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第十二章 统计与统计案例
第二讲　变量间的相关关系与统计案例
考点测评
1.[2020衡水模拟]如图12 - 2 - 1,去掉D(3,10)后,下列说法错误的是 (　　)
A.相关系数r变大 B.残差平方和变大
C.相关指数R2变大 D.解释变量x与预报变量y的相关性变强
2.[多选题] 下列说法正确的是 (　　)
A.某地气象局预报:5月9日本地降水概率为90%.结果这天没下雨,这表明天气预报并不科学
B.衡量两变量之间线性相关关系的相关系数r越接近1,说明两变量间线性相关关系越密切
C.在回归分析模型中,残差平方和越小,说明模型的拟合效果越好
D.在回归直线方程=0.1x+10中,解释变量x每增加1个单位,预报变量增加0.1个单位
3.[2017山东高考]为了研究某班学生的脚长x(单位:厘米)和身高y(单位:厘米)的关系,从该班随机抽取10名学生,根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系,设其回归直线方程为x+,已知xi=225,yi=1 600,=4.该班某学生的脚长为24,据此估计其身高为 (　　)
A.160 B.163 C.166 D.170
4.[2015 新课标全国Ⅱ]根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图(图12 - 2 - 2),以下结论中不正确的是 (　　)
图12 - 2 - 2
A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
5.[多选题]通过随机询问100名大学生是否爱好踢毽子,得到如下列联表:
男 女 总计
爱好 10 40 50
不爱好 20 30 50
总计 30 70 100
附:
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010
k0 2.706 3.841 5.024 6.635
K2=,其中n=a+b+c+d.
下列结论错误的是 (　　)
A.在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“爱好踢毽子与性别有关”
B.在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“爱好踢毽子与性别无关”
C.有97.5%以上的把握认为“爱好踢毽子与性别有关”
D.有97.5%以上的把握认为“爱好踢毽子与性别无关”
6.[2019四川成都二诊]节能降耗是企业的生存之本,所以要树立一种“点点滴滴降成本,分分秒秒增效益”的节能意识,以最好的管理来实现节能效益的最大化.为此某国企进行节能降耗技术改造,下面是该国企节能降耗技术改造后连续五年的生产利润:
年份代号x 1 2 3 4 5
年生产利润y/千万元 0.7 0.8 1 1.1 1.4
(参考公式及数据:回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为,,xiyi - 5　=1.7, - 5=10)当x=8时,该国企的年生产利润约为 (　　)
A.1.88千万元 B.2.21千万元 C.1.85千万元 D.2.34千万元
7.[2020成都高三模拟]某公司一种新产品的销售额y与宣传费用x之间的关系如下表:
x/万元 0 1 2 3 4
y/万元 10 15 20 30 35
已知销售额y与宣传费用x具有线性相关关系,并求得其回归直线方程为=x+9,则的值为　　　　　.?
知识回顾
考法1 相关关系的判断　　　　　　　
1(1)观察图12 - 2 - 3所示的散点图,其中两个变量的相关关系判断正确的是
A.a为正相关,b为负相关,c为不相关
B.a为负相关,b为不相关,c为正相关
C.a为负相关,b为正相关,c为不相关
D.a为正相关,b为不相关,c为负相关
(2)下列命题中正确的为
A.相关系数r越大,两个变量的线性相关性越强
B.相关系数r越小,两个变量的线性相关性越弱
C.残差平方和越小的模型,拟合的效果越好
D.用相关指数R2来刻画回归效果,R2越小,说明模型的拟合效果越好
【解题思路】(1)根据散点图确定.(2)用相关系数判断线性相关性的强弱;用残差平方和与相关指数判断拟合效果.
【解析】(1)根据散点图,由相关性可知:
a中各点分布在从左下角到右上角的区域里,是正相关;
b中各点分布不是带状的,相关性不明确,所以不相关;
c中各点分布在从左上角到右下角的区域里,是负相关.
(2)相关系数的绝对值|r|越接近于1,两个变量的线性相关性越强,所以A,B错误;残差平方和越小的模型,拟合的效果就越好,所以C正确;用相关指数R2来刻画回归效果,R2越大(接近1),说明模型的拟合效果就越好,所以D错误.
【答案】(1)D　(2)C
考点2 回归分析
2 [2020广东七校联考]某汽车销售公司对开业4年来某种型号的汽车“五一”优惠金额与销量之间的关系进行分析研究并做了记录,得到如下资料.
第几年 1 2 3 4
优惠金额x/万元 1 1.1 1.3 1.2
销量y/辆 22 24 31 27
(1)求出y关于x的线性回归方程x+;
(2)若第5年优惠金额为8 500元,估计第5年的销量y(单位:辆)的值.
参考公式:,.
【解析】(1)由题中数据可得=1.15,=26,xiyi=121.1,=5.34,
所以=30,故=26 - 30×1.15= - 8.5,
所以y关于x的线性回归方程为=30x - 8.5.
(2)8 500元=0.85万元,由(1)得,当x=0.85时,=30×0.85 - 8.5=17,
所以第5年优惠金额为8 500元时,销量约为17辆.
变式练习
1.[2019辽宁五校联考]近期,某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次,用x表示活动推出的天数,y表示每天使用扫码支付的人次,统计数据如下表:
x 1 2 3 4 5 6 7
y 60 110 210 340 660 1 010 1 960
根据以上数据,绘制了散点图,如图12 - 2 - 4.
图12 - 2 - 4
参考数据:

xiyi xivi 100.54
621 2.54 25 350 78.12 3.47
其中vi=lg yi,vi.
(1)根据散点图判断,在推广期内,y=a+bx与y=c·dx(c,d均为大于零的常数)哪一个适宜作为使用扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由)?
(2)根据(1)的判断结果及上表中数据,建立y关于x的回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.
参考公式:
对于一组数据(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回归直线=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为β=,α= - β.
考法3 独立性检验
3 [2020西安五校联考]峰谷电价是目前在城市居民当中开展的一种新电价类别.某市将一天24 h划分成两个时间段,把8:00至22:00这一时间段称为峰段,执行峰电价,电价上调;把22:00至次日8:00这一时间段称为谷段,执行谷电价,电价下调.为了进一步了解民众对峰谷电价的使用情况,从该市一小区随机抽取了50户住户进行夏季用电情况调查,各住户月平均用电量(单位:kW·h)以[100,300),[300,500),[500,700),[700,900),[900,1 100),[1 100,1 300]分组的频率分布直方图如图12-2-5所示(各住户月平均用电量的范围为[100,1 300]):
图12-2-5
其中使用峰谷电价的户数如下表:
月平均用 电量/(kW·h) [100,
300) [300,
500) [500,
700) [700,
900) [900,
1 100) [1 100,
1 300]
使用峰谷电 价的户数 3 9 13 7 2 1
(1)利用频率分布直方图,估计所抽取的50户用户的月平均用电量的众数和平均数.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(2)若将该小区月平均用电量不低于700 kW·h的住户称为“大用户”,月平均用电量低于700 kW·h的住户称为“一般用户”.
(i)将“一般用户”和“大用户”的户数填入下面的2×2列联表:
一般用户 大用户 合计
使用峰谷电价的住户


不使用峰谷电价的住户


合计


(ii)根据(i)中的列联表,能否有99%的把握认为“用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关?
附:K2=,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k0) 0.025 0.010 0.001
k0 5.024 6.635 10.828
【解题思路】
(1)根据众数与平均数的概念求解即可.(2)(i)根据已知条件即可完成2×2列联表;(ii)根据公式求出K2的观测值,比较即可得出结论.
【解析】(1)根据频率分布直方图得月平均用电量在[100,300)的频率为1-0.001 0×200-0.001 5×200-0.001 2×200-0.000 6×200-0.000 2×200=0.1,又0.1÷200=0.000 5,所以估计所抽取的50户住户的月平均用电量的众数为 600 kW·h,
估计所抽取的50户住户的月平均用电量的平均数=(200×0.000 5+400×0.001 0+600×0.001 5+800×0.001 2+1 000×0.000 6+1 200×0.000 2)×200=640(kW·h).
故估计所抽取的50户用户的月平均月电量的众数和平均数分别为600 kW·h和640 kW·h.
(2)(i)2×2列联表如下:
一般用户 大用户 合计
使用峰谷电价的住户 25 10 35
不使用峰谷电价的住户 5 10 15
合计 30 20 50
(ii)K2的观测值k=≈6.349<6.635,
所以没有99%的把握认为“用电量的高低”与“使用峰谷电价”有关.
变式练习
2.在2019年3月郑州市第二次模拟考试中,某校共有100名文科学生参加考试,其中语文考试成绩低于130分的占95%,数学成绩的频率分布直方图如图12 - 2 - 6所示.
图12 - 2 - 6
(1)如果成绩不低于130分的为特别优秀,这100名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人?
(2)如果语文和数学两科成绩都特别优秀的共有3人.
(i)从(1)中的这些同学中随机抽取2人,求这2人两科成绩都特别优秀的概率.
(ii)根据以上数据,完成下列列联表,并分析是否有99%的把握认为语文成绩特别优秀的同学,数学成绩也特别优秀.
语文成绩特别优秀 语文成绩不特别优秀 合计
数学成绩特别优秀


