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第十一章 概 率
第二讲　古典概型
考点测评
1.[2020湖北八校第一次联考]《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典长篇小说四大名著.若在这四大名著中,任取2部进行阅读,则取到《红楼梦》的概率为 (　　)
A. B. C. D.
2.[2019全国卷Ⅲ]两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是 (　　)
A. B. C. D.
3.某饮品店提供A,B两种口味的饮料,且每种饮料均有大杯、中杯、小杯三种规格.甲、乙两人各点一杯饮料,且甲点大杯、乙点中杯或小杯,则甲和乙恰好点了同一种口味的饮料的大杯和小杯的概率为 (　　)
A. B. C. D.
4.[2020百校联考]“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.
“沉鱼”讲的是西施浣纱的故事;“落雁”讲的是昭君出塞的故事;“闭月”讲的是貂蝉拜月的故事;“羞花”讲的是杨贵妃观花的故事.她们是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧,甲、乙、丙、丁抽签决定扮演的对象,甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的概率为 (　　)
A. B. C. D.
5.[新情境题]著名的“3N+1猜想”是指对于任一个正整数n,若n是偶数,则让它变成;若n是奇数,则让它变成3n+1.如此循环,最终都会变成1.若数字5,6,7,8,9按照以上猜想进行变换,从中随机抽取一个数字,该数字的变换次数为奇数的概率为 (　　)
A. B. C. D.
6.[2020河北九校第二次联考]某个活动的主办方安排了分别标有“1号”“2号”“3号”的三辆车,已知主办方会等可能随机安排车辆前往酒店接嘉宾.某嘉宾突发奇想,给自己设计了两种乘车方案.方案一,不乘坐第一辆车,若第二辆车上标的号大于第一辆车上标的号,就乘坐第二辆车,否则乘坐第三辆车;方案二,直接乘坐第一辆车.记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1,P2,则 (　　)
A.P1·P2= B.P1=P2= C.P17.[2019江苏高考]从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是　　　　.?
知识回顾
考法1　古典概型的求法
1(1)[2017全国卷Ⅱ]从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
A. B. C. D.
(2)[2018全国卷Ⅱ]我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是
A. B. C. D.
【解题思路】(1)先用列举法或画树状图法求出基本事件个数,然后利用古典概型的概率计算公式求解.(2)先写出不超过30的素数所含的基本事件数,然后求出两个不同的数的和等于30所含的基本事件数,再利用古典概型的概率公式求解即可.
【解析】(1)解法一　依题意,记两次取的卡片上的数字依次为a,b,则一共有25个不同的数组(a,b),其中满足a>b的数组共有10个,分别为(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4). (按顺序列举,不重不漏)
因此所求的概率为.
解法二　画出树状图如图11-2-1所示.
由图11-2-1可知,所有的基本事件共有25个,满足题意的基本事件有10个,故所求概率为.
(2)不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,从中随机选取两个不同的数,有种不同的取法,其中两个不同的数的和等于30的有3对,所以所求概率P=.
【答案】(1)D　(2)C
变式练习
1.(1)[2019合肥高三三检]若a,b是从集合{-1,1,2,3,4}中随机选取的两个不同元素,则使得函数f(x)=x5a+xb是奇函数的概率为 (　　)
A. B. C. D.
(2)某市教育局准备举办三期高中数学教学常规培训,某校共有5名高一数学老师参加此培训,每期至多派送2名参加,每名老师只能参加1次培训,且学校准备随机派送,则甲老师不参加第一期培训的概率为 (　　)
A. B. C. D.
考法2 随机模拟的应用
2、袋子中有大小、形状、质地完全相同的四个小球,分别写有“和”“谐”“校”“园”四个字,有放回地从中任意摸出一个小球,直到“和”“谐”两个字都摸到就停止摸球,用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间(含1和4)取整数值的随机数,分别用1,2,3,4代表“和”“谐”“校”“园”这四个字,以每三个随机数为一组,表示摸球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数.
343　432　341　342　234　142　243　331　112
342　241　244　431　233　214　344　142　134
由此可以估计,恰好第三次就停止摸球的概率为
A. B. C. D.
【解析】由18组随机数得,恰好在第三次停止摸球的有142,112,241,142,共4组,所以恰好第三次就停止摸球的概率约为.
