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第十二章 统计与统计案例
第一讲　随机抽样与用样本估计总体
考点测评
1.[2020石家庄高三摸底考试]为了调查某工厂生产的一种产品的尺寸是否合格,现从500件产品中抽出10件进行检验,先将500件产品编号为000,001,002,…,499,在随机数表中任选一个数开始,例如选出第6行第8列的数4开始向右读(为了便于说明,下面摘取了随机数表的第6行至第8行),选出的第1个号码为439,则选出的第4个号码为(　　)
16　22　77　94　39　49　54　43　54　82　17　37　93　23　78
84　42　17　53　31　57　24　55　06　88　77　04　74　47　67
63　01　63　78　59　16　95　55　67　19　98　10　50　71　75
A.548 B.443 C.379 D.217
2.[2020安徽江淮十校第一次联考]某创业公司共有36名职工,为了解该公司职工的年龄构成情况,随机采访了9名职工,得到的数据(单位:岁)为36,36,37,37,44,40,43,44,43,若用样本估计总体,则年龄在( - s,+s)(为平均数,s为标准差)内的人数占公司总人数的百分比是(精确到1%) (　　)
A.56% B.14% C.25% D.67%
3.[多选题]图12-1-1是2019年第一季度A,B,C,D,E五省GDP情况图,则下列叙述中正确的是 (　　)
图12-1-1
A.2019年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是A省
B.与2018年同期相比,五省2019年第一季度的GDP总量均实现了增长
C.2018年同期C省的GDP总量不超过4 000亿元
D.2019年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个
4.[2019河南郑州三测]某同学10次测评成绩的数据如下(从小到大排列):2,2,3,4,10+x,10+y,19,19,20,21.已知成绩的中位数为12,若要使标准差最小,则4x+2y的值是 (　　)
A.12 B.14 C.16 D.18
5.[2018全国卷Ⅰ]某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如图12 - 1 - 2(1)(2)所示的饼图:
(1)　　　　　　　　　　　　　　(2)
图12 - 1 - 2
则下面结论中不正确的是 (　　)
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
6.[2020贵阳高三摸底考试]某大学为了解在校本科生参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取　　　　名学生.?
7.[2019全国卷Ⅱ]我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为　　　.?
知识回顾
考法1 两种抽样方法的运用
命题角度1　分层抽样
1[2017 江苏高考]某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取　　　　件.?
【解析】应从丙种型号的产品中抽取60×=18(件).
命题角度2　简单随机抽样
2 2019年9月14日,女排世界杯在日本拉开帷幕,某网络直播平台开通观众留言渠道,为中国女排加油.此平台利用随机数表法从编号为01,02,…,25的号码中选取5个幸运号码,选取方法是从下方随机数表的第1行第24列的数字开始,从左往右依次选取2个数字,则第5个被选中的号码为　　　　.?
81　47　23　68　63　93　17　90　12　69　86　81　62　93　50　60　91　33　75　85　61　39　85(第一行)
06　32　35　92　46　22　54　10　02　78　49　82　18　86　70　48　05　46　88　15　19　20　49(第二行)
【解析】根据题意及随机数表可得5个被选中的号码依次为16,06,09,13,23.故第5个被选中的号码为23.
变式练习
1.为了了解某市某校不同年级的学生对垃圾分类的了解程度,拟采用分层抽样的方法,从该校三个年级的学生中抽取一个容量为320的样本进行调查.已知该校高一年级、高二年级、高三年级的人数之比为6∶5∶5,则应从高一年级的学生中抽取 名.
考法2 统计图表的应用　　　　　　　　　　　　　　　　　
命题角度1　扇形图、折线图、条形图及其应用
3[多选题]某调查机构对某地互联网行业进行了调查统计,得到整个互联网行业从业者的年龄分布扇形图(如图12-1-3)、90后从事互联网行业的岗位分布条形图(如图12-1-4),则下列结论中一定正确的是
图12-1-3 图12-1-4
A.互联网行业从业者中90后占一半以上
B.互联网行业中从事技术岗位的90后人数超过总人数的20%
C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80后多
【解析】A选项,根据扇形图可知互联网行业从业者中90后占了56%,故正确;B选项,互联网行业中从事技术岗位的90后人数占总人数的0.396×0.56≈0.222,故正确;C选项,互联网行业中从事运营岗位的90后人数占总人数的0.17×0.56≈0.095,而80前从事互联网行业的人数才占总人数的0.03,故正确;D选项,因为互联网行业中从事运营岗位的80后人数占总人数的比例不能确定,所以无法判断,故错误.故选ABC.
