资源简介 第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念第1课时集合的含义课标解读课标要求素养要求1.通过实例，了解集合的含义2.掌握集合中元素的三个特性.3.理解元素与集合的属于关系，记住常用数集的表示符号并能运用.1.数学抽象——能够判断给出的对象能否构成集合.2.逻辑推理——会借助集合元素的互异性解题.自主学习·必备知识教材原句要点一集合与元素的概念1.一般地，我们把研究对象统称为元索，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.我们通常用大写拉丁字母①，，，…表示集合，用小写拉丁字母②，，，…表示集合中的元素.2.集合相等：只要构成两个集合的元素是③一样的，我们就称这两个集合是相等的.要点二集合与元素间的关系如果是集合的元素，就说a属于集合A，记作；如果不是集合4中的元素，就说a不属于集合A，记作.要点三数学中一些常用的数集及其记法全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作；全体正整数组成的集合称为正整数集，记作或；全体整数组成的集合称为整数集，记作；全体有理数组成的集合称为有理数集，记作④；全体实数组成的集合称为实数集，记作⑤.自主思考1.班上高个子的同学能称为元素吗？答案：提示不能，个子高的同学无法确定为一个具体对象.2.坐标平面内所有的点组成的集合为，那么，都成立吗?答案：提示，.3.集合与或有何区别?答案：提示集合N中的元素是0和正整数；集合或，中的元素是正整数.4.与有何区别?答案：提示集合中的元素是0和正整数，集合中的元素是0、负整数与正整数.如：，，，.名师点睛1.判断一组对象能否组成集合的关键是看该组对象是否有明确的标准，即给定的对象是“模棱两可”还是“确定无疑”.另外，元素可以是人、物、数、点、不等式、集合等.2.集合中元素的特性确定性、互异性、无序性.3.常用数集关系网互动探究·关键能力探究点一集合的概念精讲精练例下列各组对象，能构成集合的是()①中国各地最美的旅游景点；②平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于2021的自然数；④2020年我校体育节中的金牌获得者.A.③④B.②③④C.②③D.②④答案：解析：①中“最美”标准不明确，不符合确定性，②③④中的元素标准明确，均可构成集合，故选B.解题感悟一般地，确认一组对象均不相同能否构成集合的过程如下：迁移应用1.有下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面直角坐标系上到点的距离等于1的点的全体；④直角三角形的全体．其中能构成集合的个数是()A.1B.2C.3D.4答案：解析：“接近”“比较小”没有明确标准．③④均可构成集合．故选B.探究点二元素与集合的关系精讲精练例（1）下列所给关系正确的个数是()①；②；③；④.A.1B.2C.3D.4（2）已知集合含有三个元素2，4，6，且当时，有，那么为()A.2B.2或4C.4D.0答案：（1）（2）解析：（1）①是实数，所以正确；②是无理数，所以正确；③0不是正整数，所以错误；④为正整数，所以错误．故选B.（2）当时，，当时，，所以或.故选B.解题感悟判断元素与集合关系的两种方法1.直接法：（1）使用前提：集合中的元素是直接给出的；（2）判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成的，然后判断该元素在已知集合中是否出现即可.2.推理法：（1）使用前提：集合中的元素不便直接表示的；（2）判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么共同特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的共同特征即可.迁移应用1.已知集合中的元素满足，常数，若，，则的取值范围是.答案：解析：，，，且，解得.2.用符号“”或“”填空.设集合是所有满足方程的有序数对的集合，则-1.答案：;解析：因为集合中的元素是所有满足方程的有序数对，所以，.探究点三集合中元素的特征及运用精讲精练例已知集合含有两个元素1和，若，求实数的值.答案：由题意可知，或，若，则，这与矛盾，故.若，则或（舍去），又当时，中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意.综上可知，实数的值为0.解题感悟由集合中元素的特性求解字母的取值（范围）的步骤（1）求解：根据集合中元素的确定性，解出字母的取值（范围）；（2）检验：根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验；（3）作答：写出符合题意的字母的取值（范围）.易错点拨常因忘记验证集合中元素的互异性而失分.迁移应用1.（2020河南南阳高一检测）设集合满足：若，则，且集合Ｍ中所有元素之和为，，则集合Ｍ中的元素个数为()A.22B.22或23C.23D.23或24答案：解析：由集合满足：若，则，得当时，集合中两个互异的元素与之和为2020，当时，，因为，所以，集合Ｍ中的元素个数为11×2+1=23，故选C.评价检测·素养提升1.（2021安徽黄山高一期末）下列元素与集合的关系不正确的是()A.B.C.D.答案：2.（多选）下列各项中，可以组成集合的是()A.所有的正数B.等于2021的数C.接近于2021的数D.不等于0的数答案：;;3.“”中的字母构成一个集合，该集合的元素个数是()A.5B.6C.7D.8答案：4.有下列说法：①与是同一个集合；②中的元素都是中的元素；③中的元素都是中的元素；④中的元素都是中的元素.其中正确的有（填序号）.答案：②④5.若集合是由元素-1，3组成的集合，集合是由方程的解组成的集合，且，求实数，.答案：因为，所以-1，3是方程的解.则解得.课时评价作业基础达标练1.（2020海南东方八所中学高一月考）下列所给的对象能构成集合的是()A.2021届的优秀学生B.高一数学必修第一册课本上的所有难题C.遵义四中高一年级的所有男生D.比较接近1的全体正数答案：2.设集合只含有一个元素a，则下列各式正确的是()A.B.C.D.答案：3.（2020海南临高二中高一月考）下列关系中，正确的个数为()①；②；③；④.A.1B.2C.3D.4答案：4.若以集合中的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()A.梯形B.平行四边形C.菱形D.矩形答案：5.（2021湖北荆州高一检测）已知，是非零实数，代数式的值组成的集合是，则下列判断正确的是()A.B.C.D.答案：6.（多选）下列说法中正确的有()A.中最小的数是1B.若，则C.若，，则的最小值是2D.方程的解构成的集合中有2个元素答案：;解析：是正整数集，最小的正整数是1，故A说法正确；当时，，且，故B说法错误；若，则的最小值是1，又，则的最小值也是1，当和都取最小值时，取最小值2，故C说法正确；的解构成的集合为，其中有1个元素，故D说法错误.故选AC.7.若集合中有两个元素-1和2，集合中有两个元素，，若与相等，则；.答案：-1;解析：由集合相等的概念可知，即.8.（2021广西南宁三中高一检测）已知集合是由全体偶数组成的，集合是由全体奇数组成的，若，，则，A（选填“”或“”）.答案：;解析：因为是偶数，是奇数，所以是奇数，ab是偶数，故，.9.已知集合中含有两个元素和，若，求实数的值.答案：，或.①若，则，此时集合中含有两个元素-3，-1，符合题意；②若，则，此时集合中含有两个元素-4，-3，符合题意.综上所述，或.素养提升练10.（2021山西新绛第二中学检测）已知集合是方程的解组成的集合，若，则下列判断正确的是()A.B.C.D.答案：解析：由可知，2为方程的一个解，所以，解得.所以方程为，解得.故方程的另一个解为-1.选C.11.（2020山东青岛高一期中）由实数，，，，所组成的集合，其元素的个数最多为()A.2B.3C.4D.5答案：解析：当时，，，此时集合中共有2个元素；当时，，此时集合中共有1个元素；当时，，此时集合中共有2个元素.综上，此集合中最多有2个元素，故选A.12.集合中的元素满足，且，则集合中的元素为.答案：0，1，2解析：由可得，可以为1，2，3，6，且为自然数，因此的值为2，1，0.因此中的元素为2，1，0.13.（2020山东济宁第一中学高一月考，改编）已知集合中含有三个实数，分别为若且，则.答案：-1解析：由，“0不能做分母”可知，故，所以，即.由，可知或.当时，，由集合中元素的互异性，知不符合题意；当时，或（舍去）.故，所以的值为-1.创新拓展练14.设集合中含有三个元素3，，.（1）求实数应满足的条件；（2）若，求实数的值.解析：命题分析本题考查集合元素的特征，元素与集合的关系，考查运算求解能力，数学抽象的核心素养.答题要领（1）集合中含有三个元素，即3，，互不相同.（2）由，可得或.且，.不相等.答案：（1）由集合中元素的互异性可知，，且，.解得且且.（2）因为，所以或.由于，所以，所以.方法感悟（1）根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验.（2）利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用．第2课时集合的表示法课标解读课标要求素养要求针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言（列举法、描述法）刻画集合.1.数学抽象——能够用简洁的语言准确地表述出研究对象.2.数学运算——能够进行描述法与列举法之间的转化.自主学习·必备知识教材原句要点一列举法把集合的所有元素①一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.要点二描述法一般地，设是一个集合，我们把集合中所有具有②共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法.自主思考1.分析列举法的优点与缺点各有哪些?答案：提示优点：集合中的元素一目了然，适合表示元素较少的集合.缺点：不易看出元素所具有的特征，有的集合不能用列举法表示.2.描述法的特点有哪些?答案：提示运算的规律与性质能清楚地表示出来，适合表示无限集或元素较多的集合.语言简洁、抽象.名师点睛1.使用列举法表示集合的四个注意点（1）元素间用“，”分隔开，其一般形式为；（2）元素不重复，满足元素的互异性；（3）元素无顺序，满足元素的无序性；（4）对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.2.用描述法表示集合时的三个注意点（1）用描述法表示集合，应先弄清楚集合中元素的属性，是数集、点集还是其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示其元素.（2）用描述法表示集合时，若描述部分出现元素记号以外的字母，则需对新字母说明其含义或取值范围.（3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内.互动探究·关键能力探究点一列举法的应用精讲精练例用列举法表示下列集合：（1）方程的所有实数解组成的集合；（2）直线与轴的交点所组成的集合；（3）不大于8的正整数构成的集合；（4）15的正约数组成的集合.答案：（1）方程的解是，所以方程的解组成的集合为．（2）将代入，得，即直线与y轴的交点是（0，2021），故直线与y轴的交点组成的集合是．（3）不大于8的正整数有1，2，3，4，5，6，7，8，故所求集合为．（4）15的正约数有1，3，5，15，故所求集合为.解题感悟用列举法表示集合的步骤（1）求出集合的元素；（2）把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；（3）用花括号括起来.注意：二元方程组的解集，函数图象上的点构成的集合都是点的集合，一定要写成实数对的形式，元素与元素之间用“，”隔开．如.迁移应用1.用列举法表示下列集合：（1）小于10的质数组成的集合；（2）方程的实数根组成的集合；（3）直线与直线的交点组成的集合D.答案：（1）因为小于10的质数包括2，3，5，7，所以.（2）方程的实数根为3，-1，所以.（3）得所以直线与直线的交点为（1，3），所以.探究点二描述法的应用精讲精练例用描述法表示下列集合：（1）比1大且比10小的实数组成的集合；（2）不等式的所有解组成的集合；（3）到两坐标轴距离相等的点组成的集合；（4）正奇数集.答案：（1）可以表示成．（2）可以表示成，即．（3）可以表示成．（4）设，故全体奇数可用式子，表示，但此题要求为正奇数，故，所以正奇数集.解题感悟描述法的一般形式为，其中的表示集合中的代表元素，指的是元素的取值范围；则是表示这个集合中元素的共同特征，其中“”将代表元素与其特征分隔开来．一般来说，集合中元素的取值范围需写明确，但若从上下文的关系看，是明确的，则可以省略，只写元素.迁移应用1.用描述法表示下列集合：（1）被3除余2的正整数组成的集合；（2）；（3）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合.答案：（1）设被3除余2的正整数为，则，，所以被3除余2的正整数组成的集合.（2）（3）易知平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即，，故平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合.探究点三集合表示方法的综合应用精讲精练例集合，若集合中只有一个元素，求实数的值组成的集合.答案：①当时，方程变为，解得，即，满足题意；②当时，要使集合中只有一个元素，则方程有两个相等的实数根，所以，解得，此时集合，满足题意.综上所述，或，故实数k的值组成的集合为.解题感悟（1）若已知集合是用描述法给出的，读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键.（2）在学习过程中要注意数学思想的培养，如：数形结合思想、等价转化思想和分类讨论的思想.迁移应用1.已知集合.（1）若集合中只有一个元素，求实数的值；（2）若集合中至少有一个元素，求实数的取值范围；（3）若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围.答案：（1）当时，原方程可化为，得，符合题意.当时，方程为一元二次方程，由题意得，，得.所以当时，集合中只有一个元素.（2）由题意得，当即且时，方程有两个实根，又由（1）知，当或时，方程有一个实根.所以的取值范围是.（3）由（1）知，当或时，集合中只有一个元素.若集合中没有元素，则解得.综上，的取值范围是.评价检测·素养提升课堂检测1.下列四个集合中，不同于另外三个的是()A.B.C.D.答案：2.（多选）由大于-3且小于1的偶数所组成的集合是()A.B.C.D.答案：;3.若，用列举法表示集合为.答案：4.图中阴影部分（含边界）所表示的点的集合用描述法表示为.答案：5.给出下列说法：①直角坐标平面内，第一、三象限的点组成的集合为；②方程的解集为；③集合与是相等的．其中正确的是（填写所有正确说法的序号）．答案：①解析：直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点，故①正确；方程等价于即所以方程的解为有序实数对(2,-2)，解集为，或，故②不正确；集合的代表元素是，集合的代表元素是，前者是有序实数对，后者是实数，因此这两个集合不相等，故③不正确．素养演练1.数学抽象——描述法中点集与数集的区别下面三个集合：；；.问：（1）它们是不是相同的集合？（2）它们各自的含义是什么？答案：（1）不是.在三个集合中，虽然代表元素满足的表达式一致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合．（2）集合的代表元素是满足故.集合的代表元素是满足的故.集合的代表元素是，满足条件，即表示满足的实数对，也可认为满足条件的坐标平面上的点．因此，.素养探究：对于描述法表示的集合，一看代表元素，如表示数集，表示点集；二看条件，即看代表元素满足什么条件（公共特性）.同一集合，描述法表示可以不唯一，体现了数学抽象的核心素养.迁移应用1.（2021山东济南高一期末）下列集合与集合相等的是()A.(1,3)B.C.D.答案：课时评价作业基础达标练1.（2020湖南怀化高一期末）如果集合，那么()A.B.C.D.答案：2.集合的另一种表示法是()A.B.C.D.答案：3.用描述法表示函数的图象上的所有点为()A.B.C.D.答案：4.（2020山东枣庄十六中高一期中）方程组的解集是()A.B.C.D.答案：5.下列集合中恰有2个元素的集合是()A.B.C.D.答案：解析：选项A中的集合只有一个元素；选项B中集合的代表元素是，则集合是方程根的集合，即；选项C，中的集合中都有无数个元素．6.设集合，若，则用列举法表示集合为.答案：解析：，，，.7.（2020首都师范大学附属中学高一期中）用列举法可以将集合表示为.答案：解析：由题意可知集合A中的元素表示能使方程有唯一实数解的的值，当时，，解得，成立；当时，方程有唯一实数解，则，解得，所以.8.已知集合，，则集合与中有个相同的元素，由这些相同元素组成的集合为．答案：2;解析：因为，，所以当时，；当时，；当时，.所以，．所以集合与中有2个相同的元素，集合，中的相同元素组成的集合为．9.用适当的方法表示下列集合：（1）一年中有31天的月份的全体；（2）大于-3.5且小于12.8的整数的全体；（3）梯形的全体；（4）所有能被3整除的数；（5）不等式的解集．答案：（1）.（2）或．（3）或{梯形}．（4）．（5）．素养提升练10.（多选）下列命题中正确的是()A.集合中有两个元素B.集合中没有元素C.D.与是同一个集合答案：;解析：；集合中有一个元素，这个元素是0，，故；根据集合中元素的无序性可知，与是同一个集合.所以选AD.11.（多选）（2020海南第四中学高一月考）下列表示同一个集合的是()A.，B.，C.，D.，答案：;;解析：中两个集合都是由元素2和5构成的，是同一个集合；中集合中的元素是点，集合中的元素是点(5,2)，不相同，不是同一个集合；中两个集合都是由所有奇数组成的，是同一个集合；中两个集合都是由所有6的整数倍数组成的，是同一个集合.故选ACD.12.集合用列举法表示为.答案：解析：集合中的元素满足，，则：当时，；当时，；当时，；当时，，故集合为.13.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为可倒数集.集合（填“是”或“不是”）可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集.答案：不是;（答案不唯一）解析：由于2的倒数不在集合A中，故集合A不是可倒数集.