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专题八
《解三角形》讲义
知识梳理.解三角形
1．正弦定理
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos
A；
b2＝c2＋a2－2cacos
B；
c2＝a2＋b2－2abcos
C.
3．三角形的面积公式　
(1)S△ABC＝aha(ha为边a上的高)；
(2)S△ABC＝absin
C＝bcsin
A＝acsin
B；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
题型一.
正弦定理
考点1.基本量运算
1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则A＝　　．
【解答】解：由正弦定理得
∴A或
∵a＜c
故答案为：
2．在△ABC中，cosA，sinB，a＝20，则b的值为　13　．
【解答】解：∵在△ABC中，cosA，∴sinA．
由正弦定理可得：，
∴13．
故答案为：13．
3．在△ABC中，，，．
（1）求a的值；
（2）求cos2C的值．
【解答】解：（1）∵cosA，0＜A＜π，∴sinA，
∴sinB＝sin（A）＝cosA，
由正弦定理得：3，∴a＝3；
（2）∵B＝A，∴B＜π，
又∵sinB，∴cosB，
∴cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣（cosAcosB﹣sinAsinB）＝sinAsinB﹣cosAcosB，
∴cos2C＝2cos2C﹣1．
考点2.边角互化
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A的大小为　75°　．
【解答】解：∵，
∴由正弦定理可得：（sinAcosC﹣sinCcosA）＝sinB，可得：sin（A﹣C）＝sinB，
∴sin（A﹣C），
∵A+C＝120°，
又∵0°＜A＜120°，0°＜C＜120°，可得：﹣120°＜A﹣C＜120°，
∴A﹣C＝30°，
∴解得：A＝75°．
故答案为：75°．
2．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若2a＝3b，A＝2B，则cosB＝（　　）
A．
B．
C．
D．0
【解答】解：∵2a＝3b，
∴根据正弦定理得2sinA＝3sinB，且A＝2B，
∴2sin2B＝4sinBcosB＝3sinB，且sinB≠0，
∴．
故选：B．
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsinAacosB＝2bc，则A＝（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵bsinAacosB＝2bc，
∴由正弦定理可得：sinBsinAsinAcosB＝2sinBsinC，
∴sinBsinAsinAcosB＝2sinBsinC＝2sinB（sinAcosB+cosAsinB），
∴sinBsinA＝2sinBcosAsinB，
又∵sinB≠0，
∴sinAcosA＝2，
∴2sin（A）＝2，可得A2kπ，k∈Z，
又A∈（0，π），
∴A．
故选：C．
考点3.内角和应用
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，a＝2，c，则C＝（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，
∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC＝0，
∴cosAsinC+sinAsinC＝0，
∵sinC≠0，
∴cosA＝﹣sinA，
∴tanA＝﹣1，
∵A＜π，
∴A，
由正弦定理可得，
∴sinC，
∵a＝2，c，
∴sinC，
∵a＞c，
∴C，
故选：B．
2．已知a、b、c分别为△ABC的三内角A、B、C的对边，，则A＝（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：sinAcosCsinAsinC﹣sinB﹣sinC＝0，
∴sinAcosCsinAsinC﹣sin（A+C）﹣sinC＝0，即sinAcosCsinAsinC﹣sinAcosC﹣cosAsinC﹣sinC＝0，
∴sinAsinC﹣cosAsinC﹣sinC＝0，
∵sinC≠0，
∴sinA＝cosA+1，即，
∴tan，
∴，即A．
故选：B．
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b．c，已知cos（A﹣C）+cosB＝1，（2cosB﹣1）a+2bcosA＝0，则C＝　　．
【解答】解：由B＝π﹣（A+C），可得cosB＝﹣cos（A+C），
∴cos（A﹣C）+cosB＝cos（A﹣C）﹣cos（A+C）＝2sinAsinC＝1，
∴sinAsinC，…①
又∵（2cosB﹣1）a+2bcosA＝0，可得：2acosB+2bcosA＝a，
∴由正弦定理可得：2sinAcosB+2sinBcosA＝sinA，可得：sinA＝2sinC，…②
∴①②联解可得，sin2C，
∵0＜C＜π，
∴sinC，
∵a＝2c，即a＞c，得C为锐角，
∴C．
故答案为：．
题型二.
