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第九章 直线和圆的方程
第二讲　圆的方程及直线、圆的位置关系
考点测评
1.[2020四川省高三诊断性考试(三)]A,B是☉O :x2+y2=1上两个动点,且∠AOB=120°,A,B到直线l :3x+4y - 10=0的距离分别为d1,d2,则d1+d2的最大值为 (　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
2.[2018全国卷Ⅲ]直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x - 2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是 (　　)
A.[2,6] B.[4,8] C.[,3] D.[2,3]
3.[多选题]已知圆C过点M(1,-2),且与两坐标轴均相切,则下列叙述正确的是 (　　)
A.满足条件的圆C的圆心在一条直线上
B.满足条件的圆C有且只有一个
C.点(2,-1)在满足条件的圆C上
D.满足条件的圆C有且只有两个,它们的圆心距为4
4.[2016全国卷Ⅲ]已知直线l:mx+y+3m - =0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD |=　　　　.?
5.[2019北京高考]设抛物线y2=4x的焦点为F ,准线为l.则以F 为圆心,且与l相切的圆的方程为　　　　　　　.?
6.[2019浙江高考]已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x - y+3=0与圆C相切于点A( - 2, - 1),则
m=　　　　,r=　　　　.?
7.[2020南京模拟]在平面直角坐标系xOy中,已知圆M :(x - a)2+(y - 2a)2=4,圆N :(x - 2)2+(y+1)2=4,若圆M上存在一点P,使得以点P为圆心,1为半径的圆与圆N有公共点,则实数a的取值范围为　　　　.?
8.[2018全国卷Ⅱ]设抛物线C:y2=4x的焦点为F ,过F 且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.
(1)求l的方程;
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
知识回顾
考法1 求圆的方程
1 [2018天津高考]在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为　　　　　　　　.?
【解题思路】设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F =0(D2+E2 - 4F >0),分别将三点的坐标代入圆的方程,求出D,E,F 即可;或者设圆的标准方程为(x - a)2+(y - b)2=r2,分别将三点的坐标代入圆的方程,求出a,b,r即可;或者通过已知条件及圆的几何性质求出圆的基本量.
【解析】 解法一　(待定系数法)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F =0(D2+E2 - 4F >0),则解得即圆的方程为x2+y2 - 2x=0.
解法二　(待定系数法)设圆的方程为(x - a)2+(y - b)2=r2,则
由① - ③,得a=1,代入②,得(1 - b)2=r2,结合①,得b=0,所以r2=1,故圆的方程为(x - 1)2+y2=1,即x2+y2 - 2x=0.
解法三　(几何法)记A(0,0),B(2,0),C(1,1),连接AB,由圆过点A(0,0),B(2,0)知,AB的垂直平分线x=1必过圆心.连接BC,又圆过点C(1,1),BC的中点为(,),BC所在直线的斜率kBC= - 1,所以BC的垂直平分线为直线y=x - 1,联立,得解得圆心的坐标为(1,0),半径为1,故圆的方程为(x - 1)2+y2=1,即x2+y2 - 2x=0.
变式练习
1.[2017全国卷Ⅲ]已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.
(1)证明:坐标原点O在圆M上;
(2)设圆M过点P(4, - 2),求直线l与圆M的方程.
考法2 与圆有关的最值问题
2、已知实数x,y满足方程x2+y2 - 4x+1=0.
(1)则的最大值和最小值分别为　　　　和　　　　;?
(2)则y - x的最大值和最小值分别为　　　　和　　　　;?
(3)则x2+y2的最大值和最小值分别为　　　　和　　　　.?
【解题思路】
条件与 目标 条件:已知圆的方程.
目标:(1)求的最大值和最小值.
(2)求y - x的最大值和最小值.
(3)求x2+y2的最大值和最小值.
思路与 方法 思路:寻找目标式的几何意义,将最值问题转化成直线与圆的位置关系问题.
方法:几何性质法.
过程与 关键 过程:将目标函数的几何意义与圆的几何图形对应,从几何直观中得到最值的求解.
关键:①直线与圆相切时,观察直线的斜率(或截距)的变化.
②观察圆上的点与坐标原点的距离.
③利用几何形求解最值问题.
【解析】(1)(斜率型)原方程可化为(x - 2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,为半径的圆,的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设=k,即y=kx.
当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时,解得k=±.
所以的最大值为,最小值为 - .
(2)(截距型)　y - x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时,解得b= - 2±.
所以y - x的最大值为 - 2+,最小值为 - 2 - .
(3)(距离型)　x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.
又圆心到原点的距离为=2,
所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4,
x2+y2的最小值是(2 - )2=7 - 4.
3 [2019厦门模拟]设点P(x,y)是圆:x2+(y - 3)2=1上的动点,定点A(2,0),B( - 2,0),则·的最大值为　　　　.?
【解析】由题意,知=(2 - x, - y),=( - 2 - x, - y),
所以·=x2+y2 - 4.
由于点P(x,y)是圆上的点,故其坐标满足方程x2+(y - 3)2=1,故x2= - (y - 3)2+1,所以·= - (y - 3)2+1+y2 - 4=6y - 12.
由题意易知2≤y≤4,所以当y=4时,·的值最大,最大值为6×4 - 12=12.
变式练习
2.已知A(0,2),点P在直线x+y+2=0上,点Q在圆C:x2+y2 - 4x - 2y=0上,则|PA|+|PQ|的最小值是　　　　.?
