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专题四
《函数》讲义
5.7
对称性与周期性
知识梳理.对称性与周期性
1.轴对称：
①f(x)=f(-x)，关于x=0对称
②f(a+x)=f(a-x)，关于x=a对称
③f(a+x)=f(b-x)，关于x=对称
2.中心对称：
①f(x)-f(-x)=0，关于(0,0)对称
②f(a+x)-f(a-x)=0，关于(a,0)对称
③f(a+x)-f(a-x)=2b，关于(a,b)对称
3.周期性：
①f(x)=f(x+T)，最小正周期为T，有多个对称轴，有多个对称中心.
②f(x+a)=f(x+b)，T=lb-al
③f(x+a)=-f(x+b)，T=2lb-al
④f(x+a)=±，T=l2al
题型一.
轴对称
1．已知函数f（x）＝f（2﹣x），x∈R，当x∈[1，+∞）时，f（x）为增函数．设a＝f（1），b＝f（2），c＝f（﹣1），则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a
【解答】解：∵f（x）＝f（2﹣x），
∴函数的图象关于x＝1对称，
当x∈[1，+∞）时，f（x）为增函数，
∴f（3）＞f（2）＞f（1），
a＝f（1），b＝f（2），c＝f（﹣1）＝f（3），
则a＜b＜c．
故选：D．
2．定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x（3﹣2x），则f（）＝（　　）
A．﹣1
B．
C．
D．1
【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则有f（﹣x）＝f（x+2），
又由f（x）为奇函数，则f（x+2）＝﹣f（x），
则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，
则f（）＝f（16）＝f（）＝﹣f（）＝﹣[（3﹣2）]＝﹣1；
故选：A．
3．已知定义域为R的函数f（x）在[1，+∞）单调递增，且f（x+1）为偶函数，若f（3）＝1，则不等式f（2x+1）＜1的解集为（　　）
A．（﹣1，1）
B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，1）
D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【解答】解：根据题意，函数f（x+1）为偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，
又由函数f（x）在[1，+∞）单调递增且f（3）＝1，
则f（2x+1）＜1?f（2x+1）＜f（3）?|2x|＜2，
解可得：﹣1＜x＜1，即不等式的解集为（﹣1，1）；
故选：A．
题型二.中心对称
1．已知函数f（2x+1）是奇函数．则函数y＝f（2x）的图象成中心对称的点为（　　）
A．（1，0）
B．（﹣1，0）
C．（，0）
D．（，0）
【解答】解：∵函数f（2x+1）是奇函数，
∴f（﹣2x+1）＝﹣f（2x+1）
令t＝1﹣2x，代入可得f（t）+f（2﹣t）＝0，
∴函数f（x）关于（1，0）对称，
则函数y＝f（2x）的图象成中心对称的点为（，0）．
故选：C．
2．已知函数f（x﹣1）（x∈R）是偶函数，且函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称，当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x﹣1，则f（2019）＝（　　）
A．﹣2
B．﹣1
C．0
D．2
【解答】解：根据题意，函数f（x﹣1）（x∈R）是偶函数，则函数f（x）的对称轴为x＝﹣1，
则有f（x）＝f（﹣2﹣x），
又由函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称，则f（x）＝﹣f（2﹣x），
则有f（﹣2﹣x）＝﹣f（2﹣x），即f（x+4）＝﹣f（x），
变形可得f（x+8）＝f（x），则函数是周期为8的周期函数，
f（2019）＝f（3+252×8）＝f（3）＝﹣f（﹣1）＝﹣（﹣1﹣1）＝2；
故选：D．
3．（2016·全国2）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），若函数y与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则（xi+yi）＝（　　）
A．0
B．m
C．2m
D．4m
【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），
即为f（x）+f（﹣x）＝2，
可得f（x）关于点（0，1）对称，
函数y，即y＝1的图象关于点（0，1）对称，
即有（x1，y1）为交点，即有（﹣x1，2﹣y1）也为交点，
（x2，y2）为交点，即有（﹣x2，2﹣y2）也为交点，
…
则有（xi+yi）＝（x1+y1）+（x2+y2）+…+（xm+ym）
[（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+（﹣x2+2﹣y2）+…+（xm+ym）+（﹣xm+2﹣ym）]
＝m．
故选：B．
题型三.周期性
1．已知函数f（x），则f（2019）＝（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵f（x），
当x＞0时，f（x+8）＝f（x），
则f（2019）＝f（3）．
故选：C．
2．（2017?山东）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）＝f（x﹣2）．若当x∈[﹣3，0]时，f（x）＝6﹣x，则f（919）＝　6　．
【解答】解：由f（x+4）＝f（x﹣2）．则f（x+6）＝f（x），
∴f（x）为周期为6的周期函数，
f（919）＝f（153×6+1）＝f（1），
由f（x）是定义在R上的偶函数，则f（1）＝f（﹣1），
当x∈[﹣3，0]时，f（x）＝6﹣x，
f（﹣1）＝6﹣（﹣1）＝6，
∴f（919）＝6，
故答案为：6．
3．（2018?新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（　　）
A．﹣50
B．0
C．2
D．50