余弦定理
1．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2（1﹣sinA），则A＝（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵b＝c，
∴a2＝b2+c2﹣2bccosA＝2b2﹣2b2cosA＝2b2（1﹣cosA），
∵a2＝2b2（1﹣sinA），
∴1﹣cosA＝1﹣sinA，
则sinA＝cosA，即tanA＝1，
即A，
故选：C．
2．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知，且a2﹣c2＝2b，则b＝（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
【解答】解：，即为
3ccosA＝acosC，
即有3c?a?，
即有a2﹣c2b2，
又a2﹣c2＝2b，则2bb2，
解得b＝4．
故选：A．
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，，则（　　）
A．a＝b
B．a＜b
C．a＞b
D．a与b的大小关系不能确定
【解答】解：因为C＝120°，，
所以由正弦定理可得：ca，
由余弦定理cosC，可得：，整理可得：a2﹣b2＝ab＞0，
可得a2＞b2，
可得a＞b．
故选：C．
4．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知sinAcosC＝3cosAsinC且a2﹣c2＝2b，则b＝　4　
【解答】解：∵sinAcosC＝3cosAsinC，
∴a3c，
∴2c2＝2a2﹣b2，
∵a2﹣c2＝2b，
∴b2＝4b，
∵b≠0，
∴b＝4．
故答案为：4．
5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2，则△ABC是（　　）
A．直角三角形
B．等腰三角形或直角三角形
C．正三角形
D．等腰直角三角形
【解答】解：∵cos2，2cos21＝cosA，
∴cosA，
∴△ABC是直角三角形．
故选：A．
题型三.高、中点、角平分线问题
1．在△ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cosA等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC＝θ，
∵在△ABC中，B，BC边上的高AD＝hBCa，
∴BD＝ADa，CDa，
在Rt△ADC中，cosθ，故sinθ，
∴cosA＝cos（θ）＝coscosθ﹣sinsinθ．
故选：C．
2．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若∠ABC，b，c＝2，D为BC的中点．
（Ⅰ）求cos∠BAC的值；
（Ⅱ）求AD的值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（I）法1：由正弦定理得（1分）
又∵在△ABC中，b＞c，∴C＜B，∴（2分）
∴（3分）
∴cos∠BAC＝cos（π﹣B﹣C）＝﹣cos（B+C）…（4分）
＝﹣（cosBcosC﹣sinBsinC）…（5分）
（6分）
法2：在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BCcos∠ABC…（1分）
∴，…（2分）
∴（a﹣3）（a+1）＝0解得a＝3（a＝﹣1已舍去），…（4分）
∴（5分）
．…（6分）
（II）法1：∵（8分）
∴（10分）
（11分）
∴．…（12分）
法2：在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2+AC2﹣2AB?ACcos∠BAC…（7分）
，…（8分）
∴BC＝3，
∴（9分）
在△ABD中，由余弦定理得
AD2＝AB2+BD2﹣2AB?BD?cos∠ABD，…（10分）
，…（11分）
∴，…（12分）
法3：设E为AC的中点，连结DE，则
，…（7分）
（8分）
在△ADE中，由余弦定理得AD2＝AE2+DE2﹣2AE?DE?cos∠AED，…（9分）
，…（11分）
∴．…（12分）
3．已知AD是△ABC的内角A的平分线，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，则AD长为　　．
【解答】解：∵AD是△ABC的内角A的平分线，且∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，
∵S△ABD+S△CAD＝S△ABC，
∴AB?ADsin∠ABDAC?ADsin∠CADAB?ACsin∠BAC，
即3AD5AD3×5，
解得：AD，
故答案为：
题型四.
