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第十一章 概 率
第三讲　离散型随机变量及其分布列、均值与方差
考点测评
1.[多选题]下列结论正确的选项是 (　　)
A.离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的
B.随机变量的均值是常数,样本的均值是随机变量
C.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度,方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小
D.均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事
2.[2020菏泽联考]一盒中有12个乒乓球,其中9个新球、3个旧球,从盒中任取3个球来用,用完后装回(用过一次的球就是旧球),此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为 (　　)
A. B. C. D.
3.[2019浙江高考]设0X 0 a 1
P

则当a在(0,1)内增大时, (　　)
A.D(X)增大 B.D(X)减小
C.D(X)先增大后减小 D.D(X)先减小后增大
4.[2020湖北宜昌模拟]设某项试验的成功率为失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)的值为 (　　)
A.1 B. C. D.
5.[2020浙江重点高中联考]已知0X - 1 0 1
P (1 - a)2 2a(1 - a) a2
若E(X)=D(X),则实数a的值为 (　　)
A. B. C. D.
6.[双空题]已知离散型随机变量ξ~B(5,p),且E(ξ)=2,则D(ξ)=　　　　;若η=ξ+1,则D(η)=　　　　.?
7.[交汇题]已知随机变量X的分布列如下表所示,且,p,q成等差数列,则E(X)=　　　　,D(X)=　　　　.?
X - 1 0 1
P
p q
8.[2019北京延庆区调研]甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X,Y,其分布列分别为:
X 0 1 2 3
P 0.4 0.3 0.2 0.1
Y 0 1 2
P 0.3 0.5 0.2
若甲、乙两人的日产量相等,则甲、乙两人中技术较好的是　　　　.?
知识回顾
考法1 求离散型随机变量的分布列、期望与方差
1[2019辽宁五校联考]某商场销售某种品牌的空调,每周周初购进一定数量的空调,商场每销售一台空调可获利500元,若供大于求,则多余的每台空调需交保管费100元;若供不应求,则可从其他商店调剂供应,此时每台空调仅获利200元.
(1)若该商场周初购进20台空调,求当周的利润(单位:元)关于当周需求量n(单位:台,n∈N)的函数解析式f (n);
(2)该商场记录了去年夏天(共10周)空调需求量n(单位:台),整理得下表:
周需求量n 18 19 20 21 22
频数 1 2 3 3 1
以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率,若商场周初购进20台空调,X表示当周的利润(单位:元),求X的分布列及数学期望.
【解题思路】(1)根据每周销量,以20台为分界点,列出分段函数解析式.(2)分别求出当周的利润X取各个值时的概率,即可写出X的分布列,再利用数学期望的定义,即可求X的数学期望.
【解析】(1)当n≥20时,f (n)=500×20+200×(n - 20)=200n+6 000;
当n≤19时,f (n)=500×n - 100×(20 - n)=600n - 2 000.
∴f (n)=(n∈N).
(2)由(1)得f (18)=8 800,f (19)=9 400,
f (20)=10 000,f (21)=10 200,f (22)=10 400,
∴P(X=8 800)=0.1,P(X=9 400)=0.2,P(X=10 000)=0.3,P(X=10 200)=0.3,P(X=10 400)=0.1,
X的分布列为
X 8 800 9 400 10 000 10 200 10 400
P 0.1 0.2 0.3 0.3 0.1
(注意检验概率和是否为1)
∴E(X)=8 800×0.1+9 400×0.2+10 000×0.3+10 200×0.3+10 400×0.1=9 860.
(利用数学期望的定义求解)
变式练习
1.[2019北京高考]改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:
　　 　　支付金额/元 支付方式　　　　 (0,1 000] (1 000,2 000] 大于2 000
仅使用A 18人 9人 3人
仅使用B 10人 14人 1人
(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率.
(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1 000元的人数,求X的分布列和数学期望.
(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2 000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化?说明理由.