数学成绩不特别优秀


合计


参考公式及数据:K2=,其中n=a+b+c+d,
P(K2≥k0) 0.50 0.40 … 0.010 0.005 0.001
k0 0.455 0.708 … 6.635 7.879 10.828
数学探究　回归分析与数学建模
4 [2016全国卷Ⅲ]图12 - 2 - 7是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.
注:年份代码1~7分别对应年份2008~2014.
图12 - 2 - 7
(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
附注:
参考数据:yi=9.32,tiyi=40.17,=0.55,≈2.646.
参考公式:相关系数r= ,
回归直线t的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为, .
【解题思路】(1)求出相关数据,代入公式即可求得r的值,最后根据其值大小回答即可;(2)求得相关数据,代入最小二乘估计公式,即可建立y关于t的回归方程,然后把t=9代入回归方程求得预测值.
【解析】(1)由折线图中数据和附注中参考数据及公式得=4,(ti - )2=28,=0.55,
(ti - )(yi - )=tiyi - yi=40.17 - 4×9.32=2.89,r=≈0.99.
因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系.
(2)由≈1.331及(1)得≈0.103,=1.331 - 0.103×4≈0.92.
所以y关于t的回归方程为=0.92+0.10t.
2016年对应的t的值为9,将t=9代入回归方程得=0.92+0.10×9=1.82.
所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨.
【素养探源 】　
核心素养 考查途径 素养水平
数学建模 根据相关系数判断线性关系,建立回归模型. 二
数据分析 根据题中条件及折线图,提取所需数据. 二
数学运算 求回归方程. 二
【备考指导】　
本题以生活垃圾无害化处理为背景,考查统计中的线性相关关系,要求学生先利用相关系数判断y与t是否具有线性相关关系,再求回归方程,最后利用所求的方程进行预测,基本上体现了数学建模的过程.考查相关关系的题是数学建模的范例,在高考中经常出现,要充分了解建模过程,把握建模的方法与步骤,学会应用建模解决实际问题.
【方法总结】　
建立回归模型的基本步骤
①确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预报变量.
②画出解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等).
③由经验确定回归方程的类型(如观察到散点大致分布在某条直线附近,则选用线性回归方程).
④按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数.
⑤得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大,残差呈现不随机的规律性等).若存在异常,则检查数据是否有误,或模型是否合适等.
【注意】 在建立回归模型过程中要注意以下几点:
(1)判断线性相关性:利用散点图及相关系数.(2)建立模型:一般根据散点图建立,非线性的往往转化为线性的.(3)建立线性回归模型:利用最小二乘估计公式.(4)对拟合效果的检验:用相关指数,残差平方和.(5)预测分析:利用所建模型.
【思维拓展】　
数学建模的过程
(1)建模准备:了解问题的实际背景,明确其实际意义,掌握对象的各种信息.
(2)建模假设:根据实际对象的特征和建模的目的,对问题进行必要的简化,并用精确的语言提出一些恰当的假设.
(3)模型建立:在假设的基础上,利用适当的数学工具来刻画各变量、常量之间的数学关系,建立相应的数学结构.
(4)模型求解:利用获取的数据资料,对模型的所有参数进行计算(或近似计算).
(5)模型检验:将模型分析结果与实际情形进行比较,以此来验证模型的准确性、合理性和适用性.
变式练习
3.在红外线照射下,组织温度升高,毛细血管扩张,血流加快,物质代谢增强,组织细胞活力及再生能力提高,因此红外线治疗仪对某些疾病的治疗有着很好的作用.某药店兼营某红外线治疗仪,经过近5个月的营销,对销售状况进行相关数据分析,发现月销售量与销售价格有关,统计数据如下表:
每台红外线治疗仪的销售价格x/元 140 150 160 170 180
红外线治疗仪的月销售量y/台 64 55 45 35 26
(1)根据表中数据求y关于x的线性回归方程;
(2)(i)每台红外线治疗仪的价格为165元时,预测红外线治疗仪的月销售量;(四舍五入为整数)
(ii)若该红外线治疗仪的成本为120元/台,要使每月获得最大的纯收益,利用(1)中结论,问每台红外线治疗仪的销售价格应定为多少?(四舍五入,精确到1元)
参考公式:回归直线方程=x+,其中=,.
数学应用　概率与统计和社会热点的交汇
5 [2020湖南省株洲市高三统一检测(一)]某地区进行疾病普查,为此要检验每个人的血液,如果当地有N人,若逐个检验就需要检验N次,为了减少检验的工作量,把受检验者分组,假设每组有k个人,把这k个人的血液混合在一起检验.若检验结果为阴性,则这k个人的血液全为阴性,因而这k个人只要检验一次就够了;若检验结果为阳性,为了明确这k个人中究竟哪几个人为阳性,就要对这k个人再逐个进行检验,因而这k个人的检验次数为(k+1)次.假设在接受检验的人群中,每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的,且每个人的检验结果是阳性的概率为p.
(1)为熟悉检验流程,先对3个人逐个进行检验,若p=0.1,求3人中恰好有1人检验结果为阳性的概率.
(2)设ζ为k个人一组混合检验时每个人的血液需要检验的次数.
(i)当k=5,p=0.1时,求ζ的分布列;
(ii)运用统计概率的相关知识,求当k和p满足什么关系时,用分组的办法能减少检验次数.
【解题思路】(1)由“每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的”,得该试验为独立重复试验,从而求得概率.(2)“每个人的检验次数”应理解为“平均检验次数”→确定ζ的取值情况→计算各取值的概率→列分布列→计算均值→将“减少检验次数”化为E(ζ)<1→k和p满足的关系.
【解析】(1)对3人进行检验,每个人的检验结果是相互独立的.
设事件A为“3人中恰有1人检验结果为阳性”,则其概率P(A)=·0.1·0.92=0.243.
(2)(i)当k=5,p=0.1时:5人一组混合检验结果为阴性的概率为0.95,每人所需检验的次数为次;混合检验结果为阳性的概率为1 - 0.95,每人所需检验的次数为次.
故ζ的分布列为
ζ

P 0.95 1 - 0.95
(ii)分组时:P(ζ=)=(1 - p)k,P(ζ=+1)=1 - (1 - p)k,
所以E(ζ)=·(1 - p)k+(+1)[1 - (1 - p)k]=1 - (1 - p)k+.
不分组时,每人所需检验的次数为1次.
要使用分组的办法能减少检验次数,需1 - (1 - p)k+1即1 - p>,所以当1 - p>时,用分组的办法能减少检验次数.
【素养探源】　
核心素养 考查途径 素养水平
数学建模 将“检验次数”的实际问题用分布列、期望表达,确定概率模型. 二
数学运算 求概率、分布列、期望. 一
【审题指导】　
审题是解决实际应用题最难的一步,在解题过程中常出现以下问题:(1)弄不清问题的实际背景;(2)弄不清要解决的问题的实质;(3)对一些数学概念、语言文字等理解错误;(4)无法建立实际问题与数学知识的联系等.
本题是一道典型例题,审题非常重要.它的背景是生活中的“血液检验问题”,需要联系的知识是“相互独立事件的概率、分布列、期望等知识”.第(2)问中的(ii)寻找p与k的关系,实际上是寻找一般的决策依据,有重要的实际意义,这也是数学建模思想的重要体现.
本题审题的关键有以下几点:(1)把“每个人的血液需要的检验次数”理解为“每个人的血液需要的平均检验次数”;(2)平均检验次数与每个个体发生的概率有关,可联系相互独立事件的概率转化为分布列及期望问题;(3)求解“k与p满足什么关系时,用分组的办法能减少检验次数”时,需要对比用分组的办法对应的检验次数与不用分组的办法对应的检验次数;(4)分组时,检验次数的可能取值为,+1.
【备考指导】
本题背景新、贴近实际,同时也表明我们的身边处处有数学,数学无处不在.近年来高考越来越重视对数学应用的考查,复习中要培养应用意识,形成应用数学知识指导社会实践,解决生活、生产问题的意识.解决这类问题所用的数学知识本身难度不大,关键是理解题意,把问题与数学知识相结合,提高解决问题的能力.正确理解题意,将题目中信息进行归纳、整理,抽象为数学信息,这是转化能力与应用能力的体现,复习中要加强这方面的训练.
变式练习
4.[2020四省八校联考]为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度,现通过网络问卷随机调查了年龄在20岁至80岁的100人,他们年龄的频数分布和支持“新农村建设”的人数如下表:
年龄/岁 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80]
频数 10 20 30 20 10 10
支持“新农村 建设”的人数 3 11 26 12 6 2
(1)根据上述统计数据填下面的2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为年龄低于50岁的人和年龄不低于50岁的人对“新农村建设”政策的支持态度有差异.
年龄低于50
岁的人数 年龄不低于50
岁的人数 合计
支持


