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第九章　直线和圆的方程
第一讲　直线方程与两直线的位置关系
考点测评
1.[2020山东青岛模拟]已知直线l经过直线l1:x+y=2,l2:2x - y=1的交点,且直线l的一个方向向量v=( - 3,2),则直线l的方程是 (　　)
A.3x - 2y - 1=0 B.3x - 2y+1=0
C.2x+3y - 5=0 D.2x - 3y+1=0
2.[2020浙江台州五校联考]已知直线l过点P(1,1)且与以A(0, - 1),B(3, - 4)为端点的线段相交,则直线l的斜率的取值范围为 (　　)
A.( - ∞, - ] B.[2,+∞) C.[ - ,] D.( - ∞, - ]∪[2,+∞)
3.[2020河南郑州模拟]数学家欧拉在1765年提出:三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心的距离的一半.这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点B( - 1,0),C(0,2),AB=AC,则△ABC的欧拉线方程为 (　　)
A.2x - 4y - 3=0 B.2x+4y+3=0
C.4x - 2y - 3=0 D.2x+4y - 3=0
4.[2016四川高考]设直线l1,l2分别是函数f (x)=图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是 (　　)
A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)
5.[2020四川五校高三联考]过直线x+y=0上一点P作圆(x+1)2+(y - 5)2=2的两条切线l1,l2,A,B为切点,当直线l1,l2关于直线x+y=0对称时,∠APB= (　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
6.[2020贵州遵义四中模拟]过点(2,3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为　　　　.?
7.[双空题]已知直线 l :(λ+2μ)x+(λ-μ)y-4λ-8μ=0交☉O :x2+y2=25于A,B两点,C为l外一动点,且|AC|=2|BC|,则|AB|的最小值为　　　　;当|AB|取最小值时,△ABC面积的最大值为　　　　.?
8.[2017全国卷Ⅰ]设A,B为曲线C:y=上两点,A与B的横坐标之和为4.
(1)求直线AB的斜率;
(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.
知识回顾　　　　　　　　　　　　　　　　　
考法1 求直线的方程
1(1)已知点A(3,4),则经过点A且在两坐标轴上截距相等的直线方程为　　　　.?
(2)已知直线l过点P(3,2),且与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点,如图9 - 1 - 1所示,
当△ABO的面积取最小值时直线l的方程为　　　　.?
【解析】(1)设直线在x轴,y轴上的截距均为a.
①若a=0,即直线过点(0,0)及(3,4).
则直线的方程为y=x,即4x - 3y=0.
②若a≠0,设所求直线的方程为=1,
又点(3,4)在直线上,所以=1,所以a=7.
所以直线的方程为x+y - 7=0.
综上可知所求直线的方程为4x - 3y=0或x+y - 7=0.
(2)解法一　设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直线l的方程为=1. (截距式)
因为l过点P(3,2),所以=1.
因为1=≥2,整理得ab≥24,所以S△ABO=ab≥12.
当且仅当,即a=6,b=4时取等号.
此时直线l的方程是=1,即2x+3y - 12=0.
解法二　依题意知,直线l的斜率k存在且k<0,
可设直线l的方程为y - 2=k(x - 3)(k<0), (点斜式)
则A(3 - ,0),B(0,2 - 3k),
S△ABO=(2 - 3k)(3 - )
=[12+( - 9k)+]
≥[12+2]
=×(12+12)
=12,
当且仅当 - 9k=,即k= - 时,等号成立.
所以所求直线l的方程为2x+3y - 12=0.
变式练习
1.[2020江西省九江市三校联考]已知直线l过点(2,1),且在x,y轴上的截距相等.
(1)求直线l的一般方程;
(2)若直线l在x,y轴上的截距均不为0,点P(a,b)在直线l上,求3a+3b的最小值.
考法2 两直线位置关系的判断及应用
2 (1)已知经过点A( - 2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0, - 1)和点Q(a, - 2a)的直线l2互相垂直,则实数a的值为　　　　.?
(2)已知两直线l1:x+my+6=0,l2:(m - 2)x+3y+2m=0,当m为何值时,直线l1与l2:①平行;②垂直.
【解题思路】
【解析】(1)l1的斜率k1==a.
当a≠0时,l2的斜率k2=.
因为l1⊥l2,
所以k1k2= - 1,即a·= - 1,
解得a=1.
当a=0时,P(0, - 1),Q(0,0),这时直线l2为y轴,A( - 2,0),B(1,0),直线l1为x轴,显然l1⊥l2.