【答案】C
变式练习
2.采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率,先由计算器给出0到9之间取整数的随机数,指定0,1,2,3表示没有击中目标,4,5,6,7,8,9表示击中目标,4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:
7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次的概率为　　　　.?
数学文化　概率与数学文化
3[2019全国卷Ⅰ]我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化,每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分
图11-2-2
为阳爻“”和阴爻“”,如图11-2-2就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A. B. C. D.
【解题思路】
弄清重卦的构成→计算重卦的种数→计算重卦中恰有3个阳爻的种数→用古典概型概率计算公式计算
【解析】由6个爻组成的重卦种数为26=64,在所有重卦中随机取一重卦,该重卦恰有3个阳爻的种数为=20.根据古典概型的概率计算公式得,所求概率P=.
【答案】A
变式练习
3.[2020河北九校第二次联考]图11-2-3为我国数学家赵爽的弦图,现在提供6种不同的颜色给A,B,C,D,E这5个区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则区域A,C涂相同颜色的概率为 (　　)
图11-2-3
A. B. C. D.
第二讲　《古典概型》测试
基础篇
1.[2020石家庄市重点高中高三摸底测试]大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村的小学进行支教，若每个村的小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村的小学的概率为 (　　)
A. B. C. D.
2.[2019武汉市高三调研测试]我国传统历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节包含六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨.某书画院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是 (　　)
A. B. C. D.
3.[2019全国五省名校联考][数学文化题]哥尼斯堡“七桥问题”是一个著名的数学问题，它描述的是:在哥尼斯堡内，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图
11-2-1).问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次，再回到起点?瑞士数学家欧拉于1736年解答了此问题，他把该问题归结为如图11-2-2所示的“一笔画”问题，并证明了上述走法是不可能的.假设在图11-2-2所示七条线中随机选取两条不同的线，则这两条线都与A直接相连的概率为 (　　)
　 图11-2-1　　　　图11-2-2
A. B. C. D.
4.[2019湖北部分重点中学高三测试]有4位游客来某地旅游，若每人只能从此地甲、乙、丙三个不同景点中选择一处游览，则每个景点都有人去游览的概率为 (　　)
A. B. C. D.
提高篇
5.[2020安徽省示范高中名校联考]长三角城市群包括:上海市及江苏省、浙江省、安徽省全部区域.现有4名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个省市旅游，假设每名同学均从这四个省市中任意选取一个去旅游，且这4名同学的选择结果互不影响，则恰有一个省市未被选中的概率为 (　　)
A. B. C. D.
6.[2019陕西四校联考]将一颗质地均匀的骰子(一种各个面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为大于8的偶数的概率为 (　　)
A. B. C. D.
7.[2019江西红色七校第一次联考]已知某地春天下雨的概率为40%.现采用随机模拟的方法估计春天里未来三天恰有一天下雨的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示下雨，5，6，7，8，9，0表示不下雨，再以每三个随机数作为一组，代表未来三天是否下雨的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989.据此估计，该地未来三天恰有一天下雨的概率为 (　　)
A.0.2 B.0.25 C.0.4 D.0.35
8.[2020成都市高三摸底测试]为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A，B，C三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评成绩达到80分及以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位.现通过分层抽样的方法抽取了这三类行业中的20个单位，其考评分数如下.
A类行业:85，82，77，78，83，87.
B类行业:76，67，80，85，79，81.
C类行业:87，89，76，86，75，84，90，82.
(1)试估算这三类行业中每类行业的单位个数；
(2)若在抽出的A类行业的这6个单位中，随机选取3个单位进行交流发言，求选出的3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率.
9.[2020南充高三第一次适应性考试]第28届中国金鸡百花电影节于2019年11月19日至23日在福建省厦门市举办，《南方车站的聚会》《春江水暖》《第一次的离别》《春潮》《抵达之谜》五部优秀作品在电影节进行首批展映.若从这五部作品中随机选择两部放在展映的前两位，则《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的概率为 (　　)
A. B. C. D.

参考答案与解析
第二讲　古典概型
考点测评
1.B　依题意知，所求的概率P=，故选B.