【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），
∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，
则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
∵f（1）＝2，
∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，
f（4）＝f（0）＝0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）
＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，
故选：C．
题型四.对称性与周期性综合
1．（2017?新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），则（　　）
A．f（x）在（0，2）单调递增
B．f（x）在（0，2）单调递减
C．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称
【解答】解：f（x）的定义域为（0，2），f（x）＝ln[x（2﹣x）]＝ln（﹣x2+2x），
故f（x）在（0，1）上递增，在（1，2）上递减，A，B错．
∵f（2﹣x）＝ln（2﹣x）+lnx＝f（x），
∴y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，C正确，D错误．
故选：C．
2．（2019?涪城区校级模拟）设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足条件y＝f（x+1）是偶函数，且当x≥1时，f（x）＝（）x﹣1，则a＝f（log32），b＝f（﹣log），c＝f（3）的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c
B．b＞c＞a
C．b＞a＞c
D．c＞b＞a
【解答】解：∵y＝f（x+1）是偶函数，
∴f（﹣x+1）＝f（x+1），
即函数f（x）关于x＝1对称．
∵当x≥1时，f（x）＝（）x﹣1为减函数，
∵f（log32）＝f（2﹣log32）＝f（log3），
且2＝log34，
log34＜log33，
∴b＞a＞c，
故选：C．
3．（2018秋?余姚市校级月考）已知函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x）（x∈R），且对任意x1，x2∈[1，+∞）（x1≠x2）的时，恒有0成立，则当f（2a2+a+2）＜f（2a2﹣2a+4）时，实数a的取值范围为（　　）
A．（）
B．（）
C．（）
D．（）∪（1，+∞）
【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x），则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，
又由对任意x1，x2∈[1，+∞）（x1≠x2）的时，恒有0成立，则f（x）在[1，+∞）上为减函数，
又由2a2+a+2＝2（a）21，2a2﹣2a+4＝2（a）21，
若f（2a2+a+2）＜f（2a2﹣2a+4），则有2a2+a+2＞2a2﹣2a+4，
解可得a，即a的取值范围为（，+∞）
故选：A．
4．（2016?湖南校级模拟）已知函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，且在[1，+∞）上单调递减，f（0）＝0，则f（x+1）＞0的解集为（　　）
A．（1，+∞）
B．（﹣1，1）
C．（﹣∞，﹣1）
D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
【解答】解：由f（x）的图象关于x＝1对称，f（0）＝0，
可得f（2）＝f（0）＝0，
当x+1≥1时，f（x+1）＞0，即为f（x+1）＞f（2），
由f（x）在[1，+∞）上单调递减，可得：
x+1＜2，解得x＜1，即有0≤x＜1①
当x+1＜1即x＜0时，f（x+1）＞0，即为f（x+1）＞f（0），
由f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，可得：
x+1＞0，解得x＞﹣1，即有﹣1＜x＜0②
由①②，可得解集为（﹣1，1）．
故选：B．
5．（2019?新课标Ⅱ）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x），则m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，]
B．（﹣∞，]
C．（﹣∞，]
D．（﹣∞，]
【解答】解：因为f（x+1）＝2f（x），∴f（x）＝2f（x﹣1），
∵x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）∈[，0]，
∴x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2）∈[，0]；
∴x∈（2，3]时，x﹣1∈（1，2]，f（x）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3）∈[﹣1，0]，
当x∈（2，3]时，由4（x﹣2）（x﹣3）解得x或x，
若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x），则m．
故选：B．
6．（2009?山东）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）＝﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）＝m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝　﹣8　．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，
∴f（x﹣4）＝﹣f（x）＝f（﹣x），
∴f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称，
又f（x﹣4）＝﹣f（x），∴f（x）＝﹣f（x+4），
∴f（x﹣4）＝f（x+4），∴f（x）周期为8，
作出f（x）的大致函数图象如图：