综上可知,实数a的值为1或0.
(2)解法一　当m=0时,l1:x+6=0,l2:2x - 3y=0,l1与l2相交且不垂直.
当m≠0时,l1:y= - x - ,l2:y= - x - .
①l1∥l2? - = - 且 - ≠ - ,解得m= - 1.
所以当m= - 1时,l1∥l2.
②l1⊥l2?( - )·( - )= - 1,解得m=.
所以当m=时,l1⊥l2.
解法二　①若l1∥l2,则
即解得m= - 1.
所以当m= - 1时,l1∥l2.
②若l1⊥l2,则1×(m - 2)+m×3=0,解得m=.
所以当m=时,l1⊥l2.
【点评】对于此类题,根据两直线平行或垂直时满足的条件即可求解,注意讨论直线的斜率是否为零.
变式练习
2.已知直线l的方程为3x+4y-12=0,
(1)求过点(-1,3),且与l平行的直线l'的方程;
(2)求过点(-1,3),且与l垂直的直线l'的方程;
(3)若直线l'与l垂直,且l'与两坐标轴围成的三角形的面积为4,求直线l'的方程.
考法3 两直线的交点与距离问题
3[2020武汉市调研考试]已知直线l经过直线2x+y - 5=0与直线x - 2y=0的交点.
(1)若点A(5,0)到直线l的距离为3,求直线l的方程;
(2)求点A(5,0)到直线l的距离的最大值.
【解题思路】
【解析】(1)易知点A到直线x - 2y=0的距离不等于3,可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y - 5)+λ(x - 2y)=0,即(2+λ)x+(1 - 2λ)y - 5=0.
由题意得=3,即2λ2 - 5λ+2=0,
解得λ=2或λ=.
所以直线l的方程为4x - 3y - 5=0或x=2.
(2)解方程组可得两直线的交点为P(2,1).
过点P作任一直线l,设d为点A到l的距离,则
d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立).
所以dmax=|PA|=.
于是点A(5,0)到直线l的距离的最大值为.
变式练习
3.(1)[2020黑龙江哈尔滨模拟]若直线y= - x+1和x轴、y轴分别交于点A,B,以线段AB为边在第一象限内作等边三角形ABC.若在第一象限内有一点P(m,),使得△ABP和△ABC的面积相等,则m的值为 (　　)
A. B.2 C. D.3
(2)[2019江苏高考]在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是　　　　.?
考法4 对称问题
4已知直线l:2x - 3y+1=0,点A( - 1, - 2).求:
(1)点A关于直线l的对称点A' 的坐标;
(2)直线m:3x - 2y - 6=0关于直线l的对称直线m' 的方程;
(3)直线l关于点A对称的直线l' 的方程.
【解题思路】(1)设A' (x,y),由对称性求出A' 的坐标.
(2)在直线m上任取一点M(2,0),由对称性求出M关于l的对称点M' 的坐标,结合两直线的交点,可求出m' 的方程.
(3)思路一　在l上任取两点P(1,1),N(4,3),由对称性求出P,N关于点A的对称点P',N',可得直线l'的方程.
思路二　在l上任取一点Q(x,y),由对称性求出点Q关于点A的对称点Q',将其坐标代入直线l的方程,可得直线l'的方程.
【解析】(1)设A' (x,y),则解得即A' ( - ,).
(2)在直线m上任取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点必在m'上.
设M关于直线l的对称点为M' (a,b),则
解得即M' (,).
设m与l的交点为N,则由得N(4,3).
又m' 经过点N(4,3),
所以由两点式得直线m' 的方程为9x - 46y+102=0.
(3)解法一　在l:2x - 3y+1=0上任取两点,如P(1,1),N(4,3),则P,N关于点A的对称点P' ,N' 均在直线l' 上.易知P' ( - 3, - 5),N' ( - 6, - 7),由两点式可得l' 的方程为2x - 3y - 9=0.
解法二　设Q(x,y)为l' 上任意一点,则Q(x,y)关于点A( - 1, - 2)的对称点为Q' ( - 2 - x, - 4 - y),
因为点Q' 在直线l上,所以2( - 2 - x) - 3( - 4 - y)+1=0,
即2x - 3y - 9=0.
变式练习
4.[2019豫南九校第四次联考]已知△ABC的一个顶点A(2, - 4),且∠B,∠C的平分线所在直线的方程分别为x+y - 2=0,x - 3y - 6=0,则BC所在直线的方程为　　　　.?
