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2021-2022学年沪教新版九年级上册数学《第25章
锐角的三角比》单元测试卷
一．选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，那么下列各式中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，当已知∠A和a时，求c，应选择的关系式是（　　）
A．c＝
B．c＝
C．c＝a?tanA
D．c＝
3．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tanA的值是（　　）
A．
B．
C．2
D．
4．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则cosA等于（　　）
A．
B．
C．
D．
5．如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，斜边中线是3cm，sinA＝，则S△ABC＝（　　）
A．
cm2
B．2cm2
C．3cm2
D．4cm2
7．下面结论中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．李红同学遇到了这样一道题：
tan（α+20°）＝1，你猜想锐角α的度数应是（　　）
A．40°
B．30°
C．20°
D．10°
9．如图在△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，过D作DE∥BC交AC于点E，若BD＝6，AE＝5，则sin∠EDC的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，延长BC到D，使CD＝AC，则tan22.5°＝（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
11．已知sinA＝，则锐角∠A＝　
　．
12．用科学计算器计算：373cos81°23'≈　
　．（结果精确到1）
13．计算：cos245°﹣tan30°sin60°＝　
　．
14．若α为锐角，化简＝　
　．
15．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠OAB的正弦值是　
　．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AB＝10，D是AC的中点，则BD＝　
　．
17．在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝4，则AB值是　
　．
18．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，则cosA＝　
　．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，如果BC＝4，sin∠DBC＝，那么线段AB的长是　
　．
20．如图，BE是△ABC的角平分线，F是AB上一点，∠ACF＝∠EBC，BE、CF相交于点G．若sin∠AEB＝，BG＝4，EG＝5，则S△ABE＝　
　．
三．解答题
21．在△ABC中，∠B、∠C
均为锐角，其对边分别为b、c，求证：＝．
22．计算：2sin245°﹣6cos30°+3tan45°+4sin60°．
23．计算：（π﹣3.14）0×（﹣1）2010+（﹣）﹣2﹣|﹣2|+2cos30°
24．计算：﹣2sin45°﹣32．
温馨提示：你只需选择下列一种方式来解答本题．如果两种方式都做，我们将根据做得较好的一种来评分，但你有可能会浪费一部分时间！
方式一：（用计算器计算）计算的结果是　
　．
按键顺序为：
方式二：（不用计算器计算）
25．如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα＝＝，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）ctan30°＝　
　；
（2）如图，已知tanA＝，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
26．如图，在△ABC中，∠C＝150°，AC＝4，tanB＝．
（1）求BC的长；
（2）利用此图形求tan15°的值（精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）
27．学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°的值为　
　
A．
B．1
C．
D．2
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是　
　．
（3）已知sinα＝，其中α为锐角，试求sadα的值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：由勾股定理知，BC＝＝＝．
∴sinA＝，cosA＝，tanA＝，cotA＝．
故选：B．
2．解：如图，∵已知∠A和a，求c，
∴sinA＝，
∴c＝．
故选：A．
3．解：连接BD．
则BD＝，AD＝2，
则tanA＝＝＝．
故选：D．
4．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5．
∴cosA＝．
故选：C．
5．解：利用该型号计算器计算cos55°，按键顺序正确的是．
故选：C．
6．解：∵在Rt△ABC中斜边中线是3cm
∴AB＝6
∵sinA＝
∴BC＝2，AC＝4
∴S△ABC＝＝4．
故选：D．
7．解：A、sin60°＝，故A错误；
B、tan60°＝，故B正确；
C、sin45°＝，故C错误；