不支持


合计


(2)为了进一步推动“新农村建设”政策的实施,某电视台某节目对此进行了专题报道,并在节目最后利用随机拨号的形式在全国范围内选出4名幸运观众(假设年龄均在20岁至80岁)给予适当的奖励.若以频率估计概率,记选出的4名幸运观众中支持“新农村建设”的人数为ξ,试求随机变量ξ的分布列和数学期望.
参考数据:
P(K2≥k0) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d.
33
素养提升6高考中概率与统计解答题的提分策略
1 [2019全国卷Ⅱ，12分]11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X个球该局比赛结束.
(1)求P(X=2);
(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.
【解题思路】(1)“X=2”可以分如下两类:①甲连赢两球;②乙连赢两球.据此求概率即可.(2)“X=4且甲获胜”包含的事件为“前两球甲、乙各得1分,后两球均为甲得分”,据此求概率即可.
【规范解答】(1)“X=2”包含的事件为“甲连赢两球”或“乙连赢两球”. ①
因此P(X=2)=0.5×0.4+(1 - 0.5)×(1 - 0.4)=0.5. ②
(2)“X=4且甲获胜”包含的事件为“前两球甲、乙各得1分,后两球均为甲得分”. ③
因此所求概率为[0.5×(1 - 0.4)+(1 - 0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1. ④
【感悟升华】
阅卷 现场 第(1)问采点
得分说明 得分点

