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第九章 直线和圆的方程
第五讲　抛物线
考点测评
1.[2019全国卷Ⅱ]若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆=1的一个焦点,则p= (　　)
A.2 B.3 C.4 D.8
2.[多选题]已知抛物线x2=y的焦点为F,M(x1,y1),N(x2,y2)是抛物线上的两点,则下列结论正确的是 (　　)
A.点F的坐标为(,0)
B.若直线MN过点F,则x1x2=-
C.若=λ,则|MN|的最小值为
D.若|MF|+|NF|=,则线段MN的中点P到x轴的距离为
3.[2020安徽合肥高三调研]设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F ,斜率为k的直线过F 交C于点A,B,=2,则直线AB的斜率为 (　　)
A.2 B.2 C.±2 D.±2
4.[2020广东高三四校联考]已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F ,O为坐标原点,点M,N为抛物线准线上相异的两点,且M,N两点的纵坐标之积为 - 4,直线OM,ON分别交抛物线于A,B两点,若A,F ,B三点共线,则p=　　　　.?
5.[2018全国卷Ⅲ]已知点M( - 1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°,则 k=　　　　.?
6.[2020四川成都市毕业班摸底考试]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F ,准线为l.若位于x轴上方的动点A在准线l上,线段AF 与抛物线C相交于点B,且 - |AF |=1,则抛物线C的标准方程为　　　　　.?
7.[2020浙江温州九校第一次联考]已知抛物线y2=4x的焦点F ,过点F 作直线l交抛物线于A,B两点,则=　　　　,
- |BF |2的最大值为　　　　.?
知识回顾　　　　　　　　　　　　　　　　　
考法1 抛物线定义的应用
1已知抛物线y2=2x的焦点是F ,点P是抛物线上的动点,若A(3,2),则|PA|+|PF |的最小值为　　　　,此时点P的坐标为　　　　.?
【解题思路】利用抛物线的定义可知|PF |等于点P到准线的距离,从而将|PA|+|PF |的最小值问题转化为点P到点A和到准线的距离之和最小的问题.
【解析】将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=±.因为>2,所以点A在抛物线内部,如图9 - 5- 1所示.
作抛物线的准线l,过点P作PQ⊥l于点Q,则|PA|+|PF |=|PA|+|PQ|, (运用定义进行转化)
当PA⊥l,即A,P,Q三点共线时,|PA|+|PQ|最小, (两点之间线段最短)
最小值为,即|PA|+|PF |的最小值为,此时点P的纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2,所以此时点P的坐标为(2,2).
变式练习
1.(1)[2017全国卷Ⅰ]已知F 为抛物线C:y2=4x的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为 (　　)
A.16 B.14 C.12 D.10
(2)[2020湖北省部分重点中学联考]已知动圆P恒过定点(,0),且与直线x= - 相切,则动圆P的圆心轨迹M的方程为　　　　　.?
考法2 抛物线的标准方程及几何性质
2(1)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F ,点M在C上,|MF |=5.若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C的方程为
A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
(2)[2020惠州高三第一次调研]已知F 是抛物线C:y=2x2的焦点,N是x轴上一点,线段F N与抛物线C相交于点M,若2,则|F N|=
A. B. C. D.1
【解题思路】
(1)思路一　设A(0,2),由以MF 为直径的圆过点(0,2)得到=0→由|MF |=5求出p值→得到抛物线C的方程
思路二　由以MF 为直径的圆过点(0,2)得到点M的坐标→由圆与y轴相切求出p值→得到抛物线C的方程
思路三　由以焦半径为直径的圆恒与y轴相切得到点M的坐标→将点M的坐标代入抛物线方程求出p值→得到抛物线C的方程
(1)解法一　由已知得抛物线的焦点F (,0),设点A(0,2),抛物线上点M(x0,y0),则=(, - 2),=(,y0 - 2).由已知得·=0, (由以MF 为直径的圆过点(0,2)可得)
即 - 8y0+16=0,得y0=4,M(,4).由|MF |=5,得=5,又p>0,解得p=2或p=8,所以抛物线的方程为y2=4x或y2=16x.
解法二　因为以MF 为直径的圆过点(0,2),所以点M在第一象限.由|MF |=xM+=5,
得xM=5 - ,即M(5 - ,).
设以MF 为直径的圆的圆心为N,则N的坐标为(,). (N为MF 的中点)
因为点N的横坐标恰好等于圆的半径,所以圆与y轴相切于点(0,2),所以2=,即p2 - 10p+16=0,解得p=2或p=8,所以抛物线的方程为y2=4x或y2=16x.
解法三　易知点M在第一象限,由抛物线的定义得xM+=5,即xM=5 - ,在抛物线中,以焦半径为直径的圆恒与y轴相切,由题意知切点为(0,2),则M点的纵坐标为4,将M(5 - ,4)代入抛物线方程得16=2p(5 - ),即p2 - 10p+16=0,解得p=2或p=8,所以抛物线的方程为y2=4x或y2=16x.
(2)解法一　因为F 是抛物线C:y=2x2的焦点,所以 F (0,),抛物线C的准线方程为y= - .如图
9 - 5 - 2,过点M作抛物线的准线的垂线,交x轴于点A,交抛物线C的准线于点B,则MA∥OF ,所以.因为2,所以MA|=×,|MF |=|MB|=,|F N|=3|F M|=,
故选A.
