.
5.[2018天津高考]已知双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为 (　　)
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
6.[双空题]已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程是2x-y=0,则双曲线E的离心率e= ;若双曲线E的实轴长为2,过双曲线E的右焦点F可作两条直线与圆C:x2+y2-2x+4y+m=0相切,则实数m的取值范围是　　　　.?
知识回顾　　　　　　　　　　　　　　　　
考法1 双曲线定义的应用
1、(1)已知点F 1( - 3,0)和F 2(3,0),动点P到F 1,F 2的距离之差为4,则点P的轨迹方程为
A.=1(y>0) B.=1(x>0)
C.=1(y>0) D.=1(x>0)
(2)已知F 1,F 2为双曲线C:x2 - y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F 1PF 2=60°,则|PF 1|·|PF 2|=
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】(1)由题设知点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线的右支, (注意“距离之差”与“距离之差的绝对值”的区别)
设其方程为=1(x>0,a>0,b>0),由题设知c=3,a=2,则b2=5,所以点P的轨迹方程为=1(x>0).
(2)由双曲线的方程得a=1,c=,
由双曲线的定义得||PF 1| - |PF 2||=2.
在△PF 1F 2中,由余弦定理得
|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2 - 2|PF 1|·|PF 2|cos 60°,
即(2)2=|PF 1|2+|PF 2|2 - |PF 1|·|PF 2|
=(|PF 1| - |PF 2|)2+|PF 1|·|PF 2|
=22+|PF 1|·|PF 2|,
解得|PF 1|·|PF 2|=4.
【答案】(1)B　(2)B
变式练习
1.[2020广东七校第一次联考]P是双曲线C: - y2=1右支上一点,直线l是双曲线C的一条渐近线.P在l上的射影为Q,F 1是双曲线C的左焦点,则|PF 1|+|PQ|的最小值为 (　　)
A.1 B.2+ C.4+ D.2+1
考法2 求双曲线的标准方程
2 [2017全国卷Ⅲ]已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且C与椭圆=1有公共焦点,则C的方程为
A.=1　 B.=1　 C.=1　 D.=1
【解题思路】思路一　根据双曲线的渐近线方程得出a,b的关系,根据C与椭圆共焦点求出c,利用c2=b2+a2求出a2 ,b2,即得双曲线的标准方程.
思路二　利用与椭圆共焦点的双曲线方程的设法求解.
【解析】解法一　根据双曲线C的一条渐近线方程为y=x,可知　①.因为椭圆=1的焦点坐标为(3,0)和( - 3,0),所以a2+b2=9　②,根据①②可知a2=4,b2=5.
所以双曲线C的方程为=1.
解法二　因为双曲线与椭圆有共同的焦点,所以设双曲线方程为=1(3<λ<12).
令=0,得y2=x2.
又双曲线的渐近线方程为y=x,
所以,解得λ=8.
所以双曲线C的方程为=1.
【答案】B
3 [2019辽宁五校联考]已知双曲线过点(2,3),渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程是
A.=1　B.=1　C.x2 - =1　D.=1
【解析】解法一　若双曲线的焦点在x轴上,设其标准方程为=1(a>0,b>0),则由题意可得解得所以双曲线的标准方程为x2 - =1;若双曲线的焦点在y轴上,设其标准方程为=1(a>0,b>0),则由题意可得该方程组无解.
综上,所求双曲线的标准方程为x2 - =1.
解法二　设双曲线的方程为=1(mn>0),则由题意可得解得所以所求双曲线的标准方程为x2 - =1.
解法三　因为双曲线的渐近线方程为y=±x,所以可设双曲线的方程为3x2 - y2=λ(λ≠0),则由双曲线过点(2,3),可得λ=3×22 - 32=3,故双曲线的方程为3x2 - y2=3,其标准方程为x2 - =1.
【答案】C
变式练习
2.[2017天津高考]已知双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点为F ,离心率为.若经过F 和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为 (　　)
A.=1 B.=1 C.=1 D.=1
考点3 双曲线的几何性质
命题角度1　求双曲线的渐近线　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　
4(1)[2018全国卷Ⅱ]双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为
A.y=±x　 B.y=±x 　 C.y=±x　 D.y=±x
(2)[2018全国卷Ⅰ]已知双曲线C: - y2=1,O为坐标原点,F 为C的右焦点,过F 的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=
A. B.3 C.2 D.4
【解析】(1)解法一　由题意知,e=,所以c=a,所以b=a,所以,所以该双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.