若集合中有三个元素，则必有一个元素，即，故可取的集合有，等.创新拓展练14.已知集合，，.若，则是否存在，，使成立？答案：存在.因为，，所以分别存在使得，所以，若，则，，所以要使则，，即当为偶数时，存在，使成立.53/551第二章一元二次函数、方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程、不等式第1课时一元二次不等式的解法课标解读课标要求素养要求1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.1.数学抽象——能够认识到二次函数与一元二次方程、不等式之间的联系.2.数学运算——会求一元二次不等式的解集，能够借助一元二次不等式解决实际应用问题.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一一元二次不等式一般地，我们把只含有①一个未知数，并且未知数的最高次数是②2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是或，其中，，均为常数，.要点二三个“二次”的关系对于一元二次方程，设③，它的根按照④，⑤，⑥可分为三种情况。相应地，二次函数的图像与⑦轴的位置也分为三种情况.因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式和的解集.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系的图象的根有两个不相等的实数根，（）没有实数根的解集有两个相等的实数根的解集一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点.自主思考1.不等式是一元二次不等式吗？答案：提示不等式中未知数的最高次数是3，根据一元二次不等式的定义，可知该不等式不是一元二次不等式.2.当满足什么条件时，不等式是一元二次不等式？答案：提示当，即时，是一元二次不等式.3.是否存在实数使得一元二次不等式的解集为？答案：提示若一元二次不等式的解集为，则，此不等式无解，所以不存在实数使不等式的解集为.4.若不等式的解集为，则实数应满足什么条件？答案：提示若不等式的解集为，则，解得.5.求出函数的零点.答案：提示由解得，，所以函数的零点是-1和2.名师点睛对一元二次不等式概念的两点说明（1）“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他字母类的量，只需明确指出这些字母所代表的量就可以使用，即哪一个是变量“未知数”，哪一个是“参数”.（2）“最高次数是2”仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制.互动探究·关键能力探究点一一元二次不等式的解法精讲精练例解下列不等式：（1）；（2）；（3）.答案：（1）易知方程的两个实根分别为，，作出函数的图象（图略）.由图象可得原不等式的解集为.（2）易知方程有两个相等的实根，为.作出函数的图象，如图所示.由图象可得原不等式的解集为.（3）原不等式可化为，相应方程为，，方程无实根，原不等式的解集为.解题感悟解不含参数的一元二次不等式的一般步骤（1）化标准：通过对不等式变形，使不等式右侧为0，二次项系数为正.（2）判别式：对不等式左侧进行因式分解，若不易分解，则计算相应方程的判别式.（3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.（4）画图象：根据一元二次方程根的情况画出相应的二次函数的图象.（5）写解集：根据图象写出不等式的解集.迁移应用1.不等式的解集是()A.B.C.D.答案：解析：不等式可化为，对于方程，因为，所以方程有两个实数根，解得，.结合二次函数的图象（图略）得不等式的解集为.故选A.2.不等式的解集是()A.B.C.D.答案：解析：不等式可化为.对于方程，因为，所以方程有两个实数根，解得，.结合二次函数的图象（图略）得不等式的解集是.故选B.3.在上定义运算，则关于实数的不等式的解集为.答案：解析：由题意可知不等式可转化为，即.对于方程，因为，所以方程有两个实数根，解得，结合二次函数的图象（图略）得不等式的解集为.探究点二含参数的一元二次不等式的解法精讲精练例设，解关于的不等式.答案：对于方程，，下面分情况讨论：①当，即时，方程无实根，所以原不等式的解集为.②当，即或时，方程有两个实数根，分别为，当时，原不等式的解集为；当或时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.综上，当时，解集为；当或时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.解题感悟解含参数的一元二次不等式的步骤提醒：求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式，用求根公式计算.迁移应用1.求关于的不等式的解集.答案：，，即，易知方程的两个根分别为，，①当时，，原不等式的解集为.②当时，，原不等式的解集为.③当时，，原不等式的解集为.探究点三三个“二次”的关系及应用精讲精练例已知关于的不等式.（1）若不等式的解集为，求的值；（2）若不等式只有一个解，求的值和该不等式的解集.答案：（1）因为不等式的解集为，所以函数的图象与轴的交点的横坐标为-1和2，且抛物线开口向上，由此可知，且-1和2是方程的两个根，由根与系数的关系可得解得.（2）设，若不等式只有一个解.则函数的图象与轴只有一个交点且开口向下.解得.此时，原不等式为，即，解得.不等式的解集为.解题感悟三个“二次”之间的关系解决一元二次方程和一元二次不等式问题时，要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，三者关系如下：提醒：易因为忽视二次项系数的符号和不等号的方向而写错不等式的解集.迁移应用1.若不等式的解集是，求不等式的解集.答案：因为的解集为，所以函数的图象与轴交点的横坐标分别为和2，且抛物线开口向下，即，由此可知，和2为方程的两个根，由根与系数的关系可得解得则不等式等价于，即，又，所以.解方程，，.所以所求不等式的解集为.2.已知不等式的解集为.（1）求，的值；（2）解不等式.答案：（1）因为不等式的解集为，所以和是方程的两个根，把代入方程得，解得，所以方程为，由根与系数的关系得，解得.综上，，.（2）由（1）可知，原不等式为，方程的两个根为，.当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.评价检测·素养提升课堂检测1.已知集合，，则()A.B.C.D.答案：2.不等式的解集是()A.B.C.D.答案：3.设一元二次不等式的解集为，则的值是.答案：6解析：一元二次不等式的解集为，函数的图象与轴交点的横坐标分别为-1和，且抛物线开口向下，和是方程的两个实数根，由根与系数的关系得解得.4.（★）若不等式的解集为实数集，求实数的取值范围.答案：当时，不等式化为，符合题意；当时，由题意可得函数的图象在轴下方或与轴相切，所以需满足即解得.综上，实数的取值范围是.素养演练逻辑推理、数学运算——含参数的不等式的求解问题1.解关于的不等式.答案：①当时，原不等式可化为，解得，所以原不等式的解集为.②当时，原不等式可化为，对应方程的两个根分别为.当时，，则原不等式的解集为；当时，，则原不等式的解集为；当时，，则原不等式的解集为.③当时，原不等式可化为，对应方程的两个根分别为，，因为，所以原不等式的解集为.综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.素养探究：因为所给的不等式中的二次项系数含有参数a，并且不清楚参数的符号，所以首先需讨论参数的符号，在此条件下再通过讨论相应方程的根的大小来确定不等式的解集，过程中培养学生的逻辑推理和数学运算的核心素养.迁移应用1.解关于的不等式.答案：原不等式可变形为，当时，原不等式的解集为.当时，原不等式可变形为，方程的两个根分别为，当时，，则原不等式的解集为.当时，①当时，，则原不等式的解集为；②当时，原不等式的解集为；③当时，，则原不等式的解集为.综上：当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.课时评价作业基础达标练1.（2021浙江高一期末）已知，则关于的不等式的解集为()A.B.C.D.答案：解析：分解因式得，由可得，即可得出不等式的解集.2.（多选）（2021山东聊城高一期末）已知不等式的解集是，对于系数，，c，下列结论正确的是()A.B.C.D.答案：;;解析：由题意可得，且方程的两个根为-1，2，由根与系数的关系得，，所以，，故A中结论正确，D中结论错误；由，得，故C中结论正确；二次函数的图象开口向下，函数的零点为-1，2，当时，，故B中结论正确.故选ABC.3.（多选）（2020河北邢台高一期中）关于不等式的解集，下列判断正确的是()A.不等式的解集为B.不等式的解集为C.不等式的解集为D.不等式的解集为答案：;;4.在关于的不等式的解集中至多包含2个整数，则的取值范围是()A.B.C.D.答案：解析：原不等式可化为，按和分类讨论求解.5.（2020河北石家庄高一期中）不等式的解集是.答案：6.不等式的解集是.答案：7.求下列不等式的解集：（1）；（2）.答案：（1）因为方程有两个不等实数根，，且函数的图象是开口向上的抛物线，所以抛物线与轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图①所示.根据图象可得不等式的解集为.（2）原不等式可化为，对于方程，因为，所以方程无解，又因为函数的图象是开口向上的抛物线，且与轴没有交点，其图象如图②所示.根据图象可得不等式的解集为.8.已知关于的不等式为.（1）若，解关于的不等式；（2）若，解关于的不等式.答案：（1）把代入，得，化简得，对于方程，，所以方程有两个实数根，分别为，，且函数的图象开口向上，所以不等式的解集为.（2）当时，不等式为，解得，此时，不等式的解集为.当时，把化简得.方程的两个根分别为，.①当，即时，解得，此时，不等式的解集为.②当，即时，解得或，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.③当，即时，不等式为，此时，不等式的解集为.综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.素养提升练9.（多选）（2021湖北高一期中）已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有()A.B.C.的解集为D.的解集为答案：;解析：因为不等式的解集为，其中，所以，所以A正确；，是方程的两个根，所以解得因为，，所以，又因为，所以，所以B错误；可化为，即，即，因为，所以，所以不等式的解集为，所以C正确，D错误，故选AC.10.已知不等式的解集为，那么不等式的解集为()A.B.C.D.答案：解析：由题意得，方程的两个根为-1，2，所以且所以，，代入不等式，可得，解得，所以不等式的解集为，故选C.11.设不等式的解集为，若，则的取值范围是.答案：解析：因为不等式的解集为，且所以对于方程，若，则，即，解得.若，则即即所以.综上，的取值范围是.12.（2021安徽师范大学附属中学高一期末）设，若关于的不等式的解集为，则.答案：27解析：当时，，可得，所以，所以方程的两个根分别为6，，又可化为，即，所以方程的两个根分别为6，，因为，且不等式的解集为，所以解得，则，因此，.13.解关于的不等式.答案：当时，原不等式等价于，解得，故不等式的解集为；当时，对于方程，，①当时，，解得，方程有两个不相等的实根，解得，，当时，，故不等式的解集为；当时，，故不等式的解集为.②当时，，解得，方程有两个相等的实根，解得，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.③当时，，解得，方程没有实数根，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，不等式的解集为.创新拓展练14.已知是关于的不等式的解集，且中的一个元素是0，求实数的取值范围，并用表示出该不等式的解集.答案：原不等式可化为，则对于方程的两个根分别为，，因为是不等式的一个解，所以代入不等式可得，解得.若，则，所以，此时不等式的解集是；若，则，所以，此时不等式的解集是.综上，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.第2课时一元二次不等式的应用互动探究·关键能力探究点一分式不等式的解法自测自评1.不等式的解集是()A.B.C.D.答案：解析：不等式等价于，解得或.故选C.2.不等式的解集为()A.B.C.D.答案：解析：原不等式可化为，即，，即解得，故选A.3.若关于的不等式的解集为，则实数.答案：4解析：，.4.不等式的解集为.答案：解析：，.即不等式的解集为.解题感悟1.对于不等号一端为零的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，要注意分母不为零.2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项、通分（一般不去分母），使之转化为右边为零的不等式，然后求解.探究点二一元二次不等式的实际应用精讲精练例北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件的售价为25元，年销售量为8万件.（1）据市场调查，价格每提高1元，年销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件的售价最高为多少元？（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高售价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为活动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量至少达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?此时该商品每件的售价为多少元?答案：（1）设每件的售价为t元，依题意得，整理得，解得.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件的售价最高为40元.（2）依题意得，当时，不等式有解，等价于当时，有解.因为，当且仅当，即时等号成立，此时，所以.故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品每件的售价为30元.解题感悟解不等式应用题的步骤迁移应用1.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，则每天能卖出30盏.售价每提高1元，日销售量将减少2盏.为了使该文具店每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售价格？答案：设每盏台灯的售价为元，则日销售收入为元，令，解得.又，所以.所以为了使该文具店每天能获得400元以上的销售收入，这批台灯的销售价格应满足.探究点三不等式的恒成立问题精讲精练例（1）不等式的解集为，求的取值范围；（2）若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围.答案：（1）不等式的解集为，二次函数的图象应在轴上方，，解得或.（2）若，则显然不等式不能对一切都成立，所以，此时只有二次函数的图象与轴无交点且开口向上时，才满足题意，则解得，即实数的取值范围是.解题感悟1.在解决一元二次不等式恒成立问题的过程中除了要对二次项系数是不是零进行分类讨论外，还要分清谁是主元，谁是参数.一般地，知道谁的取值范围，谁就是主元，求谁的取值范围，谁就是参数.2.不等式的解集是实数集（或恒成立）的条件是：当时，，；当时，.不等式的解集是实数集（或恒成立）的条件是：当时，，；当时，迁移应用1.当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.答案：设，其中为自变量，为参数，即是关于的一次函数.当时，恒等于0，即不成立，即原不等式不成立.当时，易得化简得则解得或.综上所述，的取值范围是或.评价检测·素养提升1.已知全集为，，，则()A.B.C.D.答案：解析：由得或解得，.，故选A.2.已知关于的不等式的解集是，则.答案：2解析：不等式等价于.由题意得，且-1和是方程的两个根，所以，解得.3.（2021浙江高一期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是.答案：解析：当，即时，原不等式可化为2＞0，恒成立，符合题意；当，即时，若不等式的解集是，则解得.综上可得，实数的取值范围是.课时评价作业基础达标练1.（多选）（2020江苏江浦高级中学高一月考）下列范围满足不等式的有()A.B.C.D.答案：;2.不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是()A.B.C.D.答案：3.（2021河北沧州高一期中）某种杂志原以每本3元的价格销售，可以售出10万本.根据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少1000本.设每本杂志的定价为元，要使提价后的销售总收入不低于42万元，则应满足()A.B.C.D.答案：解析：提价后的销售量为万本，因为销售的总收入不低于42万元，所以，即，解得.故选A.4.（2020武汉钢城第四中学高一期中）若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集是()A.B.C.D.答案：解析：不等式的解集为，即的两个根是1和2，利用根与系数的关系可知即故不等式可转化为，即，等价于或解得或或.故解集为.故选D.5.已知，不等式恒成立，则实数的取值范围可能是()A.B.C.D.答案：解析：因为，不等式恒成立，所以当时，，若，不等式恒成立，若，不等式无意义；当，即时，对于方程，，解得，综上，实数的取值范围是.6.不等式的解集为.答案：解析：不等式可以转化为，等价于，，，不等式的解集为.7.若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是.答案：解析：不等式可化为，对于，不等式恒成立，解得.即实数的取值范围是.素养提升练8.（多选）若不等式对任意恒成立，则的值可以为()A.0B.-2C.D.-3答案：;;解析：，原不等式等价于，，当且仅当，即时，等号成立，又，，，.故选ABC.9.不等式的解集为，则实数的取值范围为()A.B.C.D.