解法二　因为F 是抛物线y=2x2的焦点,所以F (0,).设N(x0,0),则由2,可得M(x0,),代入抛物线方程,得=2×(x0)2,解得,则|F N|=,故选A.
【答案】(1)C　(2)A
变式练习
2.[2017全国卷Ⅱ]已知F 是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,F M的延长线交y轴于点N.若M为F N的中点,则|F N|=　　　.?
考法3 直线与抛物线的综合问题
命题角度1　焦点弦问题
3如图9 - 5 - 3,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F 的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若F 是AC的中点,且|AF |=4,则线段AB的长为
A.5　　B.6　　C.　　D.
【解题思路】
【解析】如图9 - 5 - 4,设l与x轴交于点M,过点A作AD⊥l,交l于点D,由抛物线的定义知, |AD|=
|AF |=4.由F 是AC的中点,知|AD|=2|MF |=2p,所以2p=4,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.
解法一　(判别式法)设A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0),则|AF |=x1+=x1+1=4, (此处运用了抛物线的焦半径公式)
所以x1=3,解得y1=2,可知A(3,2),又F (1,0),所以直线AF 的斜率k=,所以直线AF 的方程为y=(x - 1),代入抛物线方程y2=4x,得3x2 - 10x+3=0,所以x1+x2=,于是|AB|=x1+x2+p=.
解法二　(焦点弦性质法)设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF |=x1+=x1+1=4, (此处运用了抛物线的焦半径公式)
所以x1=3,又x1x2==1, (此处运用了抛物线焦点弦的相关性质)
所以x2=,于是|AB|=x1+x2+p= .
解法三　(焦半径性质法)因为=1, (此处运用了抛物线的焦半径的关系式)
且|AF |=4,所以|BF |=,所以|AB|=|AF |+|BF |=4+.
【答案】C
命题角度2　直线与抛物线的综合应用
4 在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:x2=4y,直线l与抛物线C1交于A,B两点.
(1)若直线OA,OB的斜率之积为 - ,证明:直线l过定点;
(2)如图9 - 5 - 5,若线段AB的中点M在曲线C2:y=4 - x2( - 2x<2)上,求|AB|的最大值.
【解题思路】
条件与 目标 条件:①抛物线C1:x2=4y;②直线l与C1交于A,B两点;③直线OA,OB的斜率之积为 - ;④线段AB的中点M在曲线C2:y=
4 - x2( - 2x<2)上.
目标:(1)证明直线l过定点;
(2)求|AB|的最大值.
思路与 方法 思路:(1)利用kOA·kOB= - 得到直线l的方程,可证明直线l过定点;
(2)利用弦长公式得到|AB|的代数式,可求出|AB|的最大值.
方法:①待定系数法;②基本不等式法.
过程与 关键 过程:(1)分析易知直线l的斜率存在,先设直线l的方程为y=kx+m,再由kOA·kOB= - 得到m=1,则直线l的方程为y=kx+1,可知直线l过定点(0,1).
(2)首先由弦长公式得到|AB|=4×,再利用基本不等式可求出最小值为6.
关键:①由 - 2x<2及Δ>0得到 - k,为利用基本不等式提供保障;
②检验基本不等式中等号成立的条件.
【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m.
由消去y并整理,得x2 - 4kx - 4m=0,
则Δ=( - 4k)2 - 4×( - 4m)=16(k2+m)>0,
x1+x2=4k,x1x2= - 4m.
所以kOA·kOB== - , (求出斜率之积)
因为kOA·kOB= - ,所以 - = - ,解得m=1,满足Δ>0, (检验m的值是否满足Δ>0)
所以直线l的方程为y=kx+1,直线l过定点(0,1).
(2)设M(x0,y0),由已知及(1),可得x0==2k,y0=kx0+m=2k2+m,
将(x0,y0)代入y=4 - x2( - 2x<2),得2k2+m=4 - ×(2k)2,即m=4 - 3k2.
因为 - 2x0<2,
所以 - 22k<2,得 - k.
因为Δ=16(k2+m)=16(k2+4 - 3k2)=32(2 - k2)>0,
所以 - k,
所以k的取值范围是( - ,).
|AB|=··=
4≤4×=6, (应用基本不等式)
当且仅当k2+1=2 - k2,即k=±(满足k∈( - ,))时取等号, (检验取等号时,k的取值是否在取值范围内)
所以|AB|的最大值为6.
变式练习
3.(1)已知抛物线C :y2=4x的焦点为F ,过点F 且斜率为1的直线与抛物线C交于A,B两点,若在以线段AB为直径的圆上存在两点M,N,在直线l :x+y+a=0上存在点Q,使得∠MQN=90°,则实数a的取值范围为 (　　)
A.[ - 13,3] B.[ - 3,3]
C.[ - 3,13] D.[ - 13,13]
(2)[2019浙江高考]如图9 - 5 - 6,已知点F (1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点.过点F 的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F 的右侧.记△AF G,△CQG的面积分别为S1,S2.
①求p的值及抛物线的准线方程;
②求的最小值及此时点G的坐标.
数学文化　阿基米德三角形的几何性质
5 [2020成都市第二次诊断考试]已知F 为抛物线C:x2=4y的焦点,过点F 的直线l与抛物线C相交于不同的两点A,B,抛物线C在A,B两点处的切线分别是l1,l2,且l1,l2相交于点P,则|PF |+的最小值为　　　　.?
易知直线AB的斜率存在,先设直线AB的方程为y=kx+1,将直线AB的方程与抛物线方程x2=4y联立,求出弦长|AB|,再分别求出切线l1,l2的方程,得到交点P的坐标,求出|PF |,最后利用基本不等式求出|PF |+的最小值.