周长、面积问题
1．△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC面积为，b＝3，B．则△ABC是（　　）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【解答】解：∵△ABC面积为，b＝3，B，
∴acsinB，即ac，
整理得：ac＝3，①
由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accosB，即9＝a2+c2+ac＝（a+c）2﹣ac＝（a+c）2﹣3，
整理得：a+c＝2，②
联立①②，解得：a＝c，
则△ABC为等腰三角形，
故选：C．
2．（2014?新课标Ⅱ）钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC，则AC＝（　　）
A．5
B．
C．2
D．1
【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB＝c＝1，BC＝a，
∴SacsinB，即sinB，
当B为钝角时，cosB，
利用余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BC?cosB＝1+2+2＝5，即AC，
当B为锐角时，cosB，
利用余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BC?cosB＝1+2﹣2＝1，即AC＝1，
此时AB2+AC2＝BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，
则AC．
故选：B．
3．（2018?新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB＝4asinBsinC，b2+c2﹣a2＝8，则△ABC的面积为　　．
【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
bsinC+csinB＝4asinBsinC，
利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB＝4sinAsinBsinC，
由于0＜B＜π，0＜C＜π，
所以sinBsinC≠0，
所以sinA，
则A
由于b2+c2﹣a2＝8，
则：，
①当A时，，
解得bc，
所以．
②当A时，，
解得bc（不合题意），舍去．
故：．
故答案为：．
4．（2016?新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0
已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）＝sinC，
整理得：2cosCsin（A+B）＝sinC，
即2cosCsin（π﹣（A+B））＝sinC
2cosCsinC＝sinC
∴cosC，
∴C；
（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab?，
∴（a+b）2﹣3ab＝7，
∵SabsinCab，
∴ab＝6，
∴（a+b）2﹣18＝7，
∴a+b＝5，
∴△ABC的周长为5．
5．（2017?新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．
（1）求cosB；
（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．
【解答】解：（1）sin（A+C）＝8sin2，
∴sinB＝4（1﹣cosB），
∵sin2B+cos2B＝1，
∴16（1﹣cosB）2+cos2B＝1，
∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1＝0，
∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）＝0，
∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）＝0，
∴cosB；
（2）由（1）可知sinB，
∵S△ABCac?sinB＝2，
∴ac，
∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣2
＝a2+c2﹣15＝（a+c）2﹣2ac﹣15＝36﹣17﹣15＝4，
∴b＝2．
题型五.
最值、取值范围问题
考点1.最值问题
1．（2014?新课标Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为　　．
【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC
?（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c
?2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc，
又因为：a＝2，
所以：，
△ABC面积，
而b2+c2﹣a2＝bc
?b2+c2﹣bc＝a2
?b2+c2﹣bc＝4
?bc≤4
所以：，即△ABC面积的最大值为．
故答案为：．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB＝2a+b，若△ABC的面积为Sc，则ab的最小值为（　　）
A．56
B．48
C．36
D．28
【解答】解：由正弦定理，有2R，又2c?cosB＝2a+b，
可得：2sinC?cosB＝2sinA+sinB，
由A+B+C＝π，得sin
A＝sin（B+C），
则2sinC?cosB＝2sin（B+C）+sinB，即2sinB?cosC+sinB＝0，
又0＜B＜π，sinB＞0，得cosC，
