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第十一章 概　率
第一讲　随机事件的概率
考点侧评
1.[易错题]将一枚硬币向上抛掷10次,其中“正面向上的恰有5次”是 (　　)
A.必然事件 B.随机事件 C.不可能事件 D.无法确定
2.[2018全国卷Ⅲ]若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为 (　　)
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
3.把语文、数学、英语三本书随机分给甲、乙、丙三位同学,每人一本,记事件A为“甲分得语文书”,事件B为“乙分得数学书”,事件C为“丙分得英语书”,则下列说法正确的是 (　　)
A.A与B是不可能事件 B.A+B+C是必然事件
C.A与B不是互斥事件 D.B与C既是互斥事件也是对立事件
4.某人要去外地开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.他乘火车或乘飞机去的概率为　　　　.?
5.[2019潍坊调研]甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,乙获胜的概率是,则乙不输的概率是　　　　.?
6.[2020石家庄高三摸底考试]有一匀速转动的圆盘,圆盘上有一个固定的小目标M,甲、乙两人站在距离圆盘2米处,向圆盘抛掷小圆环,已知甲、乙两人抛掷的圆环能套上小目标M的概率分别为与,现甲、乙两人分别向圆盘各抛掷一次小圆环,则小目标M被套上的概率为　　　　.?
知识回顾　　　　　　　　　　　　　　　　
考法1 求随机事件的频率与概率　　　　　　　　　　　　　　　　　
1 [2019河北衡水二模]某商店销售某海鲜,现统计了该商店春节前后50天海鲜的需求量x(10≤x≤20,单位:千克),得到频率分布直方图如图11 - 1 - 1所示,
图11 - 1 - 1
已知该商店每天进该海鲜1次,商店每销售1千克可获利50元.若供大于求,剩余的低价处理,每处理1千克亏损10元;若供不应求,可从其他商店调拨,销售1千克可获利30元.假设该商店在此期间每天进该海鲜14千克,商店的日利润为y(单位:元).
(1)求商店的日利润y关于需求量x的函数表达式.
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替,视频率为概率.
①求这50天该商店销售该海鲜的日利润的平均数;
②估计日利润在区间[580,760)内的概率.
【解题思路】(1)根据不同的需求量,列出函数表达式即可.(2)①利用频率分布直方图估计平均数,结合利润函数得到平均利润;②根据利润区间,求出需求量x所在区间,从而求出对应的概率即可.
【解析】(1)商店的日利润y关于需求量x的函数表达式为
y= (分段找关系)
化简得y=
(2)①由频率分布直方图得:
海鲜需求量在区间[10,12)内的频率是2×0.08=0.16;
海鲜需求量在区间[12,14)内的频率是2×0.12=0.24;
海鲜需求量在区间[14,16)内的频率是2×0.15=0.30;
海鲜需求量在区间[16,18)内的频率是2×0.10=0.20;
海鲜需求量在区间[18,20]内的频率是2×0.05=0.10.
所以这50天商店销售该海鲜的日利润y的平均数为:
(11×60 - 140)×0.16+(13×60 - 140)×0.24+(15×30+280)×0.30+(17×30+280)×0.20+(19×30+280)×0.10=
83.2+153.6+219+158+85=698.8(元).
②易知y=在区间[10,20]上单调递增, (判断单调性)
当y=580时,可得x=12,当y=760时,可得x=16. (求解端点值)
所以日利润y在区间[580,760)内的概率即为海鲜需求量x在区间[12,16)内的频率,即0.24+0.30=0.54.
变式练习
1.[2018北京高考]电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;
(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;
(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)
考法2 求互斥事件、对立事件的概率
2、某超市有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C.求:
(1)P(A),P(B),P(C);
(2)1张奖券的中奖概率;
(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
【解题思路】利用互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率公式求解.
【解析】 (1)由题意得P(A)=,P(B)=,P(C)=.
故事件A,B,C发生的概率分别为,,.
(2)1张奖券中奖可能是中特等奖、一等奖或二等奖.
