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专题四
《函数》讲义
5.1函数的三要素
知识梳理.函数的概念
1．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
2．函数的三种表示法
解析法
图象法
列表法
就是把变量x，y之间的关系用一个关系式y＝f(x)来表示，通过关系式可以由x的值求出y的值.
就是把x，y之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x，y的值.
就是将变量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
题型一.
定义域
考点1.具体函数定义域
1．函数f（x）＝（2x﹣1）0的定义域是（　　）
A．（﹣∞，1]
B．（）∪（）
C．（﹣∞，1）
D．
【解答】解：要使f（x）有意义，则；
解得x＜1，且；
∴f（x）的定义域为．
故选：B．
2．函数的定义域为M，g（x）＝ln（x2+3x+2）的定义域为N，则M∪?RN＝（　　）
A．[﹣2，1）
B．（﹣2，1）
C．（﹣2，+∞）
D．（﹣∞，1）
【解答】解：由1﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜1，
∴M＝（﹣1，1），
由x2+3x+2＞0，解得x＜﹣2或x＞﹣1，
∴N＝（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞），
∴?RN＝[﹣2，﹣1]，
则M∪?RN＝[﹣2，1）．
故选：A．
考点2.抽象函数定义域
3．若函数f（3﹣2x）的定义域为[﹣1，2]，则函数f（x）的定义域是　[﹣1，5]　．
【解答】解：∵函数f（3﹣2x）的定义域为[﹣1，2]，
即﹣1≤x≤2，
∴﹣2≤2x≤4
∴﹣1≤3﹣2x≤5
∴函数f（x）的定义域是[﹣1，5]
故答案为：[﹣1，5]
4．函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，2]，则函数y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为（　　）
A．[﹣1，3]
B．[0，2]
C．[﹣1，1]
D．[﹣2，2]
【解答】解：∵函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，2]，
∴由，解得﹣1≤x≤1．
∴函数y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为[﹣1，1]．
故选：C．
考点3.已知定义域求参
5．已知函数f（x）＝lg（ax2+3x+2）的定义域为R，则实数a的取值范围是　（，+∞）　．
【解答】解：根据条件可知ax2+3x+2＞0恒成立，
则a＞0，且△＝9﹣8a＜0，解得a，
故a的取值范围是（，+∞）．
故答案为：（，+∞）．
6．若函数f（x）＝（2a2+5a+3）x2+（a+1）x﹣1
的定义域、值域都为R，则实数a满足（　　）
A．a＝﹣1或a
B．
C．a≠﹣1或a
D．a
【解答】解：函数函数f（x）＝（2a2+5a+3）x2+（a+1）x﹣1
的定义域为R，对a没有范围限制，
若值域为R，则函数为一次函数，即，解得a．
故选：D．
题型二.解析式
考点1.待定系数法
1．已知函数f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝9x+4，求函数f（x）的解析式．
【解答】解：设f（x）＝ax+b，a、b∈R，
则f[f（x）]＝f[ax+b]＝a（ax+b）+b
即a2x+ab+b＝9x+4，
∴；
解得，或；
∴f（x）＝3x+1，或f（x）＝﹣3x﹣2．
2．已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝2x，则f（x）的解析式是　f（x）＝x2﹣x+1　．
【解答】解：设y＝ax2+bx+c（a≠0）
由f（0）＝1得，c＝1
…（2分）
∵f（x+1）﹣f（x）＝2x，
∴a（x+1）2+b（x+1）﹣ax2﹣bx＝2x，
即2ax+a+b＝2x…（8分）
∴（11分）
∴f（x）＝x2﹣x+1．
故答案为：f（x）＝x2﹣x+1
考点2.换元法
3．已知，则函数f（x）的解析式为　f（x）＝x2﹣1，（x≥﹣1）　．
【解答】解：令t1≥﹣1，则t+1，x＝（t+1）2，
∴f（t）＝（t+1）2﹣2（t+1）＝t2﹣1，（t≥﹣1），
∴f（x）＝x2﹣1，（x≥﹣1）
故答案为“f（x）＝x2﹣1，（x≥﹣1）．