答案：解析：因为不等式的解集为，故恒成立.，故，即，解得.故选B.10.（2021山东潍坊高一期中）已知不等式组的解集是关于的不等式解集的子集，则实数的取值范围是()A.B.C.D.答案：解析：因为不等式组的解集是.所以关于的不等式的解集包含，由二次函数的图象（图略）可知，解得，故选B.11.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则其边长（单位：）的取值范围是.答案：解析：设矩形的另一边长为，由三角形相似得，且，，，，，整理得，将代入，整理得，解得.12.已知关于的不等式对于所有的实数都成立，则实数的取值范围是.答案：解析：当时，原不等式可化为，即，不符合题意；当时，要使不等式对于所有的实数都成立，则即解得.综上，的取值范围是.创新拓展练13.某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，同时预计年销售量增加的比例为，已知年利润=（出厂价-投入成本）×年销售量.（1）写出本年度预计的年利润与投入成本增加的比例的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内?答案：（1）由题意得，整理得.（2）要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有即解得，所以投入成本增加的比例应在内.53/551第一章集合与常用逻辑用语1.3集合的基本运算第1课时并集和交集课标解读课标要求素养要求1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集和交集.2.能使用Venn图表达集合的基本关系及基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。数学运算一会求两个集合的并集和交集，能根据两个集合的交集求参数的值（或取值范围）.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一并集一般地，由所有属于集合A或属于集合的元素组成的集合，称为集合与的并集，记作（读作“并”），即①，可用图表示.要点二交集一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合与的交集，记作（读作“交”），即②，可用图表示.自主思考1.若，，则中有几个元素？答案：提示，所以中有4个元素.2.中有几个元素？答案：提示因为中没有元素，所以，即中有0个元素.名师点睛1.仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成.“或”的数学含义如图，若集合和中有公共元素，根据集合元素的互异性，则在中仅出现一次.2.并集的性质（1），即两个集合的并集满足交换律.（2），即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身.（3），即任何集合与空集的并集等于这个集合本身.（4），，即任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集.（5）若，则，反之也成立，即任何集合同它的子集的并集等于这个集合本身.3.交集的性质（1），即两个集合的交集满足交换律.（2），即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身.（3），即任何集合与空集的交集等于空集.（4），，即两个集合的交集是其中任一集合的子集.（5）若，则，反之也成立，即若是的子集，则，的交集是.互动探究·关键能力探究点一并集的运算精讲精练例设集合，，则()A.B.C.D.答案：解析：，，故，故选D.解题感悟求两个集合的并集的方法（1）两个集合用列举法给出：①依定义，直接观察，求出并集；②借助Venn图求出并集.（2)两个集合用描述法给出：①直接观察，写出并集；②借助教轴，求出并集.迁移应用1.设集合，则()A.B.C.D.答案：解析：因为，，所以.故选D.2.已知集合，，则()A.B.C.D.答案：解析：因为，所以.故选B.探究点二交集的运算精讲精练例（1）若，，则图中阴影部分表示的集合为()A.B.C.D.（2）设集合，，则()A.B.C.D.答案：（1）（2）解析：（1）易知，，所以题图中阴影部分表示的集合为，故选A.（2）在数轴上表示出集合与，如图所示.则由交集的定义知，.解题感悟求两个集合的交集的方法（1）对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可.（2）对于元素个数无限的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍.迁移应用1.若集合，，则()A.B.C.D.答案：解析：因为，，所以，故选A.探究点三交集、并集运算的性质及综合应用精讲精练例已知集合，集合，且，试求的取值范围.答案：①当，即时，，满足.②当时，要使，只需解得.综上可知，.解题感悟利用集合交集、并集的运算性质解题的技巧（1）在进行集合运算时，若条件中出现或，则应转化为，然后用集合间的关系解决问题，并注意的情况．（2）集合运算常用的性质：①；②；③迁移应用1.已知集合，，，则；若，则实数的取值范围为.答案：;或解析：因为，，所以.因为，所以.①当时，，解得，满足；②当时，解得.综上，或.评价检测·素养提升课堂检测1.已知集合，，则()A.B.C.D.答案：2.已知集合，，则()A.B.C.D.答案：解析：在数轴上标出集合，B，如图所示，故，故选C.3.已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合是()A.B.C.D.答案：解析：由图可知，阴影部分所表示的集合是.因为，，所以.故选D.4.已知集合，，则.答案：5.若集合，，则，.答案：;解析：如图，借助数轴可知，．素养演练数学运算——利用集合运算求参数问题1.已知集合，，，求实数的值.审：集合与集合的交集中的元素为3，即3是两个集合的公共元素，由此可以列出方程求参数的值.联：当已知两个集合的运算结果求参数的值时，一般要根据集合的运算性质列出方程求解，同时注意验证所求得的参数值是否满足集合中元素的互异性.解：因为，所以，所以，即，解得或.当时，①不满足集合中元素的互异性，舍去；当时，②，，符合题意.综上，.解析：思：解答此类题目的思路是将集合中的运算结果转化为集合与元素之间的关系.若集合中的元素能一一列举，则可用观察法得到其关系；与不等式有关的集合，可利用数轴得到不同集合之间的关系.迁移应用1.若集合，，，则满足条件的实数有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案：解析：因为，所以，所以或或，解得或或或.经检验，当或时满足题意，故选B.课时评价作业基础达标练1.（2020北京昌平高一检测）已知集合，，那么()A.B.C.D.答案：2.（2020北京第五中学高一测试）集合，，那么()A.B.C.D.答案：3.设集合，，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为()A.B.C.D.答案：4.集合，，若，则实数的值为()A.0B.1C.2D.4答案：5.已知，两个集合分别用圆表示，则集合可用阴影表示为()A.B.C.D.答案：6.（多选），，则，，之间的关系必有()A.B.C.D.答案：;7.（2020甘肃平凉高一期中）已知集合，集合，则()A.B.C.D.答案：8.（2020浙江金华高一期中）已知集合，，则()A.B.C.D.答案：解析：由题意得解得故.故选C.9.（2021安徽池州第一中学检测）已知集合，，若，求实数的取值范围.答案：因为，所以，所以解得，故实数m的取值范围为.10.已知集合.若，求实数的取值范围.答案：因为，所以，当时，，解得；当时，所以，综上，.所以实数的取值范围是.素养提升练11.（多选）（2020山东菏泽单县第五中学高一月考）集合，，则()A.B.C.D.集合的真子集个数为8答案：;解析：因为，所以A选项正确，B选项不正确；，所以C选项正确；集合A的真子集个数为，所以D选项不正确.故选AC.12.（2021江西吉安高一检测）设集合，，则使成立的的取值范围为()A.B.C.D.答案：解析：由得，则①当时，，解得，满足条件.②当时，解得.综合①②可知，使成立的的取值范围为.13.已知集合，集合，若，则实数；若，则实数.答案：-2;2或4解析：因为集合，集合，，所以.若，所以或，所以或（舍去）或.14.满足的所有集合的个数是.答案：4解析：由，知，且中至少有一个元素为5，从而中其余元素可以是集合的子集中的元素.而有4个子集，因此满足条件的有4个，它们分别是，，，.15.设，，，.（1）求，的值及，；（2）求.答案：（1）因为，所以，，即，，所以，.（2）由（1）知，，所以.创新拓展练16.已知集合，，试问是否存在使，同时满足下列三个条件：（1）；（2）；（3）.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解析：命题分析本题考查集合的运算，集合间的关系，考查运算求解及逻辑推理能力，考查逻辑推理的核心素养.答题要领先求集合，由条件（1）、（2）得出，由条件（3）得出，然后对集合分类讨论得出结论.答案：详细解析不存在.理由：假设存在使得，满足条件，由题意得.因为，所以，即或.由，可知.又因为，所以，即或.当时，代入得，即或.经检验时，，与矛盾，舍去；时，，与矛盾，舍去.当时，代入得.即或.经检验时，，与矛盾，舍去；时，，与矛盾，舍去.综上所述，不存在实数使得，满足条件.方法感悟，可能为空集；，可能为空集.解决集合间的关系问题时应注意子集与真子集的区别，注意分类讨论和数形结合思想的应用.第2课时补集课标解读课标要求素养要求1.了解全集的含义及其符号表示。2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集。3.会用图、数轴进行集合的运算。1.数学抽象—能用补集的定义判断两个集合互补.2.数学运算—会求一个集合的补集，会用补集思想求参数的值或取值范围。自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一全集一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的①所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作.要点二补集对于一个集合，由全集中不属于集合A的②所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即③.自主思考1.全集一定是实数集吗？答案：提示不一定.全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集.2.若，能否得到？答案：提示不确定.若，则必有，若，则.3.已知，，则.答案：提示.由知，，，集合中的其他元素都属于集合A.名师点睛1.补集的性质，，，，，，.2.含有两个集合运算结果（阴影部分）的图3.补集是相对于全集而言的，它与全集不可分割.一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法；另一方面，补集的元素不超出全集的范围.4.补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算.求集合的补集的前提是为全集的子集，所选的全集不同，得到的补集也是不同的.互动探究·关键能力探究点一补集的基本运算精讲精练例（1）若全集，，则等于()A.B.C.D.（2）已知全集为，集合，，，则集合.答案：（1）（2）解析：（1）因为，，所以，故选C.（2）因为，，所以.又，所以.解题感悟求集合补集的基本方法及处理技巧（1）基本方法：定义法.（2）两种处理技巧：①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解；②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴求解.迁移应用1.设全集，集合，则()A.B.C.D.答案：解析：由题意知集合，则，故选B.2.设全集，，，则.答案：解析：依题意，所以.探究点二交集、并集、补集的综合运算精讲精练例已知全集，集合，，求，，.答案：如图，由图可得如图，由图可得.如图，由图可得，所以，.解题感悟解决交集、并集、补集运算的技巧（1）集合的交集、并集、补集运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，再按照从左到右的顺序进行计算.（2）当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解.迁移应用1.已知全集，，，求，，，.答案：因为，，所以.因为，所以.因为，，所以，.探究点三与补集有关的参数的取值范围的求解精讲精练例设集合，，全集，且，求实数的取值范围.答案：由得，.把，表示在同一数轴上，如图，由数轴可得，，即，所以实数的取值范围是.解题感悟由集合的补集求解参数的问题（1）如果所给集合是有限集，那么由补集求参数问题时，可利用补集的定义并结合相关知识求解.（2）如果所给集合是无限集，那么在求解与交集、并集、补集运算有关的参数问题时，一般利用数轴求解.迁移应用1.设全集，集合，，且，则实数的取值范围是.答案：解析：因为，，所以，由可知，.评价检测·素养提升课堂检测1.设，，则()A.B.C.D.答案：2.已知集合，，则()A.B.C.D.答案：3.设集合，，则()A.B.C.D.答案：解析：因为，所以.又，所以.故选C.4.若全集，且，则集合的真子集共有个.答案：7素养演练数据抽象——集合中元素的个数及相关运算1.新定义：表示有限集合中元素的个数.探究1：，则等于多少？探究2：、均为有限集合，且，能否推出？探究3：、均为有限集合，且，能否推出？探究4：对于任意两个有限集合，，能否推出成立？答案：探究1：中有3个元素，所以.探究2：，故中没有元素，.探究3：，故中元素的个数与集合中的元素一样多，所以中的元素都是集合中的元素，所以.探究4：如图，的元素分布在三个区域中，所以.迁移应用1.已知高一（3）班共有学生40人，报名参加语文读书会的学生有24人，参加科学兴趣组的有15人，两个项目都没参加的有10人，那么两个项目都参加的有多少人？答案：设两个项目都参加的有x人，利用图计算：由，解得，故两个项目都参加的有9人.课时评价作业基础达标练1.（2020北京第八中学高一月考）已知，，，则下列运算中错误的是()A.B.C.D.答案：2.（2021广东韶关高一期末）设，，则()A.B.C.D.答案：3.（2020四川棠湖中学实验学校高一期中）设全集，集合，，则()A.B.C.D.答案：4.（多选）（2020山东济宁邹城一中高一月考）如图所示，阴影部分表示的集合是()A.B.C.D.答案：;5.（2020贵州师范大学附属中学检测）设，是非空集合，定义，已知，，则()A.B.C.D.答案：6.（2020山东济宁邹城一中高一月考）已知全集，，，且，则实数的取值范围是()A.B.C.D.答案：7.已知集合，集合，若，则实数.答案：58.已知全集，，那么集合，.答案：;9.（2020湖北黄冈黄梅国际育才高级中学检测）已知全集，的子集，，求实数的值.答案：由已知，得，且，因此解得.当时，，，，满足题意.因此实数的值为2.10.设全集，集合，.求：（1）；（2）记，，且，求实数的取值范围.答案：（1）由题意知，，所以.（2）由（1）得，由得.当时，有，解得；当时，有无解.综上，的取值范围是.素养提升练11.定义，现有三个集合，，分别用圆表示，则下列图中阴影部分可表示集合的为()A.B.C.D.答案：12.设全集，，，则与的关系是.答案：解析：全集，，，则，则，则.13.已知全集中有个元素，中有个元素.若非空，则中的元素个数为.答案：解析：因为，所以中的元素个数是.14.已知集合，若，则实数的取值范围是.答案：解析：由知，即，因此，解得.创新拓展练15.已知集合，.（1）若，求的取值范围；（2）是否存在实数使且？答案：（1）因为，所以.因为，所以解得.所以的取值范围是.（2）因为，所以或，解得或.由（1）知，若，则，因为，所以不存在实数使且.加练课1集合的综合运算学习目标1.进一步掌握集合的概念、集合间的关系.2.进一步掌握并集、交集与补集的运算法则.3.进一步熟悉数学语言（文字语言、符号语言和图形语言）.自主检测·必备知识一、概念辨析，判断正误1.用描述法表示大于3且不大于8的实数的集合为.(×)2.任意一个集合必有两个或两个以上的真子集.(×)3.若，则.(×)二、夯实基础，自我检测4.（2020山西运城高一月考）下列所给对象能构成集合的是()A.2020年全国Ⅰ卷数学试题的所有难题B.比较接近2的全体正数C.未来世界的高科技产品D.所有整数答案：5.（2020山东济南第十一中学高一期中）下列关系正确的是()A.B.C.D.答案：6.（2020北京师范大学珠海分校附属外国语学校高一期中）设，，若，则实数的取值范围是()A.或B.C.D.答案：解析：因为，且，所以此不等式组无解.故选D.7.已知，．若，则的取值范围为.答案：解析：在数轴上标出集合、，如图．若，则解得.互动探究·关键能力探究点一集合的概念与运算精讲精练类型1正确理解、运用集合语言例1能正确表示集合和集合关系的图是()A.B.C.D.答案：解析：由得或，故，易得.故选B.解题感悟数学解题语言有三种：文字语言、符号语言和图形语言，解题时应灵活转化图法和数轴图示法是进行交集、并集、补集运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心.类型2集合中元素的互异性例2已知集合，若，则的值为.答案：解析：因为，所以或.当，即时，，此时集合中有重复元素3，所以不符合题意，舍去；当时，解得（舍去），当时，，符合题意．综上，.解题感悟集合中元素的互异性，一可以作为解题的依据和突破口；二可以检验所求结果是否正确.类型3空集例3（2020天津静海一中高一调研）已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围．答案：（1）当时，.（2）知解得，即的取值范围是.（3）由得，①当，即时，，符合题意；②当，即时，需或解得或，即．综上可知，实数的取值范围是.解题感悟空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，根据集合间的包含关系求解参数范围时，要注意分析集合为空集的可能.迁移应用1.已知集合，，之间的关系如图所示，则()A.B.C.D.答案：2.（2020辽宁省实验中学高一检测）已知集合，.（1）是否存在实数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（2）若，求实数的取值范围.答案：（1），所以且中不含除0，2，4以外的实数，即，解得.