因为0＜C＜π，得C，
则△ABC的面积为S△absinCabc，即cab，
由余弦定理，得c2＝a2+b2﹣2ab
cosC，化简，得a2+b2+aba2b2，
由于：a2+b2≥2ab，当仅当a＝b时取等号，
可得：2ab+aba2b2，即ab≥48，故ab的最小值是48．
故选：B．
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则cosC的最小值为　　．
【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，
∴c2，
∴cosC
．
当且仅当时，取等号，
∴cosC的最小值为．
故答案为：．
4．（2011?新课标）在△ABC中，B＝60°，AC，则AB+2BC的最大值为　2　．
【解答】解：设AB＝cAC＝bBC＝a
由余弦定理
cosB
所以a2+c2﹣ac＝b2＝3
设c+2a＝m
代入上式得
7a2﹣5am+m2﹣3＝0
△＝84﹣3m2≥0
故m≤2
当m＝2时，此时a，c符合题意
因此最大值为2
另解：因为B＝60°，A+B+C＝180°，所以A+C＝120°，
由正弦定理，有
2，
所以AB＝2sinC，BC＝2sinA．
所以AB+2BC＝2sinC+4sinA＝2sin（120°﹣A）+4sinA
＝2（sin120°cosA﹣cos120°sinA）+4sinA
cosA+5sinA
＝2sin（A+φ），（其中sinφ，cosφ）
所以AB+2BC的最大值为2．
故答案为：2
5．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosAc，则tan（A﹣B）的最大值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵acosB﹣bcosAc，
∴结合正弦定理，得sinAcosB﹣sinBcosAsinC，
∵C＝π﹣（A+B），得sinC＝sin（A+B），
∴sinAcosB﹣sinBcosA（sinAcosB+cosAsinB），
整理，得sinAcosB＝4sinBcosA，同除以cosAcosB，得tanA＝4tanB，
由此可得tan（A﹣B），
∵A、B是三角形内角，且tanA与tanB同号，
∴A、B都是锐角，即tanA＞0，tanB＞0，
∵4tanB≥2
4，
∴tan（A﹣B），当且仅当4tanB，即tanB时，tan（A﹣B）的最大值为．
故选：D．
考点2.取值范围问题
1．已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，a＝4，b∈（4，6），sin2A＝sinC，则c的取值范围为　（4，2）．　．
【解答】解：由正弦定理得，，
故c＝8cosA，
因为16＝b2+c2﹣2bccosA，
所以16﹣b2＝64cos2A﹣16bcos2A，
因为b≠4，
所以cos2A，
所以c2＝64cos2A＝644（4+b）∈（32，40），
故．
故答案为：（4，2）．
2．在锐角三角形ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，若A＝2B，则的取值范围是　　．
【解答】解：锐角三角形ABC中，A＝2B，C＝π﹣3B，
所以，解得，
由正弦定理得2cosB∈（，）．
故答案为：（，）．
3．已知a，b，c分别为锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a＝2，且sin2B＝sinA（sinA+sinC），则△ABC的周长的取值范围为　（4+2，6+2）　．
【解答】解：因为a＝2，且sin2B＝sinA（sinA+sinC），
所以由正弦定理可得b2＝a2+ac，
由余弦定理可得cosA，
同理可得：cosB，即，
消去c，可得2a＝2bcosA﹣2acosB，
由正弦定理可得2sinA＝2sinBcosA﹣2sinAcosB，即2sinA＝2sin（B﹣A），可得B＝2A，
由正弦定理，可得，可得b＝4cosA，
因为△ABC为锐角三角形，且A+B+C＝π，
所以0＜2A，即A，
所以cosA，即2b＜2．
又因为a＝2，即b2＝4+2c，
所以△ABC的周长为a+b+c＝2+bb2+b，
由二次函数性质可得，△ABC的周长的取值范围为：（4+2，6+2）．
故答案为：（4+2，6+2）．
4．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b2﹣a2＝ac，则的取值范围为　（1，）　．
【解答】解：∵b2﹣a2＝ac，
∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+ac，
∴c＝2acosB+a，
∴sinC＝2sinAcosB+sinA，
∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
∴sinA＝cosAsinB﹣sinAcosB＝sin（B﹣A），
∵三角形ABC为锐角三角形，
∴A＝B﹣A，
∴B＝2A，
∴C＝π﹣3A，
∴
∴A∈（，），B∈（，）
∴，
∵B∈（，）
∴sinB∈（，1），
∴∈，），
∴的范围为（1，），
故答案为：（1，）
5．已知△ABC的周长为6，且cos2B+2sinAsinC＝1，则的取值范围是　[2，）　．
【解答】解：由cos2B+2sinAsinC＝1，得2sinAsinC＝1﹣cos2B＝2sin2B，
利用正弦定理可得b2＝ac，
又a+b+c＝6，
∴b，从而0＜b≤2．
再由|a﹣c|＜b，得（a﹣c）2＜b2，（a+c）2﹣4ac＜b2，
∴（6﹣b）2﹣4b2＜b2，得b2+3b﹣9＞0，
又b＞0，解得b，
∴b≤2，
∵cosB，
∴ac?cosB（b+3）2+27．
则2．
∴的取值范围是[2，）．
故答案为：[2，）．
题型六.
