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专题十
《数列》讲义
10.2
等比数列
知识梳理.等比数列
1．等比数列的有关概念
(1)定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(q≠0，n∈N
)．
(2)等比中项
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项?G2＝ab．
“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1．
(2)前n项和公式：Sn＝
3．等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N
)
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a．
(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．
常用结论
4．记住等比数列的几个常用结论
(1)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
(2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(3)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等比数列。
题型一.
等比数列的基本量
1．（2013?北京）若等比数列{an}满足a2+a4＝20，a3+a5＝40，则公比q＝　2　；前n项和Sn＝　2n+1﹣2　．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，
∵a2+a4＝a2（1+q2）＝20①
a3+a5＝a3（1+q2）＝40②
∴①②两个式子相除，可得到2
即等比数列的公比q＝2，
将q＝2带入①中可求出a2＝4
则a12
∴数列{an}时首项为2，公比为2的等比数列．
∴数列{an}的前n项和为：Sn2n+1﹣2．
故答案为：2，2n+1﹣2．
2．（2010?辽宁）设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4﹣2，3S2＝a3﹣2，则公比q＝（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
【解答】解：∵Sn为等比数列{an}的前n项和，3S3＝a4﹣2，3S2＝a3﹣2，
两式相减得
3a3＝a4﹣a3，
a4＝4a3，
∴公比q＝4．
故选：B．
3．（2017?江苏）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3，S6，则a8＝　32　．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q≠1，
∵S3，S6，∴，，
解得a1，q＝2．
则a832．
故答案为：32．
题型二.
等比数列的性质
1．已知正项等比数列{an}中，a3，若a1+a2+a3＝7，则a8＝（　　）
A．32
B．48
C．64
D．128
【解答】解：由，得，所以a1＝1，
又因为a1+a2+a3＝7，得1+q+q2＝7，所以q＝2，
故，
故选：D．
2．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，an＜an+1，n∈N
，a4?a14＝9，a8+a10＝10，则数列{an}的公比为（　　）
A．
B．
C．2
D．3
【解答】解：各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，an＜an+1，n∈N
，
a4?a14＝9，a8+a10＝10，
∴，
解得数列{an}的公比为q＝3．
故选：D．
3．（2014?广东）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12＝2e5，则lna1+lna2+…+lna20＝　50　．
【解答】解：∵数列{an}为等比数列，且a10a11+a9a12＝2e5，
∴a10a11+a9a12＝2a10a11＝2e5，
∴a10a11＝e5，
∴lna1+lna2+…lna20＝ln（a1a2…a20）＝ln（a10a11）10＝ln（e5）10＝lne50＝50．
故答案为：50．
题型三.等比数列的前n项经典结论
1．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝2，S30＝14，则S40等于（　　）
A．80
B．30
C．26
D．16
【解答】解：由题意知等比数列{an}的公比q＞0，且q≠1，
则有
，得1+q10+q20＝7，即q20+q10﹣6＝0，解得q10＝2，
则q40＝16，且代入①得2，
所以2×（1﹣16）＝30．
故选：B．
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意，设S3＝2m，那么S6＝m，（m≠0），
那么：S3，S6﹣S3，S9﹣S6，成等比数列
即2m×（S9﹣m）＝（m﹣2m）2，解得：S9m，
则，
故选：C．
3．在等比数列{an}中，已知n∈N+，且a1+a2+…+an＝2n﹣1，那么a12+a22+…+an2为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵a1+a2+…+an＝2n﹣1，
∴n≥2时，a1+a2+…+an﹣1＝2n﹣1﹣1，可得an＝2n﹣1．
n＝1时，a1＝2﹣1＝1．对于上式也成立．
∴an＝2n﹣1．
∴（2n﹣1）2＝4n﹣1．
那么a12+a22+…+an2．
故选：C．
题型四.