考法2 超几何分布的求解
2 [2018天津高考]已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.
(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?
(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;
(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.
【解题思路】
(1)先求出三个部门的人数之比,然后利用分层抽样的定义求出应抽取三个部门的员工人数;(2)(i)先根据超几何分布的定义列出X的分布列,然后求其数学期望;(ii)先将“既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”分解为简单互斥事件的和,然后结合(i)求其概率值.
【解析】
(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.
(2)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X=k)=(k=0,1,2,3).
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P



解法一　随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×.
解法二　因为随机变量X服从超几何分布H(7,4,3),
所以E(X)=.
(ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥.由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=.
所以事件A发生的概率为.
变式练习
2.[2020湖北部分重点中学模拟]为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标x)、推理能力(指标y)、建模能力(指标z)的相关性,将它们各自量化为1,2,3三个等级,再用综合指标w=x+y+z的值评定学生的数学核心素养,若w≥7,则数学核心素养为一级;若5≤w≤6,则数学核心素养为二级;若3≤w≤4,则数学核心素养为三级.为了了解某校学生的数学核心素养,调查人员随机访问了某校10名学生,得到如下数据:
学生编号 A1 A2 A3 A4 A5
(x,y,z) (2,2,3) (3,2,3) (3,3,3) (1,2,2) (2,3,2)
学生编号 A6 A7 A8 A9 A10
(x,y,z) (2,3,3) (2,2,2) (2,3,3) (2,1,1) (2,2,2)
(1)从这10名学生中任取2人,求这2人的建模能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率;
(2)从这10名学生中任取3人,其中数学核心素养等级是一级的学生人数记为X,求随机变量X的分布列及数学期望.
考法3 利用期望与方差进行决策
3、[2016全国卷Ⅰ,]某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图11 - 3 - 1所示的柱状图:
图11 - 3 - 1
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布列;
(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?
【解题思路】
(1)由柱状图得频率,分别求出随机变量每个取值所对应的概率,进而可得分布列;(2)由(1)即可求解n的最小值;(3)分别求解n=19与n=20时购买易损零件所需费用的期望值,再比较选择哪一个较好.
【解析】
(1)由柱状图并以频率代替概率可得,1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而
P(X=16)=0.2×0.2=0.04;
P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;
P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;
P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;
P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;
P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;
P(X=22)=0.2×0.2=0.04.
所以X的分布列为
X 16 17 18 19 20 21 22
P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).
当n=19时,E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4 040.
当n=20时,E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080.
可知当n=19时所需费用的期望值小于当n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.
变式练习
3.[2020惠州高三第一次调研]某种大型医疗检查机器生产商,对一次性购买2台机器的客户,推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案.
方案一:交纳延保金7 000元,在延保的两年内可免费维修2次,超过2次每次收取维修费2 000元;
方案二:交纳延保金10 000元,在延保的两年内可免费维修4次,超过4次每次收取维修费1 000元.
某医院准备一次性购买2台这种机器.现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案,为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数,得下表:
维修次数 0 1 2 3
台数 5 10 20 15
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.
(1)求X的分布列;
(2)以所需延保金与维修费用的和的期望值为决策依据,医院选择哪种延保方案更合算?
第三讲　《离散型随机变量及其分布列、均值与方差》测试
基础篇
1.[2020陕西省部分学校摸底检测]某市有A，B，C，D 4个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A景点的概率为，游览B景点，C景点和D景点的概率都是，且该游客是否游览每个景点之间相互独立.
(1)求该游客至多游览1个景点的概率；
(2)用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，求X的分布列和数学期望E(X).
2.[2020河北模拟]现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表:
投资股市的盈亏情况
投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20%
概率