解三角形解答题
1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A，___且b，
请从①b2ac＝a2+c2，②acosB＝bsinA，③sinB+cosB这三个条件中任选一个补充在横线上，求出此时△ABC的面积．
【解答】解：情形一：若选择①，
由余弦定理，
因为B∈（0，π），所以；
情形二：若选择②acosB＝bsinA，则sinAcosB＝sinBsinA，
因为sinA≠0，所以sinB＝cosB，
因为B∈（0，π），所以；
情形三：若选择③，则，
所以，
因为B∈（0，π），所以，所以，所以；
由正弦定理，得，
因为，，所以，
所以，
所以．
故答案为：．
2．已知△ABC的外接圆半径为R，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b＝2且bsinB﹣asinA＝2R（sinB﹣sinC）sinC．
（1）求角A；
（2）若AD是BC边上的中线AD，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵由正弦定理2R，可得b＝2RsinB，c＝2RsinC，
∴由已知可得：bsinB﹣asinA＝（b﹣c）sinC，
∴b2﹣a2＝c（b﹣c）＝bc﹣c2，即b2+c2﹣a2＝bc，
∴由余弦定理可得cosA，
∵A∈（0，π），
∴A．
（2）∵BC边上的中线AD，b＝2，
又，两边平方，可得：2（2），
∴（c2+22+2×c×2×cos），整理可得：c2+2c﹣3＝0，解得c＝1，或﹣3（舍去），
∴S△ABCbcsinA．
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（3b﹣c）cosA＝acosC．
（1）求cosA；
（2）若a，求△ABC的面积S的最大值．
【解答】解：（1）由余弦定理可得（3b﹣c）?a?，
整理得b2+c2﹣a2bc，
则cosA；
（2）由余弦定理cosA，即b2+c2＝3bc，
因为3bc＝b2+c2≥2bc，所以bc，当且仅当b＝c时取“＝”
因为cosA，则sinA
则SbcsinA．
4．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sin2A+sin2B﹣sin2C．
（1）求角C的大小；
（2）若c＝2，求的取值范围．
【解答】解：（1）由题可得，
所以，
∵C∈（0，π），∴，
（2）由正弦定理得，
∴，
，
∵，∴，
∴，
∴．
课后作业.
解三角形
1．下列命题中，正确的是（　　）
A．在△ABC中，A＞B，则sinA＞sinB
B．在锐角△ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立
C．在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
【解答】解：对于A，由A＞B，可得：a＞b，利用正弦定理可得：sinA＞sinB，正确；
对于B，在锐角△ABC中，A，B∈（0，），∵A+B，∴AB＞0，∴sinA＞sin（B）＝cosB，因此不等式sinA＞cosB恒成立，正确
对于C，在△ABC中，由acosA＝bcosB，利用正弦定理可得：sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B，
∵A，B∈（0，π），
∴2A＝2B或2A＝2π﹣2B，
∴A＝B或，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C错误．
对于D，由于B＝600，b2＝ac，由余弦定理可得：b2＝ac＝a2+c2﹣ac，可得（a﹣c）2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B＝60°，故正确．
故选：ABD．
2．△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2asinA＝（2b+c）sinB+（2c+b）sin
C．且sinB+sinC＝1，则△ABC是（　　）
A．等腰钝角三角形
B．等腰直角三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
【解答】解：由已知，根据正弦定理得2a2＝（2b+c）b+（2c+b）c，
即a2＝b2+c2+bc．
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccos
A，
故cos
A，
∵0＜A＜π，
∴A＝120°．
方法一　由（1）得sin2A＝sin2B+sin2C+sin
Bsin
C，
又A＝120°，
∴sin2B+sin2C+sin
Bsin
C，
∵sin
B+sin
C＝1，
∴sin
C＝1﹣sin
B．
∴sin2B+（1﹣sin
B）2+sin
B（1﹣sin
B），
即sin2B﹣sin
B0．解得sin
B．故sin
C．
∴B＝C＝30°．
所以，△ABC是等腰的钝角三角形．
方法二∵A＝120°，
∴B+C＝60°，则C＝60°﹣B，
∴sin
B+sin
C＝sin
B+sin（60°﹣B）
＝sin
Bcos
Bsin
B
sin
Bcos
B＝sin（B+60°）＝1，
∴B＝30°，C＝30°．
∴△ABC是等腰的钝角三角形．
故选：A．
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA，则（　　）
A．6
B．5
C．4
D．3
【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA，
∴由正弦定理得：
，
解得3c2，
∴6．
故选：A．
4．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，M在边AB上，且AMAB，b＝2，CM，，则S△ABC＝（　　）
A．
B．
C．2
D．
【解答】解：△ABC中，，
∴，