验证：此时，所以不存在实数，使.（2）由得，即只可能为，，，.①，即且，解得；②，即此方程组无解；③中方程只有一个根：当时，解得，此时，符合题意；当时，由，解得，此时，不符合题意.综上所述，.探究点二集合中的创新问题精讲精练类型1新定义集合的概念例1当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为.答案：解析：根据“孤立元素”的定义逐一验证中的元素即可.0有1相伴，1，2则是前后的元素都有，3有2相伴，只有5是“孤立元素”，从而集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为．解题感悟解决与集合有关的新定义问题，首先要分析新定义的特点与本质，认清新定义对集合、元素的要求，进而将新定义的问题转化为熟悉的问题，从而使问题得到解决，也就是“以旧带新”法.类型2新定义集合的性质例2若集合具有以下性质：①，；②若，，则，且时，，则称集合是“好集”.给出下列说法：①集合是“好集”；②有理数集是“好集”；③设集合是“好集”，若，则.其中，正确说法的个数是()A.0B.1C.2D.3答案：解析：假设集合是“好集”，因为，，所以，这与矛盾，所以集合B不是“好集”，故①中说法错误.因为，，对任意的，，有，且时，，所以有理数集是“好集”，故②中说法正确.因为集合是“好集”，所以，若，，则，即，所以，即，故③中说法正确.解题感悟以集合为背景的新定义问题，常以“问题”为核心，“探究”为途径，“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查学生对新概念的理解，充分体现了数学抽象的核心素养.类型3新定义集合的运算例3设、是两个非空集合，定义与的差集为，则集合.答案：解析：根据定义“，且”作出图，如图所示，由图可知.解题感悟求解集合创新题的关键是仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案.将新定义问题转化到已学的知识中进行求解.注意并集、交集和补集的定义的运用类型4探索性问题例4已知三个集合，，，则同时满足，的实数，是否存在？若存在，求出，的所有值；若不存在，请说明理由.答案：存在..因为，所以.又，所以，即.因为，且，所以为或或或.当时，；当时，，即，此时，与或矛盾，故舍去；当时，，即.综上可知，存在，或满足题意.解题感悟探索性问题的解题思路（1）要明确探索的目标是什么，其中哪一个集合是确定的，哪一个集合是需要探索的；（2）要重视对空集的讨论；（3）要依据集合间的关系对参数进行分类讨论；（4）要对结果进行验证.迁移应用1.若数集具有性质：对任意的，，与两数中至少有一个属于A，则称集合为“权集”，则()A.为“权集”B.为“权集”C.“权集”中元素可以有0D.“权集”中一定有元素1答案：2.定义集合运算：，设，，则集合的真子集个数为()A.8B.7C.16D.15答案：解析：由，得，中有，，，四种运算情况.由集合中元素的互异性可知，集合中有3个元素：1，0，2，故集合的真子集为，，，，，，，共7个.3.若是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：①属于，属于；②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于，则称是集合上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合：；②；；.其中是集合上的拓扑的集合的所有序号是.答案：②④解析：因为，所以①不是集合上的一个拓扑.因为，所以③不是集合上的一个拓扑.易知②④均是集合上的拓扑.故答案为②④.4.已知集合，集合.（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围；（3）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.答案：（1）因为，所以或解得或.故a的取值范围是.（2）因为，所以解得.（3）因为，所以且.由（1）（2）的结论可知，不存在实数，使得.评价检测·素养提升1.（2020天津静海第六中学高一检测）一次函数与的图象的交点组成的集合是()A.B.C.D.答案：解析：由解得所以两函数图象的交点组成的集合是.故选D.2.（2021北京第五中学高一段考）设是至少含有两个元素的集合，在上定义了一个二元运算“”：，且若对任意的，有，则下列等式不恒成立的是()A.B.C.D.答案：解析：根据定义，对任意的，有可知，对于A选项，不满足新定义的形式，故其不一定恒成立，故A选项不正确；对于B选项，，故B选项正确；对于C选项，满足定义，故C选项正确；对于D选项，把看成一个整体，故，故D选项正确.故选A.3.（2020天津第四十七中学高一月考）设集合，，若，则实数.答案：-3解析：因为集合，，所以，故.4.若，则，就称是“伙伴关系集合”，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是.答案：3解析：符合题意的元素有-1，，2，所以具有伙伴关系的集合有，，，共3个.课时评价作业基础达标练1.下列给出的对象中，能组成集合的是()A.一切很大的数B.好心人C.漂亮的小女孩D.方程的实数根答案：2.（2020辽宁葫芦岛第八高中高一月考）集合中含有的元素个数为()A.4B.6C.8D.12答案：3.下面关于集合的表示中正确的个数是()①；②；③；④.A.0B.1C.2D.3答案：4.已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合是()A.B.C.D.答案：5.（2020天津静海一中高一调研）有下列四个命题：①是空集；②若，则有2个；③若集合，则集合中所有元素之和为-2；④集合是有限集.其中正确的命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案：6.（2020海南临高二中高一月考）已知全集，，则.答案：解析：由题意得，所以.7.当，是非空集合，定义运算，若，，则.答案：解析：画出数轴如图，所以8.设，为两个数集，中含有0，2，5三个元素，中含有1，2，6三个元素，定义集合中的元素是，其中，，则中元素的个数为.答案：8解析：当时，由可得的值为1，2，6；当时，由可得的值为3，4，8；当时，由可得的值为6，7，11.由集合元素的互异性可知，中的元素为1，2，3，4，6，7，8，11，共8个.9.（2020山东滕州一中高一月考）已知集合，则实数的取值集合为.答案：解析：由，得或，所以，因为，所以，当时，方程无解，则，当时，即，方程的解为，因为，所以或，解得或，所以实数的取值集合为.素养提升练10.（多选）（2021山东菏泽单县第五中学高一月考）给定数集，若对于任意，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是()A.集合为闭集合B.集合为闭集合C.正整数集为闭集合D.若集合，为闭集合，则为闭集合答案：;;解析：对于，当集合时，，所以集合不为闭集合.对于，当时，设，，，则，，所以集合为闭集合.对于，设，是任意的两个正整数，当时，，不是正整数，所以正整数集不为闭集合.对于，设，，则和均是闭集合，且，，而，此时不为闭集合.故选ACD.11.（2021河北保定易县中学高一期末）设，则()A.B.C.D.答案：解析：依题意知，，，所以.故选D.12.（2020北京人大附中高一段考）设集合，在上定义运算“”为，其中为被4除的余数，，0，1，2，3，4，5，则满足关系式的的个数为.答案：3解析：当时，；当时，；当时，；时，；当时，当时，则满足关系式的的个数为3.13.（2021北京海淀高一月考）已知非空集合，满足以下两个条件：①，；②的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素.求有序集合对的个数.答案：已知的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素.当集合中只有一个元素时，集合中有四个元素，则且，故可能结果为，共1种.当集合中有两个元素时，集合中有三个元素，则且，此时集合中必有一个元素为3，集合B中必有一个元素为2，故可能结果为，；，；，，共3种.当集合中有三个元素时，集合中有两个元素，则且，此时集合中必有一个元素为2，集合B中必有一个元素为3，故可能结果为，；，；，，共3种.当集合中有四个元素时，集合中有一个元素，则且，故可能结果为，，共1种.综上所述，有序集合对的个数为8.创新拓展练14.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.问题：已知集合，，是否存在实数，使得？解析：命题分析本题是开放性问题，也是探究性问题，考查集合间的关系，集合的交集和补集运算，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.答题要领化简集合，分，，三种情况讨论得到集合，再求实数的取值范围.答案：详细解析当时，；当时，；当时，.若选择①，则，当时，，则，所以；当时，，满足题意；当时，不满足题意，所以实数的取值范围是.若选择②，当时，，，满足题意.当时，，不满足题意；当时，，，不满足题意.所以实数的取值范围是.若选择③，当时，，，而，不满足题意；当时，，，而，满足题意；当时，，，而，，且满足题意.所以实数的取值范围是.方法感悟求解开放性问题需要运用所学知识，发挥自身的数学思维能力以及创新能力，得到相应的结果.注意数学思想方法的运用.53/551第二章一元二次函数、方程和不等式章末总结体系构建题型整合题型1不等关系与不等式例1已知、均为正实数，试比较与的大小.答案：，均为正实数，，，，，当且仅当时，等号成立，.解题感悟作差法是比较两式大小最常用的方法，使用时要进行合理的变形，以利于比较.迁移应用1.已知，试比较与的大小.答案：．，，，，..题型2一元二次不等式的解法及应用例2已知不等式的解集是，求实数的取值范围．答案：当，即时，若，则不等式可化为，解得，不符合题意；若，则不等式可化为1＞0，恒成立，符合题意.当时，根据题意有即解得即或.综上，的取值范围是.解题感悟解含参数不等式需分类讨论的情况（1）二次项系数为字母且没有给出具体范围时，要分大于0、等于0、小于0三种情况进行讨论.（2）对应方程的根无法判断大小时，要分类讨论.（3）若判别式含参数，则在确定解的情况时需分三种情况进行讨论.迁移应用2.已知不等式的解集是.（1）若，求的取值范围；（2）若，求不等式的解集.答案：（1），，解得，即的取值范围为.（2），且，2是方程的两个根，由根与系数的关系得解得，不等式为，即，对于方程，，它有两个实数根，解得，，不等式的解集为.题型3利用基本不等式求最值例3已知不等式的解集为.（1）求，的值；（2）求的最小值.答案：（1）由题意得，1和b为方程的两个根，则解得.（2）由（1）知，，，.，当且仅当，即时取等号.又，的最小值为.解题感悟利用基本不等式求最值的三种解题技巧（1）凑项：通过变换项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值，再利用基本不等式求最值.（2）凑系数：无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，再利用基本不等式求最值.（3）换元：分式求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，再利用基本不等式求最值.迁移应用3.已知正数，满足恒成立，则实数的最小值为.答案：2解析：，，（当且仅当时取等号）.又由可得，而，当且仅当时取等号，的最大值是2.的最小值为2.4.的最大值为.答案：解析：令，则，，所以.当；即，；当。即时，，因为（当且仅当时取等号），所以，即的最大值为（当，即时，取得最大值）.高考链接1.（2018课标Ⅰ，2，5分）已知集合，则()A.B.C.D.答案：解析：对于方程，因为，所以它有两个实数根，解得，，结合二次函数的图象（图略）得不等式的解集为，所以，故，故选B.2.（2020江苏，12，5分）已知，则的最小值是.答案：解析：，且.，当且仅当，即时取等号，此时.的最小值为.3.（2020天津，14，5分）已知，且，则的最小值为.答案：4解析：，，，，当且仅当时取等号.的最小值为4.4.（2019天津，13，5分）设，，，则的最小值为.答案：解析：，，，，，当且仅当时等号成立，故的最小值为.5.（2017北京，13，5分）能够说明“设，，是任意实数.若，则”是假命题的一组整数，，的值依次为.答案：-1，-2，-3（答案不唯一）解析：答案不唯一，如：，，，满足，但不满足.6.（2017江苏，10，5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是.答案：30解析：总费用为，当且仅当，即时等号成立，此时一年的总运费与总存储费用之和最小.53/551第一章集合与常用逻辑用语1.2集合间的基本关系课标解读课标要求素养要求1.理解集合之间包含与相等的含义.2.能识别给定集合的子集.3.会用子集与真子集的定义求解相关问题.1.数学抽象——能够用集合之间包含与相等的含义以及子集,真子集的概念判断两个集合间的关系.2.数学运算——会用子集和真子集的定义求参数的取值范围.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一子集一般地,对于两个集合，，如果集合中①任意一个元素都是集合中的元素,就称集合为集合的子集,记作（或②）,读作“包含于”(或“包含”）.要点二图在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为图.要点三集合与集合相等一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作③.也就是说,若,且,则.要点四真子集如果集合,但存在元素,且,就称集合是集合的真子集,记作（或④）,读作“真包含于”(或“真包含”）.要点五空集一般地,我们把⑤不含任何元素的集合叫做空集,记为,并规定:空集是任何集合的⑥子集.要点六两个重要结论1.任何一个集合是它本身的子集,即.2.对于集体，，,如果,且,那么.自主思考1.用图怎么表示？答案：提示2.若，，则吗？答案：提示，集合、中的元素是同一个一元二次方程的解，所以.3.与的含义相同吗？答案：提示不同,表示集合是集合的真子集,表示集合是集合的真子集.4.与有什么区别?答案：提示是不含任何元素的集合;是含有一个元素的集合,.5.若集合只有一个子集,则集合是什么集合?答案：提示是.6.已知,则满足的集合有几个?答案：提示2个,即或.名师点睛1.“”可以理解为集合中的任何一个元素都是集合的元素,即对于任意都能推出.不能把“”理解为“是中部分元素组成的集合”,因为集合可能是空集,也可能是集合.2.空集只有一个子集,即它本身,即;若,则.3.在真子集的定义中,首先要满足,其次至少有一个,但.若不是的子集,则一定不是的真子集.4.若,且,则;反之,若,则,且.这就给出了证明两个集合相等的方法,即欲证,只需证与同时成立即可．若两集合相等,则两集合所含元素完全相同,与元素的排列顺序无关.互动探究·关键能力探究点一集合间关系的判断精讲精练例判断下列各组中集合之间的关系:（1），;（2），，;（3），.答案：（1）若是12的约数,则必是36的约数,反之不成立,所以.（2）易知集合，集合，集合,所以.（3）易知中的元素都是中的元素,但在B中的元素不一定属于A,如,但,故.解题感悟判断集合间关系的方法（1）观察法:一一列举然后观察.（2）元素特征法:首先确定集合的元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断集合间的关系.（3）数形结合法:利用数轴或图.提醒：若和同时成立,则更能准确表达集合,之间的关系.迁移应用1.判断下列各组集合之间的关系：（1）;（2）;（3）（4）集合集合答案：（1）集合的元素是数,集合B的元素是有序实数对,故A与之间无包含关系．（2）集合,用数轴表示集合,,如图所示,由图可知.（3）由列举法知，，故.（4）因为，,所以.探究点二求集合的子集（真子集）及其个数精讲精练例（1）写出集合的所有子集,并求出真子集的个数;（2）写出满足的所有集合.答案：（1）集合的所有子集:，，，，，，，，其中除外,都是的真子集,共7个.（2）由题意知,集合中一定含有元素3,4,并且是至少含有三个元素的集合,因此所有满足题意的集合有，，，，，，.解题感悟1.求集合子集或真子集的3个步骤2.与子集、真子集个数有关的4个结论假设集合中含有个元素,则：（1）的子集有个;（2）的非空子集有个;（3）的真子集有个;（4）的非空真子集有个.迁移应用1.已知集合,试写出的所有子集.答案：因为,所以.所以的所有子集：，，，，，，，.探究点三集合间关系的应用精讲精练例已知集合，,若,求实数的取值范围.答案：当时,如图所示．所以或解这两个不等式组,得.当时,由,得.综上可得,的取值范围是．解题感悟利用集合间的关系求参数问题（1）利用集合间的关系求参数的取值范围问题,常涉及两个集合,其中一个为动集合（含参数）,另一个为静集合（具体的）,解答时常借助数轴来建立变量间的关系,需特别注意端点问题.（2）空集是任何集合的子集,因此在解的含参数的问题时,要注意讨论和两种情况,前者常被忽视,造成漏解的现象.迁移应用1.（2021湖北武汉武昌检测）已知集合，,若,求实数的取值范围.答案：因为,所以可分为和两种情况,当时,,解得,当时,应满足解得.综上所述,.评价检测·素养提升课堂检测1.集合的子集有()A.4个B.3个C.2个D.1个答案：2.下列表述正确的有()①空集没有子集;②任何集合都有至少两个子集;③空集是任何集合的真子集;④若,则.A.0个B.1个C.2个D.3个答案：3.已知集合,若,则实数.答案：4解析：因为，,所以,所以.4.（2020江西宜春宜丰第二中学检测）已知集合，,若,则实数的取值范围是．答案：解析：因为所以素养演练数学运算——利用分类讨论思想解决集合间的关系问题1.已知集合，，且求实数的所有取值组成的集合.解析：审：结论是求实数的取值范围,注意已知集合,是方程的解集.联：集合是一元二次方程的解集,集合是一元一次方程的解集,但未知数前含有参数,因此需要分类讨论.答案：解：由,得或,所以集合.当时,,满足①.当时,,则.因为,所以②或,解得或.综上可知,实数的所有取值组成的集合为③.解析：思：涉及“”或“”的问题,一定要分和两种情况讨论,不要忽视空集的情况,过程中体现了数学运算的核心素养.迁移应用1.已知集合，.（1）若为非空集合,求实数的取值范围;（2）若,求实数的取值范围.答案：（1）若,则有,解得,所以实数的取值范围是.（2）当时有以下三种情况:①,即,解得;②且则有无解;③且则有解得.综上,实数的取值范围是.课时评价作业基础达标练1.若,则()A.，B.，C.，D.，答案：2.