购买基金的盈亏情况
投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10%
概率 p
q
(1)当p=时，求q的值.
(2)已知甲、乙两人分别选择了投资股市和购买基金，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求p的取值范围.
(3)丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p=，q=，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大?请说明理由.
3.[2020石家庄市重点高中高三摸底测试]某饮料公司为从A，B两款新配方饮料中选择一款进行新品推介，对这两款饮料进行了市场调查，让接受调查的受访者同时饮用这两款饮料，并分别对其进行评分.现对接受调查的100万名受访者的评分(单位:分)进行整理，得到如图11-3-1(1)(2)所示的统计图.分析调查数据可以得出如下结论:评分在[0，60)内的受访者中有20%会购买，评分在[60，80)内的受访者中有60%会购买，评分在[80，100]内的受访者中有90%会购买.
图11-3-1 (1)　　　　　 (2)
(1)在受访的100万人中，对A款饮料的评分在60分以下的有多少万人?
(2)用频率估计概率，现从受访者中随机抽取1人进行调查，试估计该受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性的概率.
(3)如果你是决策者，新品推介你会主推哪一款饮料，并说明你的理由.
4.[2019长春市高三第一次质量监测]为了引导学生正确使用手机，针对现在社会上的“手机控”问题，某学校利用国庆假期举办社会实践活动，从年龄在[25，55](单位:岁)内的人中随机抽取n人进行了每天使用手机时间的调查，将每天平均使用手机超过2小时的称为“手机控”，否则称为“非手机控”，得到统计表和各年龄段人数的频率分布直方图(如图11-3-2所示).
组数 分组 “手机控”的人数 占本组的频率
第一组 [25，30) 120 0.6
第二组 [30，35) 195 p
第三组 [35，40) 100 0.5
第四组 [40，45) a 0.4
第五组 [45，50) 30 0.3
第六组 [50，55] 15 0.3
图11-3-2
(1)补全频率分布直方图，并求n，a，p的值；
(2)从年龄在[40，50)内的“手机控”中采用分层抽样的方法抽取18人参加“远离手机体验活动”，再从中选取 3人当领队，记选取的3名领队中年龄在[40，45)内的人数为X，求X的分布列和数学期望E(X).
提高篇
5.[2020河南八市联考]有一名高中学生盼望2020年进入某大学学习，假设具备以下条件之一均可被该大学录取:①2020年年初通过M考试进入国家数学奥赛集训队(M考试资格需要通过参加N比赛获得)；②2020年3月参加自主招生考试，考试通过，参加2020年6月高考且高考分数达到本科一批分数线；③2020年6月参加高考且分数达到该校录取分数线(该校录取分数线高于本科一批分数线).已知该学生具备参加N比赛、自主招生考试和高考的资格，且该学生估计自己通过各种考试的概率如下表:
获得M 考试资格 通过自主
招生考试 高考分数达到
本科一批分数线 高考分数达到该
校录取分数线
0.5 0.6 0.9 0.7
若该学生获得M考试资格，则该学生估计自己进入国家数学奥赛集训队的概率是0.2，若进入国家数学奥赛集训队，则提前录取，若未被录取，则按②③的顺序依次尝试.若该学生因具备某一条件被录取后，不再考虑是否具备后面的条件.
(1)求该学生参加自主招生考试的概率；
(2)求该学生参加考试的次数X的分布列及数学期望；
(3)求该学生被该校录取的概率.
6.[2020江西红色七校第一次联考]随着小汽车的普及，“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若一人报名参加了驾驶证考试，要顺利拿到驾驶证，他需要通过四个科目的考试，其中科目二为场地考试.在一次报名中，每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试，就算顺利通过，即进入下一科目考试；若5次都没有通过，则需重新报名)，其中前2次参加科目二考试免费，若前2次都没有通过，则以后每次参加科目二考试都需交200元的补考费.某驾校对以往2 000个学员第1次参加科目二考试的通过情况进行了统计，得到下表:
男学员 女学员
第1次考科目二人数 1 200 800
第1次通过科目二人数 960 600
第1次未通过科目二人数 240 200
若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率，且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试，在本次报名中，若这对夫妻参加科目二考试的原则为通过科目二考试或者用完所有机会为止，请回答下列问题:
(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试不需要交补考费的概率；
(2)已知这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过，记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为ξ，求ξ的分布列与数学期望.
7.[2019陕西三模]现要调查某县城居民对某项政策的知晓率，专家在进行评估时，从该县城的10个乡镇中随机抽取居民进行调查，知晓率为90%及以上记为合格，否则记为不合格.已知该县城的10个乡镇中，有7个乡镇的居民的知晓率可达90%，其余的均在90%以下.
(1)现从这10个乡镇中随机抽取3个进行调查，求抽到的乡镇中恰有2个乡镇不合格的概率；
(2)若记从该县城随机抽取的3个乡镇中不合格的乡镇的个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
8.[2020武汉市部分学校质量监测][交汇题]武汉又称江城，是湖北省省会，中国中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为武汉的两张名片.为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为，游客之间选择意愿相互独立.
