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第十章 计数原理
第二讲　二项式定理
考点测评
1.[2017全国卷Ⅰ](1+)(1+x)6展开式中x2的系数为 (　　)
A.15 B.20 C.30 D.35
2.[2019广东湛江一模](2x-3y)n(n∈N*)的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数,则(3x-2y)n的展开式的二项式系数之和等于 (　　)
A.16 B.32 C.64 D.128
3.[多选题]下列关于多项式(1+x)6的展开式的结论正确的是 (　　)
A.各项系数之和为1
B.各项系数的绝对值之和为212
C.存在常数项
D.x3项的系数为40
4.[2019安徽十校高三摸底考试](x - y - 2z)6的展开式中含x2y3z的项的系数为　　　　.?
5.[2019天津高考](2x - )8的展开式中的常数项为　　　　.?
6.[2017 山东高考]已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n=　　　.?
7.[2017 浙江高考]已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=　　　,a5=　　　.?
知识回顾
考法1 求二项展开式中的特定项或特定项的系数
1(1)[2018全国卷Ⅲ](x2+)5的展开式中x4的系数为
A.10 B.20 C.40 D.80
(2)[2019全国卷Ⅲ](1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为
A.12 B.16 C.20 D.24
(3)[2019太原二模]的展开式中x3y2的系数是　　　　.?
【解题思路】
(1)利用(x2+)5的展开式的通项公式求解;
(2)先分别求出(1+x)4和2x2(1+x)4的展开式中x3的系数,再求和即可;
(3)把x2+x+y看成x2+x与y的和,利用二项展开式的通项公式求解,或把(x2+x+y)4看成4个因式x2+x+y的乘积,利用组合数公式求解.
【解析】
(1)Tr+1=(x2)5 - r()r=2rx10 - 3r,
由10 - 3r=4,得r=2,
所以x4的系数为×22=40,故选C.
(2)因为(1+2x2)(1+x)4=(1+x)4+2x2·(1+x)4, (注意各项的分配)
其中(1+x)4的展开式中x3的系数为=4,2x2·(1+x)4的展开式中x3的系数为2=8,
所以(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为4+8=12,故选A.
(3)解法一　, (把“三项”当“两项”看)
其展开式的第r+1项的通项公式为Tr+1=yr, (利用通项公式求解)
因为要求x3y2的系数,所以r=2,
即T3=y2=6(x2+x)2y2.
因为的展开式中x3的系数为2,
所以x3y2的系数是6×2=12.
解法二　(x2+x+y)4 表示4个因式x2+x+y的乘积,
在这4个因式中,有2个因式选y ,其余的2个因式中有一个选x,剩下的一个选x2 ,即可得到含x3y2 的项, (利用组合数公式求解)
故x3y2的系数是··=12.
变式练习
1.(1)在(1 - )7+()6的展开式中,若x2的系数为19,则a=　　　　.?
(2)[2019浙江高考]在二项式(+x)9的展开式中,常数项是　　　　,系数为有理数的项的个数是　　　　.?
考法2 二项式系数的性质及应用
命题角度1　二项展开式中的系数和问题
2(1)已知(1 - 2x)n(n∈N*)的展开式中的第3项与第8项的二项式系数相等,则(1 - 2x)n的展开式中所有项的系数和为　　　　.?
(2)若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2 - (a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值为　　　　.?
(3)[2015 新课标全国Ⅱ](a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=　　　.?
【解题思路】
(1)利用展开式中的第3项与第8项的二项式系数相等,建立关于n的方程,解方程,求出n的值,再令x=1,即可得展开式中所有项的系数和.
(2)给x赋值0,可得(2+m)9=a0+a1+a2+…+a9,再给x赋值 - 2,可得m9=a0 - a1+a2 - a3+… - a9,再代入条件,列出方程求解.
(3)展开后根据已知条件列方程求解或运用分配律结合通项求解或利用赋值法巧妙求解.
【解析】
(1)因为(1 - 2x)n(n∈N*)的展开式中的第3项与第8项的二项式系数相等,
所以,解得n=9.
令x=1,得(1 - 2x)9=(1 - 2)9= - 1, (对(1 - 2x)n中的x赋值)
所以(1 - 2x)n的展开式中所有项的系数和为 - 1.