下列图形中,表示的是()A.B.C.D.答案：3.满足关系的集合的个数是()A.4B.6C.8D.9答案：4.已知集合,则下列正确的有()①;②;③;④.A.4个B.3个C.2个D.1个答案：5.（2020山东济宁邹城一中高一期中）已知集合，,则()A.B.C.D.答案：6.（2020陕西渭南临渭检测）若集合,且中至少含有一个奇数,则这样的集合有个.答案：6解析：集合的子集共有8个,其中至少含有一个奇数的有，，，，，,共6个.7.集合有且仅有两个子集,则实数的取值为．答案：1或解析：由集合有两个子集可知,该集合是单元素集,当时,满足题意．当时,由可得,故或.8.（2020黑龙江哈尔滨宾县第一中学高一期中）已知集合,若,则;的真子集有个.答案：0或-1;7解析：因为集合,所以或解得或.所以集合,故A的真子集有个.9.已知集合，.（1）若,求的取值范围;（2）若,求的取值范围.答案：（1）若,由图可知,.故实数a的取值范围为.（2）若,由图可知,.故实数a的取值范围为.素养提升练10.若集合,集合,则()A.B.C.D.以上均不对答案：解析：因为，,又为奇数,为整数,所以.11.（2020四川泸县第一中学检测）设集合,集合,若，,则()A.-1B.0C.1D.答案：解析：当时,有两个相等的实根,为-1,即,经检验,符合题意;当时,有两个相等的实根,为1,即,经检验,符合题意;当时,不成立．故.12.设集合和,那么与的关系为.答案：解析：因为,所以，同号,又,所以，,即集合表示第三象限内的点,又因为集合也表示第三象限内的点,所以.13.已知集合,则集合.若集合满足,则集合.答案：;解析：解方程,得或,所以集合.因为集合满足,所以集合.14.设，．（1）若,试判定集合与的关系;（2）若,求实数组成的集合.答案：（1），当时,,所以.（2）当时,,因为,所以;当时,,因为，,所以或,则或.所以.创新拓展练15.已知集合,集合.（1）是否存在实数,使得对于任意实数都有若存在,求出对应的的值,若不存在,说明理由;（2）若成立,求出对应的实数对.解析：命题分析本题是探索性问题,主要考查含绝对值方程的解法,集合间的关系,考查运算求解能力,考查数学运算的核心素养.答题要领（1）依题意,当且仅当集合A中的元素为1,2时,对任意实数都有.（2）若,则中的两个元素肯定有一个对应元素b.列出方程组,并求解.答案：详细解析（1）不存在.理由：当且仅当集合中的元素为1,2时,对于任意实数都有.因为,所以或无解.所以不存在实数,使得对于任意实数都有（2）由（1）易知,若,则中的两个元素肯定有一个对应元素,则或或或解得或或或所以所求实数对为(5,9)或(6,10)或(-3,-7)或(-2,-6),方法感悟（1）注意区分子集与真子集的概念;（2）存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在,若结论不正确,则不存在.注意分类讨论思想的运用.53/551第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式课标解读课标要求素养要求1.能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.2.初步学会用作差法比较两个实数的大小.1.数学抽象——会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.2.数学运算——能用作差法比较两个实数的大小.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一实数,大小的比较关于实数大小的比较,有以下基本事实：如果是正数,那么①;如果等于0,那么②;如果是负数,那么③.反过来也对.这个基本事实可以表示为；;.要点二重要不等式一般地，有④,当且仅当⑤时,等号成立.自主思考1.与两式都随的变化而变化,其大小关系并不明显,你能想个办法比较与的大小吗答案：提示作差,因为，所以.2.教材图2.1-4中的小正方形面积如何用表示？答案：提示小正方形的面积为.名师点睛1.不等关系强调的是关系,可用符号“＞”“＜”“”“”或“”表示,而不等式则是表示两者的不等关系,可用式子“”“”“”“”或“”表示,不等关系是可以通过不等式来体现的.2.不等式中文字语言与符号语言之间的转换：文字语言大于,高于,超过小于,低于,少于大于等于,至少,不低于小于等于,至多,不多于,不超过符号语言＞＜互动探究·关键能力探究点一用不等式（组）表示不等关系精讲精练例某钢铁厂要把长度为的钢管截成和两种,按照生产的要求,钢管的数量不能超过钢管数量的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式．答案：设截得的钢管根,截得的钢管根,依题意,可得不等式组：，即解题感悟将实际的不等关系写成对应的不等式时,应注意实际问题中关键性的文字语言与对应的数字符号之间的正确转换,这关系到能否正确地用不等式表示出不等关系.迁移应用1.李辉准备存零花钱买一台学习机,他现在已存60元．计划从现在起以后每个月节省30元,直到他至少有400元．设个月后他至少有400元,则可以用于计算所需要的月数的不等式是()A.B.C.D.答案：解析：个月后他至少有400元,可表示为.故选B.2.一辆汽车原来每天行驶,如果该汽车每天行驶的路程均比原来多,那么在8天内它行驶的路程将超过,用不等式表示为.答案：解析：因为该汽车每天行驶的路程比原来多,所以汽车每天行驶的路程为,则在8天内它行驶的路程为,因此,不等关系“在8天内它行驶的路程将超过”可以用不等式表示为.探究点二作差法比较大小精讲精练例已知,比较与的大小.答案：.因为,所以,所以,所以.解题感悟作差法比较,大小的基本步骤迁移应用1.比较与的大小.答案：.因为,所以当时,,即.当时,,即.当时,,.探究点三利用作差法证明不等式精讲精练例已知,求证：.答案：证明.解题感悟用作差法证明不等式的关键是对差式进行变形,通过配方、通分、分解因式等方式确定等式的符号,从而证明不等式.迁移应用1.已知均为正实数,证明：.答案：证明.当时,,则;当时,,因为均为正实数,所以,则.综上所述,.评价检测·素养提升课堂检测1.下列能表示“不比小”的不等关系的是()A.B.C.D.答案：2.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩不低于95分,文化课总分高于380分,体育成绩超过45分,则用不等式组表示为()A.B.C.D.答案：3.（2020黑龙江宾县第一中学高一期中）设,则与的大小关系是.答案：解析：由作差法,可得,所以.4.设,证明：.答案：证明,所以.5.用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长,要求菜园的面积不小于,靠墙的一边长为,试用不等式组表示其中的不等关系．答案：由于矩形菜园靠墙的一边长为,且墙长为,所以,矩形菜园的另一条边长为.因此菜园面积.依题意有,即,故题中的不等关系可用不等式组表示为.素养演练数学建模——不等关系的实际应用1.某公司有20名技术人员,计划开发两类电子器件共50件,每类每件所需人员和预计产值如下：产品种类每件需要人员数每件产值（万元/件）类7.5类6现欲使总产值最高,则应开发类电子器件件,最高产值为万元.答案：20;330解析：设应开发类电子器件件,总产值为万元,则开发类电子器件件,由,解得.由题意,得总产值,当且仅当时,取得最大值,且最大值为330.所以应开发类电子器件20件,最高产值为330万元.素养探究：（1）根据实际问题列不等式（组）的关键是通过分析找出问题中的不等关系,并确定不等号,然后写出不等号两边的代数式.（2）根据实际问题列出不等式（组）,应从实际意义出发,而不能拘于某一种形式.迁移应用1.为打造“书香校园”,某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.设组建中型图书角个,用不等式组将题目中的不等关系表示出来,并求出所有符合题意的组建方案.答案：因为组建中型图书角个,所以组建小型图书角个,则，解得所以的取值是18,19,20.当时,;当时,;当时,.故有三种符合题意的组建方案:方案一,组建中型图书角18个,小型图书角12个;方案二,组建中型图书角19个,小型图书角11个;方案三,组建中型图书角20个,小型图书角10个.课时评价作业基础达标练1.（多选）下列说法正确的是()A.某人的月收入元不高于2000元可表示为""B.小明的身高为,小华的身高为,则小明比小华矮可表示为""C.变量不小于可表示为""D.变量不超过可表示为""答案：;2.据天气预报可知某天白天的最高温度为,则该天白天的气温（单位：）与之间存在的不等关系是()A.B.C.D.答案：解析：由气温不超过最高温度可得结果.3.（2020湖南师大附中高一月考）设,则()A.B.C.D.与的大小关系与有关答案：解析：作差后与0比较,得出、的大小关系.4.（2020安徽滁州定远高一月考）某同学拿50元钱买纪念邮票,票面8角的每套5张,票面2元的每套4张,如果每种邮票至少买两套,那么买票面8角的套与票面2元的套用不等式(组)表示为()A.B.C.D.答案：解析：购买两种票面的邮票共用金额应小于或等于50元,同时注意，且.5.不等式中等号成立的条件为.答案：6.某商品的包装上标有质量克,若用表示商品的质量,则可用含绝对值的不等式表示该商品的质量为.答案：7.比较大小：.（填“＞”“＜”或“=”）答案：＞解析：，故.素养提升练8.若,则、的大小关系是()A.B.C.或D.答案：解析：.故选B.9.（2021安徽滁州高一期末）已知,给出下列不等式：①;②;③;④,其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案：解析：,因为,所以,所以,即,故①正确;,因为,所以,所以,即,故②正确;时,,所以，故③错误;,因为,所以,所以,即,故④正确.所以正确的有①②④.故选C.10.（2020南京师范大学附属实验学校高一月考）如图,在一块长为,宽为的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行）,剩余部分修建草坪,要求草坪的面积不小于.设道路的宽为xm,根据题意可列出的不等式为()A.B.C.D.答案：解析：把所修建的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边,则剩下的草坪是一个长方形,草坪面积为,因为草坪的面积不小于,所以.故选B.11.已知满足,比较的大小.答案：,.由题意得方程组解得,.创新拓展练12.甲打算从地出发至地,现有两种方案.第一种：前一半路程按速度前进,后一半路程按速度前进,平均速度为;第二种：前一半时间按速度前进,后一半时间按速度前进,平均速度为.则的大小关系为()A.B.C.D.无法确定答案：解析：第一种方案：设总路程为,则,第二种方案：设总时间为,则,.故选B.第2课时等式性质与不等式性质课标解读课标要求素养要求梳理等式的性质,掌握不等式的性质.逻辑推理——能够用不等式的性质解决相关问题.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一等式的基本性质等式有下面的基本性质:性质1如果,那么①;性质2如果,那么②;性质3如果,那么;性质4如果,那么;性质5如果，那么③.要点二不等式的性质不等式有如下性质:性质1如果,那么;如果,那么.即④.性质2如果,那么.即.性质3如果,那么.性质4如果,那么⑤;如果,那么⑥.性质5如果,那么.性质6如果,那么⑦.性质7如果,那么.自主思考1.若,能否得出?举例说明.答案：提示不能.例如:3×0=4×0,但.2.若,判断下列各不等式是否成立:①;②;③;④.答案：提示由可得,又,所以由不等式的性质5可知③④正确;因为a,b,c,d的正负不确定，所以②不一定成立;因为同向不等式不能相减,所以①不一定成立.名师点睛1.不等式的其他性质（1）倒数性质：.（2）分数性质：若,则真分数性质：;.假分数性质：;.2.指定代数式的取值范围必须依据不等式的性质进行求解,同向不等式具有可加性与可乘性,但是不能相减或相除,解题时必须利用性质,步步有据,避免改变代数式的取值范围．互动探究·关键能力探究点一利用不等式的性质判断不等式是否成立自测自评1.已知,则下列不等式中恒成立的是()A.若,则B.若,则C.若,则D.若,则答案：解析：当时,中不等式不成立;当时,中不等式不成立;当时,中不等式不成立;由不等式的性质知D中不等式恒成立.故选D.2.若,且,则下列不等式中一定成立的是()A.B.C.D.答案：解析：选项,因为大小无法确定,所以中不等式不一定成立;选项B,当时,才能成立,故B中不等式不一定成立;选项C,当时,不等式不成立,故C中不等式不一定成立;选项D,因为所以,故D中不等式一定成立.故选D.3.若,则下列不等式中不成立的是()A.B.C.D.答案：解析：因为,所以,所以,即,故A中不等式成立;,即，故B中不等式成立;,即,故C中不等式成立;当时,,故D中不等式不成立.故选D.解题感悟判断不等式是否成立的技巧（1）首先要注意不等式成立的条件,不要弱化条件.（2）解决有关不等式的选择题时,也可采用特殊值法进行排除,注意取值要遵循以下原则：一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证计算.探究点二利用不等式的性质证明不等式精讲精练例已知,证明：.答案：证明由得,即.由得，即，故.解题感悟利用不等式的性质证明不等式时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则.迁移应用1.已知,求证：.答案：证明因为,所以,所以.又因为,所以.所以,即,所以.探究点三利用不等式的性质求取值范围精讲精练例已知,求与的取值范围.答案：,,.又,.解题感悟利用不等式的性质求取值范围的策略（1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,利用不等式的性质进行运算,求得待求的范围.（2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）,这种转化不是等价变形,如果在解题过程中多次使用这种转化,那么就有可能扩大取值范围.迁移应用1.已知实数满足则实数的取值范围为.答案：解析：显然时不符合题意.若,则,矛盾,所以,则,解得.评价检测·素养提升课堂检测1.对于实数a,b,c,下列说法错误的是()A.若,则B.若则C.若,则D.若,则答案：解析：由可得,故A中说法正确;由及得,故B中说法正确;由知,又,则,故C中说法正确;若,则,故D中说法错误.故选D.2.若且,则一定是()A.正数B.负数C.非正数D.非负数答案：解析：,.又,一定是负数.故选B.3.已知,则的大小关系为()A.B.C.D.答案：解析：因为,所以,所以.4.已知实数满足,则的取值范围是.答案：(-2,0)解析：.由不等式的性质可得,又,即.5.已知,求的取值范围.答案：因为,所以.所以,则.又,所以,则.素养演练数学运算——用待定系数法求代数式的取值范围1.已知,求的取值范围.答案：设存在满足,则解得..又.素养探究：在给定已知代数式的取值范围的条件下,求未知代数式的取值范围,通常需要先用待定系数法将所求代数式表示成已知代数式的组合,再利用不等式的性质求解,特殊情况下这种组合形式也可观察得出,解题过程中体现数学运算的核心素养.迁移应用1.已知,求的取值范围.答案：令,则解得..又.课时评价作业基础达标练1.（2020北京海淀清华附中高一期中）已知,则下列不等式一定成立的是()A.B.C.D.答案：2.若,则下列不等式恒成立的是()A.B.C.D.答案：3.（2021天津三中高一期末）若,则下列正确的是()A.B.C.D.答案：4.（多选）（2020广东东莞四中高一期中）若,则下列不等式恒成立的是()A.B.C.D.答案：;5.已知,给出下列四个不等式：①;②;③;④.其中不正确的不等式个数是()A.0B.1C.2D.3答案：6.（多选）（2020山东烟台高一期中）设,则()A.B.C.D.答案：;7.（2021浙江高一期末）若则的取值范围是.答案：解析：因为,所以,又,所以,则.素养提升练8.（2021江苏南京高一期末）已知都是负数,且,则()A.B.C.D.答案：解析：,选项A错误;,选项B错误;由不等式的性质可知,,选项C错误;,,选项D正确.故选D.9.（多选）（2020山东济南高一月考）设a,b为正实数,则下列命题正确的有()A.若则B.若,则C.若,则D.若则答案：;解析：若,则,即,即,A选项正确.若,可取,则,B选项错误.若,可取,则,C选项错误.若则即,即,;即;若,则,即,即,,即,D选项正确.故选AD.10.已知a、b、c、d均为实数,则下列命题中错误的是()A.若,则B.若则C.若,则D.若,则答案：解析：,又,,即,故A中命题错误;,即,故B中命题正确;,又,故C中命题正确;由,可知,,,成立,故D中命题正确.故选A.11.（多选）已知,则下列正确的有()A.B.C.D.答案：;解析：,又,根据不等式的性质可得,故A正确;,故B错误;,故C正确;,故D错误.故选AC.12.设,则的大小关系是.答案：解析：,因为,所以所以所以.13.若,求证：.答案：证明.又,则,即.又.创新拓展练14.已知二次函数满足以下条件:①该函数图象过原点;②当时,;③当时,.当时,求的取值范围.解析：命题分析本题考查不等式的性质及应用,涉及二次函数图象、性质以及待定系数法等.答题要领结合已知条件求出的值,然后将代入的表达式,再结合不等式的性质可求时,的取值范围.答案：详细解析二次函数的图象过原点,.当时,.设存在实数,使得,则,解得.当时,,当时,,,,故当时,的取值范围是.方法感悟利用不等式的性质求取值范围,通常需要建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系,整体使用所给条件,切不可随意拆分所给条件.53/551第一章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件1.4.1充分条件与必要条件课标解读课标要求素养要求1.理解充分条件，必要条件的概念.2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.逻辑推理——能通过充分性、必要性解决简单的问题.自主学习·必备知识教材研习教材原句一般地，“若，则”为①真命题，是指由通过推理可以得出.这时，我们就说，有可以推出，记作②，并且说，是的充分条件，是的必要条件.如果“若，则”为③假命题，那么由条件不能推出结论，记作④.此时，我们就说，不是的充分条件，不是的必要条件.自主思考1.若是的充分条件，这样的条件唯一吗？答案：提示不唯一.例如“”是“”的充分条件，可以是“”“”“”等.2.用“”“”填空.①四边形是平行四边形四边形是正方形；②；③.答案：提示;;名师点睛1.若，则是的充分条件.所谓充分，就是条件是充足的，条件是足以保证的，即“有之必成立，无之未必不成立”.2.