解法二　由e=,得,所以该双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.
(2)易知双曲线 - y2=1的渐近线方程为y=±x,所以∠MON=60°.不妨设过点F 的直线与直线y=x交于点M,由△OMN为直角三角形,不妨设∠OMN=90°,则∠MF O=60°,又直线MN过点F (2,0),所以直线MN的方程为y= - (x - 2),由得所以M(,),所以|OM|=,所以|MN|=|OM|=3.
【答案】(1)A　(2)B
命题角度2　求双曲线的离心率或其范围
5[2019全国卷Ⅰ]已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若,·=0,则C的离心率为　　　　.?
【解题思路】
思路一→由tan∠BOF 2=tan 2∠BF 1O建立关于a,b的方程→可求得离心率的值
思路二→由点B在直线y=x上建立关于a,b的方程→可求得离心率的值
【解析】解法一　因为·=0,所以 F 1B⊥F 2B,如图9 - 4 - 1.所以|OF 1|=|OB|,所以
∠BF 1O=∠F 1BO,所以∠BOF 2=2∠BF 1O.因为,所以点A为线段F 1B的中点,又点O为线段F 1F 2的中点,所以OA∥BF 2,所以F 1B⊥OA.因为直线OA,OB为双曲线C的两条渐近线,所以tan∠BF 1O=,tan∠BOF 2=.因为tan∠BOF 2=tan 2∠BF 1O,所以,所以b2=3a2,所以c2 - a2=3a2,即2a=c,所以双曲线的离心率e==2.
解法二　因为·=0,所以F 1B⊥F 2B.在Rt△F 1BF 2中,|OB|=|OF 2|,所以∠OBF 2=∠OF 2B.又,所以A为线段F 1B的中点,所以OA∥F 2B,所以∠F 1OA=∠OF 2B.又∠F 1OA=∠BOF 2,所以△OBF 2为等边三角形.由F 2(c,0)可得B(,),因为点B在直线y=x上,所以c=·,所以,所以e==2.
命题角度3　与双曲线有关的范围(或最值)问题
6 [2020湘东六校联考]已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的两个顶点分别为A1,A2,F 为双曲线的一个焦点,B为虚轴的一个端点,若在线段BF 上(不含端点)存在两点P1,P2,使得∠A1P1A2=∠A1P2A2=,则双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围是
A.(1,) B.(1,) C.(0,) D.(,)
【解题思路】
由以A1A2为直径的圆O上存在两点P1,P2,使得∠A1P1A2=∠A1P2A2=→由圆心O到直线BF 的距离小于圆的半径a建立关于a,b的不等式→可求得双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围
【解析】不妨设点F 为双曲线的左焦点,点B在y轴正半轴上,则F ( - c,0),B(0,b),直线BF 的方程为bx - cy= - bc.如图9 - 4 - 2所示,以O为圆心,A1A2为直径作圆O,则P1,P2在圆O上.
由题意可知解得1<()2,即双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围是(1,).
【答案】A
变式练习
3.（1）[2019郑州高三第三次质量预测]F 1,F 2是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线上存在点P满足·= - a2,则该双曲线离心率的取值范围为 (　　)
A.[,+∞) B.[,+∞) C.(1,] D.(1,]
(2)[2020广东省百校联考]已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为2,F 1,F 2分别是双曲线的左、右焦点,点M( -a,0),
(0,b),点P为线段MN上的动点,当·取得最小值和最大值时,△PF 1F 2的面积分别为S1,S2,则= (　　)
A.4 B.8 C.2 D.4
考法4 直线与双曲线的综合问题
7 已知双曲线C:x2 - y2=1及直线l:y=kx - 1.
(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;
(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为,求实数k的值.
【解题思路】
(1)联立双曲线方程与直线方程,消去y→x2的系数不为0且Δ>0→求k的取值范围
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)→S△OAB转化为S△OAD±S△OBD→根与系数的关系→解关于k的方程
【解析】(1)联立双曲线C与直线l的方程得消去y整理得(1 - k2)x2+2kx - 2=0.
因为l与C有两个不同的交点,即上式有两个不同的实数根,
所以
解得 - k且k≠±1.即当双曲线C与直线l有两个不同的交点时,实数k的取值范围是( - , - 1)∪( - 1,1)∪(1,).