【解析】由题意知,直线AB的斜率存在,F 的坐标为(0,1),可设直线AB的方程为y=kx+1.
由得x2 - 4kx - 4=0,易知Δ>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2= - 4,
所以|AB|=··=4(1+k2).
因为x2=4y,所以y' =x,所以切线l1的方程为y - y1=x1(x - x1),即x1x - 2y - 2y1=0　①.
同理得切线l2的方程为x2x - 2y - 2y2=0　②.
由①和②,可得所以P(2k, - 1).
而F (0,1),所以|PF |==2.
于是|PF |+=2≥3=6,当且仅当,即k=±时取等号.
所以|PF |+的最小值为6.
变式练习
4.[2020湖北省襄阳市调研]动点P到定点F (0,1)的距离比它到直线y= - 2的距离小1,设动点P的轨迹为曲线C,过点F 的直线交曲线C于A,B两个不同的点,过点A,B分别作曲线C的切线,且两切线相交于点M.
(1)求曲线C的方程;
(2)求证:·=0;
(3)求△ABM面积的最小值.
第五讲　《抛物线》测试
基础篇
1.[2020福州质检]设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足.若直线AF的斜率为-，则△PAF的面积为 (　　)
A.2 B.4 C.8 D.8
2.[2020合肥市调研检测]设抛物线的顶点为坐标原点，焦点F的坐标为(1，0).若该抛物线上两点A，B的横坐标之和为5，则弦AB的长的最大值为 (　　)
A.8 B.7 C.6 D.5
3.[2020长春市第一次质量监测]已知椭圆=1的右焦点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，过F作倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B(A在x轴上方)两点，则的值为 (　　)
A. B.2 C.3 D.4
4.[多选题]已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，准线与x轴相交于点M，经过M且斜率为k的直线l与抛物线相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1>x2，则下列结论正确的是 (　　)
A.-1B.y1y2=8x1x2
C.∠AFB可能为直角
D.当k2=时，△AFB的面积为16
5.[2019东北三省四市一模]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，过F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A，B两点，若AF，BF的中点在y轴上的射影分别为M，N，且|MN|=4，则抛物线C的准线方程为 (　　)
A.x=-1 B.x=-2 C.x=- D.x=-3
6.[2019广东六校第一次联考]抛物线y=2x2上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长为3，则点M的纵坐标的最小值为 (　　)
A. B. C. D.1
7.[2019安徽示范高中高三测试]设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则抛物线C的焦点到准线的距离为 (　　)
A.4或8 B.2或4 C.2或8 D.4或16
8.[2020山东省统考][双空题]直线l过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F(1，0)，且与抛物线C交于A，B两点，则p=　　　　，=　　　　.?
9.[2020武汉高三测试]已知过点M(1，0)的直线AB与抛物线y2=2x交于A，B两点，O为坐标原点，若OA，OB的斜率之和为1，则直线AB的方程为　　　　　　　　.?
10.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知点A(0，1)，抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|∶|MN|=1∶2，则实数a的值为　　　　.?
11.[2019山西八校高三第一次联考]已知A是抛物线y2=-4x上的动点，点A在y轴上的射影是点C，B是圆D:(x-3)2+(y-2)2=1上的动点，则|AB|+|AC|的最小值是　　　　.?
12.[2019太原高三二模]已知直线l与抛物线C:x2=2py(p>0)相交于两个不同的点A，B，点M是抛物线C在点A，B处的切线的交点.
(1)若直线l经过抛物线C的焦点F，求证:FM⊥AB；
(2)若点M的坐标为(2，-2p)，且|AB|=4，求抛物线C的方程.
13.[2019广东七校第二次联考]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，抛物线C上存在一点E(2，t)到焦点F的距离等于3.
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点P在抛物线C上且异于原点，点Q为直线x=-1上的点，且FP⊥FQ，求直线PQ与抛物线C的交点个数，并说明理由.
提升篇
14.[2020绵阳高三模拟]已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，点A(1，0)，直线FA与抛物线C交于点P(P在第一象限内)，与其准线交于点Q，若 ，则点P到y轴的距离为 (　　)
A.2-1 B.2-2 C.3-1 D.3-2
15.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，P为抛物线C的准线l上一点，直线PF与抛物线C相交于M，N两点，若=3，则|MN|= (　　)
A.10 B. C. D.11
16.[2019郑州市第二次质量预测]已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5，0)，O为坐标原点，则S△AOB= (　　)
A.2 B. C. D.3
17.[2019石家庄高三一模]已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点P为抛物线上异于原点的任意一点，若∠KPF的平分线与x轴交于点(m，0)，则m的最大值为 (　　)
A.3-2 B.2-3 C.2- D.2-
18.[多选题]已知抛物线C:x2=3y的焦点为F，过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，其中点A在第一象限，若弦AB的长为4，则 (　　)
A.直线l的倾斜角为30°或150° 　　B.|AF|-|BF|=4
C.或3 　 　 D.S△AOB=
19.[2019江西红色七校第一次联考]设抛物线y2=8x的焦点为F，过点M(4，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=4，则△BCF与△ACF的面积之比= (　　)
A. B. C. D.
20.[2019武汉市高三调研测试]如图9-5-1，
图9-5-1
抛物线E:x2=4y与圆M :x2+(y-1)2=16交于A，B两点，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线E于点N，则△PMN的周长的取值范围是 (　　)
A.(6，12) B.(8，10) C.(6，10) D.(8，12)
21.[2020石家庄市重点高中高三摸底测试]已知点E在y轴上，点F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，直线EF与抛物线交于M，N两点，若点M为线段EF的中点，且|NF|=12，则p=　　　　.?