若，则是的必要条件.所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，即“有之未必成立，无之必不成立”.3.若，则不是的充分条件，不是的必要条件，也可以称为是的不充分条件，是的不必要条件.互动探究·关键能力探究点一充分条件、必要条件的判断精讲精练例（1）下列命题中，是的充分条件的是（填序号）.①，；②两个三角形面积相等，两个三角形全等；③，方程无实根.（2）下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有（填序号）.①若，则；②若为有理数，则为有理数；③若，则.答案：（1）③（2）①③解析：（1）①因为，所以或，不能推出，所以不是的充分条件.②因为两个三角形面积相等不能推出两个三角形全等，所以不是的充分条件.③因为，所以，所以方程无实根，所以是的充分条件.（2）①因为命题“若，则”是真命题，所以是的必要条件.②当时，是有理数，但无意义，所以不是有理数，所以不是的必要条件.③因为，等号左右两边平方后，等式依然成立，所以，所以是的必要条件.解题感悟充分条件、必要条件的判断方法（1）判断是的什么条件，主要判断成立时，能否推出成立，反过来，成立时，能否推出成立：若为真，则是的充分条件，若为真，则是的必要条件.（2）除了用定义判断充分条件、必要条件之外，还可以利用集合间的关系判断，若构成的集合为，构成的集合为，，则是的充分条件，是的必要条件.迁移应用1.下列选项中，p是的必要条件的是()A.，B.，C.，D.，答案：解析：要满足是的必要条件，即，只有符合题意，故选D.探究点二根据充分条件或必要条件求参数的取值范围精讲精练例已知实数满足，其中；实数满足.若是的充分条件，求实数的取值范围.答案：，记集合，由题意知，.，记集合.因为，所以，所以解得，即实数的取值范围是.解题感悟利用充分性与必要性求参数的值或取值范围问题的步骤：先把，等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解.迁移应用1.集合，.若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是()A.B.C.D.答案：解析：，.因为“”是“”的充分条件，所以或，即.2.已知，“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是.答案：解析：因为“”是“”的必要条件，所以，所以解得.评价检测·素养提升课堂检测1.“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的.答案：必要条件2.已知，则“”是“”的条件.答案：充分3.若，，则是的条件.答案：必要4.分析下列命题中与的关系.（1）为锐角，；（2），.答案：（1）由于，故p是的必要条件，是的充分条件.（2）由于，故p是的充分条件，是的必要条件.素养演练数学建模——探索性问题的转化1.已知或和或，是否存在实数，使是的充分条件但不是必要条件?若存在，求出最小的正整数；若不存在，请说明理由.审：本题是探索性问题，要根据与的关系求的取值.联：是的充分条件但不是必要条件，即，且.可以联想集合间的关系.解：存在.由题意知.由或，可设集合，由或，可设集合.要使是的充分条件但不是必要条件，则①，应有或解得.令，则，故.即②，且③，所以存在最小的正整数，满足题意.解析：思：解答此类问题的关键是“是的充分条件但不是必要条件”的转化，利用两个集合间的包含关系建立不等关系求解，过程中体现了数学建模的核心素养.迁移应用1.是否存在实数，使“”是“或”的充分条件？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.答案：存在.令集合，集合.由题意知，，即，解得.故当时，“”是“或”的充分条件.课时评价作业基础达标练1.（2020辽宁营口第二高级中学高一月考）下列是“”的必要条件的是()A.B.C.D.答案：2.（多选）使成立的充分条件可以是()A.，B.C.，D.，答案：;;3.下列“若，则”形式的命题中，是的充分条件的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则答案：4.若“”是“”的必要条件，则的一个值可以是()A.0B.2C.4D.16答案：5.（2020海南海口高一检测）已知集合，，则“”是“”的()A.充分条件B.必要条件C.不是充分条件，也不是必要条件D.无法判断答案：6.（多选）下列命题中，p是的充分条件的是()A.是无理数，是无理数B.四边形为等腰梯形，四边形的对角线相等C.，D.，答案：;7.设命题，，命题一次函数的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴，则是的条件；是的条件．（用“充分”或“必要”填空）答案：充分;必要解析：当，时，函数的图象如图所示，此时一次函数的图象交轴于负半轴，交轴于正半轴，所以是的充分条件，是的必要条件．8.下列说法不正确的是.（只填序号）①“”是“”的充分条件；②“”是“且”的充分条件；③“”是“”的充分条件.答案：②解析：由不能推出且，则②不正确；易知①③正确.9.指出下列命题中，是的充分条件，还是必要条件.（1），；（2），；（3），.答案：（1）因为，，所以是的必要条件.（2）因为，所以是的充分条件.（3）因为且，，所以是的充分条件.素养提升练10.（多选）对任意实数a，，，下列命题中是真命题的是()A.“”是“”的必要条件B.“”是“”的必要条件C.“”是“”的充分条件D.“”是“”的充分条件答案：;解析：对，当时，“”“”，所以中命题是假命题；对，“”“”“”“，”所以“”是“”的必要条件，所以中命题是真命题；对，“”“”，因为，所以，即，所以“”“”是“”的充分条件，所以中命题是真命题；对，当时，“”“”，所以D中命题是假命题.故选BC.11.已知集合，，若“”成立的一个充分条件是“”，则实数的取值范围是()A.B.C.D.答案：解析：因为“”成立的一个充分条件是“”，所以，所以，即.故选A.12.已知或，或.若是的必要条件，则实数的取值范围为.答案：解析：因为或，所以.因为是的必要条件，所以，所以解得.13.若，，且是的充分条件，则实数的取值范围为.答案：解析：因为是的充分条件，所以，所以或，所以实数的取值范围是.14.已知集合，，若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．答案：因为“”是“”的必要条件，所以，当时，，解得，当时，此时不存在，当时，此时不存在，当时，此时，综上所述，实数的取值范围是.创新拓展练15.（1）是否存在实数，使是“或”的充分条件？（2）是否存在实数，使是“或”的必要条件？解析：命题分析本题考查根据充分条件、必要条件求参数的取值范围，考查逻辑推理能力，考查逻辑推理的核心素养.答题要领（1）问题转化为.（2）问题转化为.答案：（1）要使是或的充分条件，则只要，即只要，所以.故存在实数，使是或的充分条件．（2）要使是或的必要条件，则只要，显然不成立.故不存在实数m，使是或的必要条件．方法感悟解决此类问题应分三步：①确定条件是什么，结论是什么；②尝试从条件推结论，从结论推条件；③确定条件和结论是什么关系．1.4.2充要条件课标解读课标要求素养要求1.理解充要条件的意义.2.会判断一些简单问题的充要条件.3.能对充要条件进行证明.1.数学抽象——会用定义判断充要条件.2.数学运算——能用充要条件求解相关问题.自主学习·必备知识教材研习教材原句如果“若，则”和它的逆命题“①若，则”均是真命题，即既有，又有，就记作②.此时，既是的充分条件，又是的必要条件，我们说是的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件.概括地说，如果，那么与互为充要条件.自主思考1.由“”是“”的充要条件，能否得出？答案：提示可以提出.若，则，反之，故.名师点睛1.命题与的四个关系（1）若，则与互为充要条件.（2）若，但，则是的充分不必要条件.（3）若，但，则是的必要不充分条件.（4）若，且，则是的既不充分也不必要条件.2.注意区别是的充分不必要条件（且）；与的充分不必要条件是（且）两者的不同.3.“是的充要条件”与“的充要条件是”的区别：（1）是的充要条件说明是条件，是结论.（2）的充要条件是说明是条件，是结论.互动探究·关键能力探究点一充要条件的判断精讲精练例指出下列各题中，是的什么条件（“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）.（1），；（2）能被6整除，能被3整除；（3）两个角都是直角，两个角不相等；（4），.答案：（1），则或，，故，，故p是的必要不充分条件.（2）能被6整除，故也能被3和2整除，能被3整除，故，，故p是的充分不必要条件.（3）两个角都是直角，则这两个角相等，两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，即，，故p是的既不充分也不必要条件.（4）因为，所以是的充要条件.解题感悟充要条件的判定方法有定义法、集合法和等价转化法.三种不同的方法适用于不同类型的问题，定义法适用于定义、定理判断性命题，而集合法适用于命题中涉及求字母的取值范围的推断命题，等价转化法适用于条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断.迁移应用1.设，，是三个集合，且，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：解析：，“”是“”的充要条件，故选C.2.指出下列各题中是的什么条件.（1）两个三角形相似；两个三角形全等；（2）一个四边形是矩形；四边形的对角线相等.答案：（1）因为两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等两个三角形相似，所以是的必要不充分条件.（2）因为矩形的对角线相等，所以.又对角线相等的四边形不一定是矩形，所以，所以是的充分不必要条件.探究点二充要条件的证明精讲精练例求证：是等边三角形的充要条件是.（这里，，是的三边边长）答案：证明必要性：因为是等边三角形，所以，所以，所以必要性成立；充分性：由两边同时乘2得，，即，所以，所以是等边三角形，所以充分性成立.综上，是等边三角形的充要条件是.解题感悟充要条件证明的策略（1）要证明是的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若，则”为真且“若，则”为真.（2）在证明的过程中也可以利用集合的思想来证明，即证明与的解集是相同的.提醒:证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向.迁移应用1.求证：一次函数的图象过原点的充要条件是.答案：证明①充分性：如果，那么，当时，，该函数的图象过原点.②必要性：因为的图象过原点，所以当时，，则，所以.综上，一次函数的图象过原点的充要条件是.探究点三求参数的取值范围精讲精练例已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.答案：设，，因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件，即，故或解得.又，所以实数的取值范围是.解题感悟利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是在将问题转化为集合问题后找出集合间的包含关系，要注意范围的边界值.迁移应用1.设，或.若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.答案：设，.因为是的充分不必要条件，所以，所以或，即或.又因为，所以或，即实数的取值范围为.评价检测·素养提升1.人们常说“无功不受禄”，这句话表明“受禄”是“有功”的()A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：2.“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：解析：由得，则当时，成立，但当时，不一定成立.故是的必要不充分条件.3.已知，，则“”是“”的条件.答案：必要不充分4.函数的图象关于直线对称的充要条件是.答案：5.若是的充分不必要条件，是的充要条件，是的必要不充分条件，则是的什么条件？答案：命题的充分性、必要性具有传递性，所以，但，，，故是的充分不必要条件.课时评价作业基础达标练1.（2020辽宁盘锦第二高级中学高一段考）若，，则是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：2.（2020山东济宁微山二中高一检测）“”是“”的()A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案：3.（2020辽宁阜新第二高级中学高一月考）设，是两个集合，则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：4.（2021山东滨州高一期末）“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：解析：等边三角形是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形，因此“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的充分不必要条件.5.（2021天津静海第六中学高一检测）已知集合，及元素，则“或”是“”的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：6.（2020天津四合庄中学高一月考）若命题，则命题的一个充分不必要条件为()A.B.C.D.答案：解析：将充分不必要条件转化为集合关系判断.7.对于集合，及元素，若，则是的条件.答案：充要解析：由，可得；反之由可得，所以是的充要条件.8.（2020安徽太和中学高一检测）已知条件：条件；条件.若是的充要条件，则.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是.答案：2;解析：由条件可得，因为是的充要条件，所以解得.因为是的必要不充分条件，所以解得.9.指出下列各组命题中，是的什么条件（从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”中选）．（1），；（2），且；（3），：；（4）是自然数，是正数．答案：（1）当时，成立；当时，或.所以是的充分不必要条件．（2）因为且，所以是的充要条件．（3）由，得，且，又，故p是的必要不充分条件．（4）0是自然数，但0不是正数，故，是正数，但不是自然数，故.故p是的既不充分也不必要条件．素养提升练10.（2020山东济宁邹城第一中学高一月考）设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么()A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件答案：11.（多选）下列论述正确的是()A.若，则“”是“”的必要不充分条件B.在中，“”是“为直角三角形”的充要条件C.“”是“”的充要条件D.若，，则“”是“，不全为0”的充要条件答案：;解析：对于，因为，但，所以A中论述正确；对于B，“”特指为直角，但“为直角三角形”的直角不一定是A，故B中论述错误；对于C，“”“”两者不能相互推出，故C中论述错误；对于D，由不全为0，反之，由，不全为，故D中论述正确.故选AD.12.（2020北京大学附属实验中学高一月考）设或，或，，是的充分不必要条件，则实数的取值范围是.答案：解析：设，，因为是的充分不必要条件，所以，即或解得.13.设，则一元二次方程有整数根的充要条件是.答案：3或4解析：解得，因为是整数，所以为整数，所以为整数，且，又，所以.验证可得或时符合题意，所以由或可以推出一元二次方程有整数根．14.已知，，，.判断“”是“二次方程有一根为-1”的什么条件？并说明理由．答案：“”是“二次方程有一根为-1”的充要条件．理由如下：当，，，.时，若，则-1满足二次方程，即二次方程有一根为-1，故“”是“二次方程有一根为-1”的充分条件.若二次方程有一根为-1，则，故“”是“二次方程有一根为-1”的必要条件.综上所述，“”是“二次方程有一根为-1”的充要条件．创新拓展练15.已知，证明：成立的充要条件是.答案：充分性：若，则，即充分性成立.必要性：若，则.，，即，必要性成立.综上，成立的充要条件是.53/551第二章一元二次函数、方程和不等式2.2基本不等式第1课时基本不等式课标解读课标要求素养要求掌握基本不等式（，，当且仅当时等号成立）.逻辑推理、数学运算——能灵活运用基本不等式解决一些证明、比较大小的问题.自主学习·必备知识见学用29页教材研习教材原句，①，有，当且仅当②，等号成立.特别地，如果，，我们用，分别代替上式中的，，可得，当且仅当③，等号成立.通常称为基本不等式.其中，叫做正数，的算术平均数，叫做，的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.自主思考1.不等式等号成立的条件是什么？答案：提示：当且仅当时等号成立。2.已知，能否得到？说明原因.答案：提示：不能，没有，的条件.例如当，时，，但无意义.名师点睛1.用比较法证明基本不等式，当且仅当，即时，取“=”.2.基本不等式的变形（1），，，当且仅当时，等号成立.（2），，都是正数，当且仅当时，等号成立.互动探究·关键能力见学用30页探究点一对基本不等式的理解自测自评1.若，则下列不等式成立的是()A.B.C.D.答案：解析：，.故选B.2.下列不等式一定成立的是()A.B.C.D.答案：解析：中，x可能是负数，故不等式不一定成立；B中，当且仅当，即时取等号，不等式成立；中，当时，，故不等式不成立；D中，可能是负数，故不等式不成立.故选B.3.（★）（多选）设，，则下列不等式中一定成立的是()A.B.C.D.答案：;;解析：，，，当且仅当且，即时取等号，故A中不等式成立；，，，，当且仅当时取等号，不一定成立，故B中不等式不成立；，当且仅当时取等号，，，故C中不等式一定成立；，，，当且仅当时取等号，故D中不等式一定成立.故选ACD.4.（2021浙江温州高一期末）已知，，，则下列等式可能成立的是()A.B.C.D.答案：解析：，，，，不可能成立；，当且仅当时等号成立，不可能成立；，不可能成立；令，联立得解得，，满足条件，D中不等式成立.故选D.解题感悟1.基本不等式反映了两个正数的和的与积之间的关系.2.对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：（1）不等式成立的条件是、都是正数；（2）“当且仅当”的含义：当时，的等号成立，即.