考法3 直线与圆的位置关系
4 直线l :mx - y+1 - m=0与圆C :x2+(y - 1)2=5的位置关系是
A.相交　　　B.相切　　　C.相离　　　D.不确定
【解题思路】
思路一:将直线方程与圆的方程联立→研究一元二次方程的判别式
思路二:计算圆心到直线的距离d→比较d与圆的半径的大小
思路三:直线l过定点(1,1)→判断定点与圆的位置关系
【解析】解法一　(代数法)由消去y,整理得(1+m2)x2 - 2m2x+m2 - 5=0,
因为Δ=16m2+20>0,所以直线l与圆相交.
解法二　(几何法)由题意知,圆心(0,1)到直线l的距离d=1,故直线l与圆相交.
解法三　(点与圆的位置关系法)直线l:mx - y+1 - m=0过定点(1,1),因为点(1,1)在圆x2+(y - 1)2=5的内部,所以直线l与圆相交.
【答案】A
【点评】判断直线与圆的位置关系时,通常利用圆心到直线的距离,注意求距离时直线方程必须化成一般式.
变式练习
3.已知直线l :x+2y - 3=0与圆C:x2+y2+x - 6y+m=0,若直线l与圆C无公共点,则m的取值范围是 (　　)
A.(1,8)　　B.(8,)　　C.(1,37)　　D.(8,+∞)
考法3 圆与圆的位置关系
5、分别求当实数k为何值时,圆C1:x2+y2+4x - 6y+12=0与圆C2:x2+y2 - 2x - 14y+k=0相交和相切.
【解题思路】
确定两圆的圆心和半径利用两圆的位置关系及C2对k的限制确定关系式求解参数的值或取值范围
【解析】将两圆的一般方程化为标准方程,得圆C1:(x+2)2+(y - 3)2=1,圆C2:(x - 1)2+(y - 7)2=50 - k,
则圆C1的圆心为C1( - 2,3),半径r1=1;
圆C2的圆心为C2(1,7),半径r2=,k<50.
从而|C1C2|==5.
当| - 1|<5+1,即46,即14当1+=5,即k=34时,两圆外切;当| - 1|=5,即k=14时,两圆内切.
所以当k=14或k=34时,两圆相切.
变式练习
4.[2019江苏泰州模拟(三)]在平面直角坐标系xOy中,过圆C1:(x - k)2+(y+k - 4)2=1上任意一点P作圆C2:x2+y2=1的一条切线,切点为Q,则当|PQ|最小时,k=　　　　.?
考法5 圆的弦长问题
6 [2020湖北部分重点中学高三测试]已知直线l:mx+y+3m+=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,若|AB|=2,则实数m的值为　　　　.?
【解析】解法一　因为圆x2+y2=12的圆心坐标为(0,0),半径r=2,所以圆心到直线l的距离d=,
所以|AB|=2=2,即(2)2 - ()2=3,
解得m=.
解法二　联立得消去y得(1+m2)x2+(6m2+2m)x+9m2+6m - 9=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=,
x1x2=.因为|AB|=2,所以·=2,解得m=.
7 [2017全国卷Ⅲ]在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx - 2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:
(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由.
(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
【解题思路】 (1)利用设而不求法,借助向量的方法推证≠0,进而得出不会出现AC⊥BC的情况.
(2)思路一:先由条件求得过A,B,C三点的圆的方程,再令x=0求得圆与y轴的交点坐标,最后可证得“过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值”.
思路二:利用平面几何中的相交弦定理求解.
【解析】(1)不能出现AC⊥BC的情况,理由如下:
设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2是方程x2+mx - 2=0的两根,所以x1x2= - 2,又点C的坐标为(0,1),则·=( - x1,1)·( - x2,1)=x1x2+1=
- 2+1= - 1≠0,所以不能出现AC⊥BC的情况.
(2)解法一　由题意知,过A,B,C三点的圆的圆心必在线段AB的垂直平分线上.设圆心E(x0,y0),则x0=,由(1)可得x1+x2= - m,所以x0= - .由|EA|=|EC|,得( - x1)2+=()2+(y0 - 1)2,化简得y0== - ,所以圆E的方程为(x+)2+(y+)2=( - )2+
( - - 1)2.令x=0,得y1=1,y2= - 2,所以过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为1 - ( - 2)=3,即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
解法二　设过A,B,C三点的圆与y轴的另一个交点为D,由x1x2= - 2可知原点O在圆内,则由相交弦定理可得|OC|·|OD|=|OA|·|OB|=|x1|·|x2|=2. ………………………
(利用相交弦定理:若圆O的两条弦AB,CD交于一点P,则|PA|·|PB|=|PC|·|PD|)
又|OC|=1,所以|OD|=2,所以过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为|OC|+|OD|=3,为定值.
变式练习
5.求两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=0的公共弦所在直线的方程为　　　　,公共弦长为　　　　.?
考法6 圆的切线问题
8 (1)[2015重庆高考]已知直线l:x+ay - 1=0(a∈R)是圆C:x2+y2 - 4x - 2y+1=0的对称轴.过点A( - 4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=
A.2　　　　　　　B.4 C.6 D.2
(2)[2020河北冀州中学模拟]已知圆C:x2+y2 - 2x - 4y+3=0.
①若圆C的一条切线在x轴和y轴上的截距相等,则此切线的方程为　　　　;?
②从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,则|PM|的最小值为　　　　.?
【解题思路】
(1)由题意可得圆C的标准方程,圆C的圆心坐标为(2,1),半径为2→由直线l是圆C的对称轴,求出a→连接AC,BC,则有|AB|2=|AC|2 - |BC|2,代入求出|AB|
(2)①直线在两坐标轴上的截距为零及直线与圆相切→直线在两坐标轴上的截距不为零及直线与圆相切→求出k值即得切线方程

【解析】(1)由题意得圆C的标准方程为(x - 2)2+(y - 1)2=4,所以圆C的圆心坐标为(2,1),半径为2.因为直线l为圆C的对称轴,所以圆心在直线l上,则2+a - 1=0,解得a= - 1.连接AC,BC,所以|AB|2=|AC|2 - |BC|2=( - 4 - 2)2+( - 1 - 1)2 - 4=36,所以|AB|=6,故选C.
