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课程类型：新授课—衔接课
年级：新初一
学科：数学
课程主题
第6讲：绝对值的几何意义与最值
要点1：绝对值的性质
【要点梳理】
绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；
a
（a＞0）
|a|=
0
（a=0）
（代数意义）
-a
(a＜0)
若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0；
任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，
即|a|≥a，且|a|≥-a；
若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义）
|ab|=|a|·|b|；||=（b≠0）；
|a|=|a|=a；
【典型例题】
1、（2018七上·无锡期中）已知
两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式
的结果是（???
）
A.1????B.?????C.2b+3?????D.－1
2、下列说法：①平方等于64的数是8；②若a．b互为相反数，则
；③若|-a|=a，则（-a）3的值为负数；④若ab≠0，则
的取值在0，1，2，-2这四个数中，不可取的值是0．正确的个数为（?
）
A.?0个?????B.?1个????C.?2个?????D.3个
3、化简|1-a|+|2a+1|+|a|,其中a<-2.
4、先比较下列各式的大小，再回答问题．
（1）
＋
________
；
（2）
＋
________
；
（3）
＋
________
；
（4）通过上面的比较，请你归纳出当a，b为有理数时，|a|＋|b|与|a＋b|的大小关系．
5、（2020七上·丹徒期中）有理数a、b、c，在数轴上的位置如图所示.
（1）c________0；
________0；（用“＞、＜、=”填空）
（2）化简：
【同步演练】
1、已知a＜-b，且
＞0，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab|=（???
）
A.?2a+2b+ab????B.?-ab?????C.?-2a-2b+ab???D.?-2a+ab
2、若a是有理数，那么在①a+1，②|a+1|，③|a|+1，④a2+1中，一定是正数的有（???
）
A.1个?????B.?2个????C.3个?????D.4个?
3、若a＞0，b＜0，且|x-a|+|x-b|=a-b，求x的取值范围．
4、（2020七上·兴化期中）已知有理数a、b、c在数轴上的位置，
（1）a+b________0；a+c________0；b﹣c________0用“＞，＜，=”填空）
（2）试化简|a+b|﹣|a+c|+|b﹣c|
要点2：绝对值几何意义与最值
【要点梳理】
绝对值几何意义：数轴上某个点的绝对值表示该点到原点的距离。常见考查绝对值的几何意义有这几类：①|a-b|：表示数轴上a点到b点的距离；②|a+b|：表示数轴上a点到-b点的距离
2、最值：绝对值几何意义考查的最大值与最小值一般考查三点或者四点之间距离和最短或者最长。通常有：①|x-a|+|x-b|:这类情况最小值是当x在两个定点之间时取值最小；当x在两点两端中的一侧取值最大；②|x-a|+|x-b|+|x-c|:这类情况最小值是当x在三个定点之间时取值最小；当x在三点两端一侧或者三点之间某个位置，具体需要分类讨论
【典型例题】
1、（2020七上·仪征月考）阅读下面材料：如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离可以表示为|a?b|.
根据阅读材料与你的理解回答下列问题：
（1）数轴上表示3与?2的两点之间的距离是________.
（2）数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为________.
（3）代数式|x+8|可以表示数轴上有理数x与有理数________?所对应的两点之间的距离；若|x+8|=5，则x=________.
（4）求代数式|x+2018|+|x+504|+|x?2017|的最小值.
2、同学们都知道，|5-（-2）|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
（1）求|5-（-2）|=________；
（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7这样的整数是________；
（3）对于任何有理数x，|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
3、（2018七上·无锡期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）探究：
①数轴上表示5和2的两点之间的距离是多少．
②数轴上表示﹣2和﹣6的两点之间的距离是多少．
③数轴上表示﹣4和3的两点之间的距离是多少．
（2）归纳：
一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．
应用：
①如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：|a﹣3|=7，求a的值．
②若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，求|a+4|+|a﹣3|的值．
③当a取何值时，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣3|的值最小，最小值是多少？请说明理由．
（3）拓展：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：A1
，
A2
，
A3
，
A4
，
A5
，
…A2014
，
某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在什么线段上，才能使这2014户居民到点P的距离总和最小.