∴2sinCcosB＝2sinA﹣sinB，
∴2sinCcosB＝2（sinBcosC+cosBsinC）﹣sinB，
∴cosC，
又C∈（0°，180°），
∴C＝60°；
又
，
∴（），
∴32，
∴92＝422+4?；
∴28＝16+a2+4a，
解得a＝2或a＝﹣6（不合题意，舍去），
∴△ABC的面积为S△ABC2×2sin60°．
故选：B．
5．在△ABC中，B＝120°，AB，A的角平分线AD，则AC＝（　　）
A．2
B．
C．
D．
【解答】解：由题意以及正弦定理可知：，∠ADB＝45°，
A＝180°﹣120°﹣45°，可得A＝30°，则C＝30°，三角形ABC是等腰三角形，
AC＝2sin60°．
故选：C．
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，若a+c＝4，则AC边上中线长的最小值　　．
【解答】解：∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，
∴2bcosB＝ccosA+acosC，利用正弦定理得：2sinBcosB﹣sinCcosA＝sinAcosC，
整理得：2sinBcosB＝sin（A+C），即2sinBcosB＝sinB，
∵sinB≠0，∴cosB，
则B．如图：设AC边上的中点为E
在△BAE中，由余弦定理得：BE2＝c2+（）2﹣2c（）cosA，
又cosA，a2+c2﹣b2＝ac代入上式，并整理得：
BE23，当a＝c＝2时取到”＝”，
所以AC边上中线长的最小值为．
故答案为：．
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c．
（1）若a＝2，求△ABC外接圆的半径；
（2）若b+c＝10，S△ABC＝4，求a的值．
【解答】解：（1）由正弦定理可得：sinC，
∵sinC≠0，
∴sinA（1﹣cosA），
∴sinAcosA＝2sin（A），可得：sin（A），
∵A∈（，），
∴A，可得：A，
∵2R，
∴△ABC的外接圆的半径为．
（2）∵S△ABC＝4bcsinAbc，
∴bc＝16，
∴a2．
8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a﹣2b）cosC+ccosA＝0．
（1）求角C；
（2）若，求△ABC的周长的最大值．
【解答】解：（1）根据正弦定理，由已知得：（sinA﹣2sinB）cosC+sinCcosA＝0，
即sinAcosC+sinCcosA＝2sinBcosC，
∴sin（A+C）＝2sinBcosC，
∵A+C＝π﹣B，∴sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sinB＞0，
∴sinB＝2sinBcosC，从而．
∵C∈（0，π），∴．
（2）由（1）和余弦定理得，即a2+b2﹣12＝ab，
∴，
即（a+b）2≤48（当且仅当时等号成立）．
所以，△ABC周长的最大值为．
9．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c且2sin21+cos2C
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若c，求△ABC的面积S的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，2sin21+cos2C，
∴1﹣cos（A+B）＝2cos2C，
又cos（A+B）＝cos（π﹣C）＝﹣cosC，
∴2cos2C﹣cosC﹣1＝0，解得cosC或1，
∵0＜C＜π，∴cosC，则C；
（Ⅱ）∵C，c，
∴由余弦定理得，c2＝a2+b2﹣2abcosC，
3＝a2+b2﹣2ab（），解得3＝a2+b2+ab，
∴3﹣ab＝a2+b2≥2ab，解得ab≤1，当且仅当a＝b时取等号，
∴△ABC的面积Sab，
∴△ABC的面积S的取值范围是（0，]．专题八
《解三角形》讲义
知识梳理.解三角形
1．正弦定理
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos
A；
b2＝c2＋a2－2cacos
B；
c2＝a2＋b2－2abcos
C.
3．三角形的面积公式　
(1)S△ABC＝aha(ha为边a上的高)；
(2)S△ABC＝absin
C＝bcsin
A＝acsin
B；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
题型一.
正弦定理
考点1.基本量运算
1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则A＝　
　．
2．在△ABC中，cosA，sinB，a＝20，则b的值为　
　．
3．在△ABC中，，，．
（1）求a的值；
（2）求cos2C的值．
考点2.边角互化
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A的大小为　
　．
2．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若2a＝3b，A＝2B，则cosB＝（　　）
A．
B．
C．
D．0
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsinAacosB＝2bc，则A＝（　　）
A．
B．
C．
D．
考点3.内角和应用
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，a＝2，c，则C＝（　　）
A．
B．
C．
D．
2．已知a、b、c分别为△ABC的三内角A、B、C的对边，，则A＝（　　）
A．
B．
C．
D．
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b．c，已知cos（A﹣C）+cosB＝1，（2cosB﹣1）a+2bcosA＝0，则C＝　
　．
题型二.