【答案】ABC
命题角度2　频率分布直方图及其应用
4 [2019全国卷Ⅲ]为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、物质的量浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如图12 - 1 - 5所示的直方图.
记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5%”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.
(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
【解题思路】(1)根据P(C)的估计值为0.70及频率之和为1可求得a,b的值;(2)根据各组区间的中点值及频率即可计算平均值.
【解析】(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.
b=1 - 0.05 - 0.15 - 0.70=0.10.
(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2%×0.15+3%×0.20+4%×0.30+5%×0.20+6%×0.10+7%×0.05=4.05%.
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3%×0.05+4%×0.10+5%×0.15+6%×0.35+7%×0.20+8%×0.15=6.00%.
变式练习
2.(1)[多选题]如图12-1-6所示的折线图是某房地产公司中某销售员一年的工资情况.若近几年来,该销售员每年的工资情况基本稳定,则 (　　)
A.工资增长率最高的为8月份
B.该销售员一年有7个月的工资超过4 000元
C.由此图可以估计,该销售员2020年6,7,8月份的平均工资将会超过5 000元
D.该销售员这一年中的最低工资为1 900元
（2）[2018全国卷Ⅰ]某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.7)
频数 1 3 2 4 9 26 5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用 水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6)
频数 1 5 13 10 16 5
(1)在图12 - 1 - 7中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;
图12 - 1 - 7
(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;
(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)
考法3 用样本的数字特征估计总体的数字特征
5 [2019全国卷Ⅱ]演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是
A.中位数 B.平均数 C.方差 D.极差
【解析】记9个原始评分分别为a,b,c,d,e,f ,g,h,i(按从小到大的顺序排列),易知e既是7个有效评分的中位数,又是9个原始评分的中位数,故不变的数字特征是中位数.
【答案】A
6[2019全国卷Ⅱ]某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
y的 分组 [-0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80)
企业数 2 24 53 14 7
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)
附:≈8.602.
【解析】(1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为=0.21.产值负增长的企业频率为=0.02.用样本频率估计总体可得,这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%.
(2)产值增长率的平均数=(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30,
方差s2=[(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7]=0.029 6,标准差s==0.02×≈0.17.故这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%.
变式练习
3.[多选题]某班期末考试数学成绩(满分150分)的频率分布直方图如图12-1-8所示,
图12-1-8
其中分组区间[80,90],(90,100],(100,110],(110,120],(120,130],(130,140],
(140,150](单位:分),根据频率分布直方图,判断下列说法正确的是 (　　)
A.估计本次考试数学成绩的平均数为114.8分
B.估计本次考试数学成绩的众数为115分
C.估计本次考试数学成绩的中位数为114分
D.本次考试数学成绩110分以上的人数等于110分以下的人数
第一讲　《随机抽样与用样本估计总体》测试
基础篇
1.[2020惠州市一调]某高校调查了320名学生每周的自习时间(单位:时)，制成了如图12-1-1所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20]，(20，22.5]，(22.5，25]，(25，27.5]，(27.5，30].根据频率分布直方图，这320名学生中每周的自习时间不超过22.5时的人数是 (　　)
图12-1-1
A.68 B.72 C.76 D.80
2.[2020江西红色七校第一次联考]高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n座城市作试验基地，这n座城市共享单车的使用量(单位:人次/天)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是 (　　)
A.x1，x2，…，xn的标准差 B.x1，x2，…，xn的平均数
C.x1，x2，…，xn的最大值 D.x1，x2，…，xn的中位数
3.[2020河北衡水中学全国高三第一次联考]由我国引领的5G时代已经到来，5G的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济的发展，创造出更多的经济增加值.图12-1-2是某单位结合近年数据对今后几年的5G经济产出所做的预测.