易错 忽略斜率不存在致误
5 [2019河南省中原名校第三次联考]设圆x2+y2 - 2x - 2y - 2=0的圆心为C,直线l过点(0,3),且与圆C交于A,B两点,若|AB|=2 ,则直线l的方程为
A.3x+4y - 12=0或4x - 3y+9=0
B.3x - 4y+12=0或4x+3y+9=0　
C.4x - 3y+9=0或x=0
D.3x+4y - 12=0或x=0
【解题思路】
条件与 目标 条件:①圆的方程;②直线过定点;③直线被圆截得的弦长.
目标:求符合条件的直线的方程.
思路与 方法 思路:求解过定点的直线的方程,分斜率存在和斜率不存在两种情况进行讨论.
方法:待定系数法.
过程与 关键 过程:先讨论直线的斜率不存在是否符合题意,再探究斜率存在时符合条件的斜率的值.
关键:①当直线的斜率不存在时,易知l:x=0,与圆的方程联立,求出交点A,B的坐标,检验|AB|是否符合.
②当直线的斜率存在时,设l的方程为y=kx+3,与圆的方程联立,利用d2=r2 - ()2求得直线l的斜率.
【解析】当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0,由解得或
所以|AB|=2,符合题意.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+3,
由已知可得圆的标准方程为(x - 1)2+(y - 1)2=4,其圆心为C(1,1),半径r=2,
所以圆心C到直线kx - y+3=0的距离d=.
因为d 2=r 2 - ()2,
所以=4 - ()2,即(k+2)2=k2+1,解得k= - ,
所以直线l的方程为y= - x+3,即3x+4y - 12=0.
综上,满足题意的直线l的方程为x=0或3x+4y - 12=0.故选D.
【答案】D
变式练习
5.[2019惠州市高三调研]过点A(3,5)作圆O:x2+y2 - 2x - 4y+1=0的切线,则切线的方程为　 .?
第一讲　《直线方程与两直线的位置关系》测试
基础篇
1.[2020江西模拟]“m=4”是“直线mx+(3m-4)y+3=0与直线2x+my+3=0平行”的 (　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.[2020甘肃省模拟]已知直线l1:xsin α+y-1=0，直线l2:x-3ycos α+1=0，若l1⊥l2，则sin 2α= (　　)
A. B.- C. D.-
3.[2019安徽省黄山市八校联考]“a<-1”是“直线ax+y-1=0的倾斜角大于”的 (　　)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.[2019安徽四校联考]已知坐标原点关于直线l1:x-y+1=0的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，-1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为 (　　)
A.2x+3y+5=0 B.3x-2y+5=0
C.3x+2y+5=0 D.2x-3y+5=0
5.[2019河北廊坊省级示范高中联考]已知直线l1:ax+by+1=0与直线l2:2x+y-1=0互相垂直，且l1经过点(-1，0)，则b=　　　　.?
6.若三条直线y=2x，x+y=3，mx+ny+5=0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为　　　　.?
提升篇
7.[2020贵阳市高三摸底测试]已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x-3y+11=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为 (　　)
A.3 B.4 C. D.
8.[2020皖江名校第一次联考]过原点O作直线l:(2m+n)x+(m-n)y-2m+2n=0的垂线，垂足为P，则点P到直线x-y+3=0的距离的最大值为 (　　)
A.+1 B.+2 C.2+1 D.2+2
9.[2019山东日照校际联考]过点P(1，1)的直线l将圆x2+y2=4分为两部分，设分成的两部分的面积分别为S1，S2，当|S1-S2|最大时，直线l的方程是 (　　)
A.x+y-2=0 B.x+y+2=0
C.x-y-2=0 D.x+y-1=0
10.[2019安徽十校高三摸底考试]已知直线l过点(3，0)且不与x轴垂直，圆C:x2+y2-2y=0，若直线l上存在一点M，使OM交圆C于点N，且，其中O为坐标原点，则直线l的斜率的最小值为 (　　)
A.-1 B.- C.- D.-
11.[2019辽宁五校联考]已知e是自然对数的底数，函数f(x)=(x-1)ex+3e的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则直线l的横截距为　　　　.?
12.[2019豫南九校第一次联考]若点P是函数f(x)=ex-e-x-3x图象上任意一点.
(1)设在点P处切线的倾斜角为α，求α的取值范围；
(2)求在点P(ln 2， f(ln 2))处的切线方程.