由图象可知f（x）＝m的4个根中，两个关于直线x＝﹣6对称，两个关于直线x＝2对称，
∴x1+x2+x3+x4＝﹣6×2+2×2＝﹣8．
故答案为：﹣8．
课后作业.函数性质
1．若函数f（x）＝1sinx在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，则m+n等于（　　）
A．0
B．1
C．2
D．4
【解答】解：f（x）＝1sinx＝3sinx，
f（﹣x）＝3sin（﹣x）＝3sinx
∴f（x）+f（﹣x）＝4，所以f（x）是以点（0，2）为对称中心，
所以其最大值与最小值的和m+n＝4．
故选：D．
2．设函数f（x）＝x3，则f（x）（　　）
A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增
B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减
C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增
D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减
【解答】解：因为f（x）＝x3，
则f（﹣x）＝﹣x3f（x），即f（x）为奇函数，
根据幂函数的性质可知，y＝x3在（0，+∞）为增函数，故y1在（0，+∞）为减函数，y2在（0，+∞）为增函数，
所以当x＞0时，f（x）＝x3单调递增，
故选：A．
3．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，f（x+1）是偶函数，且当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣x（x﹣2），则（　　）
A．f（x）是周期为2的函数
B．f（2019）+f（2020）＝﹣1
C．f（x）的值域为[﹣1，1]
D．y＝f（x）在[0，2π]上有4个零点
【解答】解：对于A，f（x）为R上的奇函数，f（x+1）为偶函数，
所以f（x）图象关于x＝1对称，f（2+x）＝f（﹣x）＝﹣f（x）
即f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）
则f（x）是周期为4的周期函数，A错误；
对于B，f（x）定义域为R的奇函数，则f（0）＝0，f（x）是周期为4的周期函数，则f（2020）＝f（0）＝0；
当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣x（x﹣2），则f（1）＝﹣1×（1﹣2）＝1，
则f（2019）＝f（﹣1+2020）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，
则f（2019）+f（2020）＝﹣1，故B正确．
对于C，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣x（x﹣2），此时有0＜f（x）≤1，
又由f（x）为R上的奇函数，则x∈[﹣1，0）时，﹣1≤f（x）＜0，f（0）＝0，函数关于x＝1对称，
所以函数f（x）的值域[﹣1，1]．故C正确．
对于D，∵f（0）＝0，且x∈（0，1]时，f（x）＝﹣x（x﹣2），∴x∈[0，1]，f（x）＝﹣x（x﹣2），
∴x∈[1，2]，2﹣x∈[0，1]，f（x）＝f（2﹣x）＝﹣x（x﹣2），∴x∈[0，2]，f（x）＝﹣x（x﹣2），
∵f（x）是奇函数，∴x∈[﹣2，0]，f（x）＝x（x+2），
∵f（x）的周期为4，∴x∈[2，4]，f（x）＝（x﹣2）（x﹣4），
∴x∈[4，6]，f（x）＝﹣（x﹣4）（x﹣6），∴x∈[6，2π]，f（x）＝（x﹣6）（x﹣8），
根据解析式，可得x∈[0，π]上有4个交点，故D正确．
故选：BCD．
4．设函数f（x）＝lg（1+|2x|），则使得f（3x﹣2）＞f（x﹣4）成立的x的取值范围是（　　）
A．（）
B．（﹣1，）
C．（﹣∞，）
D．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）
【解答】解：f（x）＝ln（1+|2x|），定义域为R，
∵f（﹣x）＝f（x），
∴函数f（x）为偶函数，
当x＞0时，f（x）＝ln（1+2x）值函数单调递增，
根据偶函数性质可知：得f（3x﹣2）＞f（x﹣4）成立，
∴|3x﹣2|＞|x﹣4|，
∴（3x﹣2）2＞（x﹣4）2，
解得：x或x＜﹣1，
故选：D．
5．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵f（x+2）＝﹣f（x），
∴f（x+4）＝f[（x+2）+2]＝﹣f（x+2）＝f（x），
∴函数f（x）是周期为4的周期函数，
f（6）＝f（2）＝﹣f（0）＝0，f（）＝f（）＝﹣f（）＝f（）1，f（﹣7）＝f（1）＝1，
∴，
故选：B．
6．已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝﹣f（x）＝f（4﹣x），当x∈（0，2）时，f（x）＝ln（x2﹣x+b）．若函数f（x）在区间[﹣2，2]上有5个零点，则实数b的取值范围是　或　．
【解答】解：由题意知，f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（0）＝0，即0是函数f（x）的零点，
因为f（x）是定义在R上且以4为周期的周期函数，
所以f（﹣2）＝f（2），且f（﹣2）＝﹣f（2），则f（﹣2）＝f（2）＝0，
即±2也是函数f（x）的零点，
因为函数f（x）在区间[﹣2，2]上的零点个数为5，
且当x∈（0，2）时，f（x）＝ln（x2﹣x+b），
所以当x∈（0，2）时，x2﹣x+b＞0恒成立，且x2﹣x+b＝1在（0，2）有一解，
即或，
解得b≤1或b，
故答案为：或．专题四
《函数》讲义
5.7
对称性与周期性
知识梳理.对称性与周期性
1.轴对称：
①f(x)=f(-x)，关于x=0对称
②f(a+x)=f(a-x)，关于x=a对称
③f(a+x)=f(b-x)，关于x=对称
2.中心对称：
①f(x)-f(-x)=0，关于(0,0)对称
②f(a+x)-f(a-x)=0，关于(a,0)对称
③f(a+x)-f(a-x)=2b，关于(a,b)对称
3.周期性：
①f(x)=f(x+T)，最小正周期为T，有多个对称轴，有多个对称中心.