①“X=2”是指“甲连赢两球”或“乙连赢两球”,答对者得2分;
②利用相互独立事件及互斥事件概率计算公式得出结论得4分. ④⑤⑥⑦⑧⑨⑩
6分
第(2)问采点得分说明 ③明确P(X=4)的意义得2 分;
④利用相互独立事件及互斥事件概率计算公式得出结论得4分. 6分
满分 策略 1.常见的概率模型
主要有古典概型、超几何分布、独立重复试验、二项分布、正态分布等.求解的关键是正确辨别题目中的概率模型,只要找出相应的模型,问题便可迎刃而解.
2.概率模型提取的方法
在经历观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程中,常常因对题设条件理解不准确,对某个概念认识不清而误入歧途.如本题中的这两问同学们或因不能正确理解所求事件的基本含义而出错.
3.求解概率模型的注意点
要注意等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系,必要时还应注意放回和不放回试验的区别.
4.概率统计问题的处理思路
概率还时常与统计、统计案例相结合,能够通过各种统计图表提取有用的信息,并会利用最小二乘法求出回归直线方程及利用公式求出K2的观测值是解决问题的关键.
2[2017全国卷Ⅲ, 12分]某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25)内,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温/℃ [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列.
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?
【解题思路】
(1)根据表格提供的数据进行分类求解即可;(2)根据分布列得到关于利润的函数表达式,进而求解最值.
【规范解答】
(1)由题意知,X的所有可能取值为200,300,500, 1分(得分点1)
由表格数据知,
P(X=200)==0.2, 2分(得分点2)
P(X=300)==0.4, 3分(得分点3)
P(X=500)==0.4. 4分(得分点4)
因此X的分布列为
X 200 300 500
P 0.2 0.4 0.4
　 5分(得分点5)
(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200≤n≤500.
当300≤n≤500时,
若最高气温不低于25,则Y=6n - 4n=2n;
若最高气温位于区间 [20,25)内,则Y=6×300+2(n - 300) - 4n=1 200 - 2n;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n - 200) - 4n=800 - 2n.
因此E(Y)=2n×0.4+(1 200 - 2n)×0.4+(800 - 2n)×0.2=640 - 0.4n. 8分(得分点6)
当200≤n<300时,
若最高气温不低于20,则Y=6n - 4n=2n;
若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n - 200) - 4n=800 - 2n. 11分(得分点7)
因此E(Y)=2n×(0.4+0.4)+(800 - 2n)×0.2=160+1.2n.
所以当n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元. 12分(得分点8)
【感悟升华】
素养 探源 素养 考查途径
数据分析 对频数分布表和已知条件中的数据进行分析,找出需要的数据.
数学建模 根据条件构建函数模型进行求解.
数学运算 古典概型的概率计算.
得分 要点 a.得步骤分:抓住得分点的步骤,“步步为赢”.如第(1)问中指出随机变量X的所有可能取值,有则得1分,无则没有分.随机变量X的各个值对应的概率也是每个1分,列出其分布列是1分.每个步骤都有分,都是得分点,第(2)问也是如此.
b.得关键分:解题过程的关键点,有则给分,无则没分.如第(2)问中根据n的范围求E(Y),得出当300≤n≤500时,E(Y)=640 - 0.4n,当200≤n<300时,E(Y)=160+1.2n,若这两个关键运算有误,即使有计算过程和步骤也不得分.
c.得计算分:解题过程中计算正确是得满分的保证,如第(1)问中三个概率值的计算要正确,否则不得分.
答题 模板 1.求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤
第一步:确定随机变量的所有可能取值.
第二步:求每一个可能取值所对应的概率.
第三步:列出离散型随机变量的分布列.
第四步:求均值和方差.
第五步:反思回顾,查看关键点、易错点.
2.概率统计与函数交汇问题的解题步骤
第一步:通读题目,仔细审题,理解题意.
第二步:根据题目所要解决的问题,确定自变量及其取值范围.
第三步:构建函数模型,写出函数的解析式.
第四步:利用函数模型,求解目标函数的最值或最优解.
3[2018全国卷Ⅱ, 12分]图6 - 1是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.
图6 - 1
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:= - 30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t.
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值.
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
【解题思路】
(1)将t=19与t=9分别代入线性回归模型①与②中,可求得2018年的环境基础设施投资额的预测值.(2)根据线性回归模型①与②,并结合已知的折线图进行分析;也可以根据两个线性回归方程对2018年(或附近的其他年份)的环境基础设施投资额进行预报,分析它们与真实值产生的残差,进而分析两个模型的可靠性.
【规范解答】
(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为= - 30.4+13.5×19=226.1(亿元). 2分
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为=99+17.5×9=256.5(亿元). 4分
(2)利用模型②得到的预测值更可靠. 5分
理由如下:
(i)从图6 - 1可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y= - 30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始,环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠. 12分
(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠. 12分
(以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)
【感悟升华】
命题 探源 本题考查的知识点有线性回归模型、折线统计图等,意在考查考生的数据处理能力、运算求解能力、图形识别能力,考查的核心素养是数据分析、数学建模、数学运算等.
素养 探源 素养 考查途径
数据分析 根据题目中的数据明确t,y的含义.
数学建模 线性回归模型的应用.
数学运算 求解预测值.
失分 探源 1.计算失误.如第(1)问中因计算错误而丢分.
2.不善于运用所学的统计知识来分析解决问题,特别是在第(2)问的说明理由过程中不能合理阐述,主要原因是平时学习以及备考中没有应用概率统计知识来分析和解决实际问题的习惯.因此我们应该强化数学应用意识.
第二讲　《变量间的相关关系与统计案例》测试
基础篇
1.[2020南昌市测试]已知一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，…，(x6，y6)，用最小二乘法得到其线性回归方程为=-2x+4，若x1，x2，x3，…，x6的平均数为1，则y1+y2+y3+…+y6= (　　)
A.10 B.12 C.13 D.14
2.[多选题]2019年是中华人民共和国成立七十周年，中华人民共和国成立以来，我国文化事业得到了充分发展，图12-2-1是根据2013年到2018年我国公共图书馆业机构数与对应年份编号绘制的散点图(为便于计算，将2013年编号为1， 2014年编号为2，…，2018年编号为6，把每年的公共图书馆业机构数作为预报变量，把年份编号作为解释变量进行回归分析)，得到的回归直线方程为=13.743x+3 095.7，其相关指数R2=0.981 7，则下列结论正确的是 (　　)
图12-2-1
A.公共图书馆业机构数与年份编号的正相关性较强
B.公共图书馆业机构数平均每年增加13.743
C.可预测2021年公共图书馆业机构数为3 129
D.在2014~2018年间，2016年公共图书馆业机构数增加量最多
3.[2019蓉城名校高三第一次联考]某校高三“数学月”活动记录了4名学生改进数学学习方法后，每天增加学习时间x(单位:分)与月考成绩增加分数y(单位:分)的几组对应数据:
x 3 4 5 6
y 2 4 m 5
根据表中提供的数据，若求出y关于x的线性回归方程为=0.98x-0.46，则表中m的值为 (　　)
A.4 B.4.15 C.4.8 D.4.35
4.[多选题]2018年12月1日，贵阳市地铁1号线全线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况.为了了解市民对地铁1号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如图12-2-2(1)(2)所示的等高条形图:
(1)　　　　　　　　　　　(2)
图12-2-2
根据图中的信息，下列结论中正确的是 (　　)
A.样本中男性比女性更关注地铁1号线全线开通
B.样本中多数女性是35岁及以上
C.样本中35岁以下的男性人数比35岁及以上的女性人数多
D.样本中35岁及以上的人对地铁1号线开通的关注度更高
5.[2020贵州贵阳南明区模拟]2013年以来精准扶贫政策的落实，使我国扶贫工作有了新进展，农村贫困发生率由2012年年底的10.2%下降到2018年年底的1.7%，创造了人类减贫史上的中国奇迹.贫困发生率是指低于贫困线的人口占所统计的全部人口的百分比，2012年年底至2018年年底我国农村贫困发生率的数据如下表所示.
年份t 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
贫困发生率y/% 10.2 8.5 6.2 5.7 4.5 3.1 1.7
(1)从表中所给的7个贫困发生率数据中任选2个，求至少有1个低于5%的概率；
(2)设年份代码x=t-2 015，求出y与x的线性回归方程.
附:回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，(，的值均保留到小数点后三位).
提升篇
6.[2020惠州市一调]某品牌汽车4S店，对该品牌旗下的A型、B型、C型汽车进行维修保养，汽车4S店记录了100辆该品牌三种类型汽车的维修情况，整理得下表:
车型 A型 B型 C型
频数 20 40 40
假设该店采用分层抽样的方法从上述维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机抽取10辆进行问卷回访.
(1)求A型、B型、C型各车型汽车抽取的数量.
(2)维修结束后这100辆汽车的司机采用“100分制”打分的方式表示对4S店的满意度，按照大于等于80分为优秀，小于80分为合格，得到如下列联表:
优秀 合格 合计
男司机 10 38 48
女司机 25 27 52
合计 35 65 100
能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为司机对4S店的满意度与性别有关系?请说明原因.
附:K2=，n=a+b+c+d；
P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
7.[2019山西晋城三模]某机构为了了解不同年龄的人对同一款智能家电的评价，随机选取了50名购买该款智能家电的消费者，让他们根据实际使用体验进行评分.
(1)设消费者的年龄为x，对该款智能家电的评分为y.若根据统计数据，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为=1.2x+40，且年龄x的方差为=14.4，评分y的方差为=22.5.求y与x的相关系数r，并据此判断对该款智能家电的评分与年龄的相关性的强弱.
(2)根据50名消费者的年龄将消费者的年龄所处的阶段划分为“青年”和“中老年”，按一定的标准将评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请判断是否有99%的把握认为对该款智能家电的评价与年龄所处的阶段有关.
好评 差评
青年 8 16
中老年 20 6
附:回归直线x+的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；相关系数r=；
K2=，其中n=a+b+c+d，
P(K2≥k0) 0.05 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
8.[2020吉林长春实验中学测试][新角度题]通常用PM 2.5的值表示空气的污染情况，PM 2.5的值越高，空气污染就越严重，下表是某公园中参加室外锻炼的人数y与PM 2.5的值x的一些数据.
x 110 100 80 60 50
y/人 90 95 100 105 110
(1)请用相关系数r(精确到0.01)说明y与x之间具有什么样的相关关系；
(2)根据上表提供的数据，估计当PM 2.5的值为40时该公园中参加室外锻炼的人数；
(3)将表格中的数据看作五个点的坐标(xj，yj)(j=1，2，…，5)，从这五个点中任意抽取两个点，求这两个点都在圆(x-80)2+(y-90)2=100外的概率.
参考公式:r==；
线性回归方程x+中，，.
参考数据:xiyi=39 200，=34 600，=50 250，≈5.10，≈15.81.
9.[2020河北辛集模拟] [交汇题] 由中央电视台综合频道(CCTV-1)和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课.每期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱.为了了解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A，B两个地区的100名观众，得到如下所示的2×2列联表.
非常喜欢 喜欢 合计
A 30 15
B x y
合计