【同步演练】
1、（2020七上·无锡期中）阅读下面材料：
若点A、B在数轴上分别表示数a，b，则A、B两点之间的距离表示为|AB|
（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是________，数轴上表示-3和4两点之间的距离是________．
（2）若数轴上点B表示的数是-1，且|AB|
=
3，则a=________．
（3）在数轴上有三个点A，
B，
C若点A表示的数是-1，点B表示的数是3，且|AB|
+
|AC|
=
6
，求点C表示的数．
2、（2020七上·东台期中）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化.
材料一：我们知道|a|的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；|a+b|的几何意义是：数轴上表示数a，﹣b的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解.
（
1
）|x﹣3|＝4
解：由绝对值的几何意义知：
在数轴上x表示的点到3的距离等于4
∴x1＝3+4＝7，x2＝3﹣4＝﹣1
（
2
）|x+2|＝5
解：∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到﹣2的距离等于5.∴x1＝﹣2+5＝3，x2＝﹣2﹣5＝﹣7
材料二：如何求|x﹣1|+|x+2|的最小值.
由|x﹣1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和﹣2两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在﹣2和1之间（包括这两个端点）取值.
∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3；由此可求解方程|x﹣1|+|x+2|＝4，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|恒有最小值3，所以要使|x﹣1|+|x+2|＝4成立，则点P必在﹣2的左边或1的右边，且到表示数﹣2或1的点的距离均为0.5个单位.
故方程|x﹣1|+|x+2|＝4的解为：x1＝﹣2﹣0.5＝﹣2.5，x2＝1+0.5＝1.5.
阅读以上材料，解决以下问题：
（1）填空：|x﹣3|+|x+2|的最小值为________；
（2）已知有理数x满足：|x+3|+|x﹣10|＝15，有理数y使得|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|的值最小，求x﹣y的值.
（3）试找到符合条件的x，使|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围.
3、（2020七上·无锡期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础.若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a，请你利用数轴解决以下问题：
（1）若点P与表示有理数2的点的距离是3个单位长度，则a的值为________.
（2）若数轴上表示数a的点位于－5与2之间，则|a－2|+|a+5|＝________.
（3）代数式|a+4|+|a－5|+|a－1|
+|a+3|的最小值是________.
（4）已知点M、N在数轴上，点M对应的数是－1，点N对应的数是3，令点P在点N左侧运动，在点P、M、N中，若其中一点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，请直接写出此时点P所表示的数.
【课后巩固】
1、已知a、b为非零有理数，则
的值不可能为（???
）
A.?-2?????B.?1?????C.?0??????D.?2
2、如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c，化简|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|．
3、（2020七上·高新期中）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示：
（1）填空：a-b________0；b+1________0；2-a________0；（填“＜”、“＞”或“=”）
（2）化简：
.
4、（2018七上·慈溪期中）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝
．
利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是________，数轴上表示1和
的两点之间的距离为________
（2）数轴上表示
和1两点之间的距离为________，数轴上表示
和
两点之间的距离为________
（3）若
表示一个实数，且
，化简
，
（4）
的最小值为________，
的最小值为________.
（5）
的最大值为________
5、（2020七上·江阴月考）数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，
A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|.
利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________；
（2）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是－2，则点A和B之间的距离是________，若AB＝2，那么x为________
；
（3）当x是________时，代数式
；
（4）若点A表示的数－1，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q同时从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，则运动________
秒后，PQ=1？
6、（2020七上·武进月考）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）表示﹣3和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|.
如果|a+2|＝3，那么a＝________；
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为________；
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是________；
（4）当a＝________时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是________.
7、（2020七上·东海月考）同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离.试探索：
（1）|4﹣（﹣2）|=________；
（2）找出所有符合条件的整数x，使|x﹣4|+|x+2|=8成立；
（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由.
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课程类型：新授课—衔接课
年级：新初一
学科：数学
课程主题
第6讲：绝对值的几何意义与最值
要点1：绝对值的性质
【要点梳理】
绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质；
a
（a＞0）
|a|=
0
（a=0）
（代数意义）
-a
(a＜0)
若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0；
任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，
即|a|≥a，且|a|≥-a；
若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义）
|ab|=|a|·|b|；||=（b≠0）；
|a|=|a|=a；
【典型例题】
1、（2018七上·无锡期中）已知
两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式
的结果是（???
）
A.1????B.?????C.2b+3?????D.－1
【答案】
C
2、下列说法：①平方等于64的数是8；②若a．b互为相反数，则
；③若|-a|=a，则（-a）3的值为负数；④若ab≠0，则
的取值在0，1，2，-2这四个数中，不可取的值是0．正确的个数为（?