(2)①圆C的方程可化为(x - 1)2+(y - 2)2=2,
当直线在两坐标轴上的截距为零时,设直线方程为y=kx(k≠0),由直线与圆相切,得,解得k= - 2±.
所以切线方程为y=( - 2+)x或y=( - 2 - )x.
当直线在两坐标轴上的截距不为零时,设直线方程为x+y - a=0,
由直线与圆相切,得,解得a=1或a=5.
所以切线方程为x+y - 1=0或x+y - 5=0.
综上所述,所求的切线方程为y=( - 2+)x或y=( - 2 - )x或x+y - 1=0或x+y - 5=0.
②由|PM|=|PO|,得 - 2=,
整理得2x1+4y1 - 3=0,即点P在直线l:2x+4y - 3=0上.
又|PM|=,要使|PM|取得最小值,只需|CP|取得最小值即可,
记圆心C(1,2)到直线l :2x+4y - 3=0的距离为d,可知d≤|CP|,当且仅当d=|CP|时,|CP|取得最小值.
因为d=,所以|PM|min=.
变式练习
6.(1)[2015山东高考]一条光线从点( - 2, - 3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y - 2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为 (　　)
A. - 或 - 　　　　　　B. - 或 - C. - 或 - D. - 或 -
(2)[2020山东省济南市历城二中模拟]已知圆C:x2+(y - 3)2=4,直线l过点A( - 1,0),过直线l上的点P引圆C的两条切线,若切线长的最小值为2,则直线l的斜率k为　　　　.?
数学文化　圆与数学文化
9 [2020云师大附中高三模拟]阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P满足,则PA2+PB2的最小值为
A.36 - 24 　　　B.48 - 24 　　　C.36 　　　D.24
【解题思路】
由=求出点P的轨迹方程→建立|PA|2+|PB|2的目标函数→利用函数法求最小值
【解析】以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,
则A( - 1,0),B(1,0).
设P(x,y),因为,所以,
两边平方并整理,得x2+y2 - 6x+1=0,即(x - 3)2+y2=8.
所以点P的轨迹是以(3,0)为圆心,2为半径的圆,则|PA|2+|PB|2=(x+1)2+y2+(x - 1)2+y2=2(x2+y2)+2.
解法一 因为x2+y2 - 6x+1=0,所以|PA|2+|PB|2=2(x2+6x - 1 - x2)+2=12x.
由y2=8 - (x - 3)2≥0,得3 - 2≤x≤3+2,
所以36 - 24≤12x≤36+24,
由此可知PA2+PB2的最小值为36 - 24.
解法二　由(x-3)2+y2=8,可设(θ∈[0,2π)),
则|PA|2+|PB|2=2(x2+y2)+2=2[(2cos θ+3)2+(2sin θ)2]+2=24cos θ+36.
因为θ∈[0,2π),所以-1≤cos θ≤1,所以36-24≤24cos θ+36≤36+24,
由此可知|PA|2+|PB|2的最小值为36-24.
【答案】A
变式练习
7.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书,其中阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,即已知动点M与两定点A,B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知圆O:x2+y2=1上的动点M和定点A( - ,0),B(1,1),则2|MA|+|MB|的最小值为 (　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
第二讲　《圆的方程及直线、圆的位置关系》测试
基础篇
1.[2020贵阳市高三摸底测试]“m=”是“直线x-my+4m-2=0与圆x2+y2=4相切”的 (　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.[2020湖北武汉部分学校测试]已知A(-1，0)，B(1，0)两点以及圆C:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0)，若圆C上存在点P，满足·=0，则r的取值范围是 (　　)
A.[3，6] B.[3，5] C.[4，5] D.[4，6]
3.[2019陕西四校联考]直线ax-by=0与圆x2+y2-ax+by=0的位置关系是 (　　)
A.相交 B.相切C.相离 D.不能确定
4.[2019开封高三模拟]已知圆(x-2)2+y2=9，则过点M(1，2)的最长弦与最短弦的长之和为 (　　)
A.4 B.6 C.8 D.10
5.[2019浙江名校第四次联考]设圆x2+y2-2x-3=0截x轴和y轴所得的弦分别为AB和CD，则四边形ACBD的面积是 (　　)
A.8 B.4 C.8 D.4
6.[原创题]已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0，若点A，B在圆C上，满足|AB|=2，且AB的中点M在直线2x+y+k=0上，则实数k的取值范围是 (　　)
A.[-2，2] B.[-5，5] C.(-，) D.[-，]
7.[2019河北省衡水中学高三调考]若圆x2+y2-ax+2y+1=0和圆x2+y2=1关于直线y=x-1对称，过点C(-a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程是 (　　)
A.y2-4x+4y+8=0 B.y2+2x-2y+2=0
C.y2+4x-4y+8=0 D.y2-2x-y+1=0
8.已知圆C的圆心在y轴上，点M(3，0)在圆C上，且直线2x-y-1=0经过线段CM的中点，则圆C的标准方程是 (　　)
A.x2+(y-3)2=18 B.x2+(y+3)2=18
C.x2+(y-4)2=25 D.x2+(y+4)2=25
9.[2019合肥高三第三次质检]已知直线l:x-y-a=0与圆C:(x-3)2+(y+)2=4交于点M，N，点P在圆C上，且∠MPN=，则a的值为(　　)
A.2或10 B.4或8 C.6±2 D.6±2
10.[2020湖北孝感模拟]在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，0)，B(3，0)，C(0，a)，D(0，a+2).若存在点P，使|PA|=|PB|，|PC|=|PD|，则实数a的取值范围是　　　　.?