已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0.35.
(1)现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为“非常喜欢”的A，B地区的人数各是多少?
(2)完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.
(3)若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数为X，求X的分布列和期望.
附:K2=，n=a+b+c+d，
P(K2≥k0) 0.05 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
素养提升6　高考中概率与统计解答题的提分策略
综合篇
1.[12分]如果某企业每月养殖的生猪死亡率不超过百分之一，则该企业考核为优秀.现获得某企业2019年1月到8月的相关数据如下表所示:
月份 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月
月养殖量/千只 3 4 5 6 7 9 10 12
月利润/十万元 3.6 4.1 4.4 5.2 6.2 7.5 7.9 9.1
生猪死亡数/只 29 37 49 53 77 98 126 145
(1)求出月利润y(十万元)关于月养殖量x(千只)的线性回归方程(精确到0.01)；
(2)若2019年9月份该企业月养殖量为1.4万只，请你预估该月月利润是多少万元；
(3)从该企业2019年1月到8月这8个月中任意选取3个月，设X为考核优秀的月数，求随机变量X的分布列和数学期望.
参考数据:=460，xiyi=379.5.
附:线性回归方程x+中，，.
2.[2020石家庄市重点高中高三摸底测试，12分]随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄(单位:岁)的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表.
年龄 [15，25) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) [65，75]
频数 5 10 15 10 5 5
赞成人数 5 10 12 7 2 1
(1)若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；
年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计
赞成