2.D　将两位男同学分别记为A1，A2，两位女同学分别记为B1，B2，则四位同学排成一列，情况有:
A1A2B1B2，A1A2B2B1，A2A1B1B2，A2A1B2B1，A1B1A2B2，A1B2A2B1，A2B1A1B2，A2B2A1B1，B1A1A2B2，B1A2A1B2，B2A1A2B1，B2A2A1B1，A1B1B2A2，A1B2B1A2，A2B1B2A1，A2B2B1A1，B1B2A1A2，B1B2A2A1，B2B1A1A2，B2B1A2A1，B1A1B2A2，B1A2B2A1，B2A1B1A2，B2A2B1A1，共有24种.
其中两位女同学相邻的有12种，所以所求概率P=.故选D.
3.A　“甲、乙两人各点一杯饮料，且甲点大杯、乙点中杯或小杯”共有8个等可能的基本事件，分别为(A大，A中)，(A大，A小)，(A大，B中)，(A大，B小)，(B大，A中)，(B大，A小)，(B大，B中)，(B大，B小)，其中“甲、乙两人恰好点了同一种口味的饮料的大杯和小杯”包含2种情形:(A大，A小)，(B大，B小).所以所求概率为.故选A.
【素养落地】　试题考查考生在实际情境中从数学的视角分析问题和解决问题的能力，并建立数学模型，体现了对数学建模核心素养的考查.
4.B　依题意，所有的扮演情况有=24(种)，其中甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的情况有+2=14(种)，故所求概率P=.故选B.
5.C　依题意知，5→16→8→ 4→2→1，共进行5次变换；6→3→10→ 5→…，共进行8次变换；7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→…，共进行16次变换；由以上可知，8变换为1共需要进行3次变换；9→28→14→7→…，共进行19次变换.故变换次数为奇数的概率为，故选C.
6.D　三辆车的出发顺序共有6种可能:(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1).若该嘉宾按方案一乘车，坐到“3号”车的可能情况有(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，共3种，所以该嘉宾坐到“3号”车的概率P1=；若该嘉宾按方案二乘车，坐到“3号”车的可能情况有(3，1，2)，(3，2，1)，共2种，所以该嘉宾坐到“3号”车的概率P2=.所以P1+P2=，故选D.
7.　记3名男同学为A，B，C，2名女同学为a，b，则从中任选2名同学的情况有{A，B}，{A，C}，{A，a}，{A，b}，{B，C}，{B，a}，{B，b}，{C，a}，{C，b}，{a，b}，共10种，其中至少有1名女同学的情况有{A，a}，{A，b}，{B，a}，{B，b}，{C，a}，{C，b}，{a，b}，共7种，故所求概率为.
【易错警示】　古典概型中基本事件的计数一般利用列举法，注意列举要按照一定的顺序，避免重复和遗漏.
变式练习
1.(1)B　记集合A={- 1，1，2，3，4}，要使函数f(x)=x5a+xb是奇函数(a，b是从A中随机选取的两个不同元素)，则a，b只能是从{- 1，1，3}中任选的两个不同元素，则所求概率P=.故选B.
(2)D　解法一　5名高一数学老师参加此培训，且每期至多派送2名参加，派送方法共有×=90(种)，其中甲老师不参加第一期培训的派送方法有两种:①第一期培训派送1名时，有种方法；②第一期培训派送2名时，有种方法.所以甲老师不参加第一期培训的派送方法共有+=60(种).所以所求概率P==，故选D.
解法二　5名高一数学老师参加此培训，且每期至多派送2名参加，派送方法共有×=90(种)，其中甲老师参加第一期培训的派送方法有两种:①第一期培训派送1名时，有种方法，②第一期培训派送2名时，有(+)种方法.所以甲老师参加第一期培训的派送方法共有++=30(种).所以所求概率P==，故选D.
2.0.4　根据数据得该运动员射击4次至少击中3次的数据分别为7527　9857　8636　6947　4698　8045　9597　7424，所以该运动员射击4次至少击中3次的概率为=0.4.
3.D　(1)当A，C涂相同颜色时.第一步，给区域A涂色，有6种方法，第二步，给区域B涂色，有5种方法，第三步，给区域D涂色，有4种方法，第四步，给区域C涂色，因为A，C同色，所以只有1种方法，第五步，给区域E涂色，有4种方法，所以共有6×5×4×1×4=480(种)方法.