(1)从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望.
(2)(i)若从游客中随机抽取m人，记总得分恰为m的概率为Am，求数列{Am}的前10项和；
(ii)在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为n的概率为Bn，探讨Bn与Bn-1之间的关系，并求数列{Bn}的通项公式.
参考答案与解析
第三讲　离散型随机变量及其分布列、均值与方差
考点测评
1.ABC　由离散型随机变量的分布列的特点可知A正确；由均值和方差的含义可知BC正确；均值反映的是一组数据的整体水平，而方差反映的是一组数据的离散程度，故D错误.故选ABC.
2.C　当X=4时，表示从盒中取出的3个球中有2个旧球，1个新球，故P(X=4)=.故选C.
3.D　 由分布列得E(X)=.
解法一　D(X)=(- 0)2×(- a)2×(- 1)2×(a- )2，
所以当a在(0，1)内增大时，D(X)先减小后增大.故选D.
解法二　D(X)=E(X2)- [E(X)]2=0[(a- )2]，
所以当a在(0，1)内增大时，D(X)先减小后增大.故选D.
【方法总结】　先求期望，将方差表示为关于a的二次函数，再利用二次函数在给定区间的单调性，判断方差取值的增减性.
4.C　设该项试验失败的概率为p，则成功的概率为2p，所以X的分布列为
X 0 1
P p 2p
由p+2p=1，得p=，即P(X=0)=.故选C.
5.D　解法一　由随机变量X的分布列及数学期望和方差的计算公式知，E(X)=- (1- a)2+a2=2a- 1，D(X)=(- 1- 2a+1)2(1- a)2+(- 2a+1)2×2a(1- a)+(1- 2a+1)2a2=2a(1- a).因为E(X)=D(X)，所以2a- 1=2a(1- a)，得a=，故选D.
解法二　令Y=X+1，则X=Y- 1，随机变量Y的分布列为
Y 0 1 2
P (1- a)2 2a(1- a) a2
由二项分布的有关知识知，Y~B(2，a)，
所以E(Y)=2a，D(Y)=2a(1- a)，
所以E(X)=E(Y- 1)=E(Y)- 1=2a- 1，D(X)=D(Y- 1)=D(Y)=2a(1- a).
又E(X)=D(X)，所以2a- 1=2a(1- a)，得a=，故选D.
6.　　因为ξ~B(5，p)，E(ξ)=2，所以5p=2，解得p=，
所以D(ξ)=5p(1- p)=5××(1- )=.又η=ξ+1，
所以D(η)=D(ξ+1)=D(ξ)=.
7.　　由分布列的性质及等差数列的性质知，解得p=，q=，
所以E(X)=- ，D(X)=(- 1- )2×(0- )2×(1- )2×.
8.乙　E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1，
E(Y)=0×0.3+1×0.5+2×0.2=0.9，
所以E(Y)变式练习
1.(1)由题意知，样本中仅使用A的学生有18+9+3=30(人)，仅使用B的学生有10+14+1=25(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人.
故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100- 30- 25- 5=40(人).
所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率估计为=0.4.
(2)X的所有可能值为0，1，2.
记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”.
由题设知，事件C，D相互独立，且P(C)==0.4，P(D)==0.6，
所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24，
P(X=1)=P(C∪D)
=P(C)P()+P()P(D)
=0.4×(1- 0.6)+(1- 0.4)×0.6
=0.52，
P(X=0)=P( )=P()P()=0.24.
所以X的分布列为
X 0 1 2
P 0.24 0.52 0.24
故X的数学期望E(X)=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.
(3)记事件E为“从样本仅使用A的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2 000元”.
假设样本仅使用A的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得P(E)=.
答案示例1:可以认为有变化.理由如下:
P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2 000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.
答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:
事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化.
2.(1)
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
x 2 3 3 1 2 2 2 2 2 2
y 2 2 3 2 3 3 2 3 1 2
z 3 3 3 2 2 3 2 3 1 2
w 7 8 9 5 7 8 6 8 4 6
由题意可知，数学核心素养为三级的学生是A9；数学核心素养为二级的学生是A4，A7，A10；数学核心素养为一级的学生是A1，A2，A3，A5，A6，A8.
记“所取的2人的建模能力指标相同”为事件A，记“所取的2人的综合指标值相同”为事件B，
则P(B|A)=.
(2)由题意可知，数学核心素养为一级的学生为A1，A2，A3，A5，A6，A8，非一级的学生为余下4人，
∴X的所有可能取值为0，1，2，3.
∴随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P