(2)令x=0,则(2+m)9=a0+a1+a2+…+a9,
令x= - 2,则m9=a0 - a1+a2 - a3+… - a9,
又(a0+a2+…+a8)2 - (a1+a3+…+a9)2
=(a0+a1+a2+…+a9)(a0 - a1+a2 - a3+…+a8 - a9)=39,
所以(2+m)9·m9=39,所以m(2+m)=3,
解得m= - 3或m=1,故m的值为 - 3或1.
(3)解法一　直接将(a+x)(1+x)4展开得x5+(a+4)x4+(6+4a)x3+(4+6a)x2+(1+4a)x+a,
由题意得1+(6+4a)+(1+4a)=32,解得a=3.
解法二　(1+x)4的展开式的通项为Tr+1=xr,
由题意可知,a()+=32,解得a=3.
解法三 　设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1+a3+a5=32.
令x=1,得(a+1)×24=a0+a1+a2+a3+a4+a5　①.
令x= - 1,得0=a0 - a1+a2 - a3+a4 - a5　②.
由① - ②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5)=2×32,所以a=3.
命题角度2　与二项展开式中的系数有关的最值问题
3已知(+x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x - 1)n的展开式的二项式系数和大992,则在(2x - )2n的展开式中,二项式系数最大的项为　　　　,系数的绝对值最大的项为　　　　.?
【解题思路】先根据两个二项式系数和的关系求出n,由n值来确定(2x - )2n中二项式系数最大的项.要确定其展开式中系数绝对值最大的项,可列不等式求解.
【解析】由题意知,22n - 2n=992,即(2n - 32)(2n+31)=0,
故2n=32,解得n=5.
由二项式系数的性质知,(2x - )10的展开式中第6项的二项式系数最大,
故二项式系数最大的项为T6=(2x)5( - )5= - 8 064.
设第k+1项的系数的绝对值最大,则Tk+1=·(2x)10 - k·( - )k=( - 1)k·210 - k·x10 - 2k,
令得
即解得≤k≤.
因为k∈Z,所以k=3.
故系数的绝对值最大的项是第4项,T4= - ·27·x4= - 15 360x4.
故二项式系数最大的项为 - 8 064,系数的绝对值最大的项为 - 15 360x4.
变式练习
2.(1)[2020山西大同高三调研]若()n的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是 (　　)
A.210 B.180 C.160 D.175
(2)已知(2x - )n的展开式中的二项式系数和为32.若(x+)(2x - )n的展开式中的各项系数的和为2,则该展开式中的常数项为　　　　　.?
第二讲　《二项式定理》测试
基础篇
1.[多选题]若的展开式中x5的系数为-56，则下列结论正确的是 (　　)
A.a的值为-2
B.展开式中各项系数之和为0
C.展开式中x的系数为4
D.展开式中二项式系数最大的为70
2.[2020四川五校联考](3x3+x4)(2-)8的展开式中x2的系数为 (　　)
A.-1 280 B.4 864 C.-4 864 D.1 280
3.[2020安徽省示范高中名校联考]在二项式()n的展开式中，各项系数和为M，二项式系数和为N，且M+N=72，则展开式中常数项为 (　　)
A.18 B.12 C. 9 D.6
4.[2020山西忻州高三模拟]设m为正整数，(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b，则m= (　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
5.[2019江西红色七校第一次联考]二项式(1+x+x2)(1-x)10的展开式中x4的系数为 (　　)
A.120 B.135 C.140 D.100
6.[2019武汉市高三调研测试]若(x4-)n的展开式中含有常数项，则n的最小值等于 (　　)
A.8 B.10 C.11 D.12
7.[2020 重庆南开中学模拟]已知(ax+1)n(n∈N*)的展开式中，二项式系数和为32，且各项系数和为243，则a=　　　　.?
8.[2020武汉市部分学校质量监测]若(2x+)n的展开式中所有项系数和为81，则展开式中的常数项为　　　　.?
提高篇
9.[2020唐山市摸底考试]在(x+y)(x-y)5的展开式中，x3y3的系数是 (　　)
A.-10 B.0 C.10 D.20
10.[2020深圳高级中学高三适应性考试]已知(1+)·(2x -)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为 (　　)
A.-80 B.-40 C.40 D.80
11.[2019江淮十校联考]已知(x+1)(2x+a)5的展开式中各项系数和为2，则其展开式中含x3的项的系数是 (　　)
A.-40 B.-20 C.20 D.40
12.[2019江苏四校联考]已知(1+x)n(n∈N*)的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 (　　)
A.212 B.211 C.210 D.29
13.[2020江西红色七校第一次联考](x-2y+1)(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为　　　　　.?