22.[2020成都市高三摸底测试]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过点F作倾斜角为120°的直线与准线l相交于点A，线段AF与抛物线C相交于点B，且|AB|=，则抛物线C的标准方程为　　　　　.?
23.[2020唐山市摸底考试]已知F为抛物线T:x2=4y的焦点，直线l:y=kx+2与T相交于A，B两点.
(1)若k=1，求|FA|+|FB|的值；
(2)点C(-3，-2)，若∠CFA=∠CFB，求直线l的方程.
24.[2020合肥市调研检测]已知抛物线E:y2=2px(p>2)的焦点为F，准线l与x轴交于点M，P(x0，4)为抛物线上一点，过P作PN⊥l，垂足为N，若四边形MFPN的周长为16.
(1)求p的值；
(2)过点M作直线交抛物线于点A，B，设直线FA，FB的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的值.
25.[新角度题]已知抛物线Γ:y2=tx(t>0)的焦点为F，直线l与Γ交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，点F在曲线C:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0上.若线段AB的中点M与点F的距离为3，则点M到Γ的准线的距离的最大值为 (　　)
A.18 B.6 C.3 D.2
26.[双空题]已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且，点A到直线l的距离为2，则p=　　　　；若点A，B在l上的正投影分别为M，N，则△MFN的内切圆半径为　　　　.?
参考答案与解析
第五讲　抛物线
考点测评
1.D　由题意，知抛物线的焦点坐标为(，0)，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以，解得p=8，故选D.
2.BCD　易知点F的坐标为(0，)，选项A错误；根据抛物线的性质知，当直线MN过焦点F时，x1x2=- p2=- ，选项B正确；若=λ，则直线MN过点F，则|MN|的最小值即抛物线的通径的长，为2p，即，选项C正确；抛物线x2=y的焦点坐标为(0，)，准线方程为y=- ，过点M，N，P分别作准线的垂线MM'，NN'，PP'，垂足分别为M'，N'，P'，则|MM'|=|MF|，|NN'|=|NF|，所以|MM'|+|NN'|=|MF|+|NF|=，所以|PP'|=，所以线段MN的中点P到x轴的距离为|PP'|- ，选项D正确.故选BCD.
【解后反思】在抛物线问题中，抛物线的定义往往是解题的突破口，考生在解题时要能够利用抛物线的定义，并结合抛物线的几何性质灵活解题.
3.C　解法一　由题意知k≠0，F(，0)，则直线AB的方程为y=k(x- )，代入抛物线方程消去x，得y2- y- p2=0.不妨设A(x1，y1)(x1>0，y1>0)，B(x2，y2)，因为=2，所以y1=- 2y2.又y1y2=- p2，所以y2=- p，x2=，所以k==2，根据对称性可得直线AB的斜率为±2，故选C.

图D 9- 5- 1
解法二　由题意知k≠0，如图D 9- 5- 1，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为D，E，设直线AB交准线于M，由抛物线的定义知|AF|=|AD|，|BF|=|BE|，结合=2，知|BE|=|AD|=|AB|，则BE为△AMD的中位线，所以|AB|=|BM|，所以|BE|=|BM|，所以|ME|==2|BE|，所以tan∠MBE==2，即此时直线AB的斜率为2.根据对称性可得直线AB的斜率为±2.
【规律总结】　解决直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题的常规思路是先把直线方程与圆锥曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决.
4.2　抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(，0)，准线方程为x=- ，设M(- ，m)，N(- ，n)，则mn=- 4，直线OM的斜率kOM==- ，直线OM的方程为y=- x，直线ON的斜率kON==- ，直线ON的方程为y=- x.由解得或根据题意可得A(，- )，由解得或根据题意可得B(，- ).
因为A，F，B三点共线，所以kAF=kFB，即，注意到p>0，化简整理得p2=- mn=- (- 4)=4，故p=2.
5.2　解法一　由题意知抛物线的焦点坐标为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y=k(x- 1)(k≠0)，由消去y得k2(x- 1)2=4x，即k2x2- (2k2+4)x+k2=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1+x2=，x1x2=1.由消去x得y2=4(y+1)，即y2- y- 4=0，则y1+y2=，y1y2=- 4.由∠AMB=90°，=(x1+1，y1- 1)，=(x2+1，y2- 1)，得·=x1x2+x1+x2+1+y1y2- (y1+y2)+1=0，将x1+x2=，x1x2=1与y1+y2=，y1y2=- 4代入，得k=2.
解法二　设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以=4(x1- x2)，则k=.取AB的中点M'(x0，y0)，分别过点A，B作准线x=- 1的垂线，垂足分别为A'，B'，因为∠AMB=90°，点M在准线x=- 1上，所以|MM'|=|AB|=(|AF|+|BF|)=(|AA'|+|BB'|).又M'为AB的中点，所以MM'平行于x轴，且y0=1，所以y1+y2=2，所以k=2.
【素养落地】　本题以抛物线为载体，考查考生用代数方法解决几何问题的能力，入口较低，让每个考生都敢做，出口较多，不同水平的考生采用的方法不同，有很好的区分功能，同时考查了考生的转化与化归能力及数形结合思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养.