不赞成


合计


(2)若从年龄在[55，65)的被调查人中随机抽取2人进行追踪调查，求这2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率.
参考数据:
P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
K2=，其中n=a+b+c+d.
3.[2020洛阳市第一次联考，12分]“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2019年春节前夕，A市某质量检测部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标值，所得频率分布直方图如图6-1所示:
图6-1
(1)求所抽取的100包速冻水饺的该项质量指标值的样本平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
(2)(i)由频率分布直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，利用该正态分布，求Z落在(14.55，38.45]内的概率；
(ii)将频率视为概率，若某人从该市某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中该项质量指标值位于(10，30]内的包数为X，求X的分布列和数学期望.
附:计算得所抽取的这100包速冻水饺的该项质量指标值的标准差σ=≈11.95.
若ξ~N(μ，σ2)，则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 7，P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954 5.
4.[2020南昌市测试，12分]某“双一流”大学专业奖学金以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金(金额为3 000元)、专业二等奖学金(金额为1 500元)及专业三等奖学金(金额为600元)，且专业奖学金每年评选一次，每个学生一年最多只能获得一项.图6-2是该校2018年500名学生周课外平均学习时间的频率分布直方图，图6-3是这500名学生2018年周课外平均学习时间与获得专业奖学金的频率柱状图.
图6-2 图6-3
(1)求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数.
(2)若周课外平均学习时间超过35 h的学生称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列出2×2列联表并判断是否有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与“努力型”学生有关.
(3)若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2018年获得的专业奖学金金额为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望.
附:
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
K2=，其中n=a+b+c+d.
参考答案与解析
第二讲　变量间的相关关系与统计案例
考点测评
1.B　去掉D(3，10)后，解释变量x与预报变量y的相关性变强，模型拟合效果变好，故残差平方和变小.故选B.
2.BCD　概率只说明事件发生的可能性，在某次试验中不一定发生，所以并不能说明天气预报不科学，故A错误；由题中条件易知BCD正确.故选BCD.
3.C　由题意可知=4x，又=22.5，=160，因此160=22.5×4，故=70，因此=4x+70.当x=24时，=4×24+70=96+70=166.故选C.
4.D　根据题图易得选项A，B，C正确，2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，选项D错误.故选D.
5.BCD　由题意得K2的观测值k=≈4.762>3.841，可得在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“爱好踢毽子与性别有关”，所以A正确，BCD错误.
6.C　由已知可得=3，=1，=0.17， 则=1- 0.17×3=0.49， 所以年生产利润与年份代号的回归直线方程为=0.17x+0.49.当x=8时，=0.17×8+0.49=1.85，故选C.
7.6.5　由题表得=2，=22，由22=29，解得=6.5.
变式练习
1.(1)根据题中散点图可以判断，y=c·dx适宜作为使用扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型.
(2)将y=c·dx两边同时取常用对数，得lg y=lg(c·dx)=lg c+xlg d，设lg y=v，则v=lg c+xlg d.
∵=4，=2.54，=140，
∴lg d==0.25，
把(4，2.54)代入v=lg c+xlg d，得lg c=1.54，
∴=1.54+0.25x，∴=101.54+0.25x=101.54·(100.25)x.
把x=8代入上式，得=101.54+0.25×8=103.54=103×100.54=3 470.
∴y关于x的回归方程为=101.54·(100.25)x，预测活动推出第8天使用扫码支付的人次为3 470.
2.(1)该校共有100名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于130分的占95%，所以语文成绩特别优秀的概率p1=1- 0.95=0.05，故语文成绩特别优秀的学生约有100×0.05=5(人).由题中频率分布直方图可知，数学成绩特别优秀的概率p2=0.002×20=0.04，故数学成绩特别优秀的学生约有100×0.04=4(人).
(2)(i)语文和数学两科都特别优秀的有3人，单科特别优秀的有3人，
记两科都特别优秀的3人分别为A1，A2，A3，单科特别优秀的3人分别为B1，B2，B3，从中随机抽取2人，所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15种.
其中抽取的2人两科成绩都特别优秀的所有可能结果为{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3种.
所以抽取的2人两科成绩都特别优秀的概率P=.
(ii)完成2×2列联表如下:
语文成绩特别优秀 语文成绩不特别优秀 合计
数学成绩特别优秀 3 1 4
数学成绩不特别优秀 2 94 96
合计 5 95 100
因为K2的观测值k=≈42.982>6.635，
所以有99%的把握认为语文成绩特别优秀的同学，数学成绩也特别优秀.
3.(1)=160，=45，
(xi- )2=(140- 160)2+(150- 160)2+(160- 160)2+(170- 160)2+(180- 160)2=1 000，
(xi- )(yi- )=- 20×19- 10×10+0×0- 10×10- 20×19=- 960，
∴==- 0.96，
∴- =45+0.96×160=198.6，
∴y关于x的回归方程为=- 0.96x+198.6.
(2)(i)由(1)知，当x=165时，=- 0.96×165+198.6=40.2≈40，即每台红外线治疗仪的价格为165元时，红外线治疗仪的月销售量为40台.
(ii)药店每月获得的纯收益Q(x)=(- 0.96x+198.6)(x- 120)=- 0.96x2+313.8x- 23 832，
∴当x=≈163时，Q(x)取得最大值，
即要使每月获得最大的纯收益，每台红外线治疗仪的销售价格应定为163元.
4.(1)2×2列联表为
年龄低于50岁的人数 年龄不低于50岁的人数 合计
支持 40 20 60
不支持 20 20 40
合计 60 40 100
K2的观测值k=≈2.778<3.841，
所以没有95%的把握认为年龄低于50岁的人和年龄不低于50岁的人对“新农村建设”政策的支持态度有差异.
(2)由题意可知，ξ可取0，1，2，3，4，且观众支持“新农村建设”的概率为，因此ξ~B(4，)，
所以P(ξ=0)=()4=，
P(ξ=1)=()1()3=，
P(ξ=2)=()2()2=，
P(ξ=3)=()3()1=，
P(ξ=4)=()4=.
ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3 4
P




解法一　所以ξ的数学期望E(ξ)=0×1×2×3×4×.
解法二　所以ξ的数学期望E(ξ)=4×.
基础篇
1.B　回归直线过样本点的中心(，)，因为=1，所以=- 2×1+4=2，所以y1+y2+y3+…+y6=6×2=12.故选B.
2.AB　因为散点图中各点散布在从左下角到右上角的区域内，所以为正相关，因为R2=0.981 7，接近于1，所以公共图书馆业机构数与年份编号的相关性较强，故A正确；因为回归直线的斜率为13.743，所以公共图书馆业机构数平均每年增加13.743，故B正确；将x=9代入回归直线方程=13.743x+3 095.7，解得=3 219.387≈3 219，所以可预测2021年公共图书馆业机构数为3 219，故C错误.由题图可知，在2014~2018年间，2015年公共图书馆机构数增加量最多，故D错误.故选AB.
3.C　根据回归直线过样本点的中心(，)，即(，)，可得=0.98×- 0.46，解得m=4.8.故选C.
4.ABD　设等高条形图对应的2×2列联表如下:
35岁及以上 35岁以下 总计
男性 a c a+c
女性 b d b+d
总计 a+b c+d a+b+c+d
根据题图12- 2- 2(1)可知，35岁及以上男性比35岁及以上女性多，即a>b；35岁以下男性比35岁以下女性多，即c>d.
根据题图12- 2- 2(2)可知，男性中35岁及以上的比35岁以下的多，即a>c；女性中35岁及以上的比35岁以下的多，即b>d.
对于A，男性人数为a+c，女性人数为b+d，因为a>b，c>d，所以a+c>b+d，所以A正确；
对于B，35岁及以上女性人数为b，35岁以下女性人数为d，因为b>d，所以B正确；
对于C，35岁以下男性人数为c，35岁及以上女性人数为b，无法直接判断b与c的大小关系，所以C不一定正确；
对于D，35岁及以上的人数为a+b，35岁以下的人数为c+d，因为a>c，b>d，所以a+b>c+d，所以D正确.故选ABD.
【归纳总结】　解决此类问题时，可以借助2×2列联表进行数据分析，找出数据关系，然后逐一判断即可.
5. (1)记事件A表示“从表中所给的7个贫困发生率数据中任选2个，至少有1个低于5%”，则P(A)=.
(2)由题意可得下表:
年份t 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
年份代码x - 3 - 2 - 1 0 1 2 3
贫困发生率y/% 10.2 8.5 7.2 5.7 4.5 3.1 1.7
由表中数据，计算得×(- 3- 2- 1+0+1+2+3)=0，
×(10.2+8.5+7.2+5.7+4.5+3.1+1.7)=，
xiyi=- 3×10.2- 2×8.5- 1×7.2+0×5.7+1×4.5+2×3.1+3×1.7=- 39，
- 7 2=(- 3)2+(- 2)2+(- 1)2+02+12+22+32- 7×02=28，
所以≈- 1.393，所以- (- 1.393)×0≈5.843.则y关于x的线性回归方程为=- 1.393x+5.843.
提高篇
6.(1)A型、B型、C型汽车抽取的数量分别为×10=2，×10=4，×10=4.
(2)根据题意得，K2的观测值k=≈8.143 1.
因为8.143 1>6.635，
所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为司机对4S店的满意度与性别有关系.
7.(1)由题意得，相关系数r=··=1.2×=0.96.
故对该款智能家电的评分与年龄的相关性较强.
(2)由题意得，K2的观测值k=≈9.624>6.635.
故有99%的把握认为对该款智能家电的评价与年龄所处的阶段有关.
8.(1)×(110+100+80+60+50)=80，×(90+95+100+105+110)=100，
r=
=
=
=
≈- 0.99，
所以y关于x之间具有较强的负相关关系.
(2)≈- 0.31，
=100+0.31×80=124.8.
所以y关于x的线性回归方程为=- 0.31x+124.8.
当x=40时，=- 0.31×40+124.8=112.4≈112.
所以估计当PM 2.5的值为40时该公园中参加室外锻炼的人数为112人.
(3)易知五个点中，只有点(80，100)(记为点A)在圆上，其余四个点(分别记为点B，C，D，E)都在圆外，
所以从这五个点中任意抽取两个点，基本事件有{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10个.
两个点都在圆外包含的基本事件为{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共6个.
所以所求概率P=.
9.(1)由题意得=0.35，解得x=35，
所以应从A地抽取30×=6(人)，从B地抽取35×=7(人).
(2)完成表格如下:
非常喜欢 喜欢 合计
A 30 15 45
B 35 20 55
合计 65 35 100
所以K2的观测值k=≈0.1<3.841，所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.
(3)从A地区随机抽取1人，抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为，
从A地区随机抽取3人，X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X=0)=()3=，
P(X=1)=()1()2=，
P(X=2)=()2()1=，
P(X=3)=()3=.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P