图12-1-2
结合图12-1-2，下列说法错误的是 (　　)
A.5G的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加
B.设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓
C.信息服务商与运营商的经济产出的差距有逐步拉大的趋势
D.设备制造商在各年的总经济产出中一直处于领先地位
4.[2020开封高三一模]某省普通高中学业水平考试成绩由高分到低分按人数所占百分比依次分为A，B，C，D，E五个等级，A等级占15%，B等级占30%，C等级占30%，D，E等级共占25%.其中E等级为不合格，原则上所占百分比不超过5%.该省某校高二年级学生都参加学业水平考试，先从中随机抽取了部分学生的考试成绩进行统计，统计结果如图12-1-3(1)(2)所示.若该校高二年级共有1 000名学生，则估计该年级达到C等级及以上级别的学生人数为(　　)
(1)　　　　　　　　　　(2)
图12-1-3
A.45 B.660 C.880 D.900
5.[多选题]图12-1-4(1)(2)(3)(4)分别是四组数据的条形图，每组数据的样本容量都是9，则下列描述正确的是 (　　)
图12-1-4
A.四组数据的平均数都是5
B.图12-1-4(1)中数据的方差为0
C.图12-1-4(4)中数据的方差为0
D.图12-1-4(3)中数据的方差最大
6.[2020广东七校联考]根据新高考改革方案，某地区高考由文理分科考试变为“3+3”模式考试.某学校为了解高一年级425名学生的选科情况，在高一年级下学期进行模拟选科，统计得到选科组合排名前4种的情况如下表所示，其中物理、化学、生物为理科，政治、历史、地理为文科，“√”表示选择该科，“×”表示未选择该科.
　　学科 人数　　 物理 化学 生物 政治 历史 地理
124 √ √ × × × √
101 × × √ × √ √
86 × √ √ × × √
74 √ × √ × √ ×
根据以上统计数据，下列判断错误的是 (　　)
A.排名前4种的选科组合中，选择生物学科的学生更倾向选择两理一文组合
B.排名前4种的选科组合中，选择两理一文的人数多于选择两文一理的人数
C.整个高一年级，选择地理学科的人数多于选择其他任一学科的人数
D.整个高一年级，选择物理学科的人数多于选择生物学科的人数
7.[2019河北六校联考]某中学有高中生3 000人，初中生2 000人，男、女生所占的比例分别如图12-1-5(1)(2)所示.学校为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取女生21人，则从初中生中抽取的男生人数是 (　　)
图12-1-5
A.12 B.15 C.20 D.21
8.[2019湖南四校联考]甲、乙两名同学6次考试的成绩(单位:分)如图12-1-6所示，且这6次成绩的平均分分别为，，标准差分别为σ甲，σ乙，则 (　　)
图12-1-6
A.<，σ甲<σ乙 B.<，σ甲>σ乙
C.，σ甲<σ乙 D.，σ甲>σ乙
9.[2020四省八校第二次联考][双空题]若a1，a2，…，a2 020的平均数、方差分别是2和1，bi=3ai+2(i=1，2，…，2 020)，则b1，b2，…，b2 020的平均数为　　　　，方差为　　　　.?
10.[2019北京高三模拟][数学文化题]《九章算术》第三章“衰分”中有如下表述:“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之.”其意为:“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱.”则丙应出　　　　钱(结果保留整数).?
11.[2020长春市第一次质量监测]某部门要对所有的新车模型进行广泛测试，以确定它们的行车里程的等级，下表是对100个新车模型在一个耗油单位内行车里程(单位:千米)的测试结果.
分组 [30，32) [32，34) [34，36) [36，38) [38，40) [40，42) [42，44]
频数 6 10 20 30 18 12 4
(1)在图12-1-7中补全上述测试结果的频率分布直方图，并指出其中位数落在哪一组；
图12-1-7
(2)用分层抽样的方法从行车里程在区间[38，40)与[40，42)内的新车模型中任取5个，并从这5个中随机抽取2个，求其中恰有一个新车模型的行车里程在[40，42)内的概率.