D、cos30°＝，故D错误；
故选：B．
8．解：∵
tan（α+20°）＝1，
∴tan（α+20°）＝，
∵α为锐角，
∴α+20°＝30°，α＝10°．
故选：D．
9．解：∵△ABC中，AC＝BC，过点C作CD⊥AB，
∴AD＝DB＝6，∠BDC＝∠ADC＝90°，
∵AE＝5，DE∥BC，
∴AC＝2AE＝10，∠EDC＝∠BCD，
∴sin∠EDC＝sin∠BCD＝＝＝，
故选：A．
10．解：设AB＝x，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴AB＝BC＝x，
由勾股定理得：AC＝＝x，
∵AC＝CD，
∴AC＝CD＝x，
∴BD＝BC+CD＝（+1）x，
∴tan22.5°＝＝＝﹣1，
故选：B．
二．填空题
11．解：∵sinA＝，∠A为锐角，
∴∠A＝30°．
故答案为：30°．
12．解：用科学计算器计算：
373cos81°23'
≈50653×0.1498
≈7588．
故答案为：7588．
13．解：cos245°﹣tan30°sin60°＝﹣×＝﹣＝0，
故答案为：0．
14．解：∵α为锐角，
∴0＜sinα＜1，
∴＝＝1﹣sinα．
15．解：如图，过点O作OC⊥AB的延长线于点C，
则AC＝4，OC＝2，
在Rt△ACO中，AO＝，
∴sin∠OAB＝．
故答案为：．
16．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，
∴sinA＝＝，
∵AB＝10，
∴BC＝AB＝6，
∴AC＝＝＝8，
∵D是AC的中点，
∴CD＝AC＝4，
∴BD＝＝＝2；
故答案为：2．
17．解：∵sinA＝，即＝，
∴AB＝10，
故答案为：10．
18．解：由勾股定理得：AC＝＝＝6，
cosA＝＝＝，
故答案为：．
19．解：在Rt△BDC中，
∵BC＝4，sin∠DBC＝，
∴CD＝BC×sin∠DBC＝4×＝，
∴BD＝＝，
∵∠ABC＝90°，BD⊥AC，
∴∠A＝∠DBC，
在Rt△ABD中，
∴AB＝＝×＝2，
故答案为：2．
20．解：如图，过点B作BT⊥AC于T，连接EF．
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ECG＝∠ABE，
∴∠ECG＝∠CBE，
∵∠CEG＝∠CEB，
∴△ECG∽△EBC，
∴＝＝，
∴EC2＝EG?EB＝5×（5+4）＝45，
∵EC＞0，
∴EC＝3，
在Rt△BET中，∵sin∠AEB＝＝，BE＝9，
∴BT＝，
∴ET＝＝＝，
∴CT＝ET+CE＝，
∴BC＝＝＝6，
∴CG＝＝10，
∵∠ECG＝∠FBG，
∴E，F，B，C四点共圆，
∴∠EFG＝∠CBG，
∵∠FGE＝∠BGC，
∴△EGF∽△CGB，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝3，
∵∠AFE＝∠ACB，∠EAF＝∠BAC，
∴△EAF∽△BAC，
∴＝＝＝，设AE＝x，则AB＝2x，
∵∠FBG＝∠ECG，∠BGF＝∠CGE，
∴△BGF∽△CGE，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝，
∵AE?AC＝AF?AB，
∴x（x+3）＝（2x﹣）?2x，
解得x＝，
∴AE＝ET＝，
∴点A与点T重合，
∴AB＝2AE＝，
∴S△ABE＝×AB×AE＝××＝．
故答案为．
三．解答题
21．证明：过A作AD⊥BC于D，
在Rt△ABD中，sinB＝，
∴AD＝ABsinB，
在Rt△ADC中，sinC＝，
∴AD＝ACsinC，
∴ABsinB＝ACsinC，
而AB＝c，AC＝b，
∴csinB＝bsinC，
∴＝．
22．解：原式＝2×（）2﹣6×+3×1+4×
＝2×﹣3+3+2
＝1﹣3+3+2
＝4﹣．
23．解：原式＝1×1+9﹣2+
＝8+2．
24．方式一：（用计算器计算）
计算的结果是﹣9．
按键顺序为：（以卡西欧计算器为例）
方式二：（不用计算器计算）
原式＝﹣9
＝﹣9
＝﹣9．
25．解：（1）∵Rt△ABC中，α＝30°，
∴BC＝AB，
∴AC＝＝＝AB，
∴ctan30°＝＝．
故答案为：；
（2）∵tanA＝，
∴设BC＝3x，AC＝4x，
∴ctanA＝＝＝．
26．解：（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1所示：
在Rt△ADC中，AC＝4，
∵∠ACB＝150°，
∴∠ACD＝30°，
∴AD＝AC＝2，
CD＝AC?cos30°＝4×＝2，
在Rt△ABD中，tanB＝＝＝，
∴BD＝16，
∴BC＝BD﹣CD＝16﹣2；
（2）在BC边上取一点M，使得CM＝AC，连接AM，如图2所示：
∵∠ACB＝150°，
∴∠AMC＝∠MAC＝15°，
tan15°＝tan∠AMD＝＝＝＝2﹣≈0.3．
27．解：（1）根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，
则sad60°＝＝1．
故选B．
（2）当∠A接近0°时，sadα接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
故答案为0＜sadA＜2．
（3）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin∠A＝．
在AB上取点D，使AD＝AC，
作DH⊥AC，H为垂足，令BC＝3k，AB＝5k，
则AD＝AC＝＝4k，
又∵在△ADH中，∠AHD＝90°，sin∠A＝．
∴DH＝ADsin∠A＝k，AH＝＝k．
则在△CDH中，CH＝AC﹣AH＝k，CD＝＝k．
于是在△ACD中，AD＝AC＝4k，CD＝k．
由正对的定义可得：sadA＝＝，即sadα＝．

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