4．已知f（），求f（x）的解析式．
【解答】解：设t，则x（t≠﹣1）；
∴f（t）；
f（x）（x≠﹣1）．
考点3.凑配法
5．（1）已知f（），求f（x）的解析式；
（2）已知f（x）＝x2，求f（x）．
【解答】解：（1）设，则x（t≠0），代入f（），
得到，
所以（x≠0，x≠±1）．
（2）f（x）＝x2，
所以f（x）＝x2﹣2（x≥2或x≤﹣2）．
6．已知f（3x）＝4xlog23+10，则f（2）+f（4）+f（8）+…+f（210）的值等于　320　．
【解答】解：∵f（3x）＝4xlog23+10，
∴设t＝3x，则x＝log3t，
∴f（t）＝4×log3t×log23+10＝4log2t+10，
∴f（2）+f（4）+f（8）+…+f（210）
＝4（log22+log24+log28+log216+log232+log264+log2128+log2256+log2512+log21024）+10×10
＝4（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+100
＝320．
故答案为：320．
考点4.方程组法
7．已知函数f（x）满足f（x）+2f（﹣x）＝3x，则f（1）＝　﹣3　．
【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x）+2f（﹣x）＝3x，
令x＝1可得：f（1）+2f（﹣1）＝3，①
令x＝﹣1可得：f（﹣1）+2f（1）＝﹣3，②
联立①②，解可得：f（1）＝﹣3；
故答案为：﹣3．
8．已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f（x）+g（x）＝2?3x，则函数f（x）＝　3x+3﹣x　．
【解答】解：因为函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f（x）+g（x）＝2?3x，
所以f（﹣x）+g（﹣x）＝f（x）﹣g（x）＝2?3﹣x，
解得f（x）＝3x+3﹣x．
故答案为：3x+3﹣x．
考点5.求谁设谁
9．已知函数f（x）为奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝log2x，（1）求f（x）的解析式；
（2）当f（x）＞0时．求x的取值范围．
【解答】解：（1）设x＜0，﹣x＞0；
∴f（﹣x）＝log2（﹣x）＝﹣f（x）；
∴f（x）＝﹣log2（﹣x）；
∴；
（2）①x＞0时，由f（x）＞0得，log2x＞0；
∴x＞1；
②x＜0时，由f（x）＞0得，﹣log2（﹣x）＞0；
∴log2（﹣x）＜0；
∴0＜﹣x＜1；
∴﹣1＜x＜0；
∴x的取值范围为（﹣1，0）∪（1，+∞）．
10．定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x2﹣x，则当x∈（﹣1，0]时，f（x）的值域为（　　）
A．[]
B．[]
C．[，]
D．[0，]
【解答】解：∵f（x+1）＝2f（x），
∴f（x）f（x+1）；
当x∈（﹣1，0]时，x+1∈（0，1]；
故f（x）f（x+1）[（x+1）2﹣（x+1）]；
∴（x+1）2﹣（x+1）≤0，
∴[（x+1）2﹣（x+1）]≤0，
故选：A．
考点6.利用对称求解析式
11．下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（　　）
A．y＝ln（1﹣x）
B．y＝ln（2﹣x）
C．y＝ln（1+x）
D．y＝ln（2+x）
【解答】解：首先根据函数y＝lnx的图象，
则：函数y＝lnx的图象与y＝ln（﹣x）的图象关于y轴对称．
由于函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称．
则：把函数y＝ln（﹣x）的图象向右平移2个单位即可得到：y＝ln（2﹣x）．
即所求得解析式为：y＝ln（2﹣x）．
故选：B．
12．设函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）＝1，则a＝（　　）
A．﹣1
B．1
C．2
D．4
【解答】解：∵与y＝2x+a的图象关于y＝x对称的图象是y＝2x+a的反函数，
y＝log2x﹣a（x＞0），
即g（x）＝log2x﹣a，（x＞0）．
∵函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x对称，
∴f（x）＝﹣g（﹣x）＝﹣log2（﹣x）+a，x＜0，
∵f（﹣2）+f（﹣4）＝1，
∴﹣log22+a﹣log24+a＝1，
解得，a＝2，
故选：C．
题型三.