11.[2020山东省质检]过直线x+y+1=0上一点P作圆C:x2+y2-4x-2y+4=0的两条切线，切点分别为A，B，若四边形PACB的面积为3，则点P的横坐标为　　　　.?
12.[2019长春市第二次质量监测]若直线l :y=x+2与圆C:x2+y2=4相交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为　　　　.?
13.[2019江苏无锡一中模拟]直线l的斜率为2，它被圆x2+y2=80截得的弦长小于10，则l在y轴上的截距的取值范围是　　　　.?
14.[2019湖南省岳阳市第一中学高三二检]若函数f(x)=-eax(a>0，b>0)的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是　　　　.?
15.[2019河北省衡水中学高三模拟]已知圆C经过原点O(0，0)且与直线y=2x-8相切于点P(4，0).
(1)求圆C的方程.
(2)在圆C上是否存在两个点M，N关于直线y=kx-1对称，且以线段MN为直径的圆经过原点?若存在，写出直线MN的方程；若不存在，请说明理由.
提升篇
16.[2020江西九江模拟]已知两个不相等的实数a，b满足关系式b2cos θ+bsin θ+2=0和a2cos θ+asin θ+2=0，则经过A(a2，a)，B(b2，b)两点的直线l与圆x2+y2=4的位置关系是 (　　)
A.相交 B.相离
C.相切 D.与θ的取值有关
17.[2020惠州市一调]双曲线=1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3的公共点的个数为 (　　)
A.1 B.2 C.4 D.0
18.[2019太原高三二模]已知点P是圆x2+(y-2)2=1上的动点，点Q是椭圆+y2=1上的动点，则|PQ|的最大值为 (　　)
A.+1 B.+1 C.2+1 D.4
19.[2019安徽合肥二模]在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点(0，1)，(0，3)，且与x轴的正半轴相切，若圆C上存在点M，使得直线OM与直线y=kx(k>0)关于y轴对称，则k的最小值为 (　　)
A. B. C.2 D.4
20.[2020石家庄重点高中高三摸底考试]圆心在直线y=-2x上，并且经过点A(2，-1)，与直线x+y=1相切的圆C的方程是　　　　　　　　.?
21.[2020合肥市调研检测]设直线l :x-y+m=0上存在一点P，使得点P到点A(3，0)，O(0，0)的距离之比为2，则实数m的取值范围为　　　　.?
22.[2019广东六校第一次联考]已知点P(-1，2)及圆(x-3)2+(y-4)2=4，一光线从点P出发，经x轴上一点Q反射后与圆相切于点T，则|PQ|+|QT|的值为　　　　　.?
23.[2019四川省宜宾市高三适应性考试]若动点P在直线a:x-2y-2=0上，动点Q在直线b:x-2y-6=0上，记线段PQ的中点为M(x0，y0)，且(x0-2)2+(y0+1)2≤5，则的取值范围为　　　　.?
24.[2019广东省茂名市五校联考]已知圆C:x2+y2-8x-6y+F=0与圆O:x2+y2=4相外切，切点为A，过点P(4，1)的直线与圆C交于点M，N，线段MN的中点为Q.
(1)求点Q的轨迹方程；
(2)若|AQ|=|AP|，点P与点Q不重合，求直线MN的方程及△AMN的面积.
25.[2019湖北省部分重点中学模拟]已知圆C经过点A(，)，B(-，)，直线x=0平分圆C，直线l与圆C相切，与圆C1:x2+y2=1相交于P，Q两点，且满足OP⊥OQ(O为坐标原点).
(1)求圆C的方程；
(2)求直线l的方程.
26.[多选题]已知圆O:x2+y2=49，直线l过点N(2，6)，且交圆O于P，Q两点，点M为线段PQ的中点，则下列结论正确的是 (　　)
A.点M的轨迹是圆
B.|PQ|的最小值为6
C.使|PQ|为整数的直线l共有9条
D.使|PQ|为整数的直线l共有16条
27.[交汇题]已知圆O:x2+y2=1，直线l:ax+by+c=0，若a2+b2=2c2，且圆O与直线l交于点M，N，则·=　　　　.?
28.[创新题]在平面直角坐标系xOy中，已知A(-1，0)，B(2，0)，若动圆C:(x-a)2+(y-1+a)2=上总存在点P使得PA2+PB2=，则实数a的取值范围是　　　　　.?
29.[双空题]已知圆C:x2+y2-2x-6y+4=0与直线l:x+y+b=0，若直线l与圆C交于A，B两点，且∠AOB=90°(O为坐标原点)，则b=　　　　，|AB|=　　　　.?
参考答案与解析
第二讲　圆的方程及直线、圆的位置关系
考点测评
1.C　设AB的中点为P，在等腰三角形AOB中，∠AOB=120°，可知|OP|=，即点P在以O为圆心，半径r=的圆上.令点P到直线l:3x+4y- 10=0的距离为d3，由梯形的中位线定理可知d1+d2=2d3.点O到直线l:3x+4y- 10=0的距离h==2，则d3≤h+r=2，所以d1+d2=2d3≤5.故选C.
2.A　圆心(2，0)到直线的距离d==2，所以点P到直线的距离d1∈[，3].根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(- 2，0)，B(0，- 2)，所以|AB|=2，所以△ABP的面积S=|AB|d1=d1.因为d1∈[，3]，所以S∈[2，6]，即△ABP面积的取值范围是[2，6].