6.y2=2x　如图D 9- 5- 2，设直线l与x轴交于点D，过点B作BE⊥l于点E，则|DF|=p.
图D 9- 5- 2
由抛物线的定义知|BE|=|BF|.设|BE|=|BF|=m，因为△AEB∽△ADF，所以，即，所以，则|AF|=.由- |AF|=1，得=1，解得p=1，所以抛物线C的标准方程为y2=2x.
7.1　4　由题意知，抛物线y2=4x的焦点坐标为(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB:x=my+1，联立直线与抛物线的方程可得y2- 4my- 4=0，y1+y2=4m，y1y2=- 4，所以 x1+x2=my1+1+my2+1=m(y1+y2)+2=4m2+2，x1x2==1.由题意可得|AF|=x1+1，|BF|=x2+1， 故=1　(* ).
由(* )可得=1- ，故- |BF|2=16- - |BF|2=16- (|BF|2)≤16- 3=4，当且仅当=|BF|2，即|BF|=2 时取等号，故- |BF|2的最大值为4.
变式练习
1.(1)A　抛物线C:y2=4x的焦点为F(1，0)，由题意可知l1，l2的斜率存在且不为0.不妨设直线l1的斜率为k，则l1:y=k(x- 1)，l2:y=- (x- 1).由消去y得k2x2- (2k2+4)x+k2=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1+x2==2，由抛物线的定义可知，|AB|=x1+x2+2=22=4.同理得|DE|=4+4k2，所以|AB|+|DE|=44+4k2=8+4(k2)≥8+8=16，当且仅当=k2，即k=±1时取等号，故|AB|+|DE|的最小值为16，故选A.
【解后反思】　有关抛物线弦长的问题，可紧扣抛物线的定义，把抛物线上一点到焦点的距离转化为该点到准线的距离.
(2)y2=x　由题意知，动圆P的圆心到点(，0)的距离与到直线x=- 的距离相等，则圆心P的轨迹是以(，0)为焦点，直线x=- 为准线的抛物线，且p=，所以动圆P的圆心轨迹M的方程为y2=x.
2.6　解法一　由题意可知，抛物线C:y2=8x的焦点F的坐标为(2，0)，准线方程为x=- 2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b>0)，所以a=1，b=2，所以N(0，4)，|FN|==6.
解法二　由题意可知，抛物线C:y2=8x的焦点F的坐标为(2，0)，准线方程为x=- 2，因为M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，则点M的横坐标为1，所以|MF|=1+2=3， |FN|=2|MF|=6.
3.(1)A　设A，B两点的横坐标分别为x1，x2，线段AB的中点为D.
过点F(1，0)且斜率为1的直线的方程为y=x- 1.
由得x2- 6x+1=0，所以x1+x2=6，所以AB的中点为D(3，2)，|AB|=x1+x2+2=8，
所以以线段AB为直径的圆的圆心为D(3，2)，半径r为4.
因为在圆D上存在两点M，N，在直线l上存在点Q，使得∠MQN=90°，所以在直线l上存在点Q，使得点Q到D(3，2)的距离小于或等于r，所以只需点D(3，2)到直线l的距离小于或等于4，即≤4，所以- 13≤a≤3，故选A.
(2)①由题意得=1，即p=2.
所以抛物线的准线方程为x=- 1.
②设A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心G(xG，yG).令yA=2t，t≠0，则xA=t2.由于直线AB过点F，故直线AB的方程为x=y+1，代入y2=4x，得y2- y- 4=0，
故2tyB=- 4，即yB=- ，所以B(，- ).
又xG=(xA+xB+xC)，yG=(yA+yB+yC)及重心G在x轴上，故2t- yC=0，
得C((- t)2，2(- t))，G(，0).
所以直线AC的方程为y - 2t=2t(x- t2)，得Q(t2- 1，0).
因为Q在焦点F的右侧，所以t2>2.
从而=2- .
令m=t2- 2，则m>0，=2- =2- ≥2- =1.
当m=时，取得最小值1，此时G(2，0).
4.(1)由题意知，动点P在直线y=- 2上方，
即条件可转化为动点P到定点F(0，1)的距离等于它到直线y=- 1的距离，
所以动点P的轨迹是以F(0，1)为焦点，直线y=- 1为准线的抛物线，
于是曲线C的方程为x2=4y.
(2)设直线AB的方程为y=kx+1，
由消去y并整理，得x2- 4kx- 4=0.
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA+xB=4k，xAxB=- 4.
由x2=4y得y=x2，求导得y'=x，
所以直线AM的方程为y- xA(x- xA)　①，
直线BM的方程为y- xB(x- xB)　②，
由①- ②得()=(xA- xB)x()，
即x==2k.
将x=代入①得y- xA·xAxB- ，
所以y=xAxB=- 1.
则M(2k，- 1)，所以=(- 2k，2)，=(xB- xA，k(xB- xA))，
于是·=- 2k(xB- xA)+2k(xB- xA)=0.
(3)易知点M到AB的距离d=|MF|=2.
因为|AB|=|AF|+|BF|=yA+yB+2=k(xA+xB)+4=4k2+4，
所以△ABM的面积S=|AB|·d=·4(k2+1)·2=4(1+k2≥4，
当k=0时，△ABM面积取得最小值4.
基础篇
1.B　解法一　设准线与x轴交于点Q，因为直线AF的斜率为- ， |FQ|=2，所以∠AFQ=60°，|FA|=4，易知|PA|=|PF|，∠PAF=60°，所以△PAF是边长为4的等边三角形，所以△PAF的面积为×|FA|2=×42=4.故选B.