提高篇
12.[原创题]蹦床是一项将运动和美学完美结合的运动，随着全民健身时代的到来，蹦床越来越受人们的喜爱.某大型蹦床主题公园为吸引顾客，推出优惠活动，对首次消费的顾客，先注册成为会员，首次按60元收费，对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下:
消费次数 第1次 第2次 第3次 第4次 不少于5次
收费比例系数 1 0.95 0.90 0.85 0.80
该蹦床主题公园从注册的会员中随机抽取了100位，统计他们的消费次数，得到数据如下:
消费次数 1次 2次 3次 4次 不少于5次
频数 60 20 10 5 5
假设每人每消费一次，蹦床主题公园耗费成本30元.根据所给数据，解答下列问题:
(1)以频率估计概率，估计该蹦床主题公园的一位会员至少消费2次的概率；
(2)某会员消费6次，求这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润；
(3)以样本估计总体，假设从消费次数为3次和4次的会员中采用分层抽样的方法抽取6人进行满意度调查，再从这6人中随机选取2人进一步了解情况，求抽取的2人中恰有一人的消费次数为3次的概率.
13.[2019安徽示范高中高三测试]我国是一个缺水的国家.某市为了鼓励居民节约用水，拟确定一个合理的月用水量阶梯收费标准，规定一位居民月用水量不超过a吨的部分按平价收费，超出a吨的部分按议价收费.该市水利局为了解居民用水情况，通过随机抽样，获得了该年1 000位居民的月均用水量(单位:吨)，将数据分成9组，具体情况见下表:
月均用 水量 [0，0.5) [0.5，1) [1，1.5) [1.5，2) [2，2.5) [2.5，3) [3，3.5) [3.5，4) [4，4.5]
居民数 50 80 5x 220 250 80 60 x 20
(1)求x的值，并在图12-1-8中画出频率分布直方图.
图12-1-8
(2)若该市希望使80%的居民月均用水量不超过a吨，试估计a的值.
(3)根据频率分布直方图估计该市居民月用水量的平均值.(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表)

14.[开放题]某学校实施了一段时间的走班制教学，为了解本校高一学生在实施走班制前后的学习情况，随机调查了该校高一某班的30名学生，得到实施走班制教学前后这些学生的数学考试成绩的频数分布表如下.
分数段 [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
实施走班 制教学前
人数 2 10 7 5 2 4 0 0
实施走班 制教学后
人数 2 4 5 5 6 5 1 2
(1)试估计实施走班制教学前这些学生的数学考试成绩的中位数，并分析实施走班制教学前后及格率的变化情况.(注:中位数保留整数，60分及其以上分数为及格)
(2)若数学考试平均成绩增长率达到20%，可看作实施走班制教学成功，试分析该校实施走班制教学是否成功.(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.01)
15.[2020洛阳市第一次联考][交汇题]前些年有部分企业只重视经济效益而没有环保意识，把大量的污染物排放到空中与地下，严重影响了人们的正常生活.为此政府进行强制整治，对不合格企业进行关闭、整顿，同时通过大量的绿化来净化环境.通过几年的整治，环境得到明显改善，针对政府这一行为，老百姓大大点赞.
(1)某机构随机访问50名居民，这50名居民对政府的评分(满分为100分)如下表:
分数 [70，75) [75，80) [80，85) [85，90) [90，95) [95，100]
频数 2 3 11 14 11 9
请在图12-1-9中作出居民对政府评分的频率分布直方图.
图12-1-9
(2)环境整治后，当地环保部门随机抽测了2019年某月(共30天)的空气质量指数，其数据如下表:
空气质量指数 0~50 51~100 101~150 151~200
天数 2 18 8 2
用空气质量指数的平均值作为判断该月空气质量指数级别的依据，则该月空气质量指数级别为几级?(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率，相关知识参见附表)
(3)空气受到污染，呼吸系统疾病患者最易感染.根据以往经验，凡遇到空气污染，小李都会服用有关药品，遇到轻度污染，每天的服药费用为50元，遇到中度污染，每天的服药费用为100元.环境整治前的2015年11月份小李因空气污染而受到感染，服药花费了5 000元，试估计2019年11月份(参考(2)中表格数据)小李比2015年11月份少花费了多少元的药费.