参考答案与解析
第一讲　直线方程与两直线的位置关系
考点测评
1.C　解方程组得即直线l1，l2的交点为(1，1).因为直线l的一个方向向量v=(- 3，2)，所以直线l的斜率k=- ，则直线l的方程为y- 1=- (x- 1)，即2x+3y- 5=0.故选C.
2.D　直线AP的斜率k1==2，直线BP的斜率k2==- .设直线l与线段AB交于点M，当直线l的倾斜角为锐角时，随着M从点A向点B移动的过程中，l的倾斜角变大，l的斜率也变大，此时l的斜率k≥2；当直线l的倾斜角为钝角时，随着l的倾斜角变大，l的斜率从负无穷增大到直线BP的斜率，此时l的斜率k≤- ；直线PM平行于y轴时，斜率不存在.综上所述，直线l的斜率的取值范围为(- ∞，- ]∪[2，+∞).故选D.
3.D　易知线段BC的中点坐标为(- ，1)，线段BC所在直线的斜率kBC==2，则线段BC的垂直平分线的方程为y- 1=- (x)，即2x+4y- 3=0.因为AB=AC，所以△ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上，即△ABC的欧拉线方程为2x+4y- 3=0.故选D.
4.A　不妨设P1(x1，ln x1)，P2(x2，- ln x2)，P(xP，yP)，由于l1⊥l2，所以×(- )=- 1，则x1=.又切线l1:y- ln x1=(x- x1)，l2:y+ln x2=- (x- x2)，于是A(0，ln x1- 1)，B(0，1+ln x1)，所以|AB|=2.由解得xP=，所以S△PAB=×2×xP=，因为x1>1，所以x1>2，所以S△PAB的取值范围是(0，1)，故选A.
5.C　解法一　如图D 9- 1- 1，设圆(x+1)2+(y- 5)2=2的圆心为C，则C(- 1，5)，则点C不在直线y=- x上，要满足l1，l2关于直线y=- x对称，则PC必然垂直于直线y=- x，所以线段PC所在直线的斜率kPC=1，则线段PC所在的直线l:y- 5=x+1，即y=x+6，与y=- x联立，得P(- 3，3).
所以|PC|==2，设∠APC=α，则∠APB=2α，在△APC中，sin α=，故α=30°，所以∠APB=2α=60°.故选C.
图D 9- 1- 1
解法二　如图D 9- 1- 1，设圆(x+1)2+(y- 5)2=2的圆心为C，则C(- 1，5)，则点C不在直线y=- x上，要满足l1，l2关于直线y=- x对称，则PC必然垂直于直线y=- x，所以|PC|==2，易知圆的半径r=，sin∠APC=，则∠APC=30°，所以∠APB=60°.故选C.
6.3x- 2y=0或x- y+1=0　 当直线过原点时，直线的斜率为k=，此时直线方程为y=x，即3x- 2y=0.当直线不过原点时，设直线方程为=1，把(2，3)代入可得a=- 1，此时直线方程为x- y+1=0.故填3x- 2y=0或x- y+1=0.
7.6　12　由(λ+2μ)x+(λ- μ)y- 4λ- 8μ=0，得λ(x+y- 4)+μ(2x- y- 8)=0，则解得所以直线(λ+2μ)x+(λ- μ)y- 4λ- 8μ=0经过定点M(4，0)，若|AB|取最小值，则OM⊥AB，此时|AB|=2=6.
解法一　设A(4，3)，B(4，- 3)，C(x，y)，由|AC|=2|BC|，可得=2，化简得点C的轨迹方程为(x- 4)2+(y+5)2=16，则点C的轨迹是圆心为(4，- 5)，半径为4的圆，易知圆心(4，- 5)在直线AB上，因而C点到直线AB的最大距离为4，故△ABC面积的最大值为×6×4=12.
解法二　设|BC|=x，则|AC|=2x，在△ABC中，由余弦定理知36=x2+(2x)2- 2·x·2x·cos∠ACB，得x2=，从而S△ABC=x·2x·sin∠ACB==- 9×，其中可以看成单位圆上的点(cos∠ACB，sin∠ACB)与点(，0)的连线所在直线的斜率，易知当过点(，0)的直线与单位圆在第一象限相切时，斜率取得最小值，可求得斜率的最小值为- ，所以△ABC面积的最大值为- 9×(- )=12.
8.(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1=，y2=，x1+x2=4，
于是直线AB的斜率k==1.