证明等比数列
1．已知数列{an}，Sn是其前n项和，并且Sn+1＝4an+2（n＝1，2，…），a1＝1．
（1）设数列bn＝an+1﹣2an（n＝1，2，…）求证：数列{bn}是等比数列；
（2）设数列cn（n＝1，2，…）求证：数列{cn}是等差数列；
（3）求数列{an}的通项公式及前n项和．
【解答】解：（1）由题意得，Sn+1＝4an+2
①，
当n≥2时
Sn＝4an﹣1+2
②，
①﹣②得，an+1＝4an﹣4an﹣1，
∴当n≥2时，
2，
且b1＝a2﹣2a1＝3，
∴{bn}是以2为公比，3为首项的等比数列，
（2）由（1）得bn＝b1?qn﹣1＝3?2n﹣1，则an+1﹣2an＝3?2n﹣1，
∴an﹣2an﹣1＝3?2n﹣2，
当n≥2时，cn﹣cn﹣1，
且C1，
∴{?n}为为公差，以为首项的等差数列，
（3）由（2）得?n＝C1+（n﹣1）?d，即，
∴an＝（3n﹣1）?2n﹣2（n∈N
）
∵Sn+1＝4an+2，
∴Sn+1＝4?（3n﹣1）?2n﹣2+2＝（3n﹣1）?2n+2
即Sn＝（3n﹣4）2n﹣1+2（n∈N
）．
2．数列{an}的前n项和为Sn，已知．
（1）试写出a2，S2，a3；
（2）设，求证：数列{bn}是等比数列；
（3）求出数列{an}的前n项和为Sn及数列{an}的通项公式．
【解答】解：（1）数列{an}的前n项和为Sn，，
则：a2＝3，S2＝4，a3＝8；
（2）由，
可得：，
整理，
所以bn+1＝2bn，
又有，
所以数列{bn}是首项是1，公比为2的等比数列．
（3）由（2）可知，且，
进而，
所以数列{an}的前n项和，
当，
当n＝1时，a1＝1也满足上式．
所以：．
题型五.
等差、等比综合
1．等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（　　）
A．﹣24
B．﹣3
C．3
D．8
【解答】解：∵等差数列{an}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列，
∴，
∴（a1+2d）2＝（a1+d）（a1+5d），且a1＝1，d≠0，
解得d＝﹣2，
∴{an}前6项的和为24．
故选：A．
2．设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，且S5?S6＝﹣15，则d的取值范围是　∪　，若a1＝﹣7，则d的值为　3或　．
【解答】解：S5?S6＝﹣15，∴15，化为：9da1+10d2+1＝0，
则△＝81d2﹣8（10d2+1）≥0，化为：d2≥8，解得d≥2或d≤﹣2．
则d的取值范围是∪．
若a1＝﹣7，则10d2﹣63d+99＝0，解得d＝3或．
故答案为：∪，3或．
3．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a7＝5，S5＝﹣55，则nSn的最小值为　﹣343　．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a7＝5，S5＝﹣55，
∴a1+6d＝5，5a155，
联立解得：a1＝﹣19，d＝4．
∴Sn＝﹣19n2n2﹣21n．
则nSn＝2n3﹣21n2，
令f（x）＝2x3﹣21x2，（x≥1），
f′（x）＝6x2﹣42x＝6x（x﹣7），
可得x＝7时，函数f（x）取得极小值即最小值，
∴n＝7时，nSn取得最小值，2×73﹣21×72＝﹣343．
故答案为：﹣343．
4．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，若a3﹣a2＝5，则a4+8a2的最小值为（　　）
A．40
B．20
C．10
D．5
【解答】解：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，
若a3﹣a2＝5，则a2q﹣a2＝5，即a2（q﹣1）＝5，变形可得a2，
a4+8a2＝a2（q2+8）（q2+8）[（q﹣1）2+2（q﹣1）+9]＝5×[（q﹣1）2]≥5（22）＝5×8＝40，
当且仅当q﹣1＝3时等号成立，即a4+8a2的最小值为40；
故选：A．
5．已知正项等比数列{an}的前n项和Sn，满足S4﹣2S2＝3，则S6﹣S4的最小值为（　　）