值域
考点1.利用单调性求值域
1．下列函数中，与函数的定义域和值域都相同的是（　　）
A．y＝x2+2x，x＞0
B．y＝|x+1|
C．y＝10﹣x
D．
【解答】解：函数的定义域R，值域（0，+∞），
A：函数的定义域不同，不符合题意；
B：y＝|x+1|≥0，值域不同，不符合题意；
C：y＝10﹣x定义域R，值域（0，+∞），符合题意；
D：y＝x的定义域{x|x≠0}，定义域不同，不符合题意．
故选：C．
2．已知函数f（x）＝log3（x﹣2）的定义域为A，则函数g（x）＝（）2﹣x（x∈A）的值域为（　　）
A．（﹣∞，0）
B．（﹣∞，1）
C．[1，+∞）
D．（1，+∞）
【解答】解：要使函数有意义，则x﹣2＞0得x＞2，即函数f（x）的定义域为（2，+∞），即A＝（2，+∞），
g（x）＝（）2﹣x?2x，为增函数，
则g（x）＞g（2）?22＝1，即g（x）的值域为（1，+∞），
故选：D．
考点2.换元法
3．函数的值域为（　　）
A．（﹣∞，﹣4]
B．（﹣∞，4]
C．[0，+∞）
D．[2，+∞）
【解答】解：设t，则t≥0，则x＝1﹣t2，
则函数等价为y＝2（1﹣t2）+4t＝﹣2t2+4t+2，
对称轴为t1，
则当t＝1时，函数取得最大值y＝﹣2+4+2＝4，
即y≤4，即函数的值域为（﹣∞，4]，
故选：B．
4．函数f（x）＝log2（x2﹣2x+3）的值域为（　　）
A．[0，+∞）
B．[1，+∞）
C．R
D．[2，+∞）
【解答】解：∵x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2≥2，
∴log22＝1，
故函数f（x）的值域是[1，+∞），
故选：B．
考点3.分离常数
5．函数在x∈[0，+∞）上的值域是　[1，2）　．
【解答】解：当x≥0时，函数2
在[0，+∞）上是增函数，
故当x＝0时，函数取得最小值为1，
又y＜2，故函数f（x）的值域为[1，2），
故答案为：[1，2）．
6．已知函数，则该函数在（1，3]上的值域是（　　）
A．[4，5）
B．（4，5）
C．
D．
【解答】解：，
∴f（x）在（1，2）上单调递减，在[2，3]上单调递增，
∴f（2）＝4是f（x）在（1，3]上的最小值，且f（1）＝5，f（3），
∴f（x）在（1，3]上的值域为[4，5）．
故选：A．
7．函数的值域是　（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）　．
【解答】解：．
当x+1＞0时，y＝（x+1）2，当且仅当x+1，即x＝0时“＝”成立；
当x+1＜0时，y＝（x+1）[﹣（x+1）]≤﹣2，当且仅当﹣（x+1），即x＝﹣2时“＝”成立．
∴函数的值域是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
8．下列求函数值域正确的是（　　）
A．函数，x∈[﹣3，﹣1]的值域是
B．函数的值域是
C．函数的值域是
D．函数的值域是
【解答】解：对于A，函数，
因为x∈[﹣3，﹣1]，所以﹣5≤2x+1≤﹣1，故，所以，
则函数的值域为，故选项A错误；
对于B，当x＝0时，y＝0；
当y≠0时，则有yx2﹣（3y+1）x+y＝0，所以△＝（3y+1）2﹣4y2≥0，解得y≤﹣1或；