）
A.?0个?????B.?1个????C.?2个?????D.3个
【答案】
A
3、化简|1-a|+|2a+1|+|a|,其中a<-2.
【答案】
解：∵a<-2，
∴1-a＞0，2a+1?0，
∵负数的绝对值等于它的相反数，
∴原式=1-a-2a-1-a=-4a
4、先比较下列各式的大小，再回答问题．
（1）
＋
________
；
（2）
＋
________
；
（3）
＋
________
；
（4）通过上面的比较，请你归纳出当a，b为有理数时，|a|＋|b|与|a＋b|的大小关系．
【答案】
（1）＞
（2）=
（3）=
（4）解：①当a≥0，b≥0时，|a|＋|b|＝|a＋b|；②a≤0，b≤0时，|a|＋|b|＝|a＋b|；
③当a>0，b<0时，|a|＋|b|>|a＋b|；④a<0，b>0时，|a|＋|b|>|a＋b|；
综上可知：|a|＋|b|≥|a＋b|.
5、（2020七上·丹徒期中）有理数a、b、c，在数轴上的位置如图所示.
（1）c________0；
________0；（用“＞、＜、=”填空）
（2）化简：
【答案】
（1）＞；＞
（2）解：
=a+c+a-b+c
=2a-b+2c
【同步演练】
1、已知a＜-b，且
＞0，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab|=（???
）
A.?2a+2b+ab????B.?-ab?????C.?-2a-2b+ab???D.?-2a+ab
【答案】
D
2、若a是有理数，那么在①a+1，②|a+1|，③|a|+1，④a2+1中，一定是正数的有（???
）
A.1个?????B.?2个????C.3个?????D.4个?
【答案】
B
3、.若a＞0，b＜0，且|x-a|+|x-b|=a-b，求x的取值范围．
【答案】
解：∵a＞0，b＜0，
∴a-b＞0，
又∵|x-a|+|x-b|=a-b，
即a-x+x-b=a-b
∴x-a＜0且x-b＞0，
∴b＜x＜a；
当x=a时，
a-x+x-b
=
a-a+a-b
=a-b，成立；
当x=b时，
a-x+x-b
=
a-b+b-b
=a-b，成立；
∴
b≤x≤a
4、（2020七上·兴化期中）已知有理数a、b、c在数轴上的位置，
（1）a+b________0；a+c________0；b﹣c________0用“＞，＜，=”填空）
（2）试化简|a+b|﹣|a+c|+|b﹣c|
【答案】
（1）＜；＜；＞
（2）解：|a+b|﹣|a+c|+|b﹣c|=﹣a﹣b﹣a﹣c+b﹣c=﹣2c.
要点2：绝对值几何意义与最值
【要点梳理】
绝对值几何意义：数轴上某个点的绝对值表示该点到原点的距离。常见考查绝对值的几何意义有这几类：①|a-b|：表示数轴上a点到b点的距离；②|a+b|：表示数轴上a点到-b点的距离
2、最值：绝对值几何意义考查的最大值与最小值一般考查三点或者四点之间距离和最短或者最长。通常有：①|x-a|+|x-b|:这类情况最小值是当x在两个定点之间时取值最小；当x在两点两端中的一侧取值最大；②|x-a|+|x-b|+|x-c|:这类情况最小值是当x在三个定点之间时取值最小；当x在三点两端一侧或者三点之间某个位置，具体需要分类讨论
【典型例题】
1、（2020七上·仪征月考）阅读下面材料：如图，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离可以表示为|a?b|.
根据阅读材料与你的理解回答下列问题：
（1）数轴上表示3与?2的两点之间的距离是________.
（2）数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为________.
（3）代数式|x+8|可以表示数轴上有理数x与有理数________?所对应的两点之间的距离；若|x+8|=5，则x=________.
（4）求代数式|x+2018|+|x+504|+|x?2017|的最小值.
【答案】
（1）5
（2）|x-7|
（3）?8；?3或?13
（4）解：如图，
|x+2018|+|x+504|+|x?2017|的最小值，即|2017?(?2018)|=4035
2、同学们都知道，|5-（-2）|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：
（1）求|5-（-2）|=________；
（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7这样的整数是________；
（3）对于任何有理数x，|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
【答案】
（1）7
（2）-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2
（3）解：|x?3|+|x?6|有最小值，最小值是3，
理由：当x>6时，|x?3|+|x?6|=x?3+x?6=2x?9>3，
当3?x?6时，|x?3|+|x?6|=x?3+6?x=3，
当x<3时，|x?3|+|x?6|=3?x+6?x=9?2x>3，
故|x?3|+|x?6|有最小值，最小值是3.