解法二　设准线与x轴交于点Q，P(m，n)，因为直线AF的斜率为- ，|FQ|=2，所以∠AFQ=60°，|AQ|=2，所以n=±2，又n2=4m，所以m=3，
则|PA|=4， 所以△PAF的面积为×|PA|×|n|=×4×2=4.故选B.
2.B　因为抛物线的顶点为坐标原点，焦点为F(1，0)，所以=1，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由题意知x1+x2=5.连接AF，BF，则由抛物线的定义知|AF|=x1=x1+1，|BF|=x2=x2+1，则|AB|≤|AF|+|BF|=x1+x2+2=7，所以弦AB的长的最大值为7，故选B.
3.C　设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由题意知F(1，0)，所以=1，p=2，所以抛物线的方程为y2=4x.过F且倾斜角为60°的直线的方程为y=(x- 1)，代入抛物线方程，得3x2- 10x+3=0，解得xA=3，xB=.
解法一　易得=12，，所以=3，故选C.
解法二　由抛物线的定义，得|AF|=xA=4，|BF|=xB，所以=3，故选C.
4.CD　依题意知F(2，0)，M(- 2，0)，直线l的方程为y=k(x+2)，由消去y并整理得k2x2+(4k2- 8)x+4k2=0.因为直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，且x1>x2，所以解得- 1 5.D　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线C的焦点为(，0)，知AF，BF的中点的纵坐标分别为，，则|MN|=||=|y2- y1|=4，所以|y2- y1|=8.由题意知直线AB的方程为y=- (x- )，由消去x得y=- ()，即y2+2py- p2=0，所以y1+y2=- p，y1y2=- p2，由|y2- y1|=8，得- 4y1y2=192，所以(- p)2+4p2=192，解得p=6，则=3，所以抛物线C的准线方程为x=- 3，故选D.
6.A　由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线AB的方程为y=kx+b.由题意知y0≥b>0.由消去y并整理得2x2- kx- b=0，Δ=k2+8b>0，
x1+x2=，x1x2=- ，则|AB|=·，点M的纵坐标y0=b.因为弦AB的长为3，所以=3，即(1+k2)(2b)=9，故(1+4y0- 4b)(y0+b)=9，即(1+4y0- 4b)(4y0+4b)=36.由基本不等式得，(1+4y0- 4b)+(4y0+4b)≥2=12(当且仅当时取等号)，即1+8y0≥12，所以y0≥，所以点M的纵坐标的最小值为.故选A.
7.C　易知抛物线C的焦点为F(，0)，准线方程为x=- .如图D 9- 5- 3，
图D 9- 5- 3
设准线与x轴的交点为K，则|KF|=p.过点M作MP平行于x轴交准线于点P，则|MP|=|MF|=5.取MF的中点N，过点N作NQ平行于x轴交准线于点Q，交y轴于点A，则|NQ|=，|AN|=|NQ|- ，∴以MF为直径的圆与y轴相切，A为切点，A(0，2)，∴N(，2)，故M(5- ，4)，把(5- ，4)代入抛物线方程，得16=2p(5- )，整理得p2- 10p+16=0，解得p=2或p=8，∴抛物线C的焦点到准线的距离为2或8.故选C.
【解题关键】　解决本题的关键是得出以MF为直径的圆与y轴相切这一结论.
8.2　1　由抛物线y2=2px的焦点为F(1，0)，得=1，所以p=2.则=1.
9.2x+y- 2=0　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵直线AB过点M(1，0)，∴可设直线AB的方程为x=ty+1.
由消去x得y2- 2ty- 2=0，则y1+y2=2t，y1y2=- 2.又kOA=，kOB=，∴=1，于是x2y1+x1y2=x1x2.
∵x1=ty1+1，x2=ty2+1，∴(ty2+1)y1+(ty1+1)y2=(ty1+1)(ty2+1)，
∴2ty1y2+(y1+y2)=t2y1y2+t(y1+y2)+1，
∴(t2- 2t)y1y2+(t- 1)(y1+y2)+1=0，
∴(t2- 2t)(- 2)+(t- 1)·2t+1=0，∴2t=- 1，t=- .
故直线AB的方程为2x+y- 2=0.
10.　解法一　依题意得抛物线的焦点F的坐标为(，0)，过M作抛物线的准线的垂线，垂足为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|.因为|FM|∶|MN|=1∶2，所以|KN|∶|KM|=∶1，又kFN==- ，kFN=- =- ，所以- =- ，解得a=.
解法二　设M(xM，yM)，因为A(0，1)，抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F(，0)，准线方程为x=- ，所以直线AF的方程为4x+ay- a=0，所以N(- ，2).因为|FM|∶|MN|=1∶2，所以|FM|=|FN|，所以xM=，yM=.因为点M(xM，yM)在抛物线上，所以，解得a=.
11.2- 2 　圆D:(x- 3)2+(y- 2)2=1的圆心为D(3，2)，半径r=1.设抛物线y2=- 4x的焦点为F，则F(- 1，0)，易知抛物线的准线方程为x=1.如图D 9- 5- 4，
图D 9- 5- 4
设点A在抛物线的准线上的射影为点H，连接CH，则A，C，H三点共线，则|AB|+|AC|=|AB|+|AH|- 1.连接AF，由抛物线的定义可知|AH|=|AF|，∴|AB|+|AC|=|AB|+|AF|- 1.易知当D，B，A，F四点共线时，|AB|+|AF|取得最小值，连接DF，则(|AB|+|AF|)min=|DF|- r=- 1=2- 1，∴(|AB|+|AC|)min=2- 2.