∴E(X)=0×1×2×3×.
【易错警示】　本题易错点是混淆超几何分布与二项分布，两种分布的本质差别在于“有放回”与“无放回”，“有放回”是二项分布，“无放回”是超几何分布.
3.(1)X所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6.
P(X=0)=，P(X=1)=×2=，
P(X=2)=×2=，P(X=3)=×2×2=，P(X=4)=×2=，
P(X=5)=×2=，P(X=6)=，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5 6
P






(2)选择延保方案一，所需延保金与维修费用的和Y1(单位:元)的分布列为
Y1 7 000 9 000 11 000 13 000 15 000
P




E(Y1)=×7 000×9 000×11 000×13 000×15 000=10 720.
选择延保方案二，所需延保金与维修费用的和Y2(单位:元)的分布列为
Y2 10 000 11 000 12 000
P


E(Y2)=×10 000×11 000×12 000=10 420.
∵E(Y1)>E(Y2)，∴该医院选择延保方案二更合算.
基础篇
1.(1)记“该游客游览i个景点”为事件Ai，i=0，1，
则P(A0)=(1- )(1- )(1- )(1- )=，
P(A1)=×(1- )3+(1- )××(1- )2=.
∴该游客至多游览1个景点的概率P=P(A0)+P(A1)=.
(2)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4，
P(X=0)=P(A0)=，P(X=1)=P(A1)=，
P(X=2)=×(1- )2+(1- )××()2×(1- )=，
P(X=3)=×()2×(1- )+(1- )××()3=，
P(X=4)=×()3=，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P




故E(X)=0×1×2×3×4×.
2.(1)∵购买基金后，投资结果只有“获利20%”“不赔不赚”“亏损10%”三种，且三种投资结果相互独立，
∴pq=1.又p=，∴q=.
(2)记事件A为“甲投资股市且一年后获利”，事件B为“乙购买基金且一年后获利”，
事件C为“一年后甲、乙两人中至少有一人获利”，
则C=A∪B∪AB，且A，B相互独立.
由题意可知，P(A)=，P(B)=p，
∴P(C)=P(A)+P(B)+P(AB)=(1- p)pp=p.
又P(C)>，∴p>.
又pq=1，q≥0，∴p≤.∴p的取值范围为(，].
(3)假设丙选择“投资股市”，记X为丙投资股市的获利金额(单位:万元)，则X的所有可能取值为4，0，- 2，
∴P(X=4)=，P(X=0)=，P(X=- 2)=，
∴随机变量X的分布列为
X 4 0 - 2
P


则E(X)=4×0×(- 2)×.
假设丙选择“购买基金”，记Y为丙购买基金的获利金额(单位:万元)，则Y的所有可能取值为2，0，- 1，
∴P(X=2)=，P(X=0)=，P(X=- 1)=，
∴随机变量Y的分布列为
Y 2 0 - 1
P


则E(Y)=2×0×(- 1)×.
∵E(X)>E(Y)，
∴丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大.
3. (1)由A款饮料的评分饼状图，得对A款饮料的评分在60分以下的频率为0.05+0.15=0.2，
∴对A款饮料的评分在60分以下的有100×0.2=20(万人).
(2)设“受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性”为事件C.
记“受访者购买A款饮料的可能性是20%”为事件A1；“受访者购买A款饮料的可能性是60%”为事件A2；“受访者购买A款饮料的可能性是90%”为事件A3；“受访者购买B款饮料的可能性是20%”为事件B1；“受访者购买B款饮料的可能性是60%”为事件B2；“受访者购买B款饮料的可能性是90%”为事件B3.
则P(A1)=0.05+0.15=0.2，P(A2)=0.1+0.2=0.3，
P(A3)=0.15+0.35=0.5，P(B1)==0.1，P(B2)==0.35，P(B3)==0.55.
∵事件Ai与Bj相互独立，其中i，j=1，2，3，
∴P(C)=P(A2B1+A3B1+A3B2)=P(A2)P(B1)+P(A3)P(B1)+P(A3)P(B2)=0.3×0.1+0.5×0.1+0.5×0.35=0.255，
∴该受访者购买A款饮料的可能性高于购买B款饮料的可能性的概率约为0.255.
(3)从受访者购买A，B两款饮料的可能性的期望的角度看，
记受访者购买A，B两款饮料的可能性分别为X，Y，则X的所有可能取值为20%，60%，90%，则P(X=20%)=0.2，P(X=60%)=0.3，P(X=90%)=0.5，∴X的分布列为
X 20% 60% 90%
P 0.2 0.3 0.5
同理可得Y的分布列为
Y 20% 60% 90%
P 0.1 0.35 0.55
∴E(X)=20%×0.2+60%×0.3+90%×0.5=0.67，E(Y)=20%×0.1+60%×0.35+90%×0.55=0.725，∵E(X)4.(1)第二组的频率为1- (0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3，所以其在频率分布直方图中对应的高为=0.06.
补充完整的频率分布直方图如图D 11- 3- 1所示.
图D 11- 3- 1
第一组的人数为=200，频率为0.04×5=0.2，所以n==1 000.
第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1 000×0.3=300，
所以p==0.65.
第四组的频率为0.03×5=0.15，第四组的人数为1 000×0.15=150，所以a=150×0.4=60.
(2)因为年龄在[40，45)内的“手机控”与年龄在[45，50)内的“手机控”的人数的比值为2，所以采用分层抽样的方法抽取的18人中，年龄在[40，45)内的有12人，年龄在[45，50)内的有6人.
易知随机变量X服从超几何分布，其中N=18，M=12，n=3，则
P(X=0)=，P(X=1)=，
P(X=2)=，P(X=3)=.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P