综上所述，函数的值域为，故选项B正确；
对于C，因为在∪（2，π]上恒成立，
故函数在和（2，π]上单调递减，且x＝2是函数的渐近线，
故函数的值域为是，故选项C正确；
对于D，函数，设x＝cosα，α∈[0，π]，所以y＝cosα+sinα，
因为α∈[0，π]，所以，故，
所以函数的值域为，故选项D正确．
故选：BCD．
课后作业.函数的三要素
1．函数的定义域为（　　）
A．[1，10]
B．[1，2）∪（2，10]
C．（1，10]
D．（1，2）∪（2，10]
【解答】解：要使f（x）有意义，则：；
解得1＜x≤10，且x≠2；
∴f（x）的定义域为（1，2）∪（2，10]．
故选：D．
2．已知函数f（x），则的值为（　　）
A．
B．
C．﹣2
D．3
【解答】解：∵函数f（x），
∴f（）2，
f（﹣2）＝3﹣2．
故选：A．
3．已知，则函数f（x）的解析式为（　　）
A．f（x）＝x4﹣2x2（x≥0）
B．f（x）＝x4﹣2x2
C．
D．
【解答】解：，
∴f（x）＝x4﹣2x2（x≥0）．
故选：A．
4．已知函数f（x）满足2f（x﹣1）+f（1﹣x）＝2x﹣1，求：f（x）解析式．
【解答】解：∵函数f（x）满足2f（x﹣1）+f（1﹣x）＝2x﹣1，
∴令t＝x﹣1，则x＝t+1，
代入2f（x﹣1）+f（1﹣x）＝2x﹣1，
得：2f（t）+f（﹣t）＝2t+1，
∴，
解得f（t）＝2t，
∴函数解析式为f（x）＝2x．
5．已知f（x）的值域为R，那么a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1]
B．（﹣1，）
C．[﹣1，）
D．（0，1）
【解答】解：当x≥1时，f（x）＝lnx，其值域为[0，+∞），
那么当x＜1时，f（x）＝（1﹣2a）x+3a的值域包括（﹣∞，0），
∴1﹣2a＞0，且f（1）＝（1﹣2a）+3a≥0，
解得：，且a≥﹣1．
故选：C．
6．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值设f（x）＝min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为　6　．
【解答】解：f（x）＝min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0）如图所示，
则f（x）的最大值为y＝x+2与y＝10﹣x交点的纵坐标，
即当x＝4时，y＝6．
故答案为6．专题四
《函数》讲义
5.1函数的三要素
知识梳理.函数的概念
1．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
2．函数的三种表示法
解析法
图象法
列表法
就是把变量x，y之间的关系用一个关系式y＝f(x)来表示，通过关系式可以由x的值求出y的值.
就是把x，y之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x，y的值.
就是将变量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系.
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
题型一.