附表:
空气质量 指数 0~50 51~100 101~150 151~200 201~300 >300
空气质量 指数级别 一级 二级 三级 四级 五级 六级
空气质量 指数类别 优 良 轻度
污染 中度
污染 重度
污染 严重
污染
参考答案与解析
第一讲　随机抽样与用样本估计总体
考点测评
1.D　从第6行第8列的数4开始自左向右读下去，三位三位地读，把在000~499范围内且前面没有出现过的数记下，否则跳过，则第4个满足条件的数是217，故选D.
2.A　=40，
s2=，s=，
所以年龄在(- s，s)即(，)内的人数为5，≈56%，
故选A.
3.ABC　由折线图可知A，B正确；4 067.4÷(1+6.6%)≈3 816(亿元)，3 816<4 000，故C正确；2019年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有B省(均第一)、C省(均第四)，共有2个，故D错误.故选ABC.
4.A　由成绩的中位数为12，得=12，故x+y=4，故成绩的平均数为(2+2+3+4+10+x+10+y+19+19+20+21)=11.4.要使标准差最小，即方差最小，只需使(10+x- 11.4)2+(10+y- 11.4)2最小，又(10+x- 11.4)2+(10+y- 11.4)2=(x- 1.4)2+(y- 1.4)2≥=0.72，当且仅当x- 1.4=y- 1.4时取等号，即x=y=2时，标准差最小.此时4x+2y=12.故选A.
【技巧点拨】　巧解平均数与方差
1.找齐法
在计算平均数时，如果这些数都在某个数左右摆动，就选取一个数作为标准进行找齐.找齐法的依据是
平均数
=
=a；
方差s2=
=.
其中a为被选作标准的数，在使用找齐法时，a的选取可以多种多样，原则是便于计算.
2.方差的简化公式
方差的一个简化公式是s2=[(…)- n]=[其中(…)].该式只要把方差公式展开进行重组即可证明.
5.A　解法一　设新农村建设前经济收入的总量为x，则新农村建设后经济收入的总量为2x.
建设前种植收入为0.6x，建设后种植收入为0.74x，故A不正确；
建设前其他收入为0.04x，建设后其他收入为0.1x，故B正确；
建设前养殖收入为0.3x，建设后养殖收入为0.6x，故C正确；
建设后养殖收入与第三产业收入的总和占建设后经济收入总量的58%，故D正确.
解法二　因为0.6<0.37×2，所以新农村建设后，种植收入增加，而不是减少，A不正确.
【试题评析】　在统计问题中，涉及的图表很多，本题以饼图为依托，考查利用统计知识分析社会实际问题，体现了统计图表的应用功能.与往年高考试题相比，2018年高考试题对概率统计的考查更贴近生活.解答本题时，若没有注意题眼“实现翻番”，而直接观察饼图中的百分率进行比较，则会得到错误答案.解题时看准题眼，就能有效避免此类错误.
【素养落地】　该题紧扣时政，以新农村建设前后的经济收入构成比例的饼图为背景，考查抽象概括能力、数据处理能力，体现了直观想象、数学建模、数据分析、数学抽象、逻辑推理等核心素养.试题较为简单.解题时从图中读出相应的信息即可得结果.
6.60　 设应从一年级本科生中抽取n名学生，则，解得n=60.
7.0.98　经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为=0.98.
变式练习
1.120　因为该校高一年级、高二年级、高三年级的人数之比为6∶5∶5，所以应从高一年级的学生中抽取320×=120(名).
2.(1)BC　由题图可知，工资增长率最高的为6月份，故A选项错误；该销售员一年有7个月的工资超过4 000元，故B选项正确；由折线图知该销售员6，7，8月份的平均工资超过了8 000元，故估计该销售员2020年6，7，8月份的平均工资将超过5 000元，故C选项正确；该销售员这一年中的最低工资为1 300元，故D选项错误.故选BC.
(2)(i)频率分布直方图如图D 12- 1- 1所示.
图D 12- 1- 1
(ii)根据(1)中的频率分布直方图，知该家庭使用节水龙头50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，
因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.