【素养落地】　试题的命制立足于圆与抛物线的几何性质，引导考生通过分析几何图形，依托“形”的直观得到数量关系，突出对数学运算、直观想象等核心素养的考查.
12.设直线l的斜率为k，设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2).
(1)由题意可得F(0，).
①当k≠0时，直线l :y=kx，
由得x2- 2pkx- p2=0，∴
易得抛物线C在点A处的切线方程为y- y1=(x- x1)，即y=x- ，
在点B处的切线方程为y=x- .
由得∴M(pk，- )，
∵kFM·kAB=·k=- 1，∴FM⊥AB.
②当k=0时，直线l:y=，M(0，- )，∴FM⊥AB.
综上，FM⊥AB.
(2)由题意知k≠0，设直线l :y=kx+m，
由得x2- 2pkx- 2pm=0，Δ=4p2k2+16p2>0，∴
易得抛物线C在点A处的切线方程为y- y1=(x- x1)，即y=x- ，
在点B处的切线方程为y=x- ，由得
∴|AB|=|x1- x2|==4·=4=4，
解得p=1或p=2，∴抛物线C的方程为x2=2y或x2=4y.
13.(1)由题意知，抛物线C的准线方程为x=- ，
所以点E(2，t)到焦点F的距离为2=3，解得p=2.
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)直线PQ与抛物线C只有一个交点.
理由如下:
设P(，y0)，y0≠0，Q(- 1，m).
由(1)得焦点F(1，0)，
则=(- 1， y0)，=(- 2，m)，由题意可得·=0，
故- 2(- 1)+my0=0，从而m=.
故直线PQ的斜率kPQ=.
故直线PQ的方程为y- y0=(x- )，得x=　①.
又抛物线C的方程为y2=4x　②，
所以由①②得=0，故y=y0，x=.
故直线PQ与抛物线C只有一个交点.
提升篇
14.B　由题意知抛物线的焦点为F(0，)，准线方程为y=- .设抛物线的准线与y轴交于点F1.如图D 9- 5- 5，
图D 9- 5- 5
过点P作抛物线准线的垂线，垂足为P1，则|PF|=|PP1|，所以，所以∠PQP1=45°，所以直线FA的倾斜角为135°，所以kFA==- 1，解得p=2.又PP1∥FF1，所以，即，解得|PP1|=4- 2.设P(x，y)，则由抛物线的定义，知|PP1|=y+1=4- 2，所以y=3- 2，所以x2=4×(3- 2)=，又点P在第一象限，所以x=2- 2，即点P到y轴的距离为2- 2，故选B.
15.C　解法一　如图D 9- 5- 6，过点M作准线l的垂线，垂足为M'，
图D 9- 5- 6
则|MM'|=|MF|.由已知得F(2，0)，准线l的方程为x=- 2.
因为=3，所以|MF|=|MM' |=|PM|，所以∠PMM'=60°，故直线PF的斜率为- ，所以直线PF的方程为y=- x+2.由消去y得3x2- 20x+12=0，设M，N的横坐标分别为xM，xN，则xM+xN=，所以|MN|=xM+xN+p=4=，故选C.
解法二　由已知得F(2，0)，设M(xM，yM)，N(xN，yN)，不妨设P(- 2，m)(m>0).
因为=3，所以(4，- m)=3(2- xM，- yM)，所以xM=，yM=，因为点M在抛物线上，所以()2=8×，解得m=4，所以直线PF的斜率为- ，故直线PF的方程为y=- x+2，由消去y得3x2- 20x+12=0，所以|MN|=xM+xN+p=4=，故选C.
16.A　由题意知抛物线的焦点为F(1，0)，设直线l:y=k(x- 1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y得k2x2- (2k2+4)x+k2=0，所以x1+x2=2，x1x2=1，y1+y2=k(x1+x2)- 2k=2k- 2k=，所以线段AB的中点为(1，)，线段AB的垂直平分线的方程为y- =- (x- 1- )，因为线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5，0)，所以0- =- (5- 1- )，解得k=±1，所以直线AB的方程为y=±(x- 1)，即x- y- 1=0或x+y- 1=0，所以点O到直线AB的距离d=，又|AB|=|x1- x2|==8，所以S△AOB=×8=2，故选A.
17.A　由题意得F(1，0)，K(- 1，0).由角平分线的性质可知，- 1.作PP'垂直于准线，垂足为P'，则|PP'|=|PF|，∴ =- 1，∴sin∠PKP'=- 1，又∠PKP'∈(0，)，∴若m最大，则∠PKP'最小，∠PKF最大.易知当PK与抛物线相切时∠PKF最大，设此时lPK:y=k(x+1)，由消去y得k2x2+(2k2- 4)x+k2=0，Δ=- 16k2+16=0，∴k=±1，此时sin∠PKP'=- 1，解得m=3- 2.∴m的最大值为3- 2，故选A.