E(X)=0×1×2×3×=2.
素养提升6 高考中概率与统计解答题的提分策略
1.(1)根据参考数据可得≈0.64， (2分)
所以=6- ×7≈1.52， (3分)
故月利润y(十万元)关于月养殖量x(千只)的线性回归方程为=0.64x+1.52.(4分)
(2)若2019年9月份该企业月养殖量为1.4万只，
则此时x=14， (5分)
把x=14代入=0.64x+1.52，得=0.64×14+1.52=10.48， (6分)
所以预估该月月利润是104.8万元. (7分)
(3)由题中数据可知，1月、2月、3月、4月这4个月该企业考核都为优秀，所以X的所有可能取值为0，1，2，3， (8分)
P(X=0)=，
P(X=1)=，
P(X=2)=，
P(X=3)=， (10分)
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P



E(X)=0×1×2×3×. (12分)
2.(1)2×2列联表如下:
年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计
赞成 10 27 37
不赞成 10 3 13
合计 20 30 50
K2的观测值k=≈9.98>7.879.
所以有99.5%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关. (6分)
(2)设年龄在[55，65)中不赞成“使用微信交流”的人分别为A，B，C，
赞成“使用微信交流”的人分别为a，b，则从5人中随机选取2人，有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10种结果， (8分)
其中2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，共9种结果，所以2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率P=. (12分)
3.(1)所抽取的100包速冻水饺的该项质量指标值的平均数为
=5×0.1+15×0.2+25×0.3+35×0.25+45×0.15=26.5. (4分)
(2)(i)∵Z服从正态分布N(μ，σ2)，且μ=26.5，σ≈11.95， (6分)
∴P(14.55(ii)根据题意得X~B(4，)，P(X=0)=()4=；
P(X=1)=()4=；P(X=2)=()4=；
P(X=3)=()4=；P(X=4)=()4=. (10分)
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P




∴E(X)=4×=2. (12分)
4.(1)获得专业三等奖学金的频率为(0.008+0.016+0.04)×5×0.15+(0.04+0.056+0.016)×5×0.4+(0.016+0.008)×5×0.4=0.32，500×0.32=160(人)，
故这500名学生中获得专业三等奖学金的有160人.(3分)
(2)周课外平均学习时间不超过35 h的“非努力型”学生有
500×(0.008+0.016+0.04+0.04+0.056+0.016)×5=440(人)， (4分)
其中获得专业一、二等奖学金的学生有500×(0.008+0.016+0.04)×5×0.05+500×(0.04+0.056+0.016)×5×(0.25+0.05)=92(人).
周课外平均学习时间超过35 h的“努力型”学生有500×(0.016+0.008)×5=60(人)，
其中获得专业一、二等奖学金的学生有60×(0.35+0.25)=36(人). (6分)
所以2×2列联表为
“非努力型”学生 “努力型”学生 总计
获得专业一、二等奖学金 92 36 128
未获得专业一、二等奖学金 348 24 372
总计 440 60 500
(7分)
K2的观测值k=≈42.36>10.828，
故有99.9%的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与“努力型”学生有关. (8分)
(3)X的可能取值为0，600，1 500，3 000.
P(X=600)=0.32，
P(X=1 500)=0.05×(0.008+0.016+0.04)×5+0.25×(0.04+0.056+0.016)×5+0.35×(0.016+0.008)×5=0.198，
P(X=3 000)=0.05×(0.04+0.056+0.016)×5+0.25×(0.016+0.008)×5=0.058，
P(X=0)=1- 0.32- 0.198- 0.058=0.424.所以X的分布列为
X 0 600 1 500 3 000
P 0.424 0.32 0.198 0.058
(11分)
故E(X)=0×0.424+600×0.32+1 500×0.198+3 000×0.058=192+297+174=663. (12分)
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