(2)由y=，得y' =.设M(x3，y3)，由题设及(1)知=1，
解得x3=2，于是M(2，1).
设直线AB的方程为y=x+m，则线段AB的中点为N(2，2+m)，|MN|=|m+1|.
将y=x+m代入y=得x2- 4x- 4m=0.
Δ=16(m+1)>0，则m>- 1，
解得x1=2+2，x2=2- 2.
从而|AB|=|x1- x2|=4.
由题设知|AB|=2|MN|，即4=2(m+1)，解得m=7.
所以直线AB的方程为y=x+7.
变式练习
1.(1)①当直线l在x轴，y轴上的截距均为0时，直线l的斜率为k=，
所以直线l的方程为y=x，化为一般方程为x- 2y=0.
②当直线l在x轴，y轴上的截距均不为0时，设直线l的方程为=1，将(2，1)代入，得=1，解得t=3，
此时直线l的一般方程为x+y- 3=0.
综上，直线l的一般方程为x- 2y=0或x+y- 3=0.
(2)由题意得，直线l的方程为x+y- 3=0，则a+b=3.
所以3a+3b≥2=2=6，当且仅当a=b=时等号成立.
所以3a+3b的最小值为6.
2.(1)解法一　直线l的方程可化为y=- x+3，可知l的斜率为- ，
因为l'与l平行，所以直线l'的斜率为- .
又l'过点(- 1，3)，所以由点斜式得直线l'的方程为y- 3=- (x+1)，即3x+4y- 9=0.
解法二　由l'与l平行，可设l'的方程为3x+4y+m=0(m≠- 12)，
将(- 1，3)代入，得m=- 9，
于是所求直线方程为3x+4y- 9=0.
(2)解法一　直线l的方程可化为y=- x+3，可知l的斜率为- ，
因为l'与l垂直，所以直线l'的斜率为.
又l'过点(- 1，3)，所以由点斜式得直线方程为y- 3=(x+1)，
即4x- 3y+13=0.
解法二　由l'与l垂直，可设l'的方程为4x- 3y+n=0，
将(- 1，3)代入，得n=13，
于是所求直线方程为4x- 3y+13=0.
(3)解法一　直线l的方程可化为y=- x+3，可知l的斜率为- ，
因为l'⊥l，所以直线l'的斜率为.
设l'在y轴上的截距为b，则直线l'的方程为y=x+b，l'在x轴上的截距为- b，
由题意可知，l'与两坐标轴围成的三角形的面积S=·|b|·|- b|=4，解得b=±.
所以直线l'的方程为y=x或y=x- ，
即4x- 3y+4=0或4x- 3y- 4=0.
解法二　由l'与l垂直，可设直线l'的方程为4x- 3y+p=0，
则l'在x轴上的截距为- ，在y轴上的截距为.
由题意可知，l'与两坐标轴围成的三角形的面积S=·||·|- |=4，求得p=±4.
所以直线l'的方程为4x- 3y+4=0或4x- 3y- 4=0.
3.(1)C　 过点C作直线l，使l∥AB，则点P在直线l上.由题意易知，A(，0)，B(0，1)，则|AB|=2，所以点C到直线AB的距离d=.直线AB的方程可化为x+3y- 3=0，由△ABP和△ABC的面积相等，可知点P到直线AB的距离等于点C到直线AB的距离，即，解得m=- 或m=.因为点P在第一象限，所以m=.故选C.
(2)4　 解法一 　设P(x，x)，x>0，则点P到直线x+y=0的距离d=≥=4，当且仅当2x=，即x=时取等号，故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.
解法二 　由y=x(x>0)得y'=1- ，令1- =- 1，得x=，则当点P的坐标为(，3)时，点P到直线x+y=0的距离最小，最小值为=4.
4.x+7y- 6=0　 由角平分线的性质知，点A关于∠B，∠C的平分线所在直线的对称点均在直线BC上.
设点A(2，- 4)关于直线x- 3y- 6=0的对称点为A1(x1，y1)，则有解得即A1(，).
同理可得，点A(2，- 4)关于直线x+y- 2=0的对称点A2的坐标为(6，0).
所以直线A1A2的方程为y=(x- 6)，即x+7y- 6=0.
所以BC所在直线的方程为x+7y- 6=0.