探究点二利用基本不等式比较大小精讲精练例（1）已知，，则，之间的大小关系是()A.B.C.D.不确定（2）若，且，，则，，，中的最大者是.答案：（1）（2）解析：（1）因为，所以，又因为，所以，由，得，所以.综上可知.（2），，且，，，最大者应从，中选择.，，，，，，即最大.解题思路在利用基本不等式比较大小时，应创设应用基本不等式的条件，合理地拆项、配凑或变形.在拆项、配凑或变形的过程中，首先要考虑基本不等式使用的条件，其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的放缩功能.1.比较大小：2（填“”“”“”“”）.答案：解析：，当且仅当，即时，等号成立.2.已知，，且，试比较，，4的大小.答案：，，且，，.，，.（当且仅当时，取“=”）.探究点三利用基本不等式证明不等式精讲精练例（1）已知，都是正数，求证：；（2）已知，，均为正数，且，求证：.答案：（1），都是正数，，，.即，当且仅当时，等号成立.（2），，，且，，当且仅当时，取“=”.解题感悟利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项（1）策略：从已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逻辑推理，最后转化为所证明的问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.（2）注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，创设使用基本不等式的条件再使用.迁移应用1.已知，，均为正实数，求证：.答案：证明，，均为正实数，（当且仅当时等号成立）（当且仅当时等号成立）（当且仅当时等号成立），将上述三式相加得（当且仅当时等号成立），即（当且仅当时等号成立）.评价检测·素养提升见学用31页1.已知，，且，那么()A.B.C.D.答案：2.（多选）下列结论中正确的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则答案：;解析：当时，有（当且仅当，即时等号成立），故A中结论错误；当时，有（当且仅当，即时等号成立），故B中结论正确；因为，所以，即，故C中结论正确，D中结论错误.故选BC.3.不等式（其中）中等号成立的条件是.答案：4.已知，，为正实数，求证：.答案：证明因为，，为正实数，所以（当且仅当时，取“=”），（当且仅当时，取“=”），（当且仅当时，取“=”）.以上三式相加，得，即（当且仅当时，取“=”）.课时评价作业见学用《作业本》175页基础达标练1.（多选）（2020天津第一中学高一月考）若，，且，则下列不等式恒成立的是()A.B.C.D.答案：;2.（2020江苏淮安阳光学校高一月考）已知，，则下列不等式一定成立的是()A.B.C.D.答案：3.（多选）下列选项中正确的是()A.若，则B.若，则C.D.答案：;4.（多选）（2020山东聊城高一期中）已知，，下列说法正确的有()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则答案：;5.若，，则（填“＞”“＜”“”或“”）.答案：解析：，，（当且仅当，即时，等号成立），（当且仅当时，等号成立），.6.若，则①；②；③；④中，正确的有（填序号）.答案：①③④解析：，，且，，，，即，，，（当且仅当时，等号成立）.，，.正确的有①③④.7.（多选）若，，，则下列不等式中恒成立的是()A.B.C.D.答案：;;解析：，，，（当且仅当时，等号成立），即，即，故A恒成立；（当且仅当时，等号成立），，故B不成立；，故C恒成立；（当且仅当时，等号成立），故D恒成立.故选ACD.8.已知，，为不等正实数，且.求证：.答案：证明（当且仅当时，等号成立），（当且仅当时，等号成立），（当且仅当时，等号成立），，即（当且仅当时，等号成立）.，，为不等正实数，.素养提升练9.（2020江苏常州北郊高级中学高一期中）下列不等式恒成立的是()A.B.C.D.答案：解析：选项A，对于任意，，即，当且仅当时，等号成立，故A不成立；选项B，当时，，，故B不成立；选项C，当时，，故C不成立；选项D，对于任意，，所以，即，当且仅当时，等号成立，故D成立.故选D.10.（多选）（2021湖北鄂州高一期末）已知，，则下列式子一定成立的有()A.B.C.D.答案：;解析：对于，因为，，所以，当且仅当时等号成立，所以，故A成立；对于，，因为，，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以，故B不成立；对于，因为，，所以，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，所以，故C不成立；对于，，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以，故D成立.故选AD.11.已知，，都是正实数，若，，则与的大小关系是.答案：解析：因为，，所以（当且仅当时，等号成立），所以，所以，同理，，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以与的大小关系是.创新拓展练12.已知，都是正数，求证：.答案：证明，，，，即（当且仅当时，“=”成立）.又（当且仅当时，“=”成立），.又，时，（当且仅当时，“=”成立），（当且仅当时，取“=”）.第2课时基本不等式的应用课标解读课标要求素养要求1.进一步熟练掌握基本不等式,能够利用基本不等式求最值.2.能够利用基本不等式解决实际问题.1.数学运算——能利用基本不等式求代数式的最值.2.数学建模——能利用基本不等式解决实际问题.自主学习·必备知识见学用31页教材研习教材原句已知，都是正数，（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值①.（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值②.自主思考1.当时，你能求出的最小值吗？答案：提示当时，（当且仅当时等号成立），故的最小值是4.2.用一段长为的铁丝围成一个矩形，则矩形面积的最大值是多少？答案：提示设矩形的长为，宽为，则，则（当且仅当时等号成立），故面积的最大值为100.名师点睛利用基本不等式求最值的两种常用方法1.拼凑法：拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值.利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”.2.常数代换法：常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.互动探究·关键能力见学用32页探究点一利用基本不等式求最值自测自评1.已知，，，若，，则的最小值是()A.3B.4C.5D.6答案：解析：，，，，当且仅当时，取“=”.的最小值为5.2.已知，则的最小值为()A.8B.16C.24D.32答案：解析：因为，，，所以，当且仅当，即，时等号成立.所以的最小值为24.故选C.3.已知，则的最大值是.答案：解析：因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为.4.已知，，且，求的最大值.答案：，，且，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，的最大值为64.解题感悟1.利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则求解.（1）一正：符合基本不等式成立的前提条件为，.（2）二定：不等式的一边转换为定值.（3）三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立.以上三点缺一不可.2.若是求和式的最小值，通常化（或利用）积为定值；若是求积的最大值，通常化（或利用）和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式.探究点二基本不等式在实际问题中的应用精讲精练例某工厂拟建一个平面图为矩形，面积为200平方米，高度为1米的三段污水处理池（如图），由于受地形限制，其长、宽都不超过18米，已知池的外壁的建造费为400元/平方米，池中两道隔墙（与宽边平行）的建造费为248元/平方米，池底的建造费为80元/平方米.设污水处理池的长为米，总造价为元.（1）求的表达式；（2）污水处理池的长与宽各是多少米时，总造价最低？并求出这个最低造价.答案：（1）因为污水处理池的长为米，所以宽为米.由题意可得解得..（2），当且仅当，即时取等号，此时，.因此，当污水处理池长为18米，宽为米时，其总造价最低，最低造价为44800元.解题感悟应用基本不等式解决实际问题的思路：（1）先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为因变量；（2）建立相应的关系式，把实际问题抽象成数学问题，利用基本不等式求解；（3）根据实际背景写出答案.迁移应用1.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园.设菜园的长为，宽为.（1）若菜园面积为，则，为何值时，所用篱笆总长度最小？（2）若使用的篱笆总长度为，求的最小值.答案：（1）由已知可得，而篱笆总长为.因为，当且仅当，即，时等号成立，所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长度最小.（2）由已知得，则，当且仅当，即，时等号成立，所以，所以的最小值是.评价检测·素养提升见学用33页课堂检测1.已知，，，则的最大值是()A.B.C.4D.8答案：2.已知实数，均为正实数，且，则的最小值为()A.9B.C.5D.4答案：解析：由题意，，当且仅当，即时等号成立，此时，，所以的最小值是.故选B.3.已知，且，则的最小值是.答案：解析：因为，所以.由得，所以，当且仅当时取等号，故的最小值是.4.若，，，则的最小值为.答案：6解析：因为，，，所以，当且仅当，即时取等号.所以的最小值是6.5.（★）已知正数，满足，则的最小值为.答案：解析：因为，，所以（当且仅当时取等号），所以，所以，即，可得，解得，故的最小值为.素养演练数学运算——用换元法求代数式的最值（1）已知实数，满足，，则的最大值是.（2）若，，且，则的最小值是.答案：（1）（2）解析：（1）令解得且，，所以，当且仅当，即时，取“=”.所以的最大值为.（2）令解得得，，，所以.当且仅当，时，取“=”.所以的最小值是.素养探究：最值问题，特别是二元变量的最值问题，由于结构复杂，难以将问题转化为一元问题，对这类最值问题若采取双换元的方法，可以收到意想不到的效果.迁移应用1.若正实数满足，则的最小值是()A.B.C.D.答案：解析：设则且，所以，因为，当且仅当，时取等号.所以.所以的最小值是.故选B.课时评价作业见学用《作业本》176页基础达标练1.已知，则的最小值为()A.6B.5C.4D.3答案：2.已知，，，则的最小值为()A.B.C.2D.4答案：3.（2020安徽蚌埠第三中学高一月考）当时，下列式子中最小值为2的是()A.B.C.D.答案：4.（2020山西吕梁高一期中）中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为，，，则三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为()A.B.24C.D.答案：5.（2020重庆巫山中学高一月考）若正实数，满足，则的最小值为()A.B.1C.2D.答案：6.（多选）（2021湖北武汉高一期中）设，且，，那么()A.有最小值B.有最大值C.有最大值D.有最小值答案：;7.（2021湖南湘潭一中高一月考）把总长为的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是.答案：168.已知，，，则的最小值为.答案：25解析：由，，，得，则，当且仅当时，等号成立.9.已知，，且满足，则的最小值为.答案：9解析：，，且，当且仅当即时取等号，的最小值为9.素养提升练10.（多选）（2021山东潍坊高一期中）下列结论正确的是()A.若，则的最大值为-2B.若，，则C.若，，，则的最大值为9D.若，则的最大值为2答案：;;解析：由可得，当且仅当，即时，等号成立，即的最大值为-2，故A中结论正确；由，，可得，即故B中结论正确；若，，且，则，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为9，故C中结论错误；因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故D中结论正确.故选ABD.11.已知正数，满足，则的最小值为()A.B.C.6D.答案：解析：由题可知，（当且仅当时取等号），所以的最小值为.故选B.12.已知实数，满足，则的最小值是.答案：解析：，，，，当且仅当，即时，等号成立，的最小值为.13.设正数，满足，则的最大值是.答案：18解析：，，，，，当且仅当时等号成立.则，，，故的最大值是18.创新拓展练14.某汽车公司购买了4辆大客车用于长途客运，每辆200万元，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年的各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用增加16万元.（1）写出4辆车运营的总利润（万元）与运营年数的关系式；（2）这4辆车运营多少年可使年平均运营利润最大?（注：，）答案：（1）依题意，每辆车运营x年的总收入为万元，总支出为（万元），.（2）这4辆车的年平均运营利润为（万元）.，，当且仅当时，等号成立，此时.这4辆车运营5年可使年平均运营利润最大，最大运营利润为48万元.53/551第一章集合与常用逻辑用语1.5全称量词与存在量词1.5.1全称量词与存在量词课标解读课标要求素养要求1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假.1.数学抽象——能判断全称量词命题、存在量词命题.2.数学运算——能借助全称量词命题、存在量词命题的真假求解相关问题.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一全称量词与全称量词命题短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做①全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.通常，将含有变量的语句用表示，变量的取值范围用表示.那么，全称量词命题“对中任意一个，成立”可用符号简记为②.要点二存在量词与存在量词命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做③存在量词，并用符号“”表示含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的元素，成立”可用符号简记为④.自主思考1.短语“都是”“都不是”“不都是”中哪几个是全称量词?答案：提示“都是”“都不是”是全称量词.2.“所有的正方形都是相似四边形”是全称量词命题吗?答案：提示是全称量词命题.3.短语“至多有一个”是存在量词吗?答案：提示不是.因为“至多有一个”包含了不存在的情形.4.“有些整数的平方不是正整数”是存在量词命题吗?试用符号语言表示.答案：提示是存在量词命题.符合语言:.名师点睛1.常见的全称量词：“所有”“任意一个”“一切”“每一个”等.2.常见的存在量词：“存在”“有的”“有一个”“有些”“对某些”等.3.存在量词命题中不一定要含有存在量词.含有存在量词“存在”“有一个”的命题或虽没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.4.有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补充出来.如“菱形的对角线互相垂直平分”应理解为“所有的菱形的对角线互相垂直平分”.互动探究·关键能力探究点一全称量词命题与存在量词命题的判断精讲精练例判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.（1）自然数的平方大于或等于零;（2）有的一次函数的图象经过原点;（3）所有的二次函数的图象的开口都向上.答案：（1）全称量词命题.（2）存在量词命题.（3）全称量词命题.解题感悟全称量词命题与存在量词命题的判断迁移应用1.下列命题中全称量词命题的个数为()①平行四边形的对角线互相平分;②梯形有两条边平行;③存在一个菱形它的四条边不相等.A.0B.1C.2D.3答案：解析：①②是全称量词命题，③是存在量词命题.探究点二全称量词命题与存在量词命题真假的判断精讲精练例判断下列命题的真假：（1）任意两个面积相等的三角形一定相似;（2）为正实数使（3）在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点;（4）.答案：（1）因为面积相等的三角形不一定相似，所以它是假命题.（2）当时，，所以不存在为正实数使故是假命题.（3）由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，该命题是真命题.（4）因为，所以命题“”是假命题.解题感悟全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧（1）全称量词命题真假的判断：要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每个元素验证成立;但要判定全称量词命题是假命题，只需举出限定集合中的一个元素，不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”）.（2）存在量词命题真假的判断：要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合中，找到一个，使成立即可；反之，这一存在量词命题就是假命题.迁移应用1.判断下列命题的真假：（1）（2）对任意的都有（3）若整数是偶数，则是合数.答案：（1）因为且所以“”是真命题.（2）因为所以该命题是假命题.（3）2是偶数，但2是质数，故该命题是假命题.探究点三由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的取值范围精讲精练例已知集合且，若命题：“”是真命题则实数的取值集合是.答案：解析：因为命题：“”是真命题所以又，所以无解，故实数m的取值集合是.