【素养落地】　本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式及三角形面积的求解，体现了逻辑推理和数学运算等核心素养，试题难度中等.求解此题的关键是确定三角形的高的取值范围.当直线与圆相离时，若已知圆的半径r，圆心到直线的距离d，则圆上的点到直线的距离的最大值为d+r，最小值为d- r.
3.ACD　因为圆C和两个坐标轴都相切，且过点M(1，- 2)，所以可设圆心C的坐标为(a，- a)(a>0)，故圆心C在直线y=- x上，A正确；圆C的方程为(x- a)2+(y+a)2=a2，将点M的坐标代入圆C的方程，可得a2- 6a+5=0，解得a=1或a=5，则圆心坐标为(1，- 1)或(5，- 5)，所以满足条件的圆C有且只有两个，B错误；圆C的方程为(x- 1)2+(y+1)2=1或(x- 5)2+(y+5)2=25，将(2，- 1)代入圆C的方程，可知满足(x- 1)2+(y+1)2=1，也满足(x- 5)2+(y+5)2=25，C正确；满足条件的两个圆C的圆心距为=4，D正确.故选ACD.
4.4　设圆心到直线l:mx+y+3m- =0的距离为d，则弦长|AB|=2=2，解得d=3，即=3，解得m=- ，则直线l:x- y+6=0，数形结合可得|CD|==4.
5.(x- 1)2+y2=4　因为抛物线的标准方程为y2=4x，所以焦点F(1，0)，准线l的方程为x=- 1.因为所求的圆以F为圆心，且与准线l相切，故圆的半径r=2，所以圆的方程为(x- 1)2+y2=4.
6.- 2　 　解法一　设过点A(- 2，- 1)且与直线2x- y+3=0垂直的直线l的方程为x+2y+t=0，所以- 2- 2+t=0，所以t=4，所以l的方程为x+2y+4=0.将(0，m)代入，解得m=- 2，则r=.
解法二　因为直线2x- y+3=0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(- 2，- 1)，所以×2=- 1，所以m=- 2，r=.
7.[- 2，2]　根据题意，可将“以点P为圆心，1为半径的圆与圆N有公共点”转化为“圆M的半径增加1后与圆N有交点”，即圆(x- a)2+(y- 2a)2=9与圆(x- 2)2+(y+1)2=4有交点，则≤5，得a2≤4，即a∈[- 2，2].
8.(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y=k(x- 1)(k>0).
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由得k2x2- (2k2+4)x+k2=0.
Δ=16k2+16>0，x1+x2=.
所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.
由题设知=8，解得k=- 1(舍去)，k=1.
因此l的方程为y=x- 1.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线的方程为y- 2=- (x- 3)，即y=- x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则
解得或
因此所求圆的方程为(x- 3)2+(y- 2)2=16或(x- 11)2+(y+6)2=144.
变式练习
1.(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l:x=my+2.
由可得y2- 2my- 4=0，则y1y2=- 4.
又x1=，x2=，故x1x2==4.
因此OA的斜率与OB的斜率之积为·=- 1，所以OA⊥OB.
又圆M是以线段AB为直径的圆，
故坐标原点O在圆M上.
(2)由(1)可得y1+y2=2m，x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.
故圆心M的坐标为(m2+2，m)，圆M的半径r=.
由于圆M过点P(4，- 2)，因此·=0，故(x1- 4)(x2- 4)+(y1+2)(y2+2)=0，
即x1x2- 4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.
由(1)可得y1y2=- 4，x1x2=4.
所以2m2- m- 1=0，解得m=1或m=- .
当m=1时，直线l的方程为x- y- 2=0，圆心M的坐标为(3，1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x- 3)2+(y- 1)2=10.
当m=- 时，直线l的方程为2x+y- 4=0，圆心M的坐标为(，- )，圆M的半径为，圆M的方程为(x- )2+(y)2=.
2.2 　因为圆C:x2+y2- 4x- 2y=0，故圆C是以C(2，1)为圆心，半径r=的圆.设点A(0，2)关于直线x+y+2=0的对称点为A'(m，n)，则
解得故A' (- 4，- 2).
连接A'C交圆C于Q，由对称性可知，
|PA|+|PQ|=|A'P|+|PQ|≥|A'Q|=|A'C|- r=2.
3.B　将圆C的方程配方，得(x)2+(y- 3)2=，则有>0，解得m<.将直线l的方程与圆C的方程联立，得消去y，得x2+()2+x- 6×m=0，整理得5x2+10x+4m- 27=0　①.因为直线l与圆C无公共点，所以方程①无解，故Δ=102- 4×5(4m- 27)<0，解得m>8.所以m的取值范围是(8，).故选B.
4.2　由题意知，|C1C2|=≥2>2，所以圆C1与圆C2外离，示意图如图D 9- 2- 1所示.
因为PQ为圆C2的切线，所以PQ⊥C2Q，
由勾股定理，得|PQ|=，要使|PQ|最小，则需|PC2|最小. 图D 9- 2- 1
显然当点P为C1C2与圆C1的交点时，|PC2|最小，此时|PC2|=|C1C2|- 1，
所以当|C1C2|最小时，|PC2|最小.
易知当k=2时，|C1C2|取最小值，即|PQ|最小.
5.x- 2y+4=0　2　联立两圆的方程，得两式相减并整理得x- 2y+4=0，所以两圆公共弦所在直线的方程为x- 2y+4=0.
解法一　设两圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点的坐标满足方程组解得或
所以|AB|==2，即公共弦长为2.
解法二　由x2+y2- 2x+10y- 24=0，得(x- 1)2+(y+5)2=50，其圆心坐标为(1，- 5)，半径r=5，圆心到直线x- 2y+4=0的距离d==3.