14.[2019江淮十校联考]若(x+a)9 =a0 +a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9，当a5=126时，实数a的值为　　　　.?
15.[2019上海市普陀区模拟]如果(x2-)n(n∈N*)的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是　　　　.?
16.[2019闽粤赣三省十校联考]若(x3+)n(n∈N*)的展开式中只有第6项的系数最大，则该展开式的常数项为　　　　.?
17.[新角度题](x+2y-3z)9的展开式中含x4y2z3项的系数为 (　　)
A.-136 000　 B.-136 080　 C.-136 160　 D.-136 280
18.[多选题]已知(2x-m)7=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a7(1-x)7，若a0++…+=-128，则有(　　)
A.m=2 B.a3=-280
C.a0=-1 D.-a1+2a2-3a3+4a4-5a5+6a6-7a7=14
19. [双空题]若二项式(ax2+)5的展开式中的常数项为10，则实数a的值为　　　　，展开式中所有无理项的系数之和为　　　　.?
20.[2019河北衡水质量测评][易错题]二项式(ax+)n(a>0，b>0)的展开式中，设所有二项式系数的和为A，所有项的系数的和为B，常数项为C，若A=B=256，C=70，则展开式中含x6的项为　　　　.?
参考答案与解析
第二讲　二项式定理
考点测评
1.C　(1+x)6展开式的通项Tr+1=xr，所以(1)(1+x)6的展开式中x2的系数为1×1×=30，故选C.
2. A　∵(2x- 3y)n(n∈N*)的展开式中倒数第二项与倒数第三项的系数互为相反数，∴·21·(- 3)n- 1=- ·22·(- 3)n- 2，解得n=4，24=16，则(3x- 2y)4的展开式的二项式系数之和等于16，故选A.
3.BCD　由题意可得，(1- x)6的展开式中，各项系数之和为26，各项系数的绝对值之和为212，(1- x)6=[1+(- x)]6，该展开式第一项即为常数项，故多项式的展开式中一定存在常数项，由题中的多项式可知，若出现x3项，可能的组合只有()0×(- x)3和()1×(- x)4，则可得x3项的系数为×13××20×(- 1)3×11××21×(- 1)4=40.故选BCD.
【易错警示】　解答此题的易错点有两处:(1)混淆二项式系数与项的系数，在(ax+b)n的展开式中，第k+1项的二项式系数是，第k+1项的系数是an- kbk；(2)混淆二项式系数和与项的系数和，在(ax+b)n的展开式中，令x=1即得各项系数之和，为(a+b)n，而(ax+b)n的展开式中的二项式系数和为…=2n.解题时一定要仔细审题，准确把握每一个概念和条件，以免出错.
4.120　(x- y- 2z)6的展开式中含x2y3z的项为x2·(- y)3·(- 2z)=120x2y3z，故展开式中含x2y3z的项的系数为120.
5.28　二项展开式的通项Tr+1=(2x)8- r(- )r=(- )r·28- r·x8- 4r，令8- 4r=0，可得r=2，故常数项为(- )2×26×=28.
6.4　由题意可知32=54，所以=6，解得n=4.
【易错警示】　此类题易错点有两处:一是符号因子易弄丢，导致失分；二是组合数与排列数的公式搞混，导致解方程出错.
7.16　4　由题意知a4为含x的项的系数，根据二项式定理得a4=×12××22+×13××2=16，又a5是常数项，所以a5=×13××22=4.
变式练习
1.(1)2　(1- )7+()6的展开式中x2的系数为(- 1)6(a)1=a，则a=19，解得a=2.
(2)16　5　 的通项公式为Tr+1=xr(r=0，1，2，…，9)，可得常数项为T1==16，当系数为有理数时，r=1，3，5，7，9，有T2， T4， T6， T8， T10，共5个项.
2.(1)B　解法一 　因为()n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以n=10，则()10的展开式的通项公式为Tk+1=()10- k(- )k=(- 2)k=(- 2)k，令5- k=0，解得k=2，所以常数项为(- 2)2=180.
解法二　因为()n的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以n=10，则()10可以看成10个多项式相乘，要想得到常数项，则需在其中2个多项式中取- ，余下的8个多项式中都取，则常数项为(- )2()8=180.