②f(x+a)=f(x+b)，T=lb-al
③f(x+a)=-f(x+b)，T=2lb-al
④f(x+a)=±，T=l2al
题型一.
轴对称
1．已知函数f（x）＝f（2﹣x），x∈R，当x∈[1，+∞）时，f（x）为增函数．设a＝f（1），b＝f（2），c＝f（﹣1），则a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．c＞a＞b
D．c＞b＞a
2．定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x（3﹣2x），则f（）＝（　　）
A．﹣1
B．
C．
D．1
3．已知定义域为R的函数f（x）在[1，+∞）单调递增，且f（x+1）为偶函数，若f（3）＝1，则不等式f（2x+1）＜1的解集为（　　）
A．（﹣1，1）
B．（﹣1，+∞）
C．（﹣∞，1）
D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
题型二.中心对称
1．已知函数f（2x+1）是奇函数．则函数y＝f（2x）的图象成中心对称的点为（　　）
A．（1，0）
B．（﹣1，0）
C．（，0）
D．（，0）
2．已知函数f（x﹣1）（x∈R）是偶函数，且函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称，当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝x﹣1，则f（2019）＝（　　）
A．﹣2
B．﹣1
C．0
D．2
3．（2016·全国2）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝2﹣f（x），若函数y与y＝f（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），则（xi+yi）＝（　　）
A．0
B．m
C．2m
D．4m
题型三.周期性
1．已知函数f（x），则f（2019）＝（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2017?山东）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）＝f（x﹣2）．若当x∈[﹣3，0]时，f（x）＝6﹣x，则f（919）＝　
　．
3．（2018?新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（　　）
A．﹣50
B．0
C．2
D．50
题型四.对称性与周期性综合
1．（2017?新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝lnx+ln（2﹣x），则（　　）
A．f（x）在（0，2）单调递增
B．f（x）在（0，2）单调递减
C．y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称
2．设f（x）是定义在实数集R上的函数，满足条件y＝f（x+1）是偶函数，且当x≥1时，f（x）＝（）x﹣1，则a＝f（log32），b＝f（﹣log），c＝f（3）的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c
B．b＞c＞a
C．b＞a＞c
D．c＞b＞a
3．已知函数f（x）满足f（2﹣x）＝f（x）（x∈R），且对任意x1，x2∈[1，+∞）（x1≠x2）的时，恒有0成立，则当f（2a2+a+2）＜f（2a2﹣2a+4）时，实数a的取值范围为（　　）
A．（）
B．（）
C．（）
D．（）∪（1，+∞）
4．已知函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，且在[1，+∞）上单调递减，f（0）＝0，则f（x+1）＞0的解集为（　　）
A．（1，+∞）
B．（﹣1，1）
C．（﹣∞，﹣1）
D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
5．（2019?新课标Ⅱ）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x），则m的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，]
B．（﹣∞，]
C．（﹣∞，]
D．（﹣∞，]
6．（2009?山东）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）＝﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）＝m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4＝　
　．
课后作业.函数性质
1．若函数f（x）＝1sinx在区间[﹣k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，则m+n等于（　　）
A．0
B．1
C．2
D．4
2．（2020·全国2）设函数f（x）＝x3，则f（x）（　　）
A．是奇函数，且在（0，+∞）单调递增
B．是奇函数，且在（0，+∞）单调递减
C．是偶函数，且在（0，+∞）单调递增
D．是偶函数，且在（0，+∞）单调递减
3．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，f（x+1）是偶函数，且当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣x（x﹣2），则（　　）
A．f（x）是周期为2的函数
B．f（2019）+f（2020）＝﹣1
C．f（x）的值域为[﹣1，1]
D．y＝f（x）在[0，2π]上有4个零点
4．设函数f（x）＝lg（1+|2x|），则使得f（3x﹣2）＞f（x﹣4）成立的x的取值范围是（　　）
A．（）
B．（﹣1，）
C．（﹣∞，）
D．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）
5．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则（　　）
A．
B．
C．
D．
6．已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）＝﹣f（x）＝f（4﹣x），当x∈（0，2）时，f（x）＝ln（x2﹣x+b）．若函数f（x）在区间[﹣2，2]上有5个零点，则实数b的取值范围是　
　．

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