设公共弦长为2l，由勾股定理得r2=d2+l2，即50=(3)2+l2，解得l=，故公共弦长2l=2.
6.(1)D　圆(x+3)2+(y- 2)2=1的圆心为C(- 3，2)，半径r=1.如图D 9- 2- 2所示，
图D 9- 2- 2
作出点A(- 2，- 3)关于y轴的对称点B(2，- 3).由题意可知，反射光线的反向延长线一定经过点B.设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y- (- 3)=k(x- 2)，即kx- y- 2k- 3=0.由反射光线与圆相切可得=1，即|5k+5|=，整理得12k2+25k+12=0，即(3k+4)(4k+3)=0，解得k=- 或k=- .故选D.
(2)或- 1　 由圆C:x2+(y- 3)2=4可知圆C的圆心坐标为(0，3)，半径为2，过直线l上的点P引圆C的两条切线，易知当|PC|为圆心到直线l的距离时，切线长最短.已知直线l过点A(- 1，0)，当斜率不存在时，易知不合题意.设直线l的方程为y=k(x+1)，即kx- y+k=0，由点到直线的距离公式及勾股定理，得=2，解得k=或k=- 1.
7.C　①当点M在x轴上时，点M的坐标为(- 1，0)或(1，0).
若点M的坐标为(- 1，0)，则2|MA|+|MB|=2×=1；
若点M的坐标为(1，0)，则2|MA|+|MB|=2×=4.
②当点M不在x轴上时，取点K(- 2，0)，连接OM，MK，因为|OM|=1，|OA|=，|OK|=2，所以=2.因为∠MOK=∠AOM，所以△MOK∽△AOM，则=2，所以|MK|=2|MA|，则2|MA|+|MB|=|MB|+|MK|.易知|MB|+|MK|≥|BK|，可知|MB|+|MK|的最小值为|BK|.因为B(1，1)，K(- 2，0)，所以(2|MA|+|MB|)min=|BK|=.
综上，易知2|MA|+|MB|的最小值为.故选C.
基础篇
1.A　由直线x- my+4m- 2=0与圆x2+y2=4相切，可知圆心到直线的距离等于半径，可得到=2，即(2m- 1)2=1+m2，解得m=0或m=，所以“m=”是“直线x- my+4m- 2=0与圆x2+y2=4相切”的充分不必要条件.
2.D　因为·=0，所以AP⊥PB，所以点P在以原点为圆心，AB为直径的圆上，且该圆的方程为x2+y2=1.又点P在圆C上，所以两圆有公共点.因为两圆的圆心距d==5，所以|r- 1|≤5≤r+1，解得4≤r≤6.故选D.
3.B　将圆的方程化为标准方程得(x- )2+(y)2=，
∴圆心坐标为(，- )，半径r=，
∵圆心到直线ax- by=0的距离d==r，
则圆x2+y2- ax+by=0与直线ax- by=0的位置关系是相切.故选B.
4.D　圆(x- 2)2+y2=9的圆心为(2，0)，半径为3，所以过点M的最长弦的长为6，最短弦的长为2=4，所以过点M的最长弦与最短弦的长之和为10，故选D.
【技巧点拨】　过圆内某点的最长弦为圆的直径，最短弦为过该点且和该点与圆心连线垂直的弦.
5.B　把圆的方程x2+y2- 2x- 3=0化成标准方程为(x- 1)2+y2=4，所以该圆的圆心坐标为(1，0)，半径为2，所以该圆截x轴所得的弦AB的长|AB|=4，截y轴所得的弦CD的长|CD|=2=2，所以四边形ACBD的面积S=|AB|×|CD|=×4×2=4.故选B.
6.D　圆C的方程可化为(x+1)2+(y- 2)2=4，易知圆心C的坐标为(- 1，2)，半径r=2，连接CM，因为|AB|=2，所以|CM|==1，因此点M在以C(- 1，2)为圆心、1为半径的圆上.又点M在直线2x+y+k=0上，故直线2x+y+k=0与圆(x+1)2+(y- 2)2=1有公共点，于是≤1，解得- ≤k≤.故选D.
【素养落地】　本题的实质是考查直线与圆的位置关系，解题关键是对问题进行转化，体现了直观想象与逻辑推理等核心素养.
7.C　∵圆x2+y2=1的圆心关于直线y=x- 1的对称点是(1，- 1)，且点(1，- 1)是圆x2+y2- ax+2y+1=0的圆心，∴a=2，∴点C的坐标为(- 2，2)，设点P(x，y)，则有=|x|，即y2+4x- 4y+8=0.故选C.
8.C　设圆C的圆心坐标为(0，b)，则线段CM的中点坐标为(，)，因为直线2x- y- 1=0经过线段CM的中点，所以2×- 1=0，解得b=4，所以圆C的圆心坐标为(0，4)，半径r=|CM|==5，所以圆C的标准方程是x2+(y- 4)2=25，故选C.
9.B　因为圆的半径r=2，圆心坐标是C(3，- )，∠MPN=，且P在圆C上，所以∠MCN=，则|MN|=2.又C点到直线l的距离d=，()2+d2=r2，所以()2=4，则a=4或a=8.故选B.
10.[- 2- 1，2- 1]　设P(x，y)，则由|PA|=|PB|，得·，整理得(x- 5)2+y2=8，即动点P在以(5，0)为圆心，2为半径的圆上运动.又由|PC|=|PD|，知动点P在线段CD的垂直平分线y=a+1上运动，因而问题转化为直线y=a+1与圆(x- 5)2+y2=8有交点，所以|a+1|≤2，解得- 2- 1≤a≤2- 1，即实数a的取值范围是[- 2- 1，2- 1].