(2)40　因为(2x- )n的展开式中的二项式系数和为32，所以2n=32，所以n=5.令x=1，得(x)(2x- )5的展开式中的各项系数的和为(1+a)(2- 1)5=2，即a=1，所以(x)(2x- )5的展开式中的常数项为·(- 1)3·25- 3·(- 1)2·25- 2=40.
基础篇
1.BD　因为(1- ax+x2)4=[(1- ax)+x2]4，x2·(- ax)(x2)2=(- 4a3- 12a)x5，所以- 4a3- 12a=- 56，解得a=2.(1- ax+x2)4=(x- 1)8，令x=1，则展开式中各项系数之和为0，
展开式中x的系数为(- 1)7=- 8，展开式中二项式系数最大的为=70.故选BD.
2.A　由(2- )8的展开式的通项Tr+1=28- r(- )r可得，要想得到x2项，需第一个括号里取3x3，第二个括号里取×27×(- )，或者第一个括号里取x4，第二个括号里取×26×(- )2，故展开式中的x2项为3x3[×27×(- )]+x4[×26×(- )2]，化简得- 1 280x2.故选A.
3.C　解法一　令x=1，得展开式中各项系数和M=4n，因为二项式系数和N=2n，M+N=72，所以2n+4n=72，解得n=3.
则展开式的通项公式为Tk+1=()3- k()k=3k，令3- 3k=0，得k=1，所以常数项为9.故选C.
解法二　令x=1，得展开式中各项系数和M=4n，因为二项式系数和N=2n，M+N=72，所以2n+4n=72，解得n=3.
()3可看作三个()相乘，其展开式中的常数项为=9.故选C.
4.B　根据二项式系数的性质知，(x+y)2m的展开式中二项式系数最大的项有一项，易知=a，(x+y)2m+1的展开式中二项式系数最大的项有两项，易知=b.
又13a=7b，所以13=7，将各选项中m的取值逐个代入验证，知m=6满足等式，故选B.
5.B　(1- x)10的展开式的通项Tr+1=(- x)r=(- 1)rxr，分别令r=4，r=3，r=2，可得展开式中x4的系数为(- 1)4(- 1)3(- 1)2=135.故选B.
6.C　(x4- )n的展开式的通项Tr+1=(x4)n- r(- )r=(- 1)r，
当4n- r=0，即n=r时展开式中含有常数项，所以n的最小值为11.故选C.
7.2　依题意得，二项式系数和为2n=32，解得n=5.令x=1，得各项系数和为(a+1)5=243，所以a+1=3，所以a=2.
8.8　令x=1，得展开式中所有项系数和为3n=81，解得n=4.(2x)4的展开式的通项公式为Tr+1=(2x)4- r()r=24- r，
令4- r=0，得r=3，所以展开式中的常数项为24- 3=8.
提高篇
9.B　解法一　(x- y)5展开式的通项Tk+1=x5- k(- y)k=(- 1)kx5- kyk，所以(x+y)(x- y)5的展开式的通项为(- 1)kx6- kyk或(- 1)kx5- kyk+1，
则当k=3时，有(- 1)kx6- kyk=- 10x3y3，
当k=2时，有(- 1)kx5- kyk+1=10x3y3，所以x3y3的系数为0，故选B.
解法二　(x+y)(x- y)5=(x+y)(x- y)(x- y)(x- y)(x- y)(x- y)，要想出现x3y3，有两种情况:(1)先在第一个多项式中取x，再在后五个多项式中任选两个多项式，在这两个多项式中取x，最后在余下的三个多项式中取- y，所以有xx2(- y)3=- 10x3y3；(2)先在第一个多项式中取y，再在后五个多项式中任选三个多项式，在这三个多项式中取x，最后在余下的两个多项式中取- y，所以有yx3(- y)2=10x3y3.所以x3y3的系数为0，故选B.
10.D　令x=1，得展开式中各项系数和为(1)(2- )5=1+a，
所以1+a=2，所以a=1，
所以(1)(2x- )5=(1)(2x- )5=(2x- )5(2x- )5，
所求展开式中常数项为(2x- )5的展开式中的常数项与含x的项的系数和，
(2x- )5的展开式的通项Tr+1=(2x)5- r·(- 1)r()r=(- 1)r25- rx5- 2r.
令5- 2r=1，得r=2；令5- 2r=0，无整数解.
所以展开式中的常数项为8=80.故选D.