A．
B．3
C．4
D．12
【解答】解：根据题意，设该等比数列的首项为a1，公比为q，
若S4﹣2S2＝3，则有S4﹣2S2＝a1+a2+a3+a4﹣2（a1+a2）＝（a3+a4）﹣（a1+a2）＝（q2﹣1）（a1+a2）＝3，
又由数列{an}为正项的等比数列，则q＞1，
则（a1+a2），
则S6﹣S4＝（a5+a6）＝q4×（a1+a2）q4＝3[（q2﹣1）2]≥6+3×212，
当且仅当q2＝2时等号成立；
即S6﹣S4的最小值为12；
故选：D．
6．数列{an}满足，，那么a2018＝（　　）
A．﹣1
B．
C．1
D．2
【解答】解：∵，，
∴a2＝1﹣2＝﹣1，a3＝1+1＝2，a4＝1，
故数列{an}是周期数列，周期是3，
则a2018＝a3×672+2＝a2＝﹣1，
故选：A．
7．已知数列{an}的首项为1，第2项为3，前n项和为Sn，当整数n＞1时，Sn+1+Sn﹣1＝2（Sn+S1）恒成立，则S15等于（　　）
A．210
B．211
C．224
D．225
【解答】解：结合Sn+1+Sn﹣1＝2（Sn+S1）可知，Sn+1+Sn﹣1﹣2Sn＝2a1，
得到an+1﹣an＝2a1＝2，所以an＝1+2?（n﹣1）＝2n﹣1，所以a15＝29，
所以，
故选：D．
8．已知数列{an}和{bn}首项均为1，且an﹣1≥an（n≥2），an+1≥an，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足2SnSn+1+anbn+1＝0，则S2019＝（　　）
A．2019
B．
C．4037
D．
【解答】解：∵an﹣1≥an（n≥2），an+1≥an，
∴an≥an+1≥an，
∴an＝an+1，
另外：a1≥a2≥a1，可得a2＝a1＝1，
∴an＝1．
∵2SnSn+1+anbn+1＝0，
∴2SnSn+1+bn+1＝0，∴2SnSn+1+Sn+1﹣Sn＝0，
∴2．
∴数列{}是等差数列，首项为1，公差为2．
∴1+2（n﹣1）＝2n﹣1，
∴Sn．
∴S2019．
故选：D．
9．已知数列{an}的通项公式为an＝3n，记数列{an}的前n项和为Sn，若?n∈N
使得（Sn）k≥3n﹣6成立，则实数
k的取值范围是　　．
【解答】解：∵数列{an}的通项公式为an＝3n，
∴数列{an}是等比数列，公比为3，首项为3．
∴Sn，
∴（Sn）k≥3n﹣6化为：k，
∵?n∈N
使得（Sn）k≥3n﹣6成立，∴k．
令bn，则bn+1﹣bn，
n≤2时，bn+1≥bn；n≥3时，bn+1＜bn．
∴b1＜b2＝0，b3＞b4＞b5＞…＞0．
∴b1．
∴．
故答案为：．
10．已知数列{an}满足a1，an+1．设bn，n∈N
，且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围是　（﹣∞，）　．
【解答】解：由题设可知数列{an}是首项、公比均为
的等比数列，
∴an，bn（n﹣2λ）?2n，
又∵数列{bn}是单调递增数列，
∴bn+1﹣bn＝（n+1﹣2λ）?2n+1﹣（n﹣2λ）?2n＝（n+2﹣2λ）?2n＞0恒成立，
即n+2﹣2λ＞0恒成立，
∴2λ＜（n+2）min＝3，
∴λ，
故答案为：（﹣∞，）．
11．已知{an}是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且，则数列{|log2an|}前10项和为　58　．
【解答】解：∵{an}是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且
，
∴，
∴1+q3，
∴q，
∴an＝32?（）n﹣1＝27﹣2n，
∴|log2an|＝|7﹣2n|，
∴数列{|log2an|}前10项和为5+3+1+1+3+5+7+9+11+13＝58，
故答案是：58．
12．已知数列{an}满足2a1+22a2+23a3+…+2nan＝n（n∈N
），若bn，则数列{bn}的前n项和Sn＝　　．
【解答】解：因为2a1+22a2+23a3+…+2nan＝n（n∈N
），
所以2a1+22a2+23a3+…+2n﹣1an﹣1＝n﹣1（n≥2），
两式相减得2nan＝1（n≥2），
当n＝1时也满足，故an，
bn，
故Sn＝11．
故答案为：．
课后作业.