故数学期望E(X)=0×1×2×3×=2.
提高篇
5.(1)设该学生获得M考试资格为事件A，该学生获得M考试资格后，进入国家数学奥赛集训队为事件B，则P(A)=0.5，P(B)=0.2，该学生参加自主招生考试的概率P1=P()+P(A)=1- 0.5+0.5×(1- 0.2)=0.9.
(2)该学生参加考试的次数X的所有可能取值为2，3，4，
P(X=2)=P(A)P(B)=0.5×0.2=0.1，
P(X=3)=P()=1- 0.5=0.5，
P(X=4)=P(A)P()=0.5×0.8=0.4.
所以X的分布列为
X 2 3 4
P 0.1 0.5 0.4
E(X)=2×0.1+3×0.5+4×0.4=3.3.
(3)设该学生通过自主招生考试并且高考分数达到本科一批分数线被录取、未通过自主招生考试但高考分数达到该校的录取分数线被录取分别为事件C、事件D.
则P(AB)=0.1，P(C)=(1- 0.1)×0.6×0.9=0.486，
P(D)=(1- 0.1)×(1- 0.6)×0.7=0.252，
所以该学生被该校录取的概率P2=P(AB)+P(C)+P(D)=0.838.
【解后反思】　 解本题的关键在于明确三个录取条件①②③是有先后顺序的，因此该学生参加2次考试包含的事件是“该学生获得M考试资格，且进入国家数学奥赛集训队”，参加3次考试包含的事件是“该学生没有获得M考试资格，再参加自主招生考试和高考”，参加4次考试包含的事件是“该学生获得M考试资格，但没有进入国家数学奥赛集训队，再参加自主招生考试和高考”.
6.由题中表格易知此驾校男学员每次通过科目二考试的概率为，此驾校女学员每次通过科目二考试的概率为.
设事件Ai为男的在第i次考科目二时通过，其中i=1，2，3，4，5；事件Bj为女的在第j次考科目二时通过，其中j=1，2，3，4，5.
(1)设事件M为这对夫妻在本次报名中参加科目二考试不需要交补考费，
解法一　则P(M)=P(A1B1+A1B2A2B1A2B2)
=P(A1B1)+P(A1B2)+P(A2B1)+P(A2B2)
=
=.
解法二　P(M)=[1- P( )][1- P( )]=(1- )(1- )=.
(2)ξ的所有可能取值为400，600，800，1 000，1 200.
P(ξ=400)=P(A3B3)=，
P(ξ=600)=P(A3B4A4B3)=，
P(ξ=800)=P(A4B4+A3 B3)=，
P(ξ=1 000)=P(A4 B4)=，
P(ξ=1 200)=P( )=.
∴ξ的分布列为
ξ 400 600 800 1 000 1 200
P




E(ξ)=400×600×800×1 000×1 200×=510.5.
7.(1)从这10个乡镇中随机抽取3个进行调查，基本事件总数为=120(个)，抽到的乡镇中恰有2个乡镇不合格的基本事件数为=21(个).那么从这10个乡镇中随机抽取3个进行调查，抽到的乡镇中恰有2个乡镇不合格的概率P=.
(2)由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，
P(ξ=2)=，P(ξ=3)=.
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P



所以E(ξ)=0×1×2×3×.
8.(1)X的所有可能取值为3，4，5，6.
P(X=3)=()3=，P(X=4)=()3=，
P(X=5)=()3=，P(X=6)=()3=.
∴X的分布列为
X 3 4 5 6
P



∴E(X)=3×4×5×6×.
(2)(i)总得分恰为m的概率Am=()m，
∴数列{Am}是首项为，公比为的等比数列，
∴数列{Am}的前10项和S10=.
(ii)已调查过的累计得分恰为n的概率为Bn，当n≥2时，得不到n分的情况只包含先得(n- 1)分，再得2分，概率为Bn- 1，易知B1=.
∴1- Bn=Bn- 1，即Bn=- Bn- 1+1，
∴Bn- =- (Bn- 1- ).
∴Bn- =(B1- )×(- )n- 1，
∴Bn=×(- )n- 1=×(- )n.
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