5.5x- 12y+45=0或x- 3=0　圆O的标准方程为(x- 1)2+(y- 2)2=4，其圆心为(1，2).∵|OA|=>2，∴点A(3，5)在圆外.当切线的斜率不存在时，直线x=3与圆相切，即切线方程为x- 3=0；当切线的斜率存在时，可设所求切线方程为y- 5=k(x- 3)，即kx- y+5- 3k=0.又圆心为(1，2)，半径r=2，而圆心到切线的距离d==2，即|3- 2k|=2，∴k=，即切线方程为5x- 12y+45=0.综上可知，所求切线的方程为5x- 12y+45=0或x- 3=0.
基础篇
1.C　由m=4，易得直线4x+8y+3=0与直线2x+4y+3=0平行；由直线mx+(3m- 4)y+3=0与直线2x+my+3=0平行，得，解得m=2或m=4，经检验，当m=2时，直线2x+2y+3=0与直线2x+2y+3=0重合，故m=4，所以“m=4”是“直线mx+(3m- 4)y+3=0与直线2x+my+3=0平行”的充要条件，故选C.
2.A　因为l1⊥l2，所以sin α- 3cos α=0，所以tan α=3，所以sin 2α=2sin αcos α=.故选A.
3.A　设直线ax+y- 1=0的倾斜角为θ，则tan θ=- a.
∵直线ax+y- 1=0的倾斜角大于，
∴- a>1或- a<0，解得a<- 1或a>0.
∴“a<- 1”是“直线ax+y- 1=0的倾斜角大于”的充分而不必要条件.故选A.
4.B　设点A(x0，y0)，依题意可得解得即A(- 1，1).设点B(2，- 1)到直线l2的距离为d，则当d=|AB|时d取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB.所以直线l2的斜率k=- ，所以直线l2的方程为y- 1=(x+1)，即3x- 2y+5=0.故选B.
5.- 2　因为l1⊥l2，所以2a+b=0，又- a+1=0，所以b=- 2.
6.　由解得把点(1，2)代入mx+ny+5=0可得m+2n+5=0，∴m=- 5- 2n.∴点(m，n)到原点的距离d=≥，当且仅当n=- 2，m=- 1时取等号，
∴点(m，n)到原点的距离的最小值为.
提升篇
7.A　∵点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，∴过焦点F作直线4x- 3y+11=0的垂线，则点F到直线4x- 3y+11=0的距离为d1+d2的最小值，易知F(1，0)，∴(d1+d2)min==3.
8.A　将(2m+n)x+(m- n)y- 2m+2n=0整理，得(2x+y- 2)m+(x- y+2)n=0.由题意得解得可知直线l过定点Q(0，2).由题意知点O与点P重合或直线OP⊥l，所以点P的轨迹是以OQ为直径的圆，圆心为(0，1)，半径为1.因为圆心(0，1)到直线x- y+3=0的距离d=，所以点P到直线x- y+3=0的距离的最大值为1.故选A.
9.A　数形结合可知当直线l与圆心(0，0)和点P的连线垂直时，|S1- S2|最大.易知圆心与点P的连线的斜率为1，所以直线l的方程为x+y- 2=0. 故选A.
10.B　设点M(x，y)，由，得N(，)，又点N(，)在圆C上，则()2+()2- 2·=0，即x2+y2- 6y=0.设直线l的方程为y=k(x- 3)，∵点M在直线l上，∴直线l与曲线x2+y2- 6y=0有交点，
∴≤3，解得- ≤k≤0，则直线l的斜率的最小值为- ，故选B.
11.- 2　因为f ' (x)=ex+(x- 1)ex=xex，所以切线l的斜率为f ' (1)=e，由f(1)=3e知切点坐标为(1，3e)，所以切线l的方程为y- 3e=e(x- 1).令y=0，解得x=- 2，故直线l的横截距为- 2.
12.(1)由导数的几何意义可知，函数y=f(x)=ex- e- x- 3x图象上任意一点P处切线的斜率等于该点的导函数值，而y'=ex+e- x- 3≥2- 3=- 1，当且仅当x=0时等号成立，即tan α≥- 1.因为α∈[0，π)，所以倾斜角α的取值范围为[0，)∪[，π).
(2)由(1)知y'=ex+e- x- 3，所以在点P(ln 2， f(ln 2))处的切线斜率k=eln 2+e- ln 2- 3=- .
又f(ln 2)=eln 2- e- ln 2- 3ln 2=- 3ln 2=(1- 2ln 2)，
所以由点斜式得在点P处的切线方程为y - (1- 2ln 2)=- (x- ln 2)，即x+2y- 3+5ln 2=0.
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