等比数列
1．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则（　　）
A．2n﹣1
B．2﹣21﹣n
C．2﹣2n﹣1
D．21﹣n﹣1
【解答】解：设等比数列的公比为q，
∵a5﹣a3＝12，
∴a6﹣a4＝q（a5﹣a3），
∴q＝2，
∴a1q4﹣a1q2＝12，
∴12a1＝12，
∴a1＝1，
∴Sn2n﹣1，an＝2n﹣1，
∴2﹣21﹣n，
故选：B．
2．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项的和，且9S3＝S6，则数列的前5项的和为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：设等比数列{an}的公比是q，且首项为1，
若q＝1时，9S3＝27、S6＝6，则不满足9S3＝S6，所以q＝1不成立；
若q≠1，由9S3＝S6得，，
化简得，q6﹣9q3+8＝0，解得q3＝8或q3＝1，
所以q＝2或q＝1（舍去），
则an＝2n﹣1，所以，
则数列的前5项的和S＝12（1），
故选：B．
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且，则　　．
【解答】解：∵等比数列{an}中，，
显然q≠1，
∴，
1+q3，
∴，
则．
故答案为：
故选：A
4．已知等比数列{an}满足a1+a3＝10，a2+a4＝5，则a1a2…an的最大值为（　　）
A．32
B．64
C．128
D．256
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1+a3＝10，a2+a4＝5，
∴q（a1+a3）＝10q＝5，解得q，a1＝8．
∴an24﹣n．
则a1a2…an＝23+2+…+（4﹣n），
当且仅当n＝3或4时，取得最大值为26＝64．
故选：B．
5．若数列{an}满足an+1＝（2|sin|﹣1）an+2n，则a1+a2+…+a8＝（　　）
A．136
B．120
C．68
D．40
【解答】解：∵an+1＝（2|sin|﹣1）an+2n，
∴a2＝a1+2，
a3＝﹣a2+4＝﹣a1+2，
a4＝a3+6＝﹣a1+8，
a5＝﹣a4+8＝a1，
a6＝a5+10＝a1+10，
a7＝﹣a6+12＝﹣a1+2，
a8＝a7+14＝﹣a1+16，
故a1+a2+…+a8＝40，
故选：D．
6．已知数列{an}满足a1＝﹣2，an+1＝3an+6．
（1）证明：数列{an+3}是等比数列；
（2）若数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式以及前n项和Sn．
【解答】解：（1）由题可得an+1+3＝3（an+3），
即，
又a1+3＝1，
∴数列{an+3}是首项为1，公比为3的等比数列．
（2）由（1）可知，，∴，
∴．专题十
《数列》讲义
10.2
等比数列
知识梳理.等比数列
1．等比数列的有关概念
(1)定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(q≠0，n∈N
)．
(2)等比中项
如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项?G2＝ab．
“a，G，b成等比数列”是“G是a与b的等比中项”的充分不必要条件．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1．
(2)前n项和公式：Sn＝
3．等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，q，r，k∈N
)
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a．
(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列．
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．
常用结论
4．记住等比数列的几个常用结论
(1)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
(2)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(3)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等比数列。
题型一.
等比数列的基本量
1．（2013?北京）若等比数列{an}满足a2+a4＝20，a3+a5＝40，则公比q＝　
　；前n项和Sn＝　
　．
2．（2010?辽宁）设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3＝a4﹣2，3S2＝a3﹣2，则公比q＝（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
3．（2017?江苏）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3，S6，则a8＝　
　．
题型二.