(iii)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48.
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35.
估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省水(0.48- 0.35)×365=47.45(m3).
3.ABC　由频率分布直方图可知，本次考试数学成绩的平均数为85×0.04+95×0.06+105×0.24+115×0.36+125×0.16+135×0.12+145×0.02=114.8(分)，A正确；由图易知本次考试数学成绩的众数为115分，B正确；前三组的频率和为(0.004+0.006+0.024)×10=0.34，0.34+0.036×10=0.7，所以本次考试数学成绩的中位数应落在区间(110，120]上，故中位数为110×10≈114(分)，C正确；因为0.04+0.06+0.24<0.36+0.16+0.12+0.02，故本次考试数学成绩110分以上的人数多于110分以下的人数，D错误.故选ABC.
基础篇
1.B　这320名学生中每周的自习时间不超过22.5时的人数是(0.07+0.02)×2.5×320=72，故选B.
2.A　因为平均数、中位数、众数描述样本数据的集中趋势，方差和标准差描述其波动大小，所以表示一组数据x1，x2，…，xn的稳定程度的是方差或标准差，故选A.
3.D　设备制造商的经济产出在2029年将被信息服务商超过.故选D.
4.D　由题图12- 1- 3(1)(2)可知，达到C等级的学生人数所占百分比为×20%=24%，所以达到C等级及以上级别的学生人数所占百分比为20%+24%+46%=90%，所以该年级达到C等级及以上级别的学生人数约为1 000×90%=900.故选D.
5.ABD　由题中条形图得到题图12- 1- 4(1)中的数据是5，5，5，5，5，5，5，5，5；题图12- 1- 4(2)中的数据是3，3，4，4，5，6，6，7，7；题图12- 1- 4(3)中的数据是2，2，2，2，5，8，8，8，8；题图12- 1- 4(4)中的数据是4，4，4，5，5，5，6，6，6.所以每组数据的平均数都是5，A正确；因为题图12- 1- 4(1)中9个数据全是5，故方差为0，B正确；易知题图12- 1- 4(4)中数据的方差为，故C错误；题图12- 1- 4(3)中数据的波动最大，故方差最大，D正确.故选ABD.
6.D　对于A，排名前4种的选科组合中，选择生物学科的学生有三类:选“生物+历史+地理”的有101人，选“生物+化学+地理”的有86人，选“生物+物理+历史”的有74人，选择两理一文的有86+74=160(人)，选择两文一理的有101人，故选择生物学科的学生更倾向选择两理一文组合，故A正确.
对于B，排名前4种的选科组合中，选择两理一文的学生有三类:选“物理+化学+地理”的有124人，选“生物+化学+地理”的有86人，选“生物+物理+历史”的有74人，共计124+86+74=284(人).选择两文一理的学生有一类:选“生物+历史+地理”的有101人，284>101，故B正确.
对于C，整个高一年级，选择地理学科的学生总人数至少为124+101+86=311(人)，选择物理学科的总人数至多为425- (101+86)=238(人)，选择化学学科的总人数至多为425- (101+74)=250(人)，选择生物学科的总人数至多为425- 124=301(人)，选择政治学科的总人数至多为425- (124+101+86+74)=40(人)，选择历史学科的总人数至多为425- (124+86)=215(人)，故C正确.
对于D，整个高一年级，选择物理学科的总人数至少为124+74=198(人)，至多为238人，选择生物学科的总人数至少为101+86+74=261(人)，故D错误.
综上所述，选D.
7.A　由题图可知高中生中女生有3 000×70%=2 100(人)，初中生中男生有2 000×60%=1 200(人)，设从初中生中抽取的男生人数是x，则有，解得x=12，故选A.
8.C　由题图可知，甲同学除第2次考试成绩略低于乙同学外，其余5次考试成绩都高于乙同学，所以.又由题图中数据知甲同学的成绩波动没有乙同学的成绩波动大，所以甲同学的成绩更稳定，所以σ甲<σ乙，故选C.
9.8　9　因为bi=3ai+2(i=1，2，…，2 020)，所以b1，b2，…，b2 020的平均数是3×2+2=8，方差是32×1=9.