18.AC　由题意知F(0，)，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=kx，A(x1，y1)，B(x2，y2).由消去y，得4x2- 12kx- 9=0，∴∴|AB|=|x1- x2|=3(1+k2)=4，∴k=±.设直线l的倾斜角为θ，则θ=30°或θ=150°.设=λ，则当θ=30°时，|AF|+|BF|=(λ+1)|BF|=4，|AF|- |BF|=(λ- 1)|BF|，又由抛物线的定义易知|AF|- |BF|=y1- y2=(x1- x2)=2，∴=2，∴=2，∴λ=3，即=3.由抛物线的对称性知，当θ=150°时，λ=，即.S△AOB=×|OF|×|x1- x2|=×2.故选AC.
19.D　由抛物线方程y2=8x，得焦点F的坐标为(2，0)，准线方程为x=- 2.如图D 9- 5- 7，过点A，B分别作准线的垂线，垂足分别为E，N.
图D 9- 5- 7
设直线AB的方程为y=k(x- 4)，则由消去y并整理得k2x2- (8k2+8)x+16k2=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2=16.由抛物线的定义知|BF|=|BN|=x2+2=4，所以x2=2，所以x1=8，所以|AE|=x1+2=10.因为BN∥AE，所以，故选D.
20.B　由题意可得抛物线E的焦点为(0，1)，圆M的圆心为(0，1)，半径为4，所以圆心M(0，1)为抛物线的焦点，故|NM|等于点N到准线y=- 1的距离，又PN∥y轴，故|PN|+|NM|等于点P到准线y=- 1的距离.由得y=3，又点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，所以点P到准线y=- 1的距离的取值范围是(4，6)，又|PM|=4，所以△PMN的周长的取值范围是(8，10)，故选B.
21.8　如图D 9- 5- 8，
图D 9- 5- 8
由题意知F(，0).
∵M为线段EF的中点，∴点M的横坐标为.
设直线EF的方程为y=k(x- )，k≠0.
由得k2x2- (k2p+2p)x=0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则
∵x1=，∴x2=p，
则=2p2，∴N(p，±p).∵|NF|2=(p- )2+(±p)2，∴144=2p2，∴p2=64，∵p>0，∴p=8.
22.y2=2x　如图D 9- 5- 9，设直线l与x轴交于点D，过点B作BE⊥l于点E，
图D 9- 5- 9
则|DF|=p.因为直线AF的倾斜角为120°，所以∠AFD=∠ABE=60°，所以∠EAB=30°.因为|AB|=，所以|BE|=|AB|=.由抛物线的定义知|BE|=|BF|，所以|AF|=|AB|+|BF|=|AB|+|BE|=2，所以|DF|=|AF|=1，即p=1，所以抛物线C的标准方程为y2=2x.
23. 由已知可得F(0，1)，设A(x1，)，B(x2，)，
由得x2- 4kx- 8=0，
所以x1+x2=4k，x1x2=- 8.
(1)|FA|+|FB|=11=2=4k2+6.
当k=1时，|FA|+|FB|=10.
(2)由题意可知，=(x1，- 1)，=(x2，- 1)，=(- 3，- 3).
由∠CFA=∠CFB得cos<，>=cos<，>，即，
又|FA|=1，|FB|=1，
所以，化简并整理得4+2(x1+x2)- x1x2=0，即4+8k+8=0，
解得k=- ，
所以直线l的方程为3x+2y- 4=0.
24. (1)∵点P(x0，4)在抛物线上，∴16=2px0　①.由四边形MFPN的周长为16得，p+4+2(x0)=16，即x0+p=6　②.
由①②可解得p=4或p=2.
∵p>2，∴p=4.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为x=my- 2，代入抛物线方程得y2=8(my- 2)，得y2- 8my+16=0.
由Δ=64m2- 64>0得，m2>1，且
∴k1+k2==0.
25.C　因为点F在曲线C:(x- x1)(x- x2)+(y- y1)(y- y2)=0上，所以点F在以AB为直径的圆上.连接AF，BF，易知AF⊥BF，因为线段AB的中点M与点F的距离为3，所以|AB|=6，所以|AF|2+|BF|2=36.设Γ的准线为l1，过点A作AA1⊥l1于点A1，过点B作BB1⊥l1于点B1，过点M作MM1⊥l1于点M1，由抛物线的定义，得|AF|=|AA1|，|BF|=|BB1|.在直角梯形ABB1A1中，2|MM1|=|AA1|+|BB1|=|AF|+|BF|，所以4|MM1|2=|AF|2+|BF|2+2|AF|·|BF|≤|AF|2+|BF|2+|AF|2+|BF|2=2×36=72(当且仅当|AF|=|BF|=3时，等号成立)，所以|MM1|≤3，即点M到Γ的准线的距离的最大值为3，故选C.
【素养落地】　试题以抛物线为载体，结合点在曲线上考查考生对几何与代数统一性的理解与掌握，考查了逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养.
【方法总结】　破解此类题需注意以下三点:一是会判断曲线的特征；二是会画图与用图，即会画出草图，根据图形的特征，寻找转化的桥梁；三是运算要认真，求解圆锥曲线题时，运算一定要认真才能得到正确的结果.
26.2　2(- 1)　因为，所以A，B关于x轴对称，故F(1，0)，p=2.不妨设A(1，2)，B(1，- 2)，l与x轴的交点为C，所以M(- 1，2)，N(- 1，- 2)，△MFN是等腰三角形，且|MN|=4，|FC|=2，|FM|=|FN|=2.令△MFN的内切圆半径为r，则×4×2=×(224)r，解得r=2(- 1).
【解后反思】　求解圆锥曲线试题时，首先要作出图形，其次要考虑圆锥曲线的定义与几何性质.涉及焦点三角形的问题，要注意解三角形知识的应用.
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