11.D　已知(x+1)(2x+a)5的展开式中各项系数和为2，
令x=1，得2(2+a)5=2，解得a=- 1.
解法一　因为(x+1)(2x+a)5=(x+1)(2x- 1)5=(x+1)(32x5- 80x4+80x3- 40x2+10x- 1)，
故展开式中含x3的项的系数为80- 40=40.故选D.
解法二　由(x+1)(2x+a)5=(x+1)(2x- 1)5，易知(2x- 1)5的展开式的通项Tr+1=(2x)5- r(- 1)r=(- 1)r25- rx5- r.
①当x+1中取x时，令r=3，则含x3的项的系数为1×(- 1)3××22=- 40.
②当x+1中取1时，令r=2，则含x3的项的系数为1×(- 1)2××23=80.
故展开式中含x3的项的系数为80- 40=40.故选D.
12.D　因为(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得n=10.
从而…=210，所以奇数项的二项式系数和为++…+=29.故选D.
13.- 320　(x- 2y+1)(2x+y)6=x(2x+y)6- 2y(2x+y)6+(2x+y)6，(2x+y)6的展开式的通项Tr+1=(2x)6- ryr=26- r·x6- ryr.
x(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为23=160；- 2y(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为- 2××24=- 480；(2x+y)6的展开式中无x4y3项.
综上，(x- 2y+1)(2x+y)6的展开式中x4y3的系数为- 320.
14.0或2　因为x+a=(x+1)+(a- 1)，所以(x+a)9=[(x+1)+(a- 1)]9，其展开式的通项Tr+1=(a- 1)9- r(x+1)r，所以a5=(a- 1)4=126，所以(a- 1)4=1，解得a=0或2.
15.　因为(x2- )n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，
所以展开式中共有2×4- 1=7(项)，所以n=6，所以(x2- )n=(x2- )6.
令x=1，可得展开式中所有项的系数之和是(1- )6=.
16.210　由于(x3)n的展开式中只有第6项的系数最大，所以展开式中共有11项，所以n=10.
所以(x3)n=(x3)10，展开式的通项Tr+1=·x- 2r=x30- 5r，所以当r=6时，x30- 5r为常数项，
所以常数项为210.
17.B　由(x+2y- 3z)9=[x+(2y- 3z)]9，得其展开式的通项Tr+1=·x9- r·(2y- 3z)r=·x9- r··(2y)r- t·(- 3z)t=··2r- t·(- 3)t·x9- r·yr- t·zt(0≤t≤r≤9)，
令解得故含x4y2z3项的系数为×22×(- 3)3=- 136 080.
18.BCD　令1- x=，即x=，可得(2×- m)7=(1- m)7=a0…=- 128，解得m=3，故A错误；令x=1，得a0=(- 1)7=- 1，(2x- 3)7=[- 1- 2(1- x)]7，所以a3=×(- 1)4×(- 2)3=- 280，故B，C正确；对(2x- 3)7=a0+a1(1- x)+a2(1- x)2+…+a7(1- x)7两边求导得14(2x- 3)6=- a1- 2a2(1- x)- …- 7a7(1- x)6，令x=2得- a1+2a2- 3a3+4a4- 5a5+6a6- 7a7=14，故D正确.故选BCD.
19.2　121　易知(ax2)5的展开式的通项Tr+1=(ax2)5- r·()r=a5- r.令10- =0，解得r=4，所以常数项为T5=a5- 4=10，解得a=2.由10- ?Z，且0≤r≤5，可得r=1，3，5，因此展开式中的所有无理项为T2，T4，T6，其中T2=25- 1·=80，T4=25- 3=40，T6=25- 5，故展开式中所有无理项的系数之和为80+40+1=121.
20.8x6　依题得2n=256，所以n=8.
在(ax)8的展开式中，令x=1，则有(a+b)8=256，所以a+b=2.
(ax)8的展开式的通项Tr+1=(ax)8- r·()r=a8- rbrx8- 2r，
令8- 2r=0，得r=4，可得常数项为a4b4=70，解得ab=1或ab=- 1(舍)，
则由解得所以Tr+1=x8- 2r.
令8- 2r=6，得r=1.
所以T2=x6=8x6，故展开式中含x6的项为8x6.
【易错警示】　解题时易将“二项式系数和”与“所有项的系数和”混淆，解题的关键是弄清两者的概念.二项展开式中二项式系数和为2n，而求解二项展开式中所有项的系数和时常用赋值法.
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