∴|x-3|+|x-6|有最小值，为3
3、（2018七上·无锡期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）探究：
①数轴上表示5和2的两点之间的距离是多少．
②数轴上表示﹣2和﹣6的两点之间的距离是多少．
③数轴上表示﹣4和3的两点之间的距离是多少．
（2）归纳：
一般的，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．
应用：
①如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：|a﹣3|=7，求a的值．
②若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，求|a+4|+|a﹣3|的值．
③当a取何值时，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣3|的值最小，最小值是多少？请说明理由．
（3）拓展：某一直线沿街有2014户居民（相邻两户居民间隔相同）：A1
，
A2
，
A3
，
A4
，
A5
，
…A2014
，
某餐饮公司想为这2014户居民提供早餐，决定在路旁建立一个快餐店P，点P选在什么线段上，才能使这2014户居民到点P的距离总和最小.
【答案】
（1）解：①数轴上表示5和2的两点之间的距离是3．
②数轴上表示﹣2和﹣6的两点之间的距离是4．
③数轴上表示﹣4和3的两点之间的距离是7．
（2）解：①如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：|a﹣3|=7，a=10或﹣4．
②若数轴上表示数a的点位于﹣4与3之间，
|a+4|+|a﹣3|=a+4+3﹣a=7；
③当a=1时，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣3|取最小值，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣3|最小=5+0+2=7，
理由是：a=1时，正好是3与﹣4两点间的距离．
（3）解：点P选在A1007A1008这条线段上
【同步演练】
1、（2020七上·无锡期中）阅读下面材料：
若点A、B在数轴上分别表示数a，b，则A、B两点之间的距离表示为|AB|
（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是________，数轴上表示-3和4两点之间的距离是________．
（2）若数轴上点B表示的数是-1，且|AB|
=
3，则a=________．
（3）在数轴上有三个点A，
B，
C若点A表示的数是-1，点B表示的数是3，且|AB|
+
|AC|
=
6
，求点C表示的数．
【答案】
（1）3；7
（2）-4或2
（3）解：∵点A表示的数是-1，点B表示的数是3，
∴|AB|=4
∴
|AC|
=
2，
∴点C表示的数为1或-3．
2、（2020七上·东台期中）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化.
材料一：我们知道|a|的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；|a+b|的几何意义是：数轴上表示数a，﹣b的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解.
（
1
）|x﹣3|＝4
解：由绝对值的几何意义知：
在数轴上x表示的点到3的距离等于4
∴x1＝3+4＝7，x2＝3﹣4＝﹣1
（
2
）|x+2|＝5
解：∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到﹣2的距离等于5.∴x1＝﹣2+5＝3，x2＝﹣2﹣5＝﹣7
材料二：如何求|x﹣1|+|x+2|的最小值.
由|x﹣1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和﹣2两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在﹣2和1之间（包括这两个端点）取值.
∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3；由此可求解方程|x﹣1|+|x+2|＝4，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|恒有最小值3，所以要使|x﹣1|+|x+2|＝4成立，则点P必在﹣2的左边或1的右边，且到表示数﹣2或1的点的距离均为0.5个单位.
故方程|x﹣1|+|x+2|＝4的解为：x1＝﹣2﹣0.5＝﹣2.5，x2＝1+0.5＝1.5.
阅读以上材料，解决以下问题：
（1）填空：|x﹣3|+|x+2|的最小值为________；
（2）已知有理数x满足：|x+3|+|x﹣10|＝15，有理数y使得|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|的值最小，求x﹣y的值.
（3）试找到符合条件的x，使|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围.
【答案】
（1）5
（2）解：|x+3|+|x﹣10|的最小值为13，
∵|x+3|+|x﹣10|＝15，
∴x＝﹣3﹣1＝﹣4或x＝10+1＝11，
∵|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|表示数轴上表示y到﹣2，3，5之间的距离和最小，
∴当y＝3时，有最小值7，
∴x﹣y＝﹣7或x﹣y＝8；
（3）解：|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|表示数轴上点x到1，2，3，…，n之间的距离和最小，
当n是奇数时，中间的点为
，
∴当x＝
时，|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|＝0+2+4+…+（n﹣3）+（n﹣1）＝
，
∴最小值为
；
当n是偶数时，中间的两个点相同为
，
∴当x＝
时，|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|＝1+3+5+…+（n﹣3）+（n﹣1）＝
，
∴最小值为
.