(2)当A，C涂不同颜色时.第一步，给区域A涂色，有6种方法，第二步，给区域B涂色，有5种方法，第三步，给区域D涂色，有4种方法，第四步，给区域C涂色，因为A，C不同色，所以有3种方法，第五步，给区域E涂色，有3种方法，所以共有6×5×4×3×3=1 080(种)方法.
因此区域A，C涂相同颜色的概率P=，故选D.
基础篇
1.C　大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村的小学进行支教，每个村的小学至少分配1名大学生，基本事件总个数n==36，小明恰好分配到甲村的小学包含的基本事件个数m==12，所以小明恰好分配到甲村的小学的概率P=.故选C.
2.B　甲从春、夏、秋、冬四个季节的各6幅彩绘绘制的任务中抽一个，是等可能的，故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为，选B.
3.D　在题图11- 2- 2中共有7条线，其中与A直接相连的有5条，所以，所求概率P=.故选D.
4.D　解法一　由题意知，4位游客各从甲、乙、丙三个不同景点中选择一处游览的选法有34=81(种).
第一步:从三个不同景点中选出一个景点有2位游客去游览的选法有种.
第二步:从4位游客中选2位到第一步选出的景点去游览有种方法.
第三步:余下2位游客到余下的两个景点的分法有种.所以每个景点都有人去游览的方法有=36(种)，于是所求概率为P=，故选D.
解法二　由题意知，4位游客各从甲、乙、丙三个不同景点中选择一处游览的选法有34=81(种).将4位游客分为3组的分法有种，然后将这3组游客分到甲、乙、丙三个不同景点，其分法有种，由分步乘法计数原理知，每个景点都有人去游览的方法有=36(种).于是所求概率为P=，故选D.
提高篇
5.B　4名高三学生从这四个省市中各任意选取一个去旅游，共有44种可能结果.设事件A为“恰有一个省市未被选中”，则事件A包含的结果有=144(种)，所以P(A)=，故选B.
6.B　将先后两次的点数记为有序实数对(x，y)，则基本事件共有6×6=36(个)，其中点数之和为大于8的偶数有(4，6)，(6，4)，(5，5)，(6，6)，共4种，则满足条件的概率为.故选B.
7.C　20组随机数中表示未来三天中恰有一天下雨的有925，458，683，257，027，488，730，537，共8组，所以估计所求概率P==0.4.故选C.
8.(1)由题意，抽取的三类行业的单位个数之比为3∶3∶4.
由分层抽样的定义，有
A类行业单位的个数为×200=60；
B类行业单位的个数为×200=60；
C类行业单位的个数为×200=80.
∴A，B，C三类行业的单位个数分别为60，60，80.
(2)记“选出的这3个单位中既有‘星级’环保单位，又有‘非星级’环保单位”为事件M.
在A类行业的6个单位中随机选取3个单位，这3个单位的考评分数的情形有:{85，82，77}，{85，82，78}，{85，82，83}，{85，82，87}，{85，77，78}，{85，77，83}，{85，77，87}，{85，78，83}，{85，78，87}，{85，83，87}，{82，77，78}，{82，77，83}，{82，77，87}，{82，78，83}，{82，78，87}，{82，83，87}，{77，78，83}，{77，78，87}，{77，83，87}，{78，83，87}.共20种.
这3个单位都是“星级”环保单位的情形有:{85，82，83}，{85，82，87}，{85，83，87}，{82，83，87}.共4种.
这3个单位都是“非星级”环保单位的情形有0种.
∴这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共有4种.
∴P(M)=1- .
9.C　从这五部优秀作品中随机选择两部放在展映的前两位的基本事件有{《南方车站的聚会》，《春江水暖》}，{《南方车站的聚会》，《第一次的离别》}，{《南方车站的聚会》，《春潮》}，{《南方车站的聚会》，《抵达之谜》}，{《春江水暖》，《第一次的离别》}，{《春江水暖》，《春潮》}，{《春江水暖》，《抵达之谜》}，{《第一次的离别》，《春潮》}，{《第一次的离别》，《抵达之谜》}，{《春潮》，《抵达之谜》}，共10个，其中《春潮》与《抵达之谜》至少有一部被选中的基本事件有7个，故所求概率为.故选C.
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