定义域
考点1.具体函数定义域
1．函数f（x）＝（2x﹣1）0的定义域是（　　）
A．（﹣∞，1]
B．（）∪（）
C．（﹣∞，1）
D．
2．函数的定义域为M，g（x）＝ln（x2+3x+2）的定义域为N，则M∪?RN＝（　　）
A．[﹣2，1）
B．（﹣2，1）
C．（﹣2，+∞）
D．（﹣∞，1）
考点2.抽象函数定义域
3．若函数f（3﹣2x）的定义域为[﹣1，2]，则函数f（x）的定义域是　
　．
4．函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，2]，则函数y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为（　　）
A．[﹣1，3]
B．[0，2]
C．[﹣1，1]
D．[﹣2，2]
考点3.已知定义域求参
5．已知函数f（x）＝lg（ax2+3x+2）的定义域为R，则实数a的取值范围是　
　．
6．若函数f（x）＝（2a2+5a+3）x2+（a+1）x﹣1
的定义域、值域都为R，则实数a满足（　　）
A．a＝﹣1或a
B．
C．a≠﹣1或a
D．a
题型二.解析式
考点1.待定系数法
1．已知函数f（x）是一次函数，且f[f（x）]＝9x+4，求函数f（x）的解析式．
2．已知f（x）是二次函数，且满足f（0）＝1，f（x+1）﹣f（x）＝2x，则f（x）的解析式是　
　．
考点2.换元法
3．已知，则函数f（x）的解析式为　
　．
4．已知f（），求f（x）的解析式．
考点3.凑配法
5．（1）已知f（），求f（x）的解析式；
（2）已知f（x）＝x2，求f（x）．
6．已知f（3x）＝4xlog23+10，则f（2）+f（4）+f（8）+…+f（210）的值等于　
　．
考点4.方程组法
7．已知函数f（x）满足f（x）+2f（﹣x）＝3x，则f（1）＝　
　．
8．已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f（x）+g（x）＝2?3x，则函数f（x）＝　
　．
考点5.求谁设谁
9．已知函数f（x）为奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝log2x，（1）求f（x）的解析式；
（2）当f（x）＞0时．求x的取值范围．
10．定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x2﹣x，则当x∈（﹣1，0]时，f（x）的值域为（　　）
A．[]
B．[]
C．[，]
D．[0，]
考点6.利用对称求解析式
11．下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（　　）
A．y＝ln（1﹣x）
B．y＝ln（2﹣x）
C．y＝ln（1+x）
D．y＝ln（2+x）
12．设函数y＝f（x）的图象与y＝2x+a的图象关于y＝﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣4）＝1，则a＝（　　）
A．﹣1
B．1
C．2
D．4
题型三.
值域
考点1.利用单调性求值域
1．下列函数中，与函数的定义域和值域都相同的是（　　）
A．y＝x2+2x，x＞0
B．y＝|x+1|
C．y＝10﹣x
D．
2．已知函数f（x）＝log3（x﹣2）的定义域为A，则函数g（x）＝（）2﹣x（x∈A）的值域为（　　）
A．（﹣∞，0）
B．（﹣∞，1）
C．[1，+∞）
D．（1，+∞）
考点2.换元法
3．函数的值域为（　　）
A．（﹣∞，﹣4]
B．（﹣∞，4]
C．[0，+∞）
D．[2，+∞）
4．函数f（x）＝log2（x2﹣2x+3）的值域为（　　）
A．[0，+∞）
B．[1，+∞）
C．R
D．[2，+∞）
考点3.分离常数
5．函数在x∈[0，+∞）上的值域是　
　．
6．已知函数，则该函数在（1，3]上的值域是（　　）
A．[4，5）
B．（4，5）
C．
D．
7．函数的值域是　
　．
8．下列求函数值域正确的是（　　）
A．函数，x∈[﹣3，﹣1]的值域是
B．函数的值域是
C．函数的值域是
D．函数的值域是
课后作业.函数的三要素
1．函数的定义域为（　　）
A．[1，10]
B．[1，2）∪（2，10]
C．（1，10]
D．（1，2）∪（2，10]
2．已知函数f（x），则的值为（　　）
A．
B．
C．﹣2
D．3
3．已知，则函数f（x）的解析式为（　　）
A．f（x）＝x4﹣2x2（x≥0）
B．f（x）＝x4﹣2x2
C．
D．
4．已知函数f（x）满足2f（x﹣1）+f（1﹣x）＝2x﹣1，求：f（x）解析式．
5．已知f（x）的值域为R，那么a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1]
B．（﹣1，）
C．[﹣1，）
D．（0，1）
6．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值设f（x）＝min{2x，x+2，10﹣x}（x≥0），则f（x）的最大值为　
　．

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