(2)设交点A(x1,y1),B(x2,y2),直线l与y轴交于点D(0, - 1),由(1)知,联立双曲线C和直线l的方程并整理得(1 - k2)x2+2kx - 2=
0( - k且k≠±1),
所以
当A,B在双曲线的同一支上且|x1|>|x2|时,
S△OAB=S△OAD - S△OBD=(|x1| - |x2|)=|x1 - x2|;
当A,B分别在双曲线的两支上且x1>x2时,
S△OAB=S△OAD+S△OBD=(|x1|+|x2|)=|x1 - x2|.
综上,S△OAB=|x1 - x2|=,
所以(x1 - x2)2=(x1+x2)2 - 4x1x2=(2)2,
即()2+=8,解得k=0或k=±.
所以当△AOB的面积为时,实数k的值为0或或 - .
第四讲　《双曲线》测试
基础篇
1.[2020惠州市一调]设双曲线的一条渐近线为直线y=2x，且一个焦点与抛物线 y2=4x的焦点相同，则此双曲线的方程为 (　　)
A.x 2- 5y2=1 B.5y2 -x2=1
C.5x2-y2=1 D.y2 - 5x2=1
2.[2020陕西省部分学校摸底检测]设双曲线=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|AF2|+|BF2|的最小值为 (　　)
A.13 B.12 C.11 D.10
3.[2020南昌市测试]圆C:x2+y2-10y+16=0上有且仅有两点到双曲线=1(a>0，b>0)的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率的取值范围是 (　　)
A.(，)　B.(，)　C.(，)　D.(，+1)
4.[2019安徽示范高中高三测试]已知F1，F2是双曲线E:=1(a>0，b>0)的左、右焦点，点M在双曲线E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则双曲线E的离心率为 (　　)
A. B. C. D.2
5.[2020江西红色七校第一次联考]双曲线C:x2-=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上且tan∠F1PF2=4，O为坐标原点，则|OP|=　　　　　.?
6.[2020四川五校联考]已知双曲线C:=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过原点的直线与双曲线C交于A，B两点，若∠AF2B=60°，△ABF2的面积为a2，则双曲线的渐近线方程为　　　　　　　　.?
提升篇
7.[2020陕西省百校第一次联考]已知双曲线C:=1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1与l2，A与B为l1上关于坐标原点对称的两点，M为l2上一点且kAM·kBM=e(e为双曲线C的离心率)，则e的值为 (　　)
A. B. C.2 D.
8.[2020成都高三摸底考试]已知双曲线C:=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，点N(-c，).若双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|+|MN|>4b，则双曲线C的离心率的取值范围为 (　　)
A.(，) B.(，) C.(1，)∪(，+∞) D.(1，)∪(，+∞)
9.[2020洛阳市第一次联考]已知双曲线C:=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(-c，0)，F2(c，0)，A，B是圆(x+c)2+y2=4c2与双曲线C位于x轴上方的两个交点，且F1A∥F2B，则双曲线C的离心率为 (　　)
A.　　B.　　C.　　D.
10.[多选题]已知双曲线Γ:=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线Γ的右支上异于顶点的一个点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，过F2作直线PI的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则以下结论正确的是 (　　)
A.△PF1F2的内切圆的圆心I在直线x=a上
B.|OM|=a
C.若∠F1IF2=θ，则△PF1F2的面积为-b2tan θ
D.△PF1F2的内切圆与x轴的切点为(c-a，0)
11.[2019河北廊坊省级示范高中联考]已知点F2为双曲线C:=1(a>0，b>0)的右焦点，直线y=kx交双曲线C于A，B两点，若∠AF2B=，=2，则双曲线C的虚轴长为　　　　.?
12.[2020惠州市二调] [新定义题]我们把焦点相同，离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1，F2是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当∠F1PF2=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是 (　　)
A. B. C. D.2
13. [新角度题]已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，c为椭圆C的半焦距，过A1的直线与圆x2+y2=c2切于点N，与双曲线E:=1在第一象限交于点M，满足MA1⊥MA2，若椭圆C的离心率为e1，双曲线E的离心率为e2，则e2+的值为 (　　)
A. B. C. D.2
14.[双空题]在平面直角坐标系中，若双曲线的渐近线方程为2x±y=0，且该双曲线经过点(，)，则该双曲线的标准方程为　　　　，焦点坐标为　　　　.?