设“1张奖券中奖”为事件M,则M=A∪B∪C.
因为事件A,B,C两两互斥, (A,B,C三个事件中任意两个均不可能同时发生)
所以P(M)=P(A∪B∪C)
=P(A)+P(B)+P(C)
=
= …(事件M发生的概率可拆为三个互斥事件发生的概率之和)
故1张奖券中奖的概率为.
(3)抽1张奖券的结果共有4种可能:中特等奖,中一等奖,中二等奖,不中奖.其中,事件“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”包含2种可能:中二等奖和不中奖.
解法一　(正面)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,设“1张奖券不中奖”为事件D.
由(2)得, P(D)=1 - P(M)=1 - , (“1张奖券中奖”与“1张奖券不中奖”是对立事件)
所以P(N)=P(C)+P(D)=. (事件C与D是互斥事件)
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
解法二　(反面)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,
所以P(N)=1 - P(A∪B)=1 - ()=. (利用了补集思想求概率)
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
变式练习
2.[2019山东烟台模拟]已知甲袋中有1个红球、1个黄球,乙袋中有2个红球、1个黄球,这些小球除颜色外完全相同,现从两袋中各随机取一个球,则取出的两球中至少有1个红球的概率为 (　　)
A. B. C. D.
数学应用　通过数据分析求解概率问题
3、随机抽取一个年份,对某市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:
日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴
日期 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
天气 阴 晴 晴 晴 晴 晴 阴 雨 阴 阴
日期 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
天气 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨
(1)在4月份任选一天,估计该市在该天不下雨的概率;
(2)已知该市某学校在该年4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.
【解题思路】
(1)用频率估计概率→据表计算该市在该天不下雨的概率
(2)找出从晴天开始的两个日期(称为互邻日期对)的总数→计算出第二天不下雨的总数→计算频率即为要估计的概率
【解析】
(1)由表可知,在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,用频率估计概率,在4月份任选一天,该市在该天不下雨的概率为.
(2)称相邻的两个日期为互邻日期对(如1日与2日,2日与3日等).这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为.以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为.
第一讲　《随机事件的概率》测试
基础篇
1.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且P(A)=0.65，P(B)=0.2，P(C)=0.1，则事件“抽到的不是一等品”的概率为　　　　.?
2.[2019四川省高三适应性考试]将一枚质地均匀的骰子(各面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体)连续抛掷两次，记正面朝上的数字依次为a和b，则b>2a的概率为　　　　.?
3.[2020四川五校联考]随着新课程改革和高考综合改革的实施，高中教学以发展学生学科核心素养为导向，学习评价更关注学科核心素养的形成和发展.为此，某市于2018年举行第一届高中数学学科素养竞赛，竞赛结束后，为了评估参赛高中学生的数学学科素养，从所有参赛学生中随机抽取1 000名学生的成绩作为样本进行估计，将抽取的成绩整理后分成五组，依次记为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100](单位:分)，并绘制成如图11-1-1所示的频率分布直方图.
(1)请补全频率分布直方图，并估计这1 000名学生成绩的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表).
(2)该市决定对本次竞赛成绩排在前180名的学生给予表彰，授予“数学学科素养优秀标兵”称号.一名学生本次竞赛成绩为79分，请你估计该学生能否被授予“数学学科素养优秀标兵”称号.
图11-1-1
4.[2019福建五校第二次联考]某服装店对其过去100天实体店和网店的销售量(单位:件)进行了统计，制成的频率分布直方图分别如图11-1-2和图11-1-3所示.
　　　图11-1-2　　　　　　　　　　　图11-1-3
(1)若将上述频率视为概率，已知该服装店过去100天的销售中，实体店和网店销售量都不低于50的概率为0.24，求过去100天的销售中，实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数.
(2)若将上述频率视为概率，已知该服装店实体店每天的人工成本为500元，门市成本为1 200元，每售出一件利润为50元，求该实体店一天获利不低于800元的概率.