解题感悟解由含量词的命题的真假求参数的取值范围的问题时,一般先把命题的真假问题转化为集合间的关系问题,再转化为关于参数的不等式组求参数的取值范围问题进行求解.迁移应用1.若命题“，使”是真命题,则实数的取值范围是.答案：解析：当时,显然存在，使;当时,结合一次函数图象知,需满足时,，得，故.综上所述,实数的取值范围是.2.（2021山东泰安高一期末）已知命题：，若为假命题,则实数的取值范围是.答案：解析：由题意得，因为命题为假命题,所以只需，解得.评价检测·素养提升1.下列命题是“”的另一种表述方式的是()A.有一个，使得B.有无数个，使得C.任选一个，都有D.不存在，使得答案：2.（多选）下列命题中为存在量词命题的是()A.所有的整数都是有理数B.三角形至少有两个锐角C.有些三角形是等腰三角形D.正方形都是菱形答案：;3.下列命题中为全称量词命题的是()A.有些实数没有倒数B.矩形都有外接圆C.存在一个实数与它的相反数的和为0D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行答案：4.命题：“”是（填“全称量词命题”或“存在量词命题”）,它是命题（填“真”或“假”）.答案：存在量词命题;假5.若命题“”为真命题,求实数的取值范围.答案：命题为真命题,方程存在实数根,则，解得.故实数a的取值范围是.课时评价作业基础达标练1.下列命题中,不是全称量词命题的是()A.任何一个实数乘0都等于0B.任意一个负数都比零小C.每一个正方形都是矩形D.一定存在没有最大值的二次函数答案：2.（2020辽宁大连市一○三中学高一月考）下列四个命题中的真命题为()A.B.C.D.答案：3.（2020山东济宁鱼台第一中学高一月考）下列命题是存在量词命题的是()A.整数是2和5的倍数B.存在整数，使能被11整除C.若，则D.答案：4.（2020山东北镇中学高一月考）以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是()A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数使C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数，使答案：解析：锐角三角形中的内角都是锐角,所以为假命题;易知为存在量词命题,当时成立,所以为真命题;因为，所以为假命题;对于任何一个负数，都有，所以为假命题．故选B.5.给出下列三个命题:①;②矩形都不是梯形;③.其中全称量词命题是（填序号）.答案：①②6.（2020湖北恩施高一检测）对任意恒成立,则实数的取值范围是.答案：7.能够说明“存在两个不相等的正数，使得”是真命题的一组有序数对为.答案：（答案不唯一）8.指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假.（1）是奇数;（2）存在一个,使得;（3）对任意实数;（4）有一个实数使得.答案：（1）是全称量词命题.因为都是奇数,所以该命题是真命题.（2）是存在量词命题.因为不存在,使得成立,所以该命题是假命题.（3）是全称量词命题.因为,所以不都成立,因此,该命题是假命题.（4）是存在量词命题.因为当时,成立,所以该命题是真命题.9.已知命题是真命题,求实数的取值范围.答案：是真命题,即,的取值范围是.素养提升练10.（多选）（2020辽宁盘锦第二高级中学高一检测）下列命题错误的是()A.B.存在一个最大的内角等于的三角形C.若一个四边形的对角线相等,则这个四边形是矩形D.每一个素数都是奇数答案：;;解析：当时,,当时,,即,不满足题意,故方程无解,所以A命题错误;等边三角形的最大的内角等于,所以B命题正确;对角线相等的四边形可以是矩形、正方形、梯形,所以C命题错误;2是素数,但不是奇数,所以D命题错误.故选ACD.11.已知,命题“”是真命题的一个充分不必要条件是()A.B.C.D.答案：解析：该命题是真命题,等价于.因为在上的最大值是4,所以.因为,故选C.12.（2020北京八一中学高一月考）给出下列命题：①,使;②,使;③④.其中正确的命题的序号是.答案：①④解析：①使如当时,,所以命题①正确;②,则,此时x为无理数,所以命题②不正确;③当时,,所以命题③不正确;④因为,所以命题④正确.所以正确的命题为①④.13.（2020山东莘县实验中学高一检测）若存在,使,则实数的取值范围是.答案：解析：当时,显然存在,使;当时,需满足,则,解得,故.综上所述,实数的取值范围是.14.若,函数的图象和轴恒有公共点,求实数的取值范围．答案：因为函数的图象和轴恒有公共点,所以恒成立,即恒成立．设则可得.综上所述,实数的取值范围是．创新拓展练15.已知函数若使得求实数的取值范围.解析：命题分析本题考查全称量词命题与存在量词,考查逻辑推理的核心素养.答题要领将原问题转化为的最小值大于等于的最小值问题.答案：详细解析因为所以又因为使得所以的最小值大于等于的最小值,即,所以.方法感悟根据含量词命题的真假求参数取值范围的方法：（1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意.（2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题,再转化为关于参数的不等式（组）求参数的取值范围.1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定课标解读课标要求素养要求1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.1.数学抽象—能写出全称量词命题与存在量词命题的否定并判断真假.2.数学运算—能根据全称量词命题与存在量词命题的否定求参数的取值范围.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一全称量词命题的否定对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论:全称量词命题:,它的否定:①.也就是说,全称量词命题的否定是②存在量词命题.要点二存在量词命题的否定对含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论:存在量词命题:,它的否定:③.也就是说,存在量词命题的否定是④全称量词命题.自主思考1.命题“”的否定是什么?答案：提示.2.命题“存在两个不全等的三角形,它们的面积相等”的否定是什么?答案：提示任意两个不全等的三角形,它们的面积不相等.名师点睛1.一般命题的否定通常是保留条件否定其结论,得到真假性完全相反的两个命题.2.含有一个量词的命题的否定,是在否定结论的同时,改变量词的属性,即全称量词改为存在量词,存在量词改为全称量词.互动探究·关键能力探究点一全称量词命题的否定精讲精练例写出下列命题的否定,并判定其真假．（1）所有分数都是有理数;（2）所有能被5整除的整数都是奇数;（3）答案：（1）存在一个分数不是有理数.假命题．（2）存在一个能被5整除的整数不是奇数.真命题.（3）.假命题.解题感悟1.对全称量词命题进行否定时要做到“两变”：一变量词,即把全称量词变为存在量词;二变结论,即否定结论.2.对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后再进行否定迁移应用1.（2021天津第三中学高一期末）命题“”的否定是()A.B.C.D.答案：2.（2020福建厦门一中高一月考）命题“”的否定是.答案：解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题,得命题“”的否定是“”.探究点二存在量词命题的否定精讲精练例写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假.（1）：使（2）：有些素数是奇数;（3）：有些平行四边形不是矩形.答案：（1）：.为假命题.（2）：所有的素数都不是奇数.为假命题.（3）：所有的平行四边形都是矩形.为假命题.解题感悟1.对存在量词命题进行否定时,首先把存在量词改为全称量词,然后对判断词进行否定,可以结合命题的实际意义进行表述.2.存在量词命题的否定是全称量词命题,对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后再进行否定.迁移应用1.（2021湖南永州高一期末）命题“存在实数,使”的否定是()A.对任意实数,都有B.不存在实数,使C.对任意实数,都有D.存在实数,使答案：2.写出下列存在量词命题的否定,并判断其真假.（1）有些三角形是锐角三角形;（2）,使得.答案：（1）命题的否定：“所有的三角形都不是锐角三角形”,命题的否定为假命题.（2）命题的否定：“”.当时,,命题的否定是假命题.评价检测·素养提升1.（2021山东潍坊高一期末）命题：的否定是()A.B.C.D.答案：2.（2021黑龙江大庆实验中学高一检测）设命题:所有正方形都是平行四边形,则为()A.所有正方形都不是平行四边形B.有的平行四边形不是正方形C.有的正方形不是平行四边形D.不是正方形的四边形不是平行四边形答案：3.（2021江苏连云港高一期末）命题“”的否定是.答案：解析：存在量词命题的否定是全称量词命题,所以命题“”的否定是“”.4.命题“每个函数都有最大值”的否定是.答案：有些函数没有最大值课时评价作业基础达标练1.（2020北京首师大附中高一期中）已知命题：,方程有解,则为()A.,方程无解B.方程有解C.方程无解D.方程有解答案：2.（2020山东济南第一中学高一检测）命题“,一元二次方程有实根”的否定是()A.,一元二次方程没有实根B.,一元二次方程没有实根C.,一元二次方程没有实根D.,一元二次方程没有实根答案：3.关于命题的叙述,正确的是()A.B.C.是真命题是假命题D.是假命题是真命题答案：4.（2021安徽合肥高一期末）全称量词命题“对于任意正奇数,所有不大于的正奇数的和都是”的否定为()A.对于任意正奇数,所有不大于的正奇数的和都不是B.对于任意正奇数,所有不大于的正奇数的和都大于C.存在正奇数,使得所有不大于的正奇数的和不是D.存在正奇数,使得所有不大于的正奇数的和是答案：5.关于下列命题的否定说法错误的是()A.：B.：：C.：D.：：答案：6.（2020山东滕州第一中学高一检测）命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是.答案：存在一个能被2整除的数不是偶数7.命题“有的三角形是直角三角形”,则的否定是,的否定是（填“真”或“假”）命题.答案：所有的三角形都不是直角三角形;假8.（2021河南新乡高一检测）命题“,使得”的否定是.答案：,使得9.写出下列命题的否定,并判断其真假.（1）（2）:所有的正方形都是矩形;（3）（4）：无论取何实数,方程必有实数根.答案：（1）.因为所以是假命题.（2）:有的正方形不是矩形.易知是假命题.（3）因为所以是真命题.（4）：存在一个实数,使方程没有实数根．因为该方程的判别式恒成立,所以为假命题．素养提升练10.下列命题的否定是真命题的是()A.三角形角平分线上的点到角两边的距离相等B.所有的平行四边形都不是菱形C.任意两个等边三角形都是相似的D.3是方程的一个根答案：11.（2021天津南开中学高一检测）命题“和至少有一个成立”的否定为()A.和至少有一个成立B.和都不成立C.和至少有一个成立D.和都不成立答案：12.已知命题“使”是假命题,则实数的取值范围是()A.B.C.D.答案：解析：因为命题“使”是假命题,所以命题“使”是真命题,即则解得故选D.13.已知命题:使”为真命题,则实数的取值范围是.答案：解析：因为所以,由题意得所以.创新拓展练14.甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛,四人在成绩公布前做出了如下预测：甲说：获奖者在乙、丙、丁三人中;乙说：我不会获奖,丙获奖;丙说：甲和丁中有一人获奖;丁说：乙的猜测是对的.成绩公布后表明,四人中有两人的预测与结果相符,另外两人的预测与结果不相符.已知有两人获奖,则获奖的是()A.甲和丁B.甲和丙C.乙和丙D.乙和丁答案：解析：易知乙、丁的预测要么同时与结果相符,要么同时与结果不相符,若乙、丁的预测与结果相符,则甲、丙的预测与结果不相符,矛盾,故乙、丁的预测与结果不相符,从而获奖的是乙和丁,故选D.章末总结体系构建题型整合题型1集合的概念例1（1）（多选）下列说法正确的有()A.花坛上色彩艳丽的花朵构成一个集合B.正方体的全体构成一个集合C.未来世界的高科技产品构成一个集合D.不大于3的所有自然数构成一个集合（2）用列举法表示集合.答案：（1）;（2）解析：（2）根据,且可得,时,时,;时,时,;时,时,.所以.解题感悟判断一组对象是否能构成集合的三个依据（1）确定性：判断这组元素是否能构成集合．（2）互异性：判断构成集合的元素的个数．（3）无序性：表示只要一个集合的元素确定,则这个集合也随之确定,与元素之间的排列顺序无关.迁移应用1.（1）下列各组对象能构成集合的有()①接近于1的所有正整数;②小于0的实数;③(2022,1)与(1,2022).A.1组B.2组C.3组D.0组（2）（2020首都师范大学附属中学高一期中）用列举法可以将集合表示为()A.B.C.D.或答案：（1）（2）题型2集合间的关系例2（1）已知集合,那么.（填“”“”或“=”）（2）已知集合,若,求实数的取值范围.答案：（1）解析：（1）,对于任意的有因为所以所以则.答案：（2）当时,有,得,当时,有解得.综上,.解题感悟已知两集合的关系求参数时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,进而转化为参数满足的关系,解决这类问题常常要合理利用数轴、图,而且经常要对参数进行讨论.迁移应用2.（1）若,则的所有取值组成的集合为.（2）设集合若求实数的取值范围.答案：（1）解析：（1）,由题意可知,,所以,又,所以的取值范围是.答案：（2）由题意得,①当即时,0,-4是关于的方程的两根,即解得.②当时,,解得.③当中只含有一个元素时,,解得.当时,,满足条件.综上所述,实数的取值范围为.题型3集合的交集、并集与补集运算例3已知全集,集合,若,求实数的取值范围．答案：当时,方程无实数根,所以,解得.当时,方程的根为非负实根,设方程的两根为则即解得,综上,当时,的取值范围是,又,所以当时,的取值范围是,综上,当时,的取值范围是.解题感悟集合的交集、并集、补集运算的口诀交集元素仔细找,属于A且属于B;并集元素勿遗漏,切记重复仅取一;全集是大范围,去掉中元素,剩余元素成补集.迁移应用3.设全集,若,求实数的取值范围．答案：因为,所以分两种情况讨论．当时,有或所以.当时,有.综上可知,.题型4充分条件与必要条件的判断与运用例4（1）（2020湖北恩施高一检测）若“不等式成立”的充分不必要条件为“”,则实数的取值范围是.（2）设：实数满足．：实数满足,且是的充分不必要条件,求实数的取值范围．答案：（1）解析：（1）解不等式得,因为“不等式成立”的充分不必要条件为“”,所以解得.所以实数的取值范围是.答案：（2）因为是的充分不必要条件,所以，所以解得或.所以的取值范围为.解题感悟1.设与命题对应的集合为，与命题对应的集合为,若，则是的充分条件,是的必要条件;若，则是的充要条件;若，则是的充分不必要条件,是的必要不充分条件．2.充要条件的常用判断方法（1）定义法：直接判断若则的真假．（2）利用集合间的包含关系判断：设命题对应的集合为，命题对应的集合为，若，则是的充要条件．迁移应用4.（1）“”是“函数的图象与轴只有一个交点”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件（2）若“：”是的必要不充分条件,则实数的值为.答案：（1）（2）或解析：（1）当时,函数的图象与轴只有一个交点;当时,函数的图象与x轴只有一个交点,故函数的图象与轴只有一个交点时,或，所以“”是“函数的图象与轴只有一个交点”的充分不必要条件.（2）由可得或.对于，当时,方程无解;当时,.由题意知，则可得或或，解得或或.综上可得,或或.题型5全称量词命题与存在量词命题例5（1）（多选）下列对命题的否定正确的有()A.：能被2整除的数是偶数;的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数B.：有些矩形是正方形;的否定：所有的矩形都不是正方形C.：有的三角形为正三角形;的否定：所有的三角形不都是正三角形D.：的否定：（2）已知命题：“，都有”,且是假命题,则实数的取值范围是．答案：（1）;;（2）解析：（2）因为是假命题,所以是真命题,又，都有，所以，则解得，即实数的取值范围是.解题感悟根据全称量词命题和存在量词命题的真假求参数的取值范围,一般把问题转化为集合问题解决迁移应用5.已知命题：，都有，命题：，使，若命题为真命题,为假命题,则实数的取值范围是.答案：解析：由题意知命题p,q都是真命题.都有成立,则大于或等于的最大值,即.使成立,则大于或等于的最小值,即，因为两者同时成立,故实数m的取值范围为.高考链接1.（2020课标Ⅰ,1,5分）已知集合,则()A.B.C.D.答案：解析：由,解得,所以,因为所以.故选D.2.（2020课标Ⅱ文,1,5分）已知集合,则()A.B.C.D.答案：解析：因为,所以.故选D.3.（2020课标Ⅱ理,1,5分）已知集合,则()A.B.C.D.答案：解析：由已知得,所以.4.（2020课标Ⅲ,1,5分）已知集合,则中元素的个数为()A.2B.3C.4D.6答案：解析：由题意,中的元素满足且由,得,所以满足的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4),所以中元素的个数为4.故选C.5.（2020新高考Ⅰ,1,5分）设集合,则()A.B.C.D.答案：解析：已知,在数轴上表示出两个集合（图略）,易知.故选C.6.（2020天津,1,5分）设全集,集合,则()A.B.C.D.答案：解析：由题意结合补集的定义可知:,则.故选C.7.（2020天津,2,5分）设则是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：解析：易知,而或所以“”是“”的充分不必要条件.8.（2019天津,1,5分）设集合,则()A.B.C.D.答案：解析：因为集合,所以,又因为,所以.故选D.9.（2017江苏,1,5分）已知集合,若,则实数的值为.答案：1解析：因为所以或,因为,所以.经检验,满足题意.53/551 展开更多...... 收起↑ 资源列表 1.1集合教案.docx 1.2集合关系教案.docx 1.3集合运算教案.docx 1.4充分条件与必要条件教案.docx 1.5全称量词教案.docx 2.1等式性质与不等式性质教案.docx 2.2基本不等式教案.docx 2.3二次函数与一元二次方程、不等式教案.docx 第二章一元二次函数、方程和不等式教案.docx
资源列表