参考答案与解析
第四讲　双曲线
考点测评
1.BCD　对于A，双曲线的焦点为(- 2，0)，(2，0)，2a=||=2，a=1，从而离心率e=2，所以A错误；
对于B，F(±c，0)，B(0，±b)，FB的中点坐标(±，±)不满足双曲线的渐近线方程y=±x，所以B正确；
对于C，由等轴双曲线的性质可得C正确；
对于D，由共轭双曲线的性质可知D正确.故选BCD.
2.A　解法一　因为双曲线=1两焦点之间的距离为4，则:
①当焦点在x轴上时，解得
②当焦点在y轴上时， 无解.
综上，- 1解法二　取n=0，满足题意，排除C，D；取n=2，满足题意，排除B.选A.
解法三　不考虑双曲线焦点的位置，根据双曲线的性质可得化简可得
则- 1【技巧点拨】　破解此类问题需用构造的思想，即根据双曲线的方程表示的意义，构造关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)得出参数的取值范围.若是选择题，则采用特殊值法可更快找到解题的突破口.
3.A　设点P在第一象限，根据题意可知c2=6，所以|OF|=.又tan∠POF=，所以等腰三角形PFO底边OF上的高h=，所以S△PFO=.故选A.
4.A　如图D 9- 4- 1，
图D 9- 4- 1
由题意知，以OF为直径的圆的方程为(x- )2+y2=　①，将x2+y2=a2记为②式，①- ②得x=，则以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2的相交弦所在直线的方程为x=，所以|PQ|=2.由|PQ|=|OF|，得2=c，整理得c4- 4a2c2+4a4=0，即e4- 4e2+4=0，又e>1，解得e=，故选A.
5.C　解法一　因为直线AB经过双曲线的右焦点，所以不妨取A(c，)，B(c，- )，取双曲线的一条渐近线为直线bx- ay=0，由点到直线的距离公式可得d1=，d2=，因为d1+d2=6，所以=6，所以2b=6，得b=3.因为双曲线=1(a>0，b>0)的离心率为2，即=2，所以=4，所以=4，解得a2=3，所以双曲线的方程为=1，故选C.
解法二　由直线AB过双曲线的右焦点且垂直于x轴，d1+d2=6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b=3.因为双曲线=1(a>0，b>0)的离心率为2，所以=2，所以=4，所以=4，解得a2=3，所以双曲线的方程为=1，故选C.
6.3　(- 3，5)　因为双曲线E的一条渐近线的方程是2x- y=0，所以=2，所以e==3.因为双曲线E的实轴长为2，所以2a=2，即a=1，所以c=3，F(3，0).由题意得右焦点F在圆C外，所以需满足解得- 3变式练习
1.D　设双曲线的右焦点为F2，因为|PF1|- |PF2|=2，所以|PF1|=2|PF2|，|PF1|+|PQ|=2|PF2|+|PQ|.当且仅当Q，P，F2三点共线，且P在Q，F2之间时，|PF2|+|PQ|最小，且最小值为点F2到直线l的距离.由题意可得直线l的方程为y=±x，焦点F2(，0)，点F2到直线l的距离d=1，故|PQ|+|PF1|的最小值为21，故选D.
2.B　由e=知，双曲线为等轴双曲线，则其渐近线方程为y=±x，由P(0，4)知左焦点F的坐标为(- 4，0)，所以c=4，则a2=b2==8.故选B.
3. (1)B　由题意可得F1(- c，0)，F2(c，0)，设P(m，n)，则=(- c- m，- n)，=(c- m，- n)，m2+n2≥a2.由·=(- c- m，- n)·(c- m，- n)=m2- c2+n2=- a2，知m2+n2=c2- a2，所以c2- a2≥a2，得c2≥2a2，所以≥2，得e2≥2，所以e≥，故选B.
(2)A　由e==2，得c=2a，则b=a，所以线段MN所在的直线方程为y=(x+a).又点P在线段MN上，可设P点坐标为(m，ma)，其中m∈[- a，0].由F1(- c，0)，F2(c，0)，即F1(- 2a，0)，F2(2a，0)，得=(- 2a- m，- m- a)，=(2a- m，- m- a)，所以·=4m2+6ma- a2=4(ma)2- a2.又m∈[- a，0]，可知当m=- a时，·取得最小值，此时yP=a；当m=0时，·取得最大值，此时yP=a.所以=4.故选A.