余弦定理
1．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2（1﹣sinA），则A＝（　　）
A．
B．
C．
D．
2．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知，且a2﹣c2＝2b，则b＝（　　）
A．4
B．3
C．2
D．1
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，，则（　　）
A．a＝b
B．a＜b
C．a＞b
D．a与b的大小关系不能确定
4．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知sinAcosC＝3cosAsinC且a2﹣c2＝2b，则b＝　
　
5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2，则△ABC是（　　）
A．直角三角形
B．等腰三角形或直角三角形
C．正三角形
D．等腰直角三角形
题型三.高、中点、角平分线问题
1．在△ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cosA等于（　　）
A．
B．
C．
D．
2．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若∠ABC，b，c＝2，D为BC的中点．
（Ⅰ）求cos∠BAC的值；
（Ⅱ）求AD的值．
3．已知AD是△ABC的内角A的平分线，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，则AD长为　
　．
题型四.
周长、面积问题
1．△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC面积为，b＝3，B．则△ABC是（　　）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
2．（2014?新课标Ⅱ）钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC，则AC＝（　　）
A．5
B．
C．2
D．1
3．（2018?新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB＝4asinBsinC，b2+c2﹣a2＝8，则△ABC的面积为　
　．
4．（2016?新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）＝c．
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
5．（2017?新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝8sin2．
（1）求cosB；
（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．
题型五.
最值、取值范围问题
考点1.最值问题
1．（2014?新课标Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为　
　．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB＝2a+b，若△ABC的面积为Sc，则ab的最小值为（　　）
A．56
B．48
C．36
D．28
3.
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则cosC的最小值为　
　．
4．（2011?新课标）在△ABC中，B＝60°，AC，则AB+2BC的最大值为　
　．
5．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosAc，则tan（A﹣B）的最大值为（　　）
A．
B．
C．
D．
考点2.取值范围问题
1．已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，a＝4，b∈（4，6），sin2A＝sinC，则c的取值范围为　
　．
2．在锐角三角形ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，若A＝2B，则的取值范围是　
　．
3．已知a，b，c分别为锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a＝2，且sin2B＝sinA（sinA+sinC），则△ABC的周长的取值范围为　
　．
4．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b2﹣a2＝ac，则的取值范围为　
　．
5．已知△ABC的周长为6，且cos2B+2sinAsinC＝1，则的取值范围是　
　．
题型六.
解三角形解答题
1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A，___且b，
请从①b2ac＝a2+c2，②acosB＝bsinA，③sinB+cosB这三个条件中任选一个补充在横线上，求出此时△ABC的面积．
2．已知△ABC的外接圆半径为R，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b＝2且bsinB﹣asinA＝2R（sinB﹣sinC）sinC．
（1）求角A；
（2）若AD是BC边上的中线AD，求△ABC的面积．
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（3b﹣c）cosA＝acosC．
（1）求cosA；
（2）若a，求△ABC的面积S的最大值．
4．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sin2A+sin2B﹣sin2C．
（1）求角C的大小；
（2）若c＝2，求的取值范围．
课后作业.
解三角形
1．下列命题中，正确的是（　　）
A．在△ABC中，A＞B，则sinA＞sinB
B．在锐角△ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立
C．在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
2．△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2asinA＝（2b+c）sinB+（2c+b）sin
C．且sinB+sinC＝1，则△ABC是（　　）
A．等腰钝角三角形
B．等腰直角三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA，则（　　）
A．6
B．5
C．4
D．3
4．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，M在边AB上，且AMAB，b＝2，CM，，则S△ABC＝（　　）
A．
B．
C．2
D．
5．在△ABC中，B＝120°，AB，A的角平分线AD，则AC＝（　　）
A．2
B．
C．
D．
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数列，若a+c＝4，则AC边上中线长的最小值　
　．
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c．
（1）若a＝2，求△ABC外接圆的半径；
（2）若b+c＝10，S△ABC＝4，求a的值．
8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a﹣2b）cosC+ccosA＝0．
（1）求角C；
（2）若，求△ABC的周长的最大值．
9．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c且2sin21+cos2C
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若c，求△ABC的面积S的取值范围．

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