等比数列的性质
1．已知正项等比数列{an}中，a3，若a1+a2+a3＝7，则a8＝（　　）
A．32
B．48
C．64
D．128
2．已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，an＜an+1，n∈N
，a4?a14＝9，a8+a10＝10，则数列{an}的公比为（　　）
A．
B．
C．2
D．3
3．（2014?广东）若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12＝2e5，则lna1+lna2+…+lna20＝　
　．
题型三.等比数列的前n项经典结论
1．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝2，S30＝14，则S40等于（　　）
A．80
B．30
C．26
D．16
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则（　　）
A．
B．
C．
D．
3．在等比数列{an}中，已知n∈N+，且a1+a2+…+an＝2n﹣1，那么a12+a22+…+an2为（　　）
A．
B．
C．
D．
题型四.
证明等比数列
1．已知数列{an}，Sn是其前n项和，并且Sn+1＝4an+2（n＝1，2，…），a1＝1．
（1）设数列bn＝an+1﹣2an（n＝1，2，…）求证：数列{bn}是等比数列；
（2）设数列cn（n＝1，2，…）求证：数列{cn}是等差数列；
（3）求数列{an}的通项公式及前n项和．
2．数列{an}的前n项和为Sn，已知．
（1）试写出a2，S2，a3；
（2）设，求证：数列{bn}是等比数列；
（3）求出数列{an}的前n项和为Sn及数列{an}的通项公式．
题型五.
等差、等比综合
1．等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{an}前6项的和为（　　）
A．﹣24
B．﹣3
C．3
D．8
2．设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，且S5?S6＝﹣15，则d的取值范围是　
　，若a1＝﹣7，则d的值为　
　．
3．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a7＝5，S5＝﹣55，则nSn的最小值为　
　．
4．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，若a3﹣a2＝5，则a4+8a2的最小值为（　　）
A．40
B．20
C．10
D．5
5．已知正项等比数列{an}的前n项和Sn，满足S4﹣2S2＝3，则S6﹣S4的最小值为（　　）
A．
B．3
C．4
D．12
6．数列{an}满足，，那么a2018＝（　　）
A．﹣1
B．
C．1
D．2
7．已知数列{an}的首项为1，第2项为3，前n项和为Sn，当整数n＞1时，Sn+1+Sn﹣1＝2（Sn+S1）恒成立，则S15等于（　　）
A．210
B．211
C．224
D．225
8．已知数列{an}和{bn}首项均为1，且an﹣1≥an（n≥2），an+1≥an，数列{bn}的前n项和为Sn，且满足2SnSn+1+anbn+1＝0，则S2019＝（　　）
A．2019
B．
C．4037
D．
9．已知数列{an}的通项公式为an＝3n，记数列{an}的前n项和为Sn，若?n∈N
使得（Sn）k≥3n﹣6成立，则实数
k的取值范围是　
　．
10．已知数列{an}满足a1，an+1．设bn，n∈N
，且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围是　
　．
11．已知{an}是首项为32的等比数列，Sn是其前n项和，且，则数列{|log2an|}前10项和为　
　．
12．已知数列{an}满足2a1+22a2+23a3+…+2nan＝n（n∈N
），若bn，则数列{bn}的前n项和Sn＝　
课后作业.
等比数列
1．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5﹣a3＝12，a6﹣a4＝24，则（　　）
A．2n﹣1
B．2﹣21﹣n
C．2﹣2n﹣1
D．21﹣n﹣1
2．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项的和，且9S3＝S6，则数列的前5项的和为（　　）
A．
B．
C．
D．
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且，则　
　．
4．已知等比数列{an}满足a1+a3＝10，a2+a4＝5，则a1a2…an的最大值为（　　）
A．32
B．64
C．128
D．256
5．若数列{an}满足an+1＝（2|sin|﹣1）an+2n，则a1+a2+…+a8＝（　　）
A．136
B．120
C．68
D．40
6．已知数列{an}满足a1＝﹣2，an+1＝3an+6．
（1）证明：数列{an+3}是等比数列；
（2）若数列{an}的前n项和为Sn，求数列{an}的通项公式以及前n项和Sn．

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