基础篇
1.C　抛物线y2=4x的焦点为点(1，0)，则双曲线的一个焦点为点(1，0)，设双曲线的方程为=1(a>0，b>0)，由题意可得得所以双曲线的方程为5x2- y2=1，故选C.
2.C　由题意得双曲线的实半轴长a=2，虚半轴长b=.根据双曲线的定义得|AF2|- |AF1|=2a=4　①，|BF2|- |BF1|=2a=4　②，①+②得|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+8=|AB|+8.易得|AB|min==3，所以|AF2|+|BF2|的最小值为11，故选C.
3.C　不妨设该渐近线经过第二、四象限，则该渐近线的方程为bx+ay=0.因为圆C:x2+(y- 5)2=9，所以圆C的圆心为(0，5)，半径为3，所以2<<4，结合a2+b2=c2，得，所以该双曲线的离心率的取值范围是(，).故选C.
4.A　由题意知F1(- c，0)，因为MF1与x轴垂直，且M在双曲线上，所以|MF1|=.在Rt△MF2F1中，sin∠MF2F1=，所以tan∠MF2F1=，即.又b2=c2- a2，所以c2- a2- 2ac=0，两边同时除以a2，得e2- 2e- =0.又e>1，所以双曲线E的离心率为.故选A.
【解题关键】　解决本题的关键是将齐次方程c2- a2- 2ac=0转化为关于e的一元二次方程.
5.　因为tan∠F1PF2=4，所以sin∠F1PF2=，cos∠F1PF2=.
由余弦定理得- 2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，
所以·|PF1|·|PF2|=16，
又||PF1|- |PF2||=2，所以|PF1|·|PF2|=7，
则△F1PF2的面积为·|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=2.
设P(x0，y0)，因为△F1PF2的面积为·2c·|y0|=2，所以|y0|=，代入x2- =1得=2，所以|OP|=.
6.y=±x　解法一　如图D 9- 4- 2，连接AF1，BF1，则四边形AF2BF1是平行四边形，设|AF2|=x，则|BF1|=x，|BF2|=x+2a，·|AF2|·|BF2|·sin∠AF2B=x·(x+2a)·a2，解得x=(- 1)a，则|BF2|=(1)a.在△BF1F2中，由余弦定理得4c2=(- 1)2a2+(1)2a2- 2(- 1)(1)a2·(- )，化简得c2=4a2，又c2=a2+b2，故b2=3a2，=±，所以双曲线的渐近线方程为y=±x.
图D 9- 4- 2
解法二　如图D 9- 4- 2，连接AF1，BF1，则四边形AF2BF1是平行四边形，因为∠AF2B=60°，所以∠F1AF2=120°，易知a2，故=3，=±，所以双曲线的渐近线方程为y=±x.
提升篇
7.B　设M(x0，y0)，A(x1，y1)，则B(- x1，- y1).不妨设l1:y=x，l2:y=- x，则y0=- x0，y1=x1，所以kAM·kBM=·.因为kAM·kBM=e，所以=e，即=e，整理得e2- e- 1=0，解得e=.又e>1，所以e=，故选B.
8.C　由双曲线定义知|MF2|- |MF1|=2a，所以|MF2|=|MF1|+2a，因为|MF2|+|MN|>4b恒成立，所以|MF1|+|MN|>4b- 2a恒成立，即(|MF1|+|MN|)min>4b- 2a.由题意易知点N在双曲线左支的上方，由平面几何知识知，当MF1⊥x轴且点M在x轴上方时，|MF1|+|MN|取得最小值，所以>4b- 2a，即3·()2- 8·4>0，解得0<或>2.又e= ，所以e∈(1，)∪(，+∞)，故选C.
图D 9- 4- 3
9.C　如图D 9- 4- 3，连接BF1，AF2，由双曲线的定义知，|AF2|- |AF1|=2a，|BF1|- |BF2|=2a，由|BF1|=|AF1|=2c，可得|AF2|=2a+2c，|BF2|=2c- 2a，在△AF1F2中，由余弦定理可得cos∠AF1F2=，在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1=，由F1A∥F2B，可得∠BF2F1+∠AF1F2=π，则有cos∠BF2F1+cos∠AF1F2=0，即=0，整理得2c2- 3ac- a2=0，可化为2e2- 3e- 1=0，解得e=或e=(舍去)，所以双曲线C的离心率为.故选C.