11.- 1或1　圆C的方程为(x- 2)2+(y- 1)2=1，可知圆心为C(2，1)，半径为1.因为四边形PACB的面积为3，所以|PA|×1=3，即|PA|=3.连接PC，在Rt△PAC中，|PC|=，设P(a，- a- 1)，则，整理得a2=1，解得a=- 1或a=1，即点P的横坐标为- 1或1.
12.(- ，)　解法一　由题意得消元得x2x=0，解得x=0或x=- ，所以A，B两点的坐标分别为(0，2)，(- ，1)，所以线段AB的中点的坐标为(- ，).
解法二　由题意知，圆心C与坐标原点O重合，设线段AB的中点为D，则直线OD与直线l垂直，所以直线OD的方程为y=- x.联立得解得所以线段AB的中点的坐标为(- ，).
13.(- 20，- 5)∪(5，20)　设直线方程为y=2x+b，圆心(0，0)到直线2x- y+b=0的距离d=，
所以弦长为2，由题意知0<2<10，
所以25故所求取值范围为(- 20，- 5)∪(5，20).
14.　因为f(x)=- eax(a>0，b>0)，所以f '(x)=- eax，所以f '(0)=- ，又f(0)=- ，所以在x=0处的切线的方程为y=- x，即ax+by+1=0.因为切线与圆x2+y2=1相切，所以圆x2+y2=1的圆心到切线的距离d==1，即a2+b2=1，因为a>0，b>0，所以a2+b2≥2ab，所以2(a2+b2)≥(a+b)2，所以a+b≤，所以a+b的最大值是.
15.(1)由已知，得圆心在经过点P(4，0)且与直线y=2x- 8垂直的直线y=- x+2上，圆心还在线段OP的中垂线x=2上，所以求得圆心C的坐标为(2，1)，半径为.所以圆C的方程为(x- 2)2+(y- 1)2=5.
(2)假设存在两点M，N关于直线y=kx- 1对称，则直线y=kx- 1通过圆心C(2，1)，求得k=1，所以可设直线MN的方程为y=- x+b，代入圆的方程，消去y，得2x2- (2b+2)x+b2- 2b=0，设M(x1，- x1+b)，N(x2，- x2+b)，则x1+x2=b+1，x1x2=，所以·=2x1x2- b(x1+x2)+b2=b2- 3b=0，解得b=0或b=3，这时Δ>0，符合题意，所以存在符合条件的M，N，直线MN的方程为y=- x或y=- x+3.
提升篇
16.C　由题意，点A，B的坐标都满足xcos θ+ysin θ+2=0，所以直线l的方程为xcos θ+ysin θ+2=0，
由可得y2+(4sin θ)y+4sin2θ=0，
因为Δ=16sin2θ- 4×4sin2θ=0，所以直线l和圆x2+y2=4相切.故选C.
17.B　双曲线=1的一条渐近线的方程为y=x.由离心率e==2得=4，即=4，得，所以这条渐近线的方程为y=x.由消去y整理得4x2- 4x+1=0，因为Δ=16- 4×4=0，所以渐近线y=x与圆(x- 2)2+y2=3只有一个公共点.由对称性可得该双曲线的渐近线与圆(x- 2)2+y2=3的公共点的个数为2，故选B.
18.A　解法一　设Q(x，y)，设圆x2+(y- 2)2=1的圆心为点A，则A(0，2)，|QA|=.又Q(x，y)为椭圆上一点，所以y2=1，所以x2=9- 9y2，且y∈[- 1，1]，所以|QA|=，y∈[- 1，1]，故当y=- 时，|QA|max=，所以|PQ|的最大值为1，故选A.
解法二　设Q(3cos θ， sin θ)，设圆x2+(y- 2)2=1的圆心为点A，则A(0，2)，|QA|=，所以当sin θ=- 时，|QA|max=，所以|PQ|的最大值为1，故选A.
19.D　由圆C经过点(0，1)，(0，3)可知，圆心的纵坐标为=2，又圆C与x轴的正半轴相切，所以圆的半径为2，则圆心的横坐标为，即圆心为点(，2)，由此可得圆C的方程为(x- )2+(y- 2)2=4.
由直线OM与直线y=kx(k>0)关于y轴对称知直线OM的方程为y=- kx(k>0)，由消去y得(1+k2)x2+(4k- 2)x+3=0，则Δ=(4k- 2)2- 4(1+k2)×3≥0，即4k2- 16k≥0，解得k≥4.
故k的最小值为4.故选D.
20.(x- 1)2+(y+2)2=2　设所求圆的圆心坐标为(a，- 2a)，由条件得，化简得a2- 2a+1=0，∴a=1，∴圆心为(1，- 2)，半径r=，∴所求圆的方程为(x- 1)2+(y+2)2=2.
21.[- 3，5]　设点P(x，y)，则=2，即|PA|2=4|PO|2，所以(x- 3)2+y2=4(x2+y2)，整理，得(x+1)2+y2=4，即点P(x，y)在圆心为(- 1，0)，半径为2的圆上.由题意知直线l:x- y+m=0与圆(x+1)2+y2=4有公共点，所以≤2，解得- 3≤m≤5，即实数m的取值范围是[- 3，5].
22.4　点P关于x轴的对称点为P'(- 1，- 2)，如图D 9- 2- 3，连接PP'，P'Q，易知P'，Q，T三点共线，P'Q=PQ，则直线P'Q与圆相切于点T，|PQ|+|QT|=|P'T|.圆(x- 3)2+(y- 4)2=4的圆心为A(3，4)，半径r=2，连接AP'，AT，则|AP'|2=(- 1- 3)2+(- 2- 4)2=52，|AT|=r=2，所以|PQ|+|QT|=|P'T|==4.