3、（2020七上·无锡期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它是“数形结合”的基础.若点P为数轴上一动点，点P对应的数记为a，请你利用数轴解决以下问题：
（1）若点P与表示有理数2的点的距离是3个单位长度，则a的值为________.
（2）若数轴上表示数a的点位于－5与2之间，则|a－2|+|a+5|＝________.
（3）代数式|a+4|+|a－5|+|a－1|
+|a+3|的最小值是________.
（4）已知点M、N在数轴上，点M对应的数是－1，点N对应的数是3，令点P在点N左侧运动，在点P、M、N中，若其中一点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，请直接写出此时点P所表示的数.
【答案】
（1）5或-1
（2）7
（3）13
（4）-13或-3或-
或?-9或?2或0或
或
【课后巩固】
1、已知a、b为非零有理数，则
的值不可能为（???
）
A.?-2?????B.?1?????C.?0??????D.?2
【答案】
B
2、如图，数轴上的三点A，B，C分别表示有理数a，b，c，化简|a﹣b|﹣|a+c|+|b﹣c|．
【答案】
解：由数轴得，c＞0，a＜b＜0，
因而a﹣b＜0，a+c＜0，b﹣c＜0．
∴原式=b﹣a+a+c+c﹣b=2c
3、（2020七上·高新期中）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示：
（1）填空：a-b________0；b+1________0；2-a________0；（填“＜”、“＞”或“=”）
（2）化简：
.
【答案】
（1）＞；＜；＞
（2）解：∵a-b>0，b+1<0，2-a>0，
∴
=（a-b）-(-b-1)+(2-a)
=a-b+b+1+2-a
=3.
4、（2018七上·慈溪期中）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝
．
利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是________，数轴上表示1和
的两点之间的距离为________
（2）数轴上表示
和1两点之间的距离为________，数轴上表示
和
两点之间的距离为________
（3）若
表示一个实数，且
，化简
，
（4）
的最小值为________，
的最小值为________.
（5）
的最大值为________
【答案】
（1）4；3
（2）；
（3）8
（4）7；6
（5）4
5、（2020七上·江阴月考）数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，
A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a﹣b|.
利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________；
（2）数轴上若点A表示的数是x，点B表示的数是－2，则点A和B之间的距离是________，若AB＝2，那么x为________
；
（3）当x是________时，代数式
；
（4）若点A表示的数－1，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q同时从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，则运动________
秒后，PQ=1？
【答案】
（1）3；4
（2）∣x+2∣；0或-4
（3）-3或2
（4）
秒或
6、（2020七上·武进月考）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）表示﹣3和2两点之间的距离是________；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|.
如果|a+2|＝3，那么a＝________；
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为________；
（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是________；
（4）当a＝________时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是________.
【答案】
（1）5；﹣5或1
（2）6
（3）12
（4）1；7
7、（2020七上·东海月考）同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离.试探索：
（1）|4﹣（﹣2）|=________；
（2）找出所有符合条件的整数x，使|x﹣4|+|x+2|=8成立；
（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由.
【答案】
（1）6
（2）解：设-2、4、x在数轴上所对应的点分别为A、B、X，
则|x-4|+|x+2|=BX+AX=8，AB=|4-（-2）|=6.
①X在点A的左边时，AX+AB+AX=2AX+6=8，
∴AX=1，
∴X所对应的数是-2-1=-3；
②当X在点A、B之间时，BX+AX=AB=8，与AB=6矛盾；
③X在点A的右边时，AB+BX+BX=6+2BX=8，
∴BX=1，
∴X所对应的数是4+1=5.
综上所述：符合条件的整数x为-3或5；
（3）解：对于任何有理数x，|x-3|+|x-6|有最小值，最小值为3.
提示：设3、6、x在数轴上所对应的点分别为A、B、X，
则|x-3|+|x-6|=AX+BX，AB=|6-3|=3.
∵AX+BX≥AB，
∴|x-3|+|x-6|≥3，当X在A、B之间时取等号.
∴|x-3|+|x-6|有最小值3.
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精品试卷·第
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