(3)根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量的中位数的估计值(精确到0.01).
提高篇
5.[2020广东东莞模拟]有标有数字1，2，3，4，5的卡片各1张，从这5张卡片中随机抽取1张，不放回地再随机抽取1张，则抽取的第1张卡片上的数字大于第2张卡片上的数字的概率为 (　　)
A. B. C. D.
6.[2019湖南省邵阳市联考]一副扑克牌去掉大小王，从剩余的52张牌中任意取出3张，花色相同的概率、数相连的概率分别是p，q，则p，q的大小关系是 (　　)
A.p>q B.p7.围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中任意取出2粒，都是黑子的概率为，都是白子的概率为，则从中任意取出2粒，恰好是同一色的概率是 (　　)
A. B. C. D.1
8.[2020贵阳市高三摸底测试]在某市某区2019年教师招聘考试中，参加A，B，C，D四个岗位的应聘人数、录用人数和录用比例(精确到1%)如下表:
岗位 男性应聘人数 男性录用人数 男性录用比例 女性应聘人数 女性录用人数 女性录用比例
A 269 167 62% 40 24 60%
B 217 69 32% 386 121 31%
C 44 26 59% 38 22 58%
D 3 2 67% 3 2 67%
总计 533 264 50% 467 169 36%
(1)从表中所有应聘人员中随机抽取1人，试估计此人被录用的概率.
(2)将应聘D岗位的男性应聘人员记为Ai(i=1，2，3)，女性应聘人员记为Bj(j=1，2，3)，现从应聘D岗位的6人中随机抽取2人.
(i)试列举出所有可能的抽取结果；
(ii)设M为事件“抽取的2人性别不同”，求事件M发生的概率.
9.[2020陕西省百校第一次联考][交汇题]某蔬菜经销商销售新鲜有机芹菜，售价为每千克20元，进价为每千克12元.出于保鲜要求，当天进货当天销售，若当天没有全部售出，则未售出的部分全部以每千克10元的价格处理完.根据以往的日需求量情况，得到如图11-1-4所示的频率分布直方图.
图11-1-4
(1)根据频率分布直方图计算这种有机芹菜日需求量的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)若经销商某天购进130千克这种有机芹菜，假设当天的需求量为x(0≤x≤250)千克，利润为y元，结合频率分布直方图估计y不小于340的概率.
参考答案与解析
第一讲　随机事件的概率
考点测评
1.B　抛掷10次硬币，正面向上的次数可能为0~10，都有可能发生，所以“正面向上的恰有5次”是随机事件.故选B.
2.B　设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)=1- P(A)- P(B)=1- 0.45- 0.15=0.4.故选B.
3.C　事件A，事件B，事件C都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A，B两项错误；事件A，事件B可能同时发生，故事件A与事件B不互斥，C项正确；事件B与事件C既不互斥，也不对立，D项错误.故选C.
【方法总结】互斥、对立事件的两种判断方法 定义
法
判断互斥事件、对立事件一般用定义判断.不可能同时发生的两个事件为互斥事件，两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.
集合
法
①若各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥.
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
4.0.7　设此人乘火车、飞机去开会分别为事件A，B，则易知事件A，B是互斥事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7，所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
5.　乙不输包含两人下成和棋和乙获胜，易知它们是互斥事件，所以乙不输的概率为.
6.　小目标M被套上包括:甲抛掷的小圆环套上了、乙抛掷的小圆环没有套上；乙抛掷的小圆环套上了、甲抛掷的小圆环没有套上；甲、乙抛掷的小圆环都套上了.所以小目标M被套上的概率P=×(1- )+(1- )×.
变式练习
1.(1)由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2 000，
第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.
故所求概率为=0.025.
(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是
140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1
=56+10+45+50+160+51
=372.
故所求概率估计为1- =0.814.
(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.
2.D　甲袋中有1个红球、1个黄球，乙袋中有2个红球、1个黄球，
现从两袋中各随机取一个球，基本事件总数n==6，
取出的两球中至少有1个红球的对立事件是取出的两球都是黄球，
所以利用对立事件概率计算公式得，取出的两球中至少有1个红球的概率P=1- .故选D.