图D 9- 2- 3
23.[，16]　由题意知，直线a:x- 2y- 2=0与直线b:x- 2y- 6=0平行，
因为动点P在直线a上，动点Q在直线b上，
所以PQ的中点M在与直线a，b平行，且到直线a，b的距离相等的直线上，
设该直线为l，则直线l的方程为x- 2y- 4=0.
因为线段PQ的中点为M(x0，y0)，且(x0- 2)2+(y0+1)2≤5，
所以点M(x0，y0)在圆(x- 2)2+(y+1)2=5的内部或在圆上，
设直线l交圆于点A，B，则点M在线段AB上运动.
联立直线l的方程与圆的方程，得解得或不妨令A(4，0)，B(0，- 2).
因为=|OM|2，表示的几何意义为AB线段上的点到原点的距离的平方，
所以当OM⊥AB时，最小，最小值为()2=，当点M与点A重合时，取得最大值，最大值为16，
所以的取值范围是[，16].
24.(1)圆C的标准方程为(x- 4)2+(y- 3)2=25- F，圆心C(4，3)，半径为，
由圆C与圆O相外切知2=，所以F=16.
圆C:(x- 4)2+(y- 3)2=9，点P(4，1)在圆C内，弦MN过点P，Q是MN中点，则CQ⊥MN，所以点Q的轨迹是以CP为直径的圆，方程为(x- 4)2+(y- 2)2=1.
(2)连接OC，线段OC与圆O的交点为A，联立y=x与x2+y2=4，解得点A(，).
若|AQ|=|AP|，则P，Q是以点A为圆心，AP为半径的圆与点Q的轨迹的交点，由(x- )2+(y- )2=(- 4)2+(- 1)2与(x- 4)2+(y- 2)2=1得3x+y- 13=0，所以直线MN的方程为3x+y- 13=0.
点C(4，3)到直线MN的距离d=，|MN|=2.
点A到直线MN的距离h=，
所以△AMN的面积S=|MN|·h=.
25.(1)依题意知圆心C在y轴上，可设圆心C(0，b)，圆C的方程为x2+(y- b)2=r2(r>0). 因为圆C经过A，B两点，
所以()2+(- b)2=(- )2+(- b)2，
即b+b2=b+b2，解得b=4，进而可得r=.
所以圆C的方程为x2+(y- 4)2=.
(2)当直线l的斜率不存在时，由l与C相切得l的方程为x=或x=- ，此时直线l与C1交于P，Q两点，不妨设P在Q点上方，则P(，)，Q(，- )或P(- ，)，Q(- ，- )，则·=0，所以OP⊥OQ，满足题意.
当直线l的斜率存在时，易知其斜率不为0，纵截距不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m(k≠0，m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
将直线l的方程与圆C1的方程联立，得 消去y，整理得(1+k2)x2+2kmx+m2- 1=0，
则Δ=4k2m2- 4(1+k2)(m2- 1)=4(k2- m2+1)>0，即1+k2>m2，
x1+x2=- ，x1x2=，
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=m2=，
又OP⊥OQ，所以·=0，即x1x2+y1y2==0，故2m2=1+k2，满足Δ>0，符合题意.
因为直线l:y=kx+m与圆C:x2+(y- 4)2=相切， 所以圆心C(0，4)到直线l的距离d=，可得m2- 8m+16=，
故m2- 8m+16=m2，得m=2，故1+k2=2×22，得k=或k=- ，
故直线l的方程为y=x+2或y=- x+2.
综上，直线l的方程为x=或x=- 或y=x+2或y=- x+2.
26.ABD　因为直线l恒过点N(2，6)，且点M为线段PQ的中点，所以·=0，则易得点M的轨迹是圆，故A选项正确.易知圆心O到直线l的距离的最大值为|ON|==2，故|PQ|的最小值为2=6，最大值为2×7=14，故B选项正确.由最短弦与最长弦有唯一性，长度在最短弦与最长弦之间的弦有对称性可知，使|PQ|为整数的直线l有2+2×(14- 6- 1)=16(条)，所以C选项错误，D选项正确.
27.- 1　点O到直线l的距离d=，由勾股定理得，，所以|MN|=，连接ON，则△OMN为等腰直角三角形，·=1××(- )=- 1
【素养落地】　该题揭示了平面向量和平面几何之间的关系，使“数”与“形”有机结合，考查考生将平面向量知识迁移到代数情境和平面几何情境中的能力，体现逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.
28.[- 1，]∪[1，]　设P(x，y)，因为PA2+PB2=，所以(x+1)2+y2+(x- 2)2+y2=，化简得(x- )2+y2=1，设M(，0)，则点P在以M为圆心，1为半径的圆上.又点P在圆C:(x- a)2+(y- 1+a)2=上，所以圆C与圆M有公共点，连接CM，所以≤CM≤，即≤≤，解得- 1≤a≤或1≤a≤.
【解题关键】　解答本题的关键是根据条件得到动点P的轨迹方程，将问题转化为圆与圆的位置关系问题进行处理.
29.- 2　4　由得2x2+2(b+2)x+b2+6b+4=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得因为∠AOB=90°，所以⊥，所以·=x1x2+y1y2=0，即x1x2+(- x1- b)(- x2- b)=0，即2x1x2+b(x1+x2)+b2=0，所以b2+6b+4+b(- b- 2)+b2=0，解得b=- 2.易知圆C的圆心为(1，3)，半径为，故圆心到直线x+y- 2=0的距离为，所以|AB|=2×=4.
【方法总结】　挖掘几何图形的性质是求解有几何背景的问题的主要思路，如本题中利用∠AOB=90°得到·=0.
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