10.17　因为依照钱的多少按比例出钱，所以丙应该出的钱为×100=×100≈17.
11.(1)由题意补全频率分布直方图，如图D 12- 1- 2所示:
图D 12- 1- 2
由图D 12- 1- 2可知，中位数在区间[36，38)内.
(2)由题意知，从[38，40)中选取的新车模型数为18×=3，设这3个新车模型分别为A，B，C，从[40，42)中选取的新车模型数为12×=2，设这2个新车模型分别为a，b，则从这5个新车模型中抽取2个的所有情况有10种，分别为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，其中符合条件的有6种，分别为Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，所以所求事件的概率为.
提高篇
12. (1)随机抽取的100位会员中，至少消费2次的会员有20+10+5+5=40(位)，
所以该蹦床主题公园的一位会员至少消费2次的概率P=.
(2)第1次消费时，蹦床主题公园获取的利润为60- 30=30(元)，
第2次消费时，蹦床主题公园获取的利润为60×0.95- 30=27(元)，
第3次消费时，蹦床主题公园获取的利润为60×0.90- 30=24(元)，
第4次消费时，蹦床主题公园获取的利润为60×0.85- 30=21(元)，
第5次或第6次消费时，蹦床主题公园获取的利润均为60×0.80- 30=18(元).
所以这6次消费中，该蹦床主题公园获得的平均利润为=23(元).
(3)由题意知，从消费次数为3次和4次的会员中抽取的人数分别为4人，2人.
这6人中，将消费3次的会员分别记为a，b，c，d，消费4次的会员分别记为e，f.
从6人中随机抽取2人的情况有{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，f}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{b，f}，{c，d}，{c，e}，{c，f}，{d，e}，{d，f}，{e，f}，共15种.
设“抽取的2人中恰有一人的消费次数为3次”为事件A，则事件A包含的情况有{a，e}，{a，f}，{b，e}，{b，f}，{c，e}，{c，f}，{d，e}，{d，f}，共8种.
根据古典概型的概率计算公式可得P(A)=.
13.(1)由已知得6x=1 000- (50+80+220+250+80+60+20)，x=40.
则月均用水量的频率分布表为:
月均用 水量 [0，0.5) [0.5，1) [1，1.5) [1.5，2) [2，2.5) [2.5，3) [3，3.5) [3.5，4) [4，4.5]
频率 0.05 0.08 0.20 0.22 0.25 0.08 0.06 0.04 0.02
故频率分布直方图如图D 12- 1- 3:
图D 12- 1- 3
(2)由(1)知前5组的频率和为0.05+0.08+0.20+0.22+0.25=0.80，故可估计a的值为2.5.
(3)由样本估计总体，该市居民月用水量的平均值为0.25×0.05+0.75×0.08+1.25×0.20+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.08+3.25×0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=1.92(吨).
14.(1)设实施走班制教学前这些学生的数学考试成绩的中位数为x，则根据频数分布表得(x- 40)×，
解得x=≈44.所以估计实施走班制教学前这些学生的数学考试成绩的中位数为44.
根据频数分布表可知实施走班制教学后及格率增长了≈0.27=27%.
(2)实施走班制教学前的数学考试平均成绩×(2×25+10×35+7×45+5×55+2×65+4×75)=.
实施走班制教学后的数学考试平均成绩×(2×25+4×35+5×45+5×55+6×65+5×75+1×85+2×95)=.
则实施走班制教学后的数学考试平均成绩有增长，增长率为≈0.22=22%，22%>20%，
所以该校实施走班制教学是成功的.
15.(1)由评分表可知，相应区间的值分别为0.008，0.012，0.044，0.056，0.044，0.036，其频率分布直方图如图D 12- 1- 4所示:
图D 12- 1- 4
(2)由题意得，该月空气质量指数的平均值为≈92.133<100.
对照附表可知，该月空气质量指数的级别为二级.
(3)估计2019年11月份轻度污染的有8天，中度污染的有2天，
所以小李花费的药费为8×50+2×100=600(元).
又5 000- 600=4 400(元)，所以相比2015年11月份，
2019年11月份小李少花了4 400元的药费.
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