10.ABC　设内切圆与△PF1F2的边F1F2，F2P，F1P分别切于点A，B，C，切点A的坐标为(x0，0)，由题意知x0>0，则|PF1|- |PF2|=|PC|+|CF1|- |PB|- |BF2|=|CF1|- |BF2|=|AF1|- |AF2|=(c+x0)- (c- x0)=2x0=2a，所以x0=a，连接IA，则IA⊥x轴，所以A正确，D不一定正确.设直线F2M交PF1于点D，因为PM是∠F1PF2的平分线，且PM⊥F2D，所以△PDF2是等腰三角形，即|PD|=|PF2|，所以|PF1|- |PF2|=|DF1|=2a，又易得M是线段DF2的中点，O是线段F1F2的中点，所以|OM|=|F1D|=a，故B正确.在△PF1F2中，设∠F1PF2=α，因为|PF1|- |PF2|=2a，结合余弦定理可得|PF1|·|PF2|=，所以△PF1F2的面积S=|PF1|·|PF2|·sin α=.因为∠IF1F2+∠IF2F1+θ=π，即(π- α)+θ=π，所以α=2θ- π，所以S==- =- =- b2tan θ，所以C正确.故选ABC.
11.2　设双曲线C的左焦点为F1，连接AF1，BF1，由对称性可知四边形AF1BF2是平行四边形，所以=2，∠F1AF2=.设|AF1|=r1，|AF2|=r2，由余弦定理得4c2=- 2r1r2cos .又|r1- r2|=2a，所以r1r2=4b2.又r1r2sin =2，所以b2=2，则该双曲线的虚轴长为2.
12.A　设椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，椭圆的长半轴长为a1，椭圆的半焦距为c，双曲线的实半轴长为a2，|PF1|=x，|PF2|=y，x>y.
由椭圆、双曲线的定义得在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2==cos 60°，∴，∴3=4c2.∵e1·e2=·=1，∴c2=a1a2，∴3=4a1a2，即(a1- a2)(a1- 3a2)=0，∴a1=3a2，∴3=c2，∴e2=，即双曲线的离心率为.故选A.
13.D　如图D 9- 4- 4，
图D 9- 4- 4
由已知得，a2=b2+c2，则A1，A2分别为双曲线E:=1的左、右焦点.连接ON，由直线A1M与圆x2+y2=c2切于点N，得|ON|=c，ON⊥MA1，又MA1⊥MA2，所以ON∥A2M，从而|A1N|=b，|A1M|=2b，|A2M|=2|ON|=2c.由双曲线的定义得|A1M|- |A2M|=2c，即2b- 2c=2c，b=2c，从而椭圆的离心率e1=，双曲线的离心率e2=，所以e2=2，故选D.
【技巧点拨】　在解决有关圆的问题时，要多注意结合几何图形，充分利用圆的几何性质；涉及双曲线定义的题目，要抓住“双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值等于2a(a为双曲线的实半轴长)”这个特征；涉及椭圆定义的题目，要抓住“椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于2m(m为椭圆的长半轴长)”这个特征.
【素养落地】　试题将椭圆、双曲线、直线与圆等知识有机结合起来，引导考生要抓住解析几何问题的本质，在剖析问题本质的基础上，建立“数”与“形”的联系，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.
14.x2- =1　(±，0)　解法一 　分两种情况讨论:(1)设双曲线的标准方程为=1(a>0，b>0)，由双曲线的渐近线方程为2x±y=0，知 b=2a，由得所以双曲线的标准方程为x2- =1，焦点坐标为(±，0)；(2)设双曲线的标准方程为=1(a>0，b>0)，由双曲线的渐近线方程为2x±y=0，知 a=2b，由得b2=- 1，不合题意，舍去.
综上，双曲线的标准方程为x2- =1，焦点坐标为(±，0).
解法二　因为点(，)在渐近线y=2x的下方，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为=1(a>0，b>0)，由双曲线的渐近线方程为2x±y=0，知 b=2a，由得所以双曲线的标准方程为x2- =1，焦点坐标为(±，0).
解法三 　由双曲线的渐近线方程为2x±y=0，设双曲线的方程为4x2- y2=λ，再将(，)代入双曲线的方程，得λ=4，所以双曲线的标准方程为x2- =1，焦点坐标为(±，0).
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