基础篇
1.0.35　因为“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到的是一等品”，且P(A)=0.65，所以“抽到的不是一等品”的概率为1- 0.65=0.35.
2.　基本事件共6×6=36(个)，符合b>2a的事件(a，b)有(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，共6个，故概率为.
3.(1)学生成绩在[60，70)内的频率为1- (0.30+0.15+0.10+0.05)=0.40，补全的频率分布直方图如图D 11- 1- 1.
图D 11- 1- 1
样本的平均数=55×0.30+65×0.40+75×0.15+85×0.10+95×0.05=67.
(2)因为=0.18，
所以由频率分布直方图可以估计获得“数学学科素养优秀标兵”称号的学生的最低成绩应为80- =78(分).
因为79>78，所以估计该学生能被授予“数学学科素养优秀标兵”称号.
4.(1)由题意知，网店销售量不低于50共有(0.068+0.046+0.010+0.008)×5×100=66(天)，实体店销售量不低于50共有(0.032+0.020+0.012×2)×5×100=38(天)，实体店和网店销售量都不低于50的天数为100×0.24=24，
故实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数为66+38- 24=80.
(2)由题意，设该实体店一天售出x件，则获利为(50x- 1 700)元，由50x- 1 700≥800，解得x≥50.
设该实体店一天获利不低于800元为事件A，则
P(A)=P(x≥50)=(0.032+0.020+0.012+0.012)×5=0.38.
故该实体店一天获利不低于800元的概率为0.38.
(3)因为在网店销售量频率分布直方图中，销售量低于50的直方图面积为(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5，
销售量低于55的直方图面积为(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5，
所以网店销售量的中位数的估计值为50×5≈52.35.
提高篇
5.A　5张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，从这5张卡片中随机抽取2张，基本事件的总数n=5×4=20(个)，
抽得的第1张卡片上的数字大于第2张卡片上的数字的情况有:①第1张抽到2，第2张抽到1；②第1张抽到3，第2张抽到1或2；③第1张抽到4，第2张抽到1或2或3；④第1张抽到5，第2张抽到1或2或3或4.共10种.故抽取的第1张卡片上的数字大于第2张卡片上的数字的概率P=，故选A.
6.A　p=，q=，故p>q.选A.
7.C　设“从中任意取出2粒，都是黑子”为事件A，“从中任意取出2粒，都是白子”为事件B，“从中任意取出2粒，恰好是同一色”为事件C，则C=A∪B，又事件A与B互斥，所以P(C)=P(A)+P(B)=，即任意取出2粒，恰好是同一色的概率为.故选C.
8.(1)因为表中所有应聘人数为533+467=1 000，
被录用的人数为264+169=433，
所以从表中所有应聘人员中随机抽取1人，此人被录用的概率约为P=.
(2)(i)从应聘D岗位的6人中随机抽取2人，共有15种结果，分别为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}.
(ii)“抽取的2人性别不同”的情况有9种，分别为{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，
所以事件M发生的概率P=.
9.(1)设这种有机芹菜日需求量的平均数为，
则=25×0.002×50+75×0.004×50+125×0.006×50+175×0.005×50+225×0.003×50=132.5(千克).
故这种有机芹菜日需求量的平均数为132.5千克.
(2)当日需求量x不低于130千克时，利润y=(20- 12)×130=1 040(元)，
当日需求量x低于130千克时，利润y=(20- 12)x- (12- 10)·(130- x)=(10x- 260)(元)，
所以y=
当130≤x≤250时，y≥340显然成立，
当0≤x<130时，由10x- 260≥340，得x≥60，即60≤x<130.
所以当y≥340时，60≤x≤250，
所以y不小于340的概率P(y≥340)=P(60≤x≤250)=1- P(0≤x<60)=1- (0.002×50+0.004×10)=